13.3.1三角形的內(nèi)角（第1課時）人教版（2024）數(shù)學八年級上冊第十三章三角形1．經(jīng)歷探索并證明三角形內(nèi)角和定理的過程，發(fā)展幾何直觀和推理能力．2．能運用三角形的內(nèi)角和定理解決簡單問題．3.添加輔助線證明三角形的內(nèi)角和定理，規(guī)范表述推理論證的過程．學習目標

我們在小學就已經(jīng)知道，任意一個三角形的內(nèi)角和等于180°，你還記得是怎么發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論的嗎？請大家回憶小學時的學習經(jīng)驗，借助手中的三角形紙片進行探究．思考通過度量，剪圖、拼圖或折疊的方法，可以驗證三角形的內(nèi)角和等于180°．你們認為，通過這樣的方法獲得的結(jié)論具有信服力嗎？思考由于測量常常有誤差，這樣的驗證方法不能完全令人信服；同時，由于形狀不同的三角形有無數(shù)多個，我們手中的三角形只是所有三角形中有限的幾個，不可能用上述方法一一驗證所有三角形的內(nèi)角和都等于180°．因此，需要通過推理的方法去證明“任意一個三角形的內(nèi)角和一定等于180°”．根據(jù)下面的剪拼過程，你能受到啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)證明的思路嗎？問題1想一想，直線l與△ABC的邊BC有什么關(guān)系？直線l∥BC.BBlACABCC問題1由上述拼合過程得到啟發(fā)，過△ABC的頂點A作直線l平行于△ABC的邊BC，那么由平行線的性質(zhì)與平角的定義就能證明“三角形的內(nèi)角和等于180°”這個結(jié)論．試著寫出完整的證明過程BBlACABCC根據(jù)下面的剪拼過程，你能受到啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)證明的思路嗎？已知：△ABC．求證：∠A＋∠B＋∠C＝180°．ABC2l5413

證明：如圖，過點A作直線l，使l∥BC．∵l∥BC，

∴∠2＝∠4（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．同理∠3＝∠5．∵∠1，∠4，∠5組成平角，∴∠1＋∠4＋∠5＝180°（平角定義）．∴∠1＋∠2＋∠3＝180°（等量代換）．歸納以上我們就證明了任意一個三角形的內(nèi)角和都等于180°，得到如下定理．

三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180°．通過前面的證明過程，同學們受到了什么啟發(fā)？根據(jù)下面的剪拼過程，你能想出證明三角形內(nèi)角和定理的其他方法嗎？BACABABCl試著寫出完整的證明過程．已知：△ABC．求證：∠A＋∠B＋∠C＝180°．ABC25413l

證明：如圖，延長BC，過點C作直線l，使l∥AB．∵l∥AB，

∴∠1＝∠4（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．∠2＝∠5（兩直線平行，同位角相等）．∵∠3，∠4，∠5組成平角，∴∠3＋∠4＋∠5＝180°（平角定義）．∴∠1＋∠2＋∠3＝180°（等量代換）．

例1

如圖，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分線．求∠ADB的度數(shù)．

ACBD解：由∠BAC＝40°，AD

是△ABC

的角平分線，得∠BAD＝∠BAC＝20°．在△ABD中，∠ADB＝180°－∠BAD－∠B＝180°－20°－75°

＝85°．

例2

如圖是A，B，C三島的平面圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向．從B島看A，C兩島的視角∠ABC是多少度？從C島看A，B兩島的視角∠ACB呢？分析：A，B，C三島的連線構(gòu)成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一個內(nèi)角．如果能求出∠CAB，∠ABC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，就能求出∠ACB．CEBDA北北

解：∠CAB＝∠BAD－∠CAD＝80°－50°＝30°．

由

AD∥BE，得∠BAD＋∠ABE＝180°．

所以

∠ABE＝180°－∠BAD＝180°－80°＝100°，∠ABC＝∠ABE－∠CBE＝100°－40°＝60°．在△ABC中，∠ACB＝180°－∠ABC－∠CAB＝180°－60°－30°＝90°．

答：從B島看A，C兩島的視角∠ABC是60°，從C島看A，B

兩島的視角∠ACB

是90°．

CEBDA北北還能想到其他解法嗎？

解：如圖，過點

C作

CF∥AD，交

AB于

點F，則

CF∥BE．

由CF∥AD，得∠ACF＝∠CAD＝50°，

由CF∥BE，得∠BCF＝∠CBE＝40°，

所以∠ACB＝∠ACF＋∠BCF＝50°＋40°＝90°．

因為∠CAB＝∠BAD－∠CAD＝80°－50°＝30°，

所以∠ABC＝180°－∠ACB－∠CAB

＝180°－90°－30°＝60°．

答：從B島看A，C兩島的視角∠ABC是60°，從C島看A，B

兩島的視角∠ACB

是90°．

CEBDA北北F歸納求角度有技巧，一轉(zhuǎn)二計算（1）轉(zhuǎn)移：根據(jù)平行線的性質(zhì)，轉(zhuǎn)移已知角（或所求角）的位置．（2）計算：集中條件應(yīng)用三角形的內(nèi)角和定理計算角的度數(shù)．

A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形B2．如圖，將含30°角的三角尺的直角頂點放在直線a上，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，則∠3的度數(shù)為（）A．50°B．60°C．70°D．80°C3．如圖，AB∥CD，AD平分∠BAC，且∠C＝80°，則∠D的度數(shù)為（）A．50°B．60°C．70°D．100°A4．如圖，從A處觀測C處的仰角∠CAD＝30°，從B處觀測C處的仰角∠CBD＝55°，從C處觀測A，B兩處的視角∠ACB的度數(shù)是（）A．20°B．25°C．30°D．35°BCABD

5．如圖，從A處觀測C處的仰角∠CAD＝30°，從B處觀測C處的仰角∠CBD＝45°.從C處觀測A，B兩處的視角∠ACB是多少度？解：在△ACD中，∠ACD＝180°－(∠CAD＋∠D)＝180°－(30°＋90°)＝60°.在△BCD中，∠BCD＝180°－(∠CBD＋∠D)

＝180°－(45°＋90°)＝45°.所以∠ACB＝∠ACD－∠BCD＝60°－45°＝15°.

6．如圖，在△ABC中，∠A＝40°，求∠B＋∠C＋∠ADE＋∠AED的度數(shù).CABDE解：在△ADE中，∠ADE＋∠AED＝180

－∠A＝180°－40°＝1