第六章

§6.1

分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理第1課時(shí)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理及其簡單應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理.2.會(huì)用這兩個(gè)原理分析和解決一些簡單的實(shí)際計(jì)數(shù)問題.內(nèi)容索引知識(shí)梳理題型探究隨堂演練課時(shí)對點(diǎn)練1知識(shí)梳理PARTONE知識(shí)點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝

種不同的方法.m＋n完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝

種不同的方法.思考如何區(qū)分“完成一件事”是分類還是分步？答案區(qū)分“完成一件事”是分類還是分步，關(guān)鍵看一步能否完成這件事，若能完成，則是分類，否則，是分步.知識(shí)點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理m×n1.在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同.(

)2.在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能完成這件事.(

)3.在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情若是分兩步完成，那么其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都不能完成這件事，只有兩個(gè)步驟都完成后，這件事情才算完成.(

)4.從甲地經(jīng)丙地到乙地是分步問題.(

)思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√√√2題型探究PARTTWO先看下面的問題：①從我們班上推選出兩名同學(xué)擔(dān)任班長，有多少種不同的選法？②把我們的同學(xué)排成一排，共有多少種不同的排法？一、引入課題要解決這些問題，就要運(yùn)用有關(guān)排列、組合知識(shí).排列組合是一種重要的數(shù)學(xué)計(jì)數(shù)方法.總的來說，就是研究按某一規(guī)則做某事時(shí)，一共有多少種不同的做法.在運(yùn)用排列、組合方法時(shí)，經(jīng)常要用到分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理.這節(jié)課，我們從具體例子出發(fā)來學(xué)習(xí)這兩個(gè)原理.第一類方案：乘火車，第二類方案：乘汽車，第三類方案：乘飛機(jī)，第四類方案：自駕，所以，從喀什到烏魯木齊共有

1+1+1+1=4種方法。1、小明從喀什到烏魯木齊,可以乘火車,或可以乘汽車或者乘飛機(jī)或者自駕,那么一天中,小明乘坐這些交通工具從喀什到烏魯木齊共有多少種不同的走法?二、思考2、用一個(gè)大寫的英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的座位編號，總共能夠編出多少種不同的號碼？第一類方案：用英文字母，有26種方法;第二類方案：用一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，有10種方法；所以，共有

26+10=36種方法。探究：你能說說以上兩個(gè)問題的特征嗎？

完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法。三、分類加法計(jì)數(shù)原理(2)首先要根據(jù)具體的問題確定一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)，在分類標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類，然后對每類方法計(jì)數(shù).(1)各類辦法之間相互獨(dú)立,都能獨(dú)立的完成這件事，要計(jì)算方法種數(shù),只需將各類方法數(shù)相加,因此分類計(jì)數(shù)原理又稱加法原理說明例1、在填寫高考志愿表時(shí),一名高中畢業(yè)生了解到,A、B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè),具體情況如下：A大學(xué)B大學(xué)化學(xué)醫(yī)學(xué)物理學(xué)工程學(xué)生物學(xué)數(shù)學(xué)會(huì)計(jì)學(xué)信息技術(shù)學(xué)法學(xué)

如果這名同學(xué)只能選一個(gè)專業(yè)，那么他共有多少種選擇？解：這名同學(xué)在A大學(xué)中有5種專業(yè)選擇，在B大學(xué)中有4種專業(yè)選擇。根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理：這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇共有5+4＝9種。變式：若還有C大學(xué)，其中強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)為：新聞學(xué)、金融學(xué)、人力資源學(xué).那么，這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇共有多少種？5+4+3=12推廣：

完成一件事，有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法……在第n類方案中有mn種不同的方法.那么完成這件事共有種不同的方法.合理分類，不重不漏練習(xí)1、在所有兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大的兩位數(shù)有多少個(gè)？1+2+3+4+5+6+7+8=36跟蹤訓(xùn)練1

某校高三共有三個(gè)班，各班人數(shù)如下表：

男生人數(shù)女生人數(shù)總?cè)藬?shù)高三(1)班302050高三(2)班303060高三(3)班352055(1)從三個(gè)班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)主席，有多少種不同的選法？解從三個(gè)班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)主席，共有三類不同的方案.第1類，從高三(1)班中選出1名學(xué)生，有50種不同的選法；第2類，從高三(2)班中選出1名學(xué)生，有60種不同的選法；第3類，從高三(3)班中選出1名學(xué)生，有55種不同的選法.根據(jù)分類加法計(jì)算原理知，從三個(gè)班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)主席，共有50＋60＋55＝165(種)不同的選法.(2)從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)生活部部長，有多少種不同的選法？

男生人數(shù)女生人數(shù)總?cè)藬?shù)高三(1)班302050高三(2)班303060高三(3)班352055解從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)生活部部長，共有三類不同的方案.第1類，從高三(1)班男生中選出1名學(xué)生，有30種不同的選法；第2類，從高三(2)班男生中選出1名學(xué)生，有30種不同的選法；第3類，從高三(3)班女生中選出1名學(xué)生，有20種不同的選法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)生活部部長，共有30＋30＋20＝80(種)不同的選法.反思感悟應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理應(yīng)注意如下問題(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事，完成這件事可以有哪些方法，怎樣才算是完成這件事.(2)無論哪類方案中的哪種方法都可以獨(dú)立完成這件事，而不需要再用到其他的方法，即各類方法之間是互斥的，并列的，獨(dú)立的.3、用前6個(gè)大寫英文字母和1～9九個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字,以A1，A2，···，B1，B2，···的方式給教室里的座位編號，總共能編出多少個(gè)不同的號碼？先選定一個(gè)字母，后確定一個(gè)數(shù)字.四、思考字母

數(shù)字得到的號碼A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A9樹形圖6×9＝54探究：你能說說這個(gè)問題的特征嗎？

完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m

種不同的方法，做第2步有n

種不同的方法，那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法。五、分步乘法計(jì)數(shù)原理(2)首先要根據(jù)具體問題的特點(diǎn)確定一個(gè)分步的標(biāo)準(zhǔn)，然后對每步方法計(jì)數(shù).(1)各個(gè)步驟相互依存,只有各個(gè)步驟都完成了,這件事才算完成,將各個(gè)步驟的方法數(shù)相乘得到完成這件事的方法總數(shù),又稱乘法原理說明例2、如圖,由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條。從A村經(jīng)B村去C村，共有多少種不同的走法?A村B村C村北南中北南

分析:

從A村經(jīng)B村去C村有2步,

第一步,由A村去B村有3種方法,

第二步,由B村去C村有2種方法,所以，從A村經(jīng)B村去C村共有3×2=6種不同的方法。跟蹤訓(xùn)練2

如圖，甲地到乙地有3條公路可走，從乙地到丙地有2條公路可走，從甲地不經(jīng)過乙地到丙地有2條水路可走.從甲地到丙地共有多少種不同的走法？解要從甲地到丙地共有兩類不同的方案：第1類，從甲地經(jīng)乙地到丙地，共需兩步完成：第1步，從甲地到乙地，有3條公路可走；第2步，從乙地到丙地，有2條公路可走.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，從甲地經(jīng)乙地到丙地有3×2＝6(種)不同的走法.第2類，從甲地不經(jīng)乙地到丙地，有2條水路可走，即有2種不同的走法.由分類加法計(jì)數(shù)原理知，從甲地到丙地共有6＋2＝8(種)不同的走法.例3

已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的點(diǎn)(a，b∈M).問：(1)P(a，b)可表示平面上多少個(gè)不同的點(diǎn)？解確定平面上的點(diǎn)P(a，b)可分兩步完成：第一步，確定a的值，共有6種方法；第二步，確定b的值，也有6種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到平面上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是6×6＝36.(2)P(a，b)可表示平面上多少個(gè)第二象限的點(diǎn)？解確定第二象限的點(diǎn)，可分兩步完成：第一步，確定a，由于a<0，所以有3種不同的確定方法；第二步，確定b，由于b>0，所以有2種不同的確定方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到第二象限點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3×2＝6.推廣：完成一件事，需要分成n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法……，做第n步有mn種不同的方法.那么完成這件事共有種不同的方法.準(zhǔn)確分步，步驟完整例3、喀什市的部分電話號碼是0663293××××,后面每個(gè)數(shù)字來自0～9這10個(gè)數(shù),問可以產(chǎn)生多少個(gè)不同的電話號碼?變式:

若要求最后4個(gè)數(shù)字不重復(fù),則又有多少種不同的電話號碼?066329310×10×10×10=104分析:分析:10×9×8×7=5040反思感悟利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的一般思路(1)分步：將完成這件事的過程分成若干步.(2)計(jì)數(shù)：求出每一步中的方法數(shù).(3)結(jié)論：將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結(jié)果.分類計(jì)數(shù)與分步計(jì)數(shù)原理的區(qū)別和聯(lián)系：

加法原理

乘法原理聯(lián)系區(qū)別1完成一件事情共有n類辦法，關(guān)鍵詞是“分類”完成一件事情,共分n個(gè)步驟，關(guān)鍵詞是“分步”區(qū)別2每類辦法都能獨(dú)立完成這件事情。每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立完成這件事情。缺少任何一步也不能完成這件事情，只有每個(gè)步驟完成了，才能完成這件事情。分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理，回答的都是關(guān)于完成一件事情的不同方法的種數(shù)的問題。區(qū)別3各類辦法是互斥的、并列的、獨(dú)立的各步之間是相關(guān)聯(lián)的例4、書架上第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書,第2層放有3本不同的文藝書,第3層放有2本不同的體育雜志.(2)從書架的第1、2、3層各取1本書,有多少種不同取法?N＝4＋3+2＝9N＝4×3×2＝24(1)從書架上任取1本書,有多少種不同的取法?(3)從書架上任取兩本不同學(xué)科的書，有多少種不同的取法？N＝4×3+4×2+3×2＝26練習(xí)2、設(shè)某班有男生30名，女生24名。(1)從中選出一名，代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法？(2)從中選出男、女生各一名，代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法？30+24＝5430×24＝720練習(xí)3、從甲地到乙地有2條路，從乙地到丁地有3條路；從甲地到丙地有4條路可以走，從丙地到丁地有2條路。從甲地到丁地共有多少種不同地走法？甲地丙地丁地乙地N1=2×3=6N2=4×2=8N=N1+N2=14例5、要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，若分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，則共有多少種不同的掛法？思考：若要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，則有多少種不同的選法？甲-乙，甲-丙，乙-丙解：從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個(gè)步驟完成：第1步，從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法；第2步，從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是N=3×2=6.1、8本不同的書，任選3本分給3個(gè)同學(xué)，每人1本，有多少種不同的分法？2、將4封信投入3個(gè)不同的郵筒，有多少種不同的投法？3、已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}則方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示不同的圓的個(gè)數(shù)有多少？課堂練習(xí)8×7×6=3363×3×3×3=813×4×2=244、已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c.若a,b,c∈{-3,-2,0,1,2,3}則可以得到多少個(gè)不同的二次函數(shù)？其中圖象過原點(diǎn)的二次函數(shù)有多少個(gè)？圖象過原點(diǎn)且頂點(diǎn)在第一象限的二次函數(shù)又有多少個(gè)？5×6×6=1805×6=302×3=6課堂練習(xí)三、兩個(gè)原理的綜合應(yīng)用例4

現(xiàn)有5幅不同的國畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫.(1)從中任選一幅畫布置房間，有幾種不同的選法？解分為三類：從國畫中選，有5種不同的選法；從油畫中選，有2種不同的選法；從水彩畫中選，有7種不同的選法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有5＋2＋7＝14(種)不同的選法.(2)從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間，有幾種不同的選法？解分為三步：國畫、油畫、水彩畫各有5種，2種，7種不同的選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有5×2×7＝70(種)不同的選法.(3)從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間，有幾種不同的選法？解分為三類：第一類是一幅選自國畫，一幅選自油畫，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，有5×2＝10(種)不同的選法；第二類是一幅選自國畫，一幅選自水彩畫，有5×7＝35(種)不同的選法；第三類是一幅選自油畫，一幅選自水彩畫，有2×7＝14(種)不同的選法.所以共有10＋35＋14＝59(種)不同的選法.反思感悟使用兩個(gè)原理的原則使用兩個(gè)原理解題時(shí)，一定要從“分類”“分步”的角度入手，“分類”是對于較復(fù)雜應(yīng)用問題的元素分成互相排斥的幾類，逐類解決，用分類加法計(jì)數(shù)原理；“分步”就是把問題分化為幾個(gè)互相關(guān)聯(lián)的步驟，然后逐步解決，這時(shí)可用分步乘法計(jì)數(shù)原理.3隨堂演練PARTTHREE123451.從A地到B地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，如果一天內(nèi)汽車發(fā)3次，火車發(fā)4次，輪船發(fā)2次，那么一天內(nèi)乘坐這三種交通工具的不同走法數(shù)為A.1＋1＋1＝3 B.3＋4＋2＝9C.3×4×2＝24 D.以上都不對√2.從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中選出一人主持本班一次班會(huì)，則不同的選法種數(shù)為A.6 B.5 C.3 D.212345√123453.現(xiàn)有四件不同款式的上衣與三條不同顏色的長褲，如果選一條長褲與一件上衣配成一套，那么不同的選法種數(shù)為A.7 B.64 C.12 D.81√4.用1,2,3這三個(gè)數(shù)字能寫出____個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的兩位偶數(shù).123452123455.一個(gè)袋子里放有6個(gè)球，另一個(gè)袋子里放有8個(gè)球，每個(gè)球各不相同，從兩個(gè)袋子里各取一個(gè)球，共有_____種不同的取法.48課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE1.知識(shí)清單：(1)分類加法計(jì)數(shù)原理.(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理.2.方法歸納：分類討論.3.常見誤區(qū)：“分類”與“分步”不清，導(dǎo)致計(jì)數(shù)錯(cuò)誤.4課時(shí)對點(diǎn)練PARTFOUR1.某同學(xué)從4本不同的科普雜志，3本不同的文摘雜志，2本不同的娛樂新聞雜志中任選一本閱讀，則不同的選法共有A.24種

B.9種

C.3種

D.26種解析不同的雜志本數(shù)為4＋3＋2＝9，從其中任選一本閱讀，共有9種選法.基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√2.圖書館的書架有3層，第1層有3本不同的數(shù)學(xué)書，第2層有5本不同的語文書，第3層有8本不同的英語書，現(xiàn)從中任取1本書，則不同的取法共有A.120種

B.16種

C.64種

D.39種12345678910111213141516√解析由于書架上有3＋5＋8＝16(本)書，則從中任取1本書，共有16種不同的取法.3.已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，則(x，y)可表示不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是A.1 B.3 C.6 D.912345678910111213141516解析這件事可分為兩步完成：第一步，在集合{2,3,7}中任取一個(gè)值x有3種方法；第二步，在集合{－31，－24，4}中任取一個(gè)值y有3種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知，有3×3＝9個(gè)不同的點(diǎn).√4.從集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取兩個(gè)互不相等的數(shù)a，b組成復(fù)數(shù)a＋bi，其中虛數(shù)有A.30個(gè)

B.42個(gè)

C.36個(gè)

D.35個(gè)12345678910111213141516√解析要完成這件事可分兩步，第一步確定b(b≠0)，有6種方法，第二步確定a，有6種方法，故由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有6×6＝36(個(gè))虛數(shù).123456789101112131415165.滿足a，b∈{－1,0,1,2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的有序?qū)崝?shù)對(a，b)的個(gè)數(shù)為A.14 B.13 C.12 D.10√解析由已知得ab≤1.當(dāng)a＝－1時(shí)，b＝－1,0,1,2，有4種可能；當(dāng)a＝0時(shí)，b＝－1,0,1,2，有4種可能；當(dāng)a＝1時(shí)，b＝－1,0,1，有3種可能；當(dāng)a＝2時(shí)，b＝－1,0，有2種可能.∴共有(a，b)的個(gè)數(shù)為4＋4＋3＋2＝13.123456789101112131415166.一個(gè)禮堂有4個(gè)門，若從任一個(gè)門進(jìn)，從任一個(gè)門出，共有不同走法____種.16解析由分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有4×4＝16(種)走法.123456789101112131415167.若在如圖1的電路中，只合上一個(gè)開關(guān)可以接通電路，有____種不同的方法；在如圖2的電路中，合上兩個(gè)開關(guān)可以接通電路，有____種不同的方法.5612345678910111213141516解析對于圖1，按要求接通電路，只要在A中的兩個(gè)開關(guān)或B中的三個(gè)開關(guān)中合上一個(gè)即可，故有2＋3＝5(種)不同的方法.對于圖2，按要求接通電路必須分兩步進(jìn)行：第一步，合上A中的一個(gè)開關(guān)；第二步，合上B中的一個(gè)開關(guān)，故有2×3＝6(種)不同的方法.8.用1,2,3這3個(gè)數(shù)字可寫出沒有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)有____個(gè).1234567891011121314151615解析分三類：第一類為一位整數(shù)，有3個(gè)；第二類為兩位整數(shù)，有12,13,21,23,31,32，共6個(gè)；第三類為三位整數(shù)，有123,132,213,231,312,321，共6個(gè).∴可寫出沒有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)有3＋6＋6＝15(個(gè)).1