§3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（1）新人教A版普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)

古希臘人發(fā)現(xiàn)用一個(gè)不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，可以得到不同的曲線，當(dāng)圓錐的軸與截面所成的角不同時(shí),可以得到不同的截口曲線,它們分別是橢圓、拋物線和雙曲線。

阿波羅尼斯在《圓錐曲線論》中將同一個(gè)圓錐被不同位置的平面所截得的曲線定義為圓錐曲線，即把橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱(chēng)為圓錐曲線。橢圓拋物線雙曲線圓

問(wèn)題2

歷史上，古希臘人曾經(jīng)用純幾何的方法研究圓錐曲線，但17世紀(jì)后，人們開(kāi)始用坐標(biāo)法研究圓錐曲線．你能猜測(cè)這些變化的大致原因嗎？

采用坐標(biāo)法研究圓錐曲線的最大好處是可以程序化地、精確地計(jì)算．

追問(wèn)：如果本章我們用坐標(biāo)法來(lái)研究圓錐曲線，大家能在回顧用坐標(biāo)法研究直線與圓的基礎(chǔ)上，猜想研究的大致思路與構(gòu)架嗎？

本章研究的基本思路：

現(xiàn)實(shí)背景—曲線的概念—曲線的方程—曲線的性質(zhì)—實(shí)際應(yīng)用．

問(wèn)題3

如果把細(xì)繩的兩端分別固定在圖板的兩點(diǎn)F1，F(xiàn)2，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，畫(huà)出的軌跡是什么曲線？

追問(wèn)1：在這一過(guò)程中，移動(dòng)的筆尖（動(dòng)點(diǎn)）滿(mǎn)足的幾何條件是什么？

移動(dòng)的筆尖（動(dòng)點(diǎn)）到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離和為繩長(zhǎng)（定長(zhǎng)）．

追問(wèn)3：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)間距離和等于兩定點(diǎn)間的距離時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么？

追問(wèn)2：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)間距離和與兩定點(diǎn)間距離的大小關(guān)系發(fā)生變化時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡會(huì)發(fā)生什么變化？追問(wèn)4：動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)間距離和能小于兩定點(diǎn)間的距離嗎？

問(wèn)題4你能用精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)橢圓嗎？

我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于｜F1F2｜）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距,，距的一半稱(chēng)為半焦距．

問(wèn)題5遵循解析幾何研究幾何圖形的內(nèi)在邏輯，在了解橢圓的概念后，我們下一步應(yīng)該研究什么？

追問(wèn)1：利用坐標(biāo)法求橢圓方程的步驟是什么？

根據(jù)橢圓的幾何特征建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系—明確橢圓上的點(diǎn)滿(mǎn)足的幾何條件—將幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)表示列出方程—化簡(jiǎn)方程—檢驗(yàn)方程．

追問(wèn)2：橢圓是否具有某種對(duì)稱(chēng)性？你能猜想出橢圓的對(duì)稱(chēng)軸嗎？

追問(wèn)4：如何選取坐標(biāo)系可能使所得的橢圓方程形式簡(jiǎn)單？

問(wèn)題6

如何用坐標(biāo)表示橢圓上點(diǎn)的所滿(mǎn)足的條件？

設(shè)M（x，y）是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的焦距為2c（c＞0）那么焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為（－c，0），（c，0）.對(duì)方程③兩邊平方，得

a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2．整理，得（a2－c2）x2＋a2y2＝a2（a2－c2）．

④*問(wèn)題10

觀察圖,你能從中找出表示a,b,c的線段嗎？由圖可知，F(xiàn)1F2M??xyO(x,y)

如圖示,若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為其中焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(－c,0),F2(c,0),c2＝a2－b2.F1F2P??xyOcab2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:特征：方程的左邊是平方和，右邊是1，“像”直線方程的截距式標(biāo)準(zhǔn)方程：體現(xiàn)數(shù)學(xué)式子的簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱(chēng)美，內(nèi)在的每一個(gè)字母a,b都賦予它深刻的含義，最能直觀體現(xiàn)參數(shù)幾何意義。探究新知問(wèn)題11

如圖示,如果焦點(diǎn)F1,F2在y軸上,且F1,F2的坐標(biāo)分別為(0,－c),(0,c),a,b的意義同上,那么橢圓的方程是什么?F1F2M??xyOF1F2M??xyO(x,y)(焦點(diǎn)在x軸上)(焦點(diǎn)在y軸上)探究新知定義焦點(diǎn)位置圖形方程特點(diǎn)共同點(diǎn)