第14頁（共14頁）2025-2026學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)北師大版（2019）期末必刷?？碱}之對數(shù)的概念一．選擇題（共6小題）1．當(dāng)陽光射入海水后，海水中的光照強(qiáng)度隨著深度增加而減弱，可用ID=I0e-KD表示其總衰減規(guī)律，其中K是消光系數(shù)，D（單位：米）是海水深度，ID（單位：坎德拉）和I0（單位：坎德拉）分別表示在深度D（參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.7，ln5≈1.6）A．0.2 B．0.18 C．0.15 D．0.142．荀子《勸學(xué)》中說：“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海．”所以說學(xué)習(xí)是日積月累的過程，每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，前進(jìn)不止一小點(diǎn)．我們可以把（1+1%）365看作是每天的“進(jìn)步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.7834；而把（1﹣1%）365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.0255．若“進(jìn)步”的值是“退步”的值的100倍，大約經(jīng)過（）天（參考數(shù)據(jù)：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956）A．200天 B．210天 C．220天 D．230天3．歷史上數(shù)學(xué)計(jì)算方面的三大發(fā)明分別是阿拉伯?dāng)?shù)字、十進(jìn)制和對數(shù)，其中對數(shù)的發(fā)明大大縮短了計(jì)算時(shí)間，為人類進(jìn)行科學(xué)研究和了解自然起了重大作用，對數(shù)運(yùn)算對估算“天文數(shù)字”具有獨(dú)特的優(yōu)勢．已知lg2≈0.301，lg5≈0.699，則2.51051的估算值為（）A．10418 B．10419 C．10420 D．104214．已知a，b∈R，則“b＝ea”是“a＝lnb”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件5．如圖，假定兩點(diǎn)P，Q以相同的初速度運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)Q沿直線CD做勻速運(yùn)動(dòng)，CQ＝x；點(diǎn)P沿線段AB（長度為107單位）運(yùn)動(dòng)，它在任何一點(diǎn)的速度值等于它尚未經(jīng)過的距離（PB＝y(tǒng)）．令P與Q同時(shí)分別從A，C出發(fā)，那么，定義x為y的納皮爾對數(shù)，用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)符號(hào)表示x與y的對應(yīng)關(guān)系就是y=107(1eA．ln2 B．ln3 C．ln32 D6．某食品的保鮮時(shí)間y（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)藏溫度x（單位：℃）滿足函數(shù)關(guān)系y＝ekx+b（e＝2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù)）．若該食品在30℃的保鮮時(shí)間是18小時(shí)，在20℃的保鮮時(shí)間是36小時(shí)，則該食品在0℃的保鮮時(shí)間是（）A．54小時(shí) B．72小時(shí) C．108小時(shí) D．144小時(shí)二．多選題（共3小題）（多選）7．若實(shí)數(shù)a，b滿足2a＝3b＝6，則（）A．1a+1b=1 B．logabC．a(chǎn)＞b D．a(chǎn)a＞ab＞bb（多選）8．已知x，y∈R，且12x＝3，12y＝4，則（）A．y＞x B．x+y＞1 C．xy＜14 （多選）9．已知3a＝5b＝15，則下列結(jié)論正確的是（）A．lga＞lgb B．a(chǎn)+b＝ab C．(12)a＞(12三．填空題（共4小題）10．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足9a＝24b＝c且1a+1b=3，則c＝11．關(guān)于x的方程ex＝2的解為．12．若log2x＝3，則實(shí)數(shù)x的值為．13．已知f（x）＝3x，則f（log32）＝．四．解答題（共2小題）14．將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化：（1）ea＝16；（2）64（3）log39＝2；（4）logxy＝z（x＞0且x≠1，y＞0）．15．把下列對數(shù)式寫成指數(shù)式：（1）log39＝2；（2）log5125＝3；（3）log214=-2；（4）log31

2025-2026學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)北師大版（2019）期末必刷常考題之對數(shù)的概念參考答案與試題解析一．選擇題（共6小題）題號(hào)123456答案CDAADD二．多選題（共3小題）題號(hào)789答案ACDACDABD一．選擇題（共6小題）1．當(dāng)陽光射入海水后，海水中的光照強(qiáng)度隨著深度增加而減弱，可用ID=I0e-KD表示其總衰減規(guī)律，其中K是消光系數(shù)，D（單位：米）是海水深度，ID（單位：坎德拉）和I0（單位：坎德拉）分別表示在深度D（參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.7，ln5≈1.6）A．0.2 B．0.18 C．0.15 D．0.14【考點(diǎn)】指數(shù)式與對數(shù)式的互化．【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】理解題意，代值后，將指數(shù)式化成對數(shù)式，取近似值計(jì)算即得．【解答】解：某海域6米深處的光強(qiáng)是海面光強(qiáng)的40%，依題意得，ID化成對數(shù)式，-6則該海域消光系數(shù)K的值約為K≈0.15．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查指數(shù)式、對數(shù)式互化等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．荀子《勸學(xué)》中說：“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海．”所以說學(xué)習(xí)是日積月累的過程，每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，前進(jìn)不止一小點(diǎn)．我們可以把（1+1%）365看作是每天的“進(jìn)步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.7834；而把（1﹣1%）365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.0255．若“進(jìn)步”的值是“退步”的值的100倍，大約經(jīng)過（）天（參考數(shù)據(jù)：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956）A．200天 B．210天 C．220天 D．230天【考點(diǎn)】指數(shù)式與對數(shù)式的互化．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)題意可列出方程100×0.99x＝1.01x，求解即可，【解答】解：設(shè)經(jīng)過x天“進(jìn)步“的值是“退步”的值的100倍．則100×0.99x＝1.01x，即（1.010.99）x＝100∴x＝log1.010.99100=lg故選：D．【點(diǎn)評】本題考查利用對數(shù)函數(shù)解決問題，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．3．歷史上數(shù)學(xué)計(jì)算方面的三大發(fā)明分別是阿拉伯?dāng)?shù)字、十進(jìn)制和對數(shù)，其中對數(shù)的發(fā)明大大縮短了計(jì)算時(shí)間，為人類進(jìn)行科學(xué)研究和了解自然起了重大作用，對數(shù)運(yùn)算對估算“天文數(shù)字”具有獨(dú)特的優(yōu)勢．已知lg2≈0.301，lg5≈0.699，則2.51051的估算值為（）A．10418 B．10419 C．10420 D．10421【考點(diǎn)】指數(shù)式與對數(shù)式的互化；對數(shù)運(yùn)算求值．【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解．【解答】解：因?yàn)閘g2≈0.301，lg5≈0.699，所以lg2.51051＝1051lg2.5＝1051（lg5﹣lg2）≈1051×（0.699﹣0.301）≈418，所以2.51051≈10418．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．已知a，b∈R，則“b＝ea”是“a＝lnb”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【考點(diǎn)】指數(shù)式與對數(shù)式的互化．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；簡易邏輯；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)式和對數(shù)式以及充分、必要條件等知識(shí)來確定正確答案．【解答】解：因?yàn)閎＝ea?a＝lnb，所以“b＝ea”是“a＝lnb”的充要條件．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查充分必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．5．如圖，假定兩點(diǎn)P，Q以相同的初速度運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)Q沿直線CD做勻速運(yùn)動(dòng)，CQ＝x；點(diǎn)P沿線段AB（長度為107單位）運(yùn)動(dòng)，它在任何一點(diǎn)的速度值等于它尚未經(jīng)過的距離（PB＝y(tǒng)）．令P與Q同時(shí)分別從A，C出發(fā)，那么，定義x為y的納皮爾對數(shù)，用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)符號(hào)表示x與y的對應(yīng)關(guān)系就是y=107(1eA．ln2 B．ln3 C．ln32 D【考點(diǎn)】指數(shù)式與對數(shù)式的互化．【專題】應(yīng)用題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)建模．【答案】D【分析】易知，它們的初速度相等，故Q點(diǎn)的速度為107，然后可以根據(jù)y=107(1e)x【解答】解：由題意，P點(diǎn)初始速度107即為Q點(diǎn)的速度．當(dāng)P在靠近A點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)：23×107當(dāng)P在二等分點(diǎn)時(shí)：12×107=107(所以經(jīng)過的時(shí)間為：[10故選：D．【點(diǎn)評】本題考查對數(shù)的計(jì)算和指數(shù)式和對數(shù)式的互化，要注意對題意的準(zhǔn)確理解．屬于基礎(chǔ)題．6．某食品的保鮮時(shí)間y（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)藏溫度x（單位：℃）滿足函數(shù)關(guān)系y＝ekx+b（e＝2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù)）．若該食品在30℃的保鮮時(shí)間是18小時(shí)，在20℃的保鮮時(shí)間是36小時(shí)，則該食品在0℃的保鮮時(shí)間是（）A．54小時(shí) B．72小時(shí) C．108小時(shí) D．144小時(shí)【考點(diǎn)】指數(shù)式與對數(shù)式的互化．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】將兩組數(shù)據(jù)代入解析式，利用指對互化和對數(shù)的運(yùn)算法則求出k和b的值，令x＝0，求解即可．【解答】解：由題意，可得18=e即30k+b即食品的保鮮時(shí)間y與儲(chǔ)藏溫度x滿足y=令x＝0，可得y＝e2ln12＝144，所以該食品在0℃的保鮮時(shí)間是144小時(shí)．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查指、對數(shù)的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．二．多選題（共3小題）（多選）7．若實(shí)數(shù)a，b滿足2a＝3b＝6，則（）A．1a+1b=1 B．logabC．a(chǎn)＞b D．a(chǎn)a＞ab＞bb【考點(diǎn)】指數(shù)式與對數(shù)式的互化；對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】利用指數(shù)式與對數(shù)式的互化結(jié)合對數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、冪函數(shù)數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．【解答】解：對于A，因?yàn)?a＝3b＝6，所以b＝log36，a＝log26，1a+1對于B，C，由已知得，a＝log26＞b＝log36＞1，所以logba＞1＞logab，B錯(cuò)誤，C正確；對于D，因?yàn)閍＞b＞1，f（x）＝ax單調(diào)遞增，所以f（a）＝aa＞f（b）＝ab，又g（x）＝xb在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（a）＝ab＞g（b）＝bb，故aa＞ab＞bb，D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評】本題主要考查對數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)、指數(shù)式與對數(shù)式互化，屬于中檔題．（多選）8．已知x，y∈R，且12x＝3，12y＝4，則（）A．y＞x B．x+y＞1 C．xy＜14 【考點(diǎn)】指數(shù)式與對數(shù)式的互化；對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；有理數(shù)指數(shù)冪及根式．【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】由已知結(jié)合指數(shù)及對數(shù)的轉(zhuǎn)化及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)檢驗(yàn)選項(xiàng)A；結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)檢驗(yàn)選項(xiàng)B；結(jié)合基本不等式檢驗(yàn)選項(xiàng)C，D即可．【解答】解：因?yàn)?2x＝3，所以x＝log123，因?yàn)?2y＝4，所以y＝log124，則y＞x，A正確；x+y＝log1212＝1，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)閤＞0，y＞0，xy≤(x+y2)2=14，當(dāng)x(x+y)2故選：ACD．【點(diǎn)評】本題主要考查了指數(shù)與對數(shù)的轉(zhuǎn)化公式，還考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．（多選）9．已知3a＝5b＝15，則下列結(jié)論正確的是（）A．lga＞lgb B．a(chǎn)+b＝ab C．(12)a＞(12【考點(diǎn)】指數(shù)式與對數(shù)式的互化．【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯思維．【答案】ABD【分析】根據(jù)指對互化與運(yùn)算以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可判斷ABC，利用基本不等式即可判斷D．【解答】解：由題可得a＝log315＞log33＝1＞0，b＝log515＞log55＝1＞0．∴0＜1a=log153＜對于A，因?yàn)閍＞b＞0，所以lga＞lgb，故A正確；對于B，∵1a+1b=log153+對于C，因?yàn)閍＞b＞0，所以(12)對于D，因?yàn)閍＞b＞0，1a所以a+4當(dāng)且僅當(dāng)4ba=ab，即a＝2b時(shí)等號(hào)成立，這與已知3a＝5b矛盾，所以a+4b故選：ABD．【點(diǎn)評】本題考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）10．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足9a＝24b＝c且1a+1b=3，則c＝【考點(diǎn)】指數(shù)式與對數(shù)式的互化．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】6．【分析】利用指數(shù)與對數(shù)的換算結(jié)合換底公式計(jì)算即可．【解答】解：∵實(shí)數(shù)a，b，c滿足9a＝24b＝c，∴c＞0，a＝log9c，b＝log24c，∴1a+1b=lo∴c＝6．故答案為：6．【點(diǎn)評】本題考查對數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．11．關(guān)于x的方程ex＝2的解為ln2．【考點(diǎn)】指數(shù)式與對數(shù)式的互化．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】ln2．【分析】根據(jù)對數(shù)運(yùn)算得解．【解答】解：由ex＝2，可得x＝ln2，故答案為：ln2．【點(diǎn)評】本題主要考查指數(shù)式與對數(shù)式的互化，屬于基礎(chǔ)題．12．若log2x＝3，則實(shí)數(shù)x的值為8．【考點(diǎn)】對數(shù)的概念．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】8．【分析】把對數(shù)化為指數(shù)即可．【解答】解：log2x＝3，x＝23＝8．故答案為：8．【點(diǎn)評】本題考查了對數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題．13．已知f（x）＝3x，則f（log32）＝2．【考點(diǎn)】指數(shù)式與對數(shù)式的互化．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)指數(shù)恒等式，直接代入即可求解．【解答】解：∵f（x）＝3x，∴f（log32）＝3log32＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評】本題主要考查指數(shù)和對數(shù)的基本運(yùn)算，要求熟練掌握指數(shù)恒等式的計(jì)算．四．解答題（共2小題）14．將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化：（1）ea＝16；（2）64（3）log39＝2；（4）logxy＝z（x＞0且x≠1，y＞0）．【考點(diǎn)】指數(shù)式與對數(shù)式的互化；對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）a＝ln16；（2）log6414=-13；（3）32＝9；（4）x【分析】根據(jù)題意把指數(shù)化為對數(shù)，把對數(shù)化為指數(shù)即可．【解答】解：（1）ea＝16，化為對數(shù)：a＝ln16；（2）64-13=（3）log39＝2，化為指數(shù)：32＝9；（4）logxy＝z，化為指數(shù)：xz＝y(tǒng)．【點(diǎn)評】本題考查了指數(shù)與對數(shù)的互化問題，是基礎(chǔ)題．15．把下列對數(shù)式寫成指數(shù)式：（1）log39＝2；（2）log5125＝3；（3）log214=-2；（4）log31【考點(diǎn)】指數(shù)式與對數(shù)式的互化．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】若logaN＝b，則ab＝N；由此可以把對數(shù)式寫成指數(shù)式．【解答】解：（1）32＝9；（2）53＝125；（3）2-（4）3-【點(diǎn)評】本題考查指數(shù)式和對數(shù)式的互化，解題時(shí)要注意logaN＝b?ab＝N．

考點(diǎn)卡片1．有理數(shù)指數(shù)冪及根式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：amn=nam（a＞0，m，n∈Na-mn=1amn=1nam（a＞0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義有理數(shù)指數(shù)冪（1）冪的有關(guān)概念：①正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：amn=nam（a＞0，m，n∈N②負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a-mn=1amn=1nam（a＞③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義．（2）有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)：①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．【解題方法點(diǎn)撥】例1：下列計(jì)算正確的是（）A、（﹣1）0＝﹣1B、aa=aC、4(-3)4=3D、(ax)2a2分析：直接由有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡求值，然后逐一核對四個(gè)選項(xiàng)得答案．解：∵（﹣1）0＝1，∴A不正確；∵$\sqrt{a\sqrt{a}}＝\sqrt{a?{a}^{\frac{1}{2}}}＝\sqrt{{a}^{\frac{3}{2}}}＝{a}^{\frac{3}{4}}＝\root{4}{{a}^{3}}$，∴B不正確；∵$\root{4}{（﹣3）^{4}}＝\root{4}{{3}^{4}}＝3$，∴C正確；∵$\frac{（{a}^{x}）^{2}}{{a}^{2}}＝\frac{{a}^{2x}}{{a}^{2}}＝{a}^{2x﹣2}$∴D不正確．故選：C．點(diǎn)評：本題考查了根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化，考查了有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．例1：若a＞0，且m，n為整數(shù)，則下列各式中正確的是（）A、${a^m}÷{a^n}＝{a^{\frac{m}{n}}}$B、am?an＝am?nC、（am）n＝am+nD、1÷an＝a0﹣n分析：先由有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，先分別判斷四個(gè)備選取答案，從中選取出正確答案．解：A中，am÷an＝am﹣n，故不成立；B中，am?an＝am+n≠am?n，故不成立；C中，（am）n＝am?n≠am+n，故不成立；D中，1÷an＝a0﹣n，成立．故選：D．點(diǎn)評：本題考查有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，解題時(shí)要熟練掌握基本的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)．2．對數(shù)的概念【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．對數(shù)的定義如果ax＝N（a＞0且a≠1），那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其