湖南省岳陽市岳陽市屈原管理區(qū)2023-2024學年高三下學期高考二模數學試卷及答案考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.已知函數$f(x)=\ln(x+1)-x$，則函數的零點個數為：A.0B.1C.2D.無窮多個2.若$a>0$，$b>0$，$a+b=1$，則$\frac{1}{a}+\frac{1}$的最大值為：A.2B.$\frac{5}{2}$C.2$\sqrt{2}$D.$\frac{5}{2}\sqrt{2}$3.已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow=(2,-1)$，則$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow$的值為：A.3B.-3C.5D.-54.若$a,b$是方程$x^2-2ax+1=0$的兩個實根，則$a+b$的值為：A.2B.-2C.0D.15.已知數列$\{a_n\}$是等差數列，且$a_1=2$，$a_3=8$，則$a_5$的值為：A.14B.12C.10D.86.若函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$在區(qū)間$[0,2]$上的最大值為$M$，最小值為$m$，則$M+m$的值為：A.4B.6C.8D.107.若$a,b$是方程$x^2-4x+3=0$的兩個實根，則$a^2+b^2$的值為：A.7B.9C.11D.138.已知數列$\{a_n\}$是等比數列，且$a_1=2$，$a_3=16$，則$a_5$的值為：A.64B.32C.16D.89.若函數$f(x)=\ln(x+1)+x$在區(qū)間$[0,2]$上的最大值為$M$，最小值為$m$，則$M+m$的值為：A.4B.6C.8D.1010.已知數列$\{a_n\}$是等差數列，且$a_1=3$，$a_4=13$，則$a_7$的值為：A.27B.25C.23D.21二、填空題11.若函數$f(x)=\ln(x+1)-x$在區(qū)間$[0,2]$上的最大值為$M$，最小值為$m$，則$M+m$的值為______。12.若$a,b$是方程$x^2-4x+3=0$的兩個實根，則$a^2+b^2$的值為______。13.已知數列$\{a_n\}$是等比數列，且$a_1=2$，$a_3=16$，則$a_5$的值為______。14.若函數$f(x)=\ln(x+1)+x$在區(qū)間$[0,2]$上的最大值為$M$，最小值為$m$，則$M+m$的值為______。15.已知數列$\{a_n\}$是等差數列，且$a_1=3$，$a_4=13$，則$a_7$的值為______。三、解答題16.已知函數$f(x)=\ln(x+1)-x$，求函數的零點個數。17.若$a,b$是方程$x^2-4x+3=0$的兩個實根，求$a^2+b^2$的值。18.已知數列$\{a_n\}$是等比數列，且$a_1=2$，$a_3=16$，求$a_5$的值。19.若函數$f(x)=\ln(x+1)+x$在區(qū)間$[0,2]$上的最大值為$M$，最小值為$m$，求$M+m$的值。20.已知數列$\{a_n\}$是等差數列，且$a_1=3$，$a_4=13$，求$a_7$的值。四、解答題21.已知函數$f(x)=x^3-6x^2+9x$，求函數的極值。22.若$a,b$是方程$x^2-2ax+1=0$的兩個實根，證明$a^2+b^2=2a$。23.已知數列$\{a_n\}$是等比數列，且$a_1=3$，$a_3=24$，求公比$q$。24.若函數$f(x)=\frac{1}{x}-\ln(x)$在區(qū)間$(0,1)$上的最大值為$M$，求$M$的值。25.已知數列$\{a_n\}$是等差數列，且$a_1=5$，$a_5=25$，求公差$d$。五、解答題26.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求函數在區(qū)間$[1,3]$上的最大值和最小值。27.若$a,b$是方程$x^2-2ax+1=0$的兩個實根，求$\sqrt{a^2+b^2}$的值。28.已知數列$\{a_n\}$是等比數列，且$a_1=2$，$a_4=32$，求$a_7$的值。29.若函數$f(x)=\frac{1}{x}-\ln(x)$在區(qū)間$(1,2)$上的最大值為$M$，求$M$的值。30.已知數列$\{a_n\}$是等差數列，且$a_1=4$，$a_6=36$，求$a_3$的值。六、解答題31.已知函數$f(x)=x^3-9x^2+24x$，求函數的導數$f'(x)$。32.若$a,b$是方程$x^2-4x+3=0$的兩個實根，求$\frac{a}+\frac{a}$的值。33.已知數列$\{a_n\}$是等比數列，且$a_1=4$，$a_3=64$，求公比$q$。34.若函數$f(x)=\frac{1}{x}-\ln(x)$在區(qū)間$(0,3)$上的最大值為$M$，求$M$的值。35.已知數列$\{a_n\}$是等差數列，且$a_1=2$，$a_8=64$，求$a_5$的值。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：函數$f(x)=\ln(x+1)-x$在$x=0$時取值為$\ln(1)-0=0$，且當$x>0$時，$\ln(x+1)$的增長速度慢于$x$的增長速度，因此函數在$x=0$處有一個零點。2.C解析：由柯西不等式，有$\frac{1}{a}+\frac{1}=\frac{a+b}{ab}\geq\frac{2\sqrt{ab}}{ab}=2\sqrt{\frac{1}{ab}}$。由于$a+b=1$，則$ab\leq\frac{1}{4}$（根據算術平均數-幾何平均數不等式），所以$\frac{1}{a}+\frac{1}\geq2\sqrt{4}=4$，等號成立當且僅當$a=b=\frac{1}{2}$。3.A解析：向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$和$\overrightarrow=(2,-1)$的點積為$1\cdot2+2\cdot(-1)=2-2=0$。4.A解析：由韋達定理，方程$x^2-2ax+1=0$的根$a$和$b$滿足$a+b=2a$，因此$a+b=2a$。5.C解析：等差數列的通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1=2$，$a_3=8$，則$d=\frac{a_3-a_1}{3-1}=3$，所以$a_5=2+4\cdot3=10$。6.B解析：函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$在$x=0$和$x=2$時取值為0，函數在$x=1$時取得極大值$f(1)=1^3-3\cdot1^2+4\cdot1=2$，在$x=2$時取得極小值$f(2)=2^3-3\cdot2^2+4\cdot2=2$，因此最大值$M=2$，最小值$m=0$，$M+m=2$。7.B解析：由韋達定理，方程$x^2-4x+3=0$的根$a$和$b$滿足$a+b=4$，$ab=3$，所以$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4^2-2\cdot3=16-6=10$。8.A解析：等比數列的通項公式為$a_n=a_1q^{n-1}$，其中$a_1=2$，$a_3=16$，則$q^2=\frac{a_3}{a_1}=8$，所以$q=2\sqrt{2}$，因此$a_5=2\cdot(2\sqrt{2})^4=64$。9.B解析：函數$f(x)=\ln(x+1)+x$在$x=0$時取值為$\ln(1)+0=0$，函數在$x=2$時取得極大值$f(2)=\ln(3)+2$，在$x=0$時取得極小值$f(0)=0$，因此最大值$M=\ln(3)+2$，最小值$m=0$，$M+m=\ln(3)+2$。10.B解析：等差數列的通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1=3$，$a_4=13$，則$d=\frac{a_4-a_1}{4-1}=4$，所以$a_7=3+6\cdot4=27$。二、填空題11.4解析：同第6題解析。12.10解析：同第7題解析。13.64解析：同第8題解析。14.4解析：同第9題解析。15.23解析：同第10題解析。三、解答題16.解析：求導得$f'(x)=3x^2-6x+9$，令$f'(x)=0$得$x=1$，$f''(x)=6x-6$，$f''(1)=0$，因此$x=1$是函數的極小值點，極小值為$f(1)=2$。17.解析：由韋達定理，$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4^2-2\cdot3=10$。18.解析：等比數列的通項公式為$a_n=a_1q^{n-1}$，其中$a_1=2$，$a_3=24$，則$q^2=\frac{a_3}{a_1}=12$，所以$q=2\sqrt{3}$，因此$a_5=2\cdot(2\sqrt{3})^2=24$。19.解析：函數$f(x)=\frac{1}{x}-\ln(x)$在區(qū)間$(0,1)$上單調遞減，因此最大值在$x=1$處取得，$M=f(1)=1-0=1$。20.解析：等差數列的通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1=5$，$a_5=25$，則$d=\frac{a_5-a_1}{5-1}=5$，所以$a_3=5+2\cdot5=15$。四、解答題21.解析：求導得$f'(x)=3x^2-6x+9$，令$f'(x)=0$得$x=1$，$f''(x)=6x-6$，$f''(1)=0$，因此$x=1$是函數的極小值點，極小值為$f(1)=2$。22.解析：由韋達定理，$a+b=2a$，兩邊平方得$(a+b)^2=4a^2$，展開得$a^2+2ab+b^2=4a^2$，即$a^2+b^2=2a^2$。23.解析：等比數列的通項公式為$a_n=a_1q^{n-1}$，其中$a_1=3$，$a_3=24$，則$q^2=\frac{a_3}{a_1}=8$，所以$q=2\sqrt{2}$。24.解析：函數$f(x)=\frac{1}{x}-\ln(x)$在區(qū)間$(0,1)$上單調遞減，因此最大值在$x=1$處取得，$M=f(1)=1-0=1$。25.解析：等差數列的通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1=5$，$a_5=25$，則$d=\frac{a_5-a_1}{5-1}=5$，所以$a_3=5+2\cdot5=15$。五、解答題26.解析：求導得$f'(x)=3x^2-6x+9$，令$f'(x)=0$得$x=1$，$f''(x)=6x-6$，$f''(1)=0$，因此$x=1$是函數的極小值點，極小值為$f(1)=2$。27.解析：由韋達定理，$a+b=4$，$ab=3$，所以$\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(a+b)^2-2ab}=\sqrt{4^2-2\cdot3}=\sqrt{10}$。28.解析：等比數列的通項公式為$a_n=a_1q^{n-1}$，其中$a_1=2$，$a_4=32$，則$q^3=\frac{a_4}{a_1}=16$，所以$q=2$，因此$a_7=2\cdot2^6=64$。29.解析：函數$f(x)=\frac{1}{x}-\ln(x)$在區(qū)間$(1,2)$上單調遞減，因此最大值在$x=1$處取得，$M=f(1)=1-0=1$。30.解析：等差數列的通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1=4$，$a_6=36$，則$d=\frac{a_6-a_1}{6-1}=6$，所以$a_3=4+2\cdot6=16$。六、解答題31.解析：求導得$f'(x)=3x^2-18x+24$。32.解析：由韋達定理，$a+b=4$，$ab=3$，所以$\frac{a}+\frac{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}=\frac{4^2-2\cdot3}{3}=\frac{10}{3}$。33