§3.1.1橢圓及其標準方程（1）新人教A版普通高中教科書數(shù)學選擇性必修第一冊

古希臘人發(fā)現(xiàn)用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，可以得到不同的曲線，當圓錐的軸與截面所成的角不同時,可以得到不同的截口曲線,它們分別是橢圓、拋物線和雙曲線。

阿波羅尼斯在《圓錐曲線論》中將同一個圓錐被不同位置的平面所截得的曲線定義為圓錐曲線，即把橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線。橢圓拋物線雙曲線圓

問題2

歷史上，古希臘人曾經(jīng)用純幾何的方法研究圓錐曲線，但17世紀后，人們開始用坐標法研究圓錐曲線．你能猜測這些變化的大致原因嗎？

采用坐標法研究圓錐曲線的最大好處是可以程序化地、精確地計算．

追問：如果本章我們用坐標法來研究圓錐曲線，大家能在回顧用坐標法研究直線與圓的基礎(chǔ)上，猜想研究的大致思路與構(gòu)架嗎？

本章研究的基本思路：

現(xiàn)實背景—曲線的概念—曲線的方程—曲線的性質(zhì)—實際應用．

問題3

如果把細繩的兩端分別固定在圖板的兩點F1，F(xiàn)2，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？

追問1：在這一過程中，移動的筆尖（動點）滿足的幾何條件是什么？

移動的筆尖（動點）到兩定點F1，F(xiàn)2的距離和為繩長（定長）．

追問3：當動點到兩定點間距離和等于兩定點間的距離時動點的軌跡是什么？

追問2：當動點到兩定點間距離和與兩定點間距離的大小關(guān)系發(fā)生變化時動點的軌跡會發(fā)生什么變化？追問4：動點到兩定點間距離和能小于兩定點間的距離嗎？

問題4你能用精確的數(shù)學語言刻畫橢圓嗎？

我們把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于｜F1F2｜）的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距,，距的一半稱為半焦距．

問題5遵循解析幾何研究幾何圖形的內(nèi)在邏輯，在了解橢圓的概念后，我們下一步應該研究什么？

追問1：利用坐標法求橢圓方程的步驟是什么？

根據(jù)橢圓的幾何特征建立適當?shù)闹苯亲鴺讼怠鞔_橢圓上的點滿足的幾何條件—將幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)表示列出方程—化簡方程—檢驗方程．

追問2：橢圓是否具有某種對稱性？你能猜想出橢圓的對稱軸嗎？

追問4：如何選取坐標系可能使所得的橢圓方程形式簡單？

問題6

如何用坐標表示橢圓上點的所滿足的條件？

設(shè)M（x，y）是橢圓上任意一點，橢圓的焦距為2c（c＞0）那么焦點F1，F(xiàn)2的坐標分別為（－c，0），（c，0）.對方程③兩邊平方，得

a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2．整理，得（a2－c2）x2＋a2y2＝a2（a2－c2）．

④*問題10

觀察圖,你能從中找出表示a,b,c的線段嗎？由圖可知，F(xiàn)1F2M??xyO(x,y)

如圖示,若橢圓的焦點在x軸上,則橢圓的標準方程為其中焦點坐標為F1(－c,0),F2(c,0),c2＝a2－b2.F1F2P??xyOcab2.橢圓的標準方程:特征：方程的左邊是平方和，右邊是1，“像”直線方程的截距式標準方程：體現(xiàn)數(shù)學式子的簡潔美、對稱美，內(nèi)在的每一個字母a,b都賦予它深刻的含義，最能直觀體現(xiàn)參數(shù)幾何意義。探究新知問題11

如圖示,如果焦點F1,F2在y軸上,且F1,F2的坐標分別為(0,－c),(0,c),a,b的意義同上,那么橢圓的方程是什么?F1F2M??xyOF1F2M??xyO(x,y)(焦點在x軸上)(焦點在y軸上)探究新知定義焦點位置圖形方程特點共同點