1.4.3一元二次不等式的應(yīng)用第

一

章

預(yù)

備

知

識北師大版必修第一冊學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用.2.會解一元二次不等式的恒成立問題.上一節(jié)關(guān)于“剎車距”的問題：剎車距s(

單

位m)

與車速x

(

單

位km/h)之間有函數(shù)關(guān)系：s=0.005x2+0.05x

乙車的剎車距超過10m,

道路限速40km/h,

這輛車是否超速?提

示：由題意，列出不等式0.005x2+0.05x>10,解得x<-50(

舍

去

)

或x>40該車超速!例

5

某農(nóng)家院有客房20間，日常每間客房日租金為80元，每天都客滿.該農(nóng)家院欲提高檔次，并提高租金.經(jīng)市場調(diào)研，每間客房日租金每增加10元，客房出租數(shù)就會減少1間.每間

客房日租金不得超過130元，要使每天客房的租金總收入不低于1800元，該農(nóng)家院每間客房日租金提高的空間有多大?解：設(shè)每間客房日租金提高

x個(gè)10元，即每間客房日租金提高到(80+10x)

元

，

則客房出租數(shù)減少

x(x∈N)間，此時(shí)客房的租金總收入為(80+10x)(20-x)元又因?yàn)槊刻炜头康淖饨鹂偸杖氩坏陀?800元，所以(80+10x)(20-x)≥1800

化簡，得

x2-12x+20≤0

解得2≤x≤10由題意可知：每間客房日租金不得超過130元，即80+10x≤130,

所以x≤5因此，x=2,3,4,5,該農(nóng)家院每間客房日租金提高的空間是20元，30元，40元，50元.例

6

為鼓勵大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市出臺了相關(guān)政策：由政府協(xié)調(diào)，本市企業(yè)按成本價(jià)提供產(chǎn)品給大學(xué)畢業(yè)生自主銷售，成本價(jià)與出廠價(jià)之間的差價(jià)由政府承擔(dān).大學(xué)畢業(yè)生袁陽按照

相關(guān)政策投資銷售本市生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈.已知這種節(jié)能燈的成本價(jià)為每件10元，出廠

價(jià)為每件12元，每月的銷售量

y(單位：件)與銷售單價(jià)x

(單位：元)之間的關(guān)系近似滿

足一次函數(shù)：y=-10x+500.(1)設(shè)袁陽每月獲得的利潤為w

(單位：元),寫出每月獲得的利潤w

與銷售單價(jià)

x的函

數(shù)關(guān)系

.解(1

)依題意可知每件的銷售利潤為

(x-10)

元，每月的銷售量為(

-

1

0x+500)件，所以每月獲得的利潤w

與銷售單價(jià)x的函數(shù)

關(guān)系為w=(x-10)(-10x+500)(10≤x≤50).例

6

為鼓勵大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市出臺了相關(guān)政策：由政府協(xié)調(diào)，本市企業(yè)按成本價(jià)提供產(chǎn)品給大學(xué)畢業(yè)生自主銷售，成本價(jià)與出廠價(jià)之間的差價(jià)由政府承擔(dān).大學(xué)畢業(yè)生袁陽按照

相關(guān)政策投資銷售本市生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈.已知這種節(jié)能燈的成本價(jià)為每件10元，出廠

價(jià)為每件12元，每月的銷售量

y(單位：件)與銷售單價(jià)x

(單位：元)之間的關(guān)系近似

滿足一次函數(shù)：y=-10x+500.(2)物價(jià)部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價(jià)不得高于25元.如果袁陽想要每月獲得的利潤不小于3000元，那么政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)的取值范圍是多少?解

(2)

由每月獲得的利潤不小于3000元，得

(x-10)(-10x+500)≥3000.化簡，得x2-60x+800≤0解得20≤x≤40.又因?yàn)檫@種節(jié)能燈的銷售單價(jià)不

得高于25元，所以

20≤x≤25設(shè)政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為

p元，則p=(12-10)(-10x+500)=-20x+1000.

由20≤x≤25,

得500≤-20x+1000≤600.故政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)的取值范圍為[500,600]元.利用不等式解決實(shí)際問題的一般步驟如下：(1)選取合適的字母表示題中的未知數(shù)；(2)由題中給出的不等關(guān)系，列出關(guān)于未知數(shù)的不等式(組);(3)求解所列出的不等式(組);(4)結(jié)合題目的實(shí)際意義確定答案.不等式恒成立問題思考：如何解不等式恒成立問題，不等式恒成立與哪些因素有美?[1]一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0),

對任意實(shí)數(shù)x恒成立的條件是：開口向上且與x軸無交點(diǎn)不等式恒成立問題[2]一元二次不等式ax2+bx+c≥0(a≠0),對任意實(shí)數(shù)x恒成立的條件是：△≤0開口向上且與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn)不等式恒成立問題[3]一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0),對任意實(shí)數(shù)x

恒成立的條件是：開口向下且與x軸無交點(diǎn)<不等式恒成立問題[4]一元二次不等式

ax2+bx+c≤0(a≠0),對任意實(shí)數(shù)x恒成立的條件是：開口向下且與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn)例題鞏例7:已知函數(shù)f(x)=(m+1)x2-(m-1)x+m-1,

若不等式f(x)<1的解集為

求m的取值范圍；解：根據(jù)題意，

,即m=-1

時(shí)

，f(x)=2x-2,

不合題意；當(dāng)m+1≠0,

即m≠-1

時(shí)

，f(x)<1的解集為R,

即(m+1)x2-(m-1)x+m-2<0的解集為R,

即

故m<-1

時(shí)，

或.所以1.某種雜志原以每本3元的價(jià)格銷售，可以售出10萬本.根據(jù)市場調(diào)查，雜志的單價(jià)每提高0.1元，銷售量就減少1000本.設(shè)每本雜志的定價(jià)為x

元，要使得提價(jià)后的銷

售總收入不低于42萬元，則x

應(yīng)滿足(

)A.6≤x≤7B.5≤x≤7C.5≤x≤6D.4≤x≤6答案

：A解析：設(shè)提價(jià)后雜志的定價(jià)設(shè)為x

元，則提價(jià)后的銷售量為：

1萬本，因?yàn)殇N售的總收入不低于42萬元，列不等式為即(x-6)(x-7)≤0,即6≤x≤7.2.”不等式mx2+x+m>0在

R

上恒成立“的m

的取值范圍()

B.0<m<1

D.m>1答案：A解析：關(guān)于x的不等式mx2+x+m>0在

R上恒成立，若m=0,即x>0,不合題意，若m≠0,

則,解得3.已知

mx2+mx+1≥0

對一切實(shí)數(shù)恒成立，則m的取值范圍是(

)A.0<m≤4B.0≤m≤1C.m≥4D.O≤m≤4答案：D解析：當(dāng)m=0

時(shí)，1≥0,成立.

當(dāng)m≠0

時(shí)，需滿足所以0

<m≤4.綜

上

，O≤m≤4.4.已知不等式x2+ax+4<0

的解集為空集，則a

的取值范圍是(

)A.-4≤a≤4B.-4<a<4C.a≤-4或a≥4D.a<-4

或a>4答案：A解析：由不等式x2+ax+4<0

的解集為空集，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，則滿足△=a2-4×4≤0,解得-4≤a≤4.即實(shí)數(shù)a

的取值范圍是[-4,4].5.如圖，在長為8m,

寬

為

6m的矩形地面的四周種植花卉，中間種植草坪，如果要求草坪外側(cè)四周的花卉帶的寬度都相同，且草坪的面積不超過總面積的一半，則花卉帶的寬度至少應(yīng)為

m.花卉帶草坪花卉帶花卉帶花卉帶解析：設(shè)花卉帶的寬度為

x米，

,即所以

,故1≤x<3,所以花卉帶的寬度至少應(yīng)為1米.課堂練習(xí)答案

：16.一個(gè)小型服裝廠生產(chǎn)某種風(fēng)衣，月產(chǎn)量

x

(件)與售價(jià)p

(元/件)之間的關(guān)系為P=160-2x,

生產(chǎn)x件的成本為(500+30x)元

.(1)該廠的月產(chǎn)量為多少時(shí)，每月獲得的利潤不少于1300元?(2)當(dāng)月產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤?最大利潤是多少元?(注：假設(shè)生產(chǎn)的風(fēng)衣均能售出)答案：(1)當(dāng)月產(chǎn)量在20件至45件(包括20件和45件)之間時(shí)，月獲利不少于1300元.(2)當(dāng)月產(chǎn)量為32件或33件時(shí)，可獲得最大利潤，最大利潤為1612元.解析：(1)設(shè)該廠的月獲利為y

元，依題意得y=(160

2x)x-(500+30x)=-2x2+130x

500