高三數(shù)學(xué)試卷

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂

黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在

答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.設(shè)集合A={1,2,3},B={2,3,4},則AUB的真子集個數(shù)為

A.4B.6C.15D.16

2.

A.5B.√5C.10D.2√5

3.若向量a=(2,1),b=(1,x),且a⊥(a+b),則x=

A.-7B.7C.3D.-3

4.已知各項均不為零的數(shù)列{a}滿足an+m=an·am(n,m∈N*),若a┐=8,則asag=

A.2√2B.16C.4D.64

5.已知函數(shù)的大致圖象如圖1所示，則圖2所對應(yīng)的函數(shù)可能是

圖1圖2

A.y=-f(|x|+1)B.y=f(|x-1|)

C.y=f(1-|x|)D.y=f(|x|-1)

6.設(shè)拋物線的焦點為F,點P在拋物線C上，Q(0,7),若|PF|=|QF|,則|PQ|=

A.14B.7√2C.14√2D.28

7.氡氣是一種從地表或建筑材料中自然散發(fā)的無色無味的放射性氣體.500g氡氣經(jīng)過散發(fā)后

的剩余量A(單位：g),與散發(fā)時間t(單位：天)的關(guān)系為t=logA+k,其中a,k為常數(shù).在

此條件下，已知500g氡氣散發(fā)后的剩余量從250g降到208.5g時，散發(fā)時間增加了1天，

【高三數(shù)學(xué)第1頁(共4頁)】

則500g氡氣散發(fā)后的剩余量從200g降到166.8g時，散發(fā)時間增加了

A.0.5天B.1天

C.2天D.5天

A.ln(ab)<0B.In(ab)>0

C.e-b>1D.e-<1

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)f(x)=√3sin2x—cos2x,則

A.f(x)的最小正周期為π

B.將曲線y=f(x)向左平移個單位長度，得到的曲線關(guān)于原點對稱

C.f(x)圖象的一個對稱中心為點(

D.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)

10.已知P為橢圓C:上一動點，C的左、右焦點分別為F?,F?,定點M(-1,2),則

下列選項正確的是

A.△PF?F?的周長為定值10

B.△PF?F?面積的最大值為2√5

C.|PM|+|PF?|的最大值為6+√13

D.若直線l與橢圓C交于A,B兩點，且AB的中點為M,則l的斜率為

11.已知圓O:x2+y2=9,下列說法正確的是

A.若過點P(√2,一√3)的直線與圓O交于A,B兩點，則|AB|的取值范圍為[4,6]

B.圓O上有4個點到直線l:√3x-y-2=0的距離為1.9

C.若圓O與圓C:(x-5)2+(y-12)2=r2(r>0)沒有公切線，則r的取值范圍為(0,16)

D.過直線l:x-y+6=0上任意一點Q作圓O的切線，切點分別為C,D,則直線CD必過

定點

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若一正方體外接球的體積為9√2π,則該正方體內(nèi)切球的表面積為▲·

13.展開式的二項式系數(shù)之和為1024,則n=▲;常數(shù)項為▲

14.設(shè)等差數(shù)列{an},的前n項和分別為S,Tn,,貝

【高三數(shù)學(xué)第2頁(共4頁)】

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

從某校學(xué)生中隨機抽出50名學(xué)生參加消防安全知識競賽，根據(jù)競賽成績得到如圖所示的頻

率分布直方圖.數(shù)據(jù)的分組依次為(40,50),(50,60),(60,70),(70,80),[80,90],[90,100].

(1)求圖中a的值，并估計這50名學(xué)生的平均成績(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作

代表).

(2)若成績在前25%的學(xué)生可獲得“消防達人”的稱號，則成績至少要達到多少分才可以被

評為“消防達人”?

(3)從低于60分的學(xué)生中隨機抽2名學(xué)生，記成績在[50,60]內(nèi)的人數(shù)為X,求X的分布列

及期望.

頻率/組距

0.030

0.024

0.020

a

.0.

0.0064

O405060708090100成績/分

16.(15分)

在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c

(1)求角A;

(2)若a=√7,△ABC的面積,求b+c.

17.(15分)

如圖，在直三棱柱ABC-A?B?C?中，AB=BC,AA?,AC,A?C?的中點分別為D,E,F.

(1)證明：平面ACB?⊥平面BEF.

(2),且BC與平面BEF所成角的正弦值為,求平面BB?C與平面DB?C

夾角的余弦值.

【高三數(shù)學(xué)第3頁(共4頁)】

18.(17分)

已知雙曲線C:的離心率,且焦點到漸近線的距離為2.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若動直線l與雙曲線C恰有1個公共點，且與雙曲線C的兩條漸近線分別交于P,Q兩

點，O為坐標(biāo)原點，證明：△OPQ的面積為定值.

19.(17分)

已知函數(shù)

(1)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程.

(2)證明：

(3)證明：

【高三數(shù)學(xué)第4頁(共4頁)】

高三數(shù)學(xué)試卷參考答案

1.C因為AUB={1,2,3,4},所以AUB的真子集個數(shù)為2?-1=15.

2.B

3.A因為a⊥(a+b),所以a·(a+b)=a2+a·b=5+(2+x)=0,所以x=-7

4.D因為an+m=a·am(n,m∈N*),所以an+1=an·a?,所以數(shù)列{an}為等比數(shù)列.因為a?

=8,所以asag=(a?)2=64.

5.C由定義域{x|x≠±1},可以排除A,B;令x=0,得,所以排除D.

6.C由題意可知F(0,—7),則|PF|=|QF|=14.因為拋物線C的通徑長為2p=28,所以

PF⊥y軸，所以|PQ|=√142+142=14√2.

7.B記500g氡氣經(jīng)過散發(fā)后的剩余量為250g,208.5g,200g,166.8g時，散發(fā)時間分別為

t?,t?,t?,t4.由.834=1,解得a=

8.A,所以

6-b3-3=()2-()?3-3.設(shè)f(x)=x2-x?3-3,則f(x)為定義在(0,+∞)上的

增函數(shù)，所以,所以,0<ab<1,In(ab)<0,A正確，B錯誤.a,b的大

小關(guān)系不確定，C錯誤，D錯誤.

9.ACD因,所以,故A正確；將曲線

y=f(x)向左平移個單位長度，得到曲線,圖象

不關(guān)于原點對稱，所以B不正確；因為,所以C正確；令2kπ一

,k∈Z,得,k∈Z,所以D正確.

10.ABC因為a=3,b=√5,所以c=√a2-b2=2,所以△PF?F?的周長為定值2a+2c=10,

△PF?F2面積的最大值,故A,B均正確.因為|PF?|+|PF?|=2a

=6,所以|PM|+|PF?|=|PM|+6-|PF?|.因為|PM|-|PF?l≤|MF?|=√13,所以

|PM|+|PF?|的最大值為6+√13,故C正確

易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k,A(x?,y?),B(x?,y?),則兩式

【高三數(shù)學(xué)·參考答案第1頁(共5頁)】

相減得,整理.因為AB的中點為M(-1,2),

所以,故D不正確.

11.AB圓O的圓心為O(0,0),半徑R=3.

對于A,因為|OP|=√(√2)2+(一√3)2=√5<3,可知點P在圓O內(nèi)，可得圓心O到過點

P的直線的距離d∈[0,√5],所以|AB|=2√R2—d2=2√9-d2∈[4,6],故A正確.

對于B,因為圓心O到直線l:√3x-y-2=0的距離且圓O的半徑

為3,所以圓O上有4個點到直線l:√3x-y-2=0的距離為1.9,故B正確.

對于C,圓C:(x-5)2+(y-12)2=r2的圓心為C(5,12),半徑為r,則|OC|=√52+122=

13,若圓O與圓C沒有公切線，則兩圓內(nèi)含，所以|OC|<|R-r|,即13<|3-r|,解得r>

16,又r>0,所以r的取值范圍為(16,+∞),故C錯誤.

對于D,設(shè)Q(a,6+a),以O(shè)Q為直徑的圓為x(x-a)+y(y—6-a)=0,整理得x2+y2一

ax—(a+6)y=0,由題意可知，直線CD為圓Q與圓O的公共弦所在的直線，可得一9+ax

+(6+a)y=0,整理得a(x+y)+6y-9=0,令解得所以直線CD

必過定點,故D錯誤.

12.6π設(shè)該正方體外接球的半徑為R,由,得.設(shè)該正方體內(nèi)切球的半

徑為r,則√3r=R,所以,故該正方體內(nèi)切球的表面積為4πr2=6π.

13.10;45由2"=1024,得展開式的通項T,+1=Cox?-4r(一x?1)r=

C??(一1)x??-5r,令40—5r=0,得r=8,所以常數(shù)項為C?(一1)?=45.

14.設(shè)S=kn(n+1),T?=kn(2n+4),k≠0,則ag=S?-S?=90k—72k=18k,b1?=T?

一T?=240k—198k=42k,所

15.解：(1)由10(0.004+0.006+0.020+0.024+0.030+a)=1,得a=0.016.……2分

估計平均成績?yōu)?5×0.04+55×0.06+65×0.2+75×0.3+85×0.24+95×0.16=

76.2分.……………………4分

(2)設(shè)成績至少要達到m分才可以被評為“消防達人”.

因為成績在[90,100]內(nèi)的頻率為0.16,成績在[80,90]內(nèi)的頻率為0.24,所以m在(80,90)

內(nèi).……………………6分

由(90-m)×0.024+0.016×10=0.25,得m=86.25,

【高三數(shù)學(xué)·參考答案第2頁(共5頁)】

即成績至少要達到86.25分才可以被評為“消防達人”.……………8分

(3)由頻率分布直方圖可知(40,50),(50,60)兩組中的學(xué)生人數(shù)分別為2,3,所以X的取值

可能是0,1,2.………………………9分

因為,……………10分

所以X的分布列為

X012

P

…………………………12分

…………………13分

16.解：(1)因,所以,…………2分

化簡得c2+b2-a2=√3bc,所以………………5分

因為A∈(0,π),所以.……………………7分

(2)因為,整理得b2+c2=√3bc+7.……10分

因為△ABC的面積,得bc=10√3.……………12分

由得(b+c)2=b2+c2+2bc=37+20√3=(5+2√3)2,………………14分

故b+c=5+2√3.……………………15分

17.(1)證明：在直三棱柱ABC-A?B?C?中，E,F分別為矩形ACC?A?的邊AC,A?C?的中點，

則EF⊥AC,……………2分

又AB=BC,所以BE⊥AC.3分

因為BE∩EF=E,BE,EFC平面BEF,所以AC⊥平面BEF.…5分

又ACC平面ACB?,所以平面ACB?⊥平面BEF6分

(2)解：在直棱柱ABC-A?B?C?中，AA?⊥平面ABC,由(1)知，EF//

AA?,則EF⊥平面ABC,BEC平面ABC,有EF⊥BE.又AC⊥平面

BEF,所以∠CBE是BC與平面BEF所成的角，即……………8分

又BE⊥AC,所以設(shè)CE=1,則BC=√3,BE=√2.……9分

以E為原點，EB,EC,EF所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

B(√2,0,0),C(0,1,0),

【高三數(shù)學(xué)·參考答案第3頁(共5頁)】

設(shè)平面DB?C的法向量為m=(x?,y?,≈1),則

取y?=√2,得m=(一3,√2,4).…………12分

設(shè)平面BB?C的法向量為n=(x2,y2,≈2),則

取y?=√2,得n=(1,√2,0).………14分

因為

所以平面BB?C與平面DB?C夾角的余弦值是………………15分

18.(1)解：設(shè)右焦點為F(c,0),一條漸近線的方程為bx-ay=0,……1分

所以右焦點到該漸近線的距離…………………2分

因為,c2=a2+b2,所以a=√6,c=√10,………………4分

所以雙曲線C的方程…………………5分

(2)證明：當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=±√6,

此時|PQ|=4,…………7分

當(dāng)直線l的斜率存在時，不妨設(shè)直線l:y=kx+m,且

由得(2-3k2)x2—6mkx-3m2-12=0,………………9分

由△=36m2k2+4(2-3k2)(3m2+12)=0,得6k2=m2+4.10分

由得.…………………11分

不妨設(shè)l與的交點為P,則

同理可得..……13分

因