數(shù)學(xué)教學(xué)測量和評估教案第一章數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)過程是極其復(fù)雜的認(rèn)識過程，一般要從分析教學(xué)任務(wù)，確定學(xué)生原有學(xué)習(xí)水平和明確教學(xué)目標(biāo)開始，繼而設(shè)計教學(xué)方法和實施教學(xué)活動，最后對教學(xué)的結(jié)果進行測量和評估。如果測量的結(jié)果表明教學(xué)目標(biāo)已經(jīng)達到，則可以認(rèn)為，一個完整的教學(xué)過程已經(jīng)完成；如果原定的教學(xué)目標(biāo)未能達到，則要找出教學(xué)效果不良的原因，并有針對性地進行補救教學(xué)，直至達到教學(xué)目標(biāo)為止。確定教學(xué)目標(biāo)、實施教學(xué)活動、對教學(xué)效果進行測量和評估構(gòu)成教學(xué)過程中緊密聯(lián)系的三個主要環(huán)節(jié)。其中，教學(xué)目標(biāo)不僅是教學(xué)活動的依據(jù)，而且也是教學(xué)測量和評估的依據(jù)。當(dāng)教學(xué)目標(biāo)用于教學(xué)測量和評估時，教學(xué)目標(biāo)就轉(zhuǎn)化為測量目標(biāo)和評估目標(biāo)。從這個意義上說，教學(xué)目標(biāo)與測量和評估目標(biāo)是一致的。本章首先簡要介紹教學(xué)目標(biāo)的基本理論，然后著重討論數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)模型和數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的制定。第一節(jié)教學(xué)目標(biāo)概述一、教學(xué)目標(biāo)的涵義從本質(zhì)上說，教育過程是教育者幫助受教育者按照預(yù)期方式變化的過程。教師的主要任務(wù)是確定學(xué)生應(yīng)發(fā)生什么變化，以及在此過程中如何為他們提供幫助。據(jù)此，美國心理學(xué)家、教育家布魯姆(B．S．Bloom)認(rèn)為：用精確的術(shù)語詳細地說明學(xué)生改變其思維、感情和行動的方式就是教學(xué)目標(biāo)。通俗地說，教學(xué)目標(biāo)就是教師所預(yù)期的學(xué)生在思維、感情和行動方面變化的數(shù)量和程度。嚴(yán)格地說，教育目標(biāo)(educationalobjectives)與教學(xué)目標(biāo)(teachingobjectives)是有區(qū)別的。從廣義上來看，學(xué)生的行為變化是在學(xué)校、家庭、社會三個方面的教育環(huán)境作用下取得的，在這個意義上論及的目標(biāo)是教育目標(biāo)；而從狹義上來看，當(dāng)限于學(xué)校環(huán)境下的教學(xué)活動時，所論及的目標(biāo)就是教學(xué)目標(biāo)。二、教學(xué)目標(biāo)的表述闡述教學(xué)目標(biāo)，就是以一種較特定的方式描述在單元或?qū)W程完成之后，學(xué)生應(yīng)能做(或生產(chǎn))些什么，或者學(xué)生應(yīng)具備哪些特征。為了制定教學(xué)目標(biāo)的有用表述，教育者必須盡可能斟酌詞匯，以便能按本意理解這些目標(biāo)。表述得當(dāng)?shù)慕虒W(xué)目標(biāo)通常是一個表達學(xué)生行為的陳述句，一般包含三個基本成分。第一，句子的主語，它是指教學(xué)的對象——學(xué)生。由于這種對象的顯然性，所以表述教學(xué)目標(biāo)時往往省略不寫。第二，句子的謂語，它是表述學(xué)生行為的動詞，即行為目標(biāo)。教學(xué)目標(biāo)應(yīng)當(dāng)用特定的術(shù)語描述在教學(xué)后學(xué)生行為的變化，如用“指出”、“掌握”、“運用”等具有明確意義的行為動詞，要避免使用那些含意模糊、難以觀察和測量行為變化的動詞。此外，在教學(xué)目標(biāo)語句中，一般不出現(xiàn)諸如“培養(yǎng)”、“促進”、“促使”之類的動詞，因為這樣，語句的主語就換成了教師。教學(xué)目標(biāo)必須完全是就期望學(xué)生做什么而言的。第三，句子的賓語，它是指目標(biāo)的內(nèi)容，是教學(xué)目標(biāo)必須詳細說明的部分。由此可見，教學(xué)目標(biāo)主要由內(nèi)容和行為組成，表述得當(dāng)?shù)慕虒W(xué)目標(biāo)應(yīng)具有兩個特征。例如，在“掌握二元一次方程組的解法”這一教學(xué)目標(biāo)中，“掌握”是行為目標(biāo)，“二元一次方程組的解法”是目標(biāo)的內(nèi)容。表述得當(dāng)?shù)慕虒W(xué)目標(biāo)必須符合下列要求。1．教學(xué)目標(biāo)所表述的應(yīng)是學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，而不應(yīng)該陳述教師做什么。2．教學(xué)目標(biāo)的表述應(yīng)力求明確、具體，可以觀察和測量，盡量避免用含糊的和不切實際的語言陳述目標(biāo)。3．教學(xué)目標(biāo)的表述應(yīng)反映學(xué)習(xí)結(jié)果的層次性。教學(xué)目標(biāo)具有不同的層次水平，低層次的目標(biāo)是高層次目標(biāo)的基礎(chǔ)和準(zhǔn)備，高層次的目標(biāo)是低層次目標(biāo)的發(fā)展和延伸。通過不同層次的教學(xué)目標(biāo)的對照，既可以鑒別學(xué)生心理發(fā)展的水平，也可以鑒別不同學(xué)生之間心理發(fā)展水平的層次差異。4．教學(xué)目標(biāo)的表述應(yīng)能用來成功地向其他人表達或交流教師自己的意圖。當(dāng)其他人看了學(xué)生的行動或產(chǎn)物后，便能判斷目標(biāo)是否已經(jīng)達到，這種交流才是成功的。三、教學(xué)目標(biāo)的心理學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)目標(biāo)的產(chǎn)生受到心理學(xué)發(fā)展史上行為主義學(xué)派的極大影響。行為主義心理學(xué)是本世紀(jì)初期產(chǎn)生的一種心理學(xué)派。由于該學(xué)派竭力主張要科學(xué)地、客觀地研究心理學(xué)，反對從主觀出發(fā)，用意識來解釋心理現(xiàn)象，因此認(rèn)為科學(xué)心理學(xué)的研究對象是人的可以觀察的行為表現(xiàn)。如果心理學(xué)以“不可捉摸”和“不可接近”的心理現(xiàn)象作為研究對象，這就違反了科學(xué)的客觀性原則。行為主義學(xué)派認(rèn)為學(xué)習(xí)的實質(zhì)是“刺激－反應(yīng)”(“S－R”)的聯(lián)結(jié)，只有學(xué)習(xí)中的能觀察到的行為才是真正有價值的研究對象。行為主義學(xué)派將學(xué)生在教育情境下的學(xué)習(xí)定義為“憑借經(jīng)驗產(chǎn)生的比較持久的行為變化”，這是一個操作性的定義。心理學(xué)家希望學(xué)生的學(xué)習(xí)是可以測量的，其行為變化就是在進行“學(xué)習(xí)(訓(xùn)練)干預(yù)”的前后，學(xué)生外顯行為的變化量和程度。教學(xué)目標(biāo)的研究成果則是在行為主義的理論框架下取得的。正是行為主義對學(xué)習(xí)的這種解釋，因而教學(xué)目標(biāo)常被人稱之為“行為目標(biāo)”、“作業(yè)目標(biāo)”、“可測量目標(biāo)”等等。所有這些名稱，都反映了教學(xué)目標(biāo)的倡導(dǎo)者最初感興趣的對象是學(xué)習(xí)者的行為變化方面，而不是教學(xué)活動的其他方面。堅持學(xué)習(xí)的認(rèn)知理論的心理學(xué)家則認(rèn)為，學(xué)習(xí)的實質(zhì)是內(nèi)在心理的變化。因此，教學(xué)的真正目標(biāo)不是具體的行為變化，而是內(nèi)在的能力或情感的變化。在陳述教學(xué)目標(biāo)時，首先應(yīng)明確陳述諸如知道、記憶、理解、創(chuàng)造、鑒賞等內(nèi)在心理的變化。但這些內(nèi)在變化不能直接進行客觀的觀察和測量，為了使這些內(nèi)在的變化可以觀察和測量，還需要列舉反映這些內(nèi)在變化的行為樣品，這樣陳述的教學(xué)目標(biāo)就是內(nèi)部過程與外顯行為相結(jié)合的目標(biāo)。例如，在“理解一元二次方程的概念”這一教學(xué)目標(biāo)中，“理解”是內(nèi)在心理的變化，不同的人可能有不同的解釋，也不容易對其進行觀察和測量。為了克服這一缺點，可以列出反映“理解一元二次方程的概念”這一內(nèi)在變化的行為樣品：能敘述一元二次方程的定義；能寫出一元二次方程的一般形式；能指出一元二次方程的肯定例證和否定例證等。這樣，可使“理解一元二次方程的概念”這一教學(xué)目標(biāo)變得十分清晰，能對教學(xué)和教學(xué)測量與評估起具體的指導(dǎo)作用。四、教學(xué)目標(biāo)的分類教學(xué)目標(biāo)分類學(xué)研究的興起，是目標(biāo)研究發(fā)展到一個新階段的重要標(biāo)志。對目標(biāo)分類體系的設(shè)想，最初是在1948年召開的美國心理學(xué)年會上，由布魯姆、克拉斯沃爾(D．R．Krathwohl)等提出的。他們深受美國著名課程論專家泰勒(R．W．Tyler)課程編制模式的影響，旨在把制定目標(biāo)與評估結(jié)果有機地結(jié)合起來。目標(biāo)分類學(xué)為觀察教學(xué)過程、分析教學(xué)活動和進行教學(xué)評估提供一個框架。1956年，布魯姆等完成了認(rèn)知領(lǐng)域目標(biāo)結(jié)構(gòu)的研究，提出認(rèn)知領(lǐng)域的目標(biāo)是由知識的掌握、理解以及與認(rèn)知能力的發(fā)展有關(guān)的各種目標(biāo)組成。1964年，克拉斯沃爾等完成了情感領(lǐng)域目標(biāo)結(jié)構(gòu)的研究，提出情感領(lǐng)域的目標(biāo)是由興趣、態(tài)度、價值觀的形成以及正確的判斷能力、適應(yīng)能力的發(fā)展有關(guān)的各種目標(biāo)組成。1972年，哈羅(A．J．Harrow)和辛普森(E．J．Simpson)完成了動作技能領(lǐng)域目標(biāo)結(jié)構(gòu)的研究，提出動作技能領(lǐng)域的目標(biāo)是由手及人體其他運動技能有關(guān)的各種目標(biāo)組成。認(rèn)知領(lǐng)域目標(biāo)、情感領(lǐng)域目標(biāo)和動作技能領(lǐng)域目標(biāo)，這三者組成了目標(biāo)分類學(xué)。在目標(biāo)分類學(xué)的三個領(lǐng)域中，布魯姆的認(rèn)知領(lǐng)域的目標(biāo)分類尤其引人注目，他把知識和能力分為六個等級：識記、領(lǐng)會、運用、分析、綜合和評價。這六個等級存在遞進關(guān)系，識記是最低水平的目標(biāo)，以后依次是不同水平的目標(biāo)，評價是最高水平的目標(biāo)(圖1－1)。布魯姆在其有關(guān)的論著中對這六個等級的目標(biāo)進行了詳細的論述，這里僅作簡單的介紹。1．識記識記是指對具體事物和普遍原理的回憶，對方法和過程的回憶，或者對一種模式、結(jié)構(gòu)或框架的回憶。為了便于測量，回憶的情境幾乎就是指回想起適當(dāng)?shù)牟牧?。識記的目標(biāo)十分強調(diào)記憶的心理過程。2．領(lǐng)會領(lǐng)會是指抓住材料意義的一種能力，它可以表現(xiàn)為將材料從一種形式轉(zhuǎn)換成另一種形式，可以表現(xiàn)為解釋材料、估計未來的傾向。3．運用運用是指將學(xué)習(xí)過的材料用到新的和具體情境中去的一種能力，包括規(guī)則、方法和概念的運用。4．分析分析是把某一信息剖析為它的組成要素或部分，藉以弄清楚諸概念的相對層次，并使所表達的各概念之間的關(guān)系顯示明白。分析包括要素分析、關(guān)系分析和結(jié)構(gòu)原理分析。5．綜合綜合是把諸要素和各組成部分合在一起，以形成一個整體。這是一個對各個片斷、組成部分和要素加工的過程，把它們安排組合成一個過去尚未明顯存在過的式樣或結(jié)構(gòu)。6．評價評價是指為了特定目的對材料和方法的價值作出判斷，對這些材料和方法符合準(zhǔn)則的程度作出定量的和定性的判斷。所使用的準(zhǔn)則可以是學(xué)生自己制定的，也可以是別人為他們制定的。評價包括依據(jù)內(nèi)在證據(jù)來判斷和依據(jù)外部準(zhǔn)則來判斷兩個方面。

第二節(jié)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)模型如何將目標(biāo)分類的界定具體轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)教學(xué)中所要實現(xiàn)的目標(biāo)，建立起數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)目標(biāo)模型，是一個值得深入研究的重要問題。一、威爾遜的數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)模型美國佐治亞大學(xué)數(shù)學(xué)教育系系主任威爾遜(J．W．Wilson)，根據(jù)布魯姆的學(xué)說結(jié)合對數(shù)學(xué)學(xué)科的深入分析，寫出了《中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評價》一書，書中編制了一個新的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績評價模式。這個模式在對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)行為的分類上，既包括了認(rèn)知領(lǐng)域的成果，又包括了情感領(lǐng)域的成果。其中認(rèn)知領(lǐng)域的行為目標(biāo)分為“計算、領(lǐng)會、運用、分析”四級水平，每級水平又劃分為若干子類，類別詳盡，概括性很強；情感領(lǐng)域的類別讀來也令人耳目一新。這里主要介紹威爾遜認(rèn)知領(lǐng)域數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)中每一級水平及其子類的特征，同時列舉了該書中的一些測題，它們可以用于表征和測量屬于某級水平上的數(shù)學(xué)行為。1．計算計算水平是學(xué)生作出的作為數(shù)學(xué)教學(xué)成果的最簡單的行為，它要求能回憶基本事實的知識、術(shù)語的知識或按照學(xué)生先前已經(jīng)學(xué)過的規(guī)則操作問題中的元素，即能進行記憶的簡單練習(xí)和常規(guī)的變換練習(xí)，重點是知道或?qū)嵤┻\算，而不要求作出決策或進行復(fù)雜的記憶。計算水平包括三個子類。(1)具體事實的知識。這個子類包括的目標(biāo)是：學(xué)生以與課程學(xué)習(xí)中材料出現(xiàn)的幾乎完全一樣的方式復(fù)述或辨別材料；它也可包括基本的知識單元，例如數(shù)的基本事實等。(2)術(shù)語的知識。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，學(xué)生會遇到大量的術(shù)語，例如，公理、推論、空集、階乘、絕對值、多邊形等。在幾何學(xué)習(xí)中，學(xué)生應(yīng)該能夠辨別諸如銳角、鈍角和直角；在代數(shù)學(xué)習(xí)中，學(xué)生應(yīng)該知道“化簡表達式”指導(dǎo)語的涵義是什么，等等。(3)實施算法的能力。這是根據(jù)一些學(xué)過的規(guī)則，變換一個刺激物的元素的能力，它并不要求學(xué)生選擇算法。上述三個子類的測題，分別如下：例1半徑為r的圓的周長公式是[](A)C＝πr2；(B)C＝πr；(C)C＝2πr；(D)C＝2πr2。例25！等于[](C)5＋4＋3＋2＋1；(D)5×4×3×2×1；(A)5%；(B)10%；(C)20%；(D)40%。2．領(lǐng)會領(lǐng)會水平既與回憶概念和通則有關(guān)，又與把問題中的元素從一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式有關(guān)，重點是反映對概念和它們之間的關(guān)系的理解程度，而不是運用概念來作解答。此外，計算水平的行為有時表現(xiàn)為領(lǐng)會水平的行為，或包含在領(lǐng)會水平的行為之中，但是，領(lǐng)會水平是比計算水平更為復(fù)雜的一系列行為。領(lǐng)會水平包括六個子類。(1)概念的知識。一個概念的知識和一個具體事實的知識之間的區(qū)別并不十分明顯。實際上，一個概念是一系列相互聯(lián)系的具體事實的結(jié)合體。當(dāng)然，從認(rèn)知方面來說，一個概念的知識要比一個具體事實的知識更復(fù)雜些。(2)原理、規(guī)則和通則的知識。這一子類要求學(xué)生知道概念之間和問題元素之間的關(guān)系。試題是否表征或測量了原理、規(guī)則和通則的知識，取決于學(xué)生已學(xué)過的材料。如果學(xué)生必須形成原理、規(guī)則或通則，或者為了回答問題而使用原理、規(guī)則或通則，那么這種行為處于比領(lǐng)會水平更高一級的水平。(3)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的知識。數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容可以劃分為幾個大類，但是，對滲透在任何一個類別中的一般可統(tǒng)一起來的內(nèi)容主要有：集合語言和集合符號的使用、數(shù)學(xué)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)(一種與內(nèi)容密切聯(lián)系的結(jié)構(gòu)，不是一種心理結(jié)構(gòu))和數(shù)學(xué)過程。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱里一個統(tǒng)一的主題，主要包括數(shù)系的性質(zhì)和代數(shù)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)。這個子類中的試題所表征和測量的行為與術(shù)語的知識是有區(qū)別的，一般把僅論及現(xiàn)代數(shù)學(xué)的術(shù)語的試題用于表征和測量數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的知識。(4)把問題元素從一種形式向另一種形式轉(zhuǎn)化的能力。這是一個重要的領(lǐng)會水平的行為，它可以指從語言描述向圖形表示的轉(zhuǎn)化，或從語言表達向符號形式的轉(zhuǎn)化，或者是每一種情形反過來的轉(zhuǎn)化。值得注意的是，轉(zhuǎn)化的能力并不包括在轉(zhuǎn)化之后實行一種運算。因此，把一個語言論述轉(zhuǎn)化為一個方程需要這種能力，但解答這個問題應(yīng)是運用水平的任務(wù)。(5)延續(xù)推理思路的能力。這一子類主要指閱讀數(shù)學(xué)表達的能力和傾聽數(shù)學(xué)論證的能力，這是接受數(shù)學(xué)方面交流的能力。(6)閱讀和解釋問題的能力。在閱讀數(shù)學(xué)材料和問題的過程中，需要一些特殊的技能和能力，它們屬于正常的語言技能和一般閱讀能力范疇之外。閱讀和解釋數(shù)學(xué)問題的能力所表現(xiàn)的行為，雖然還遠遠沒有達到解決問題的能力，但它卻是必不可少的第一步。上述六個子類的測題，分別如下：例4復(fù)數(shù)5＋3i的共軛復(fù)數(shù)是[](A)－5＋3i；(B)5－3i；(C)3＋5i；(D)3－5i。例5如果把一個數(shù)的小數(shù)點向右移三位，這是在[](A)用1000除這個數(shù)；(B)用100除這個數(shù)；(C)用3乘這個數(shù)；(D)用1000乘這個數(shù)。例6如果(N＋68)2＝654481，則(N＋58)(N＋78)等于[](A)654381；(B)654471；(C)654481(D)654581；(E)654524。對于例6，學(xué)生可能從解方程的角度去回答，但也可能從結(jié)構(gòu)或形式的知識出發(fā)作出回答。例7假定對任何數(shù)a和b，一種運算定義為a*b＝a＋ab，則5*2等于[](A)10；(B)12；(C)15；(D)20；(E)35。(A)如果把xy＝0代入第一個方程，這個方程變?yōu)閤2＋y2＝25，因此，方程組變?yōu)橐粋€含有兩個未知數(shù)的方程，所以，原方程組有無窮多個解；(B)如果用x去除第二個方程，得y＝0，如果用y去除它，得x＝0，把這些值代入第一個方程得出0＝2，這是不可能的，因此，原方程組無解；(C)由xy＝0，可得x＝0或y＝0，把x＝0代入第一個方程，得出y＝±5；再把y＝0代入這個方程，得出x＝±5，因此，原方程組恰好有四個解；(D)如果用x去除第二個方程，得到y(tǒng)＝0，既然y＝0，就不可以用y去除第二個方程，把y＝0代入第一個方程，得到x＝±5，因此，原方程組只有兩個解；(E)把兩個方程相加得出x2＋2xy＋y2＝25，即(x＋y)2＝25，例9某人上集市買了一張桌子，價格標(biāo)簽上標(biāo)出原來的價格是60元，若賣主打20%的折扣出售，折扣額是多少？這里不要求解出，回答下列的問題：問題中的比率是什么？原價是多少？要求出的是什么？3．運用運用水平的行為涉及學(xué)生作出的一系列反應(yīng)。這一特點使它與計算水平或領(lǐng)會水平相區(qū)別。運用水平需要回憶有關(guān)的知識，選擇合適的運算并實施之。運用水平涉及的活動是常規(guī)的，它要求學(xué)生在一個特定的情景中，以一種他以前實踐過的方法去運用知識和方法。運用水平包括四個子類。(1)解決常規(guī)問題的能力。常規(guī)問題是指那些與學(xué)生在課程學(xué)習(xí)中遇到的問題相類似的問題。解決常規(guī)問題的能力涉及選擇一個算法并實施之。實質(zhì)上，它要求學(xué)生作出一系列領(lǐng)會水平的行為后，實行運算直至獲得答案。(2)作出比較的能力。這一子類需要學(xué)生決定兩組或幾組信息之間的關(guān)系并形成一系列的決策。在這一過程中，需要回憶有關(guān)的知識，如概念、規(guī)則、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、術(shù)語等，也可能涉及一些計算，并引出推理和邏輯思考的行為。但是，這是一種常規(guī)性的形成決策的過程。例如，從許多可得的備選方案中作出選擇的行為便是這種能力的一個重要方面。(3)分析已知條件的能力。這一子類涉及閱讀和解釋信息，使用信息并最終作出決策或下結(jié)論。這個行為能把一個問題分解成它的構(gòu)成部分，能從無關(guān)信息中鑒別出有關(guān)信息，能與已經(jīng)獲得解答的子問題建立聯(lián)系。(4)識別同型性和對稱性的能力。在這個水平上所需要的行為再次要求作出一連串的反應(yīng)：回憶信息、轉(zhuǎn)化問題元素、變換已知條件和識別一個關(guān)系，要求學(xué)生從一列數(shù)據(jù)、已知信息或一個問題情境中，發(fā)現(xiàn)某些熟悉的東西，應(yīng)該假定學(xué)生已經(jīng)學(xué)過同樣的同型性或?qū)ΨQ性，并且識別出它們是可能的。上述四個子類的測題，分別如下：例10一個平行四邊形的兩條邊和一個內(nèi)角分別為12cm、20cm和120°，求其中較長的一條對角線的長。例11比較如圖1－2所示的兩個三角形的面積，正確的是[](A)△ABC的面積較大；(B)△PQR的面積較大；(C)△ABC和△PQR的面積相等。例12在一次選舉中，356人每人投一票，從5個候選人中選出1人，誰得票最多誰將獲勝，那么獲勝者至少應(yīng)得的選票數(shù)是[](A)179；(B)178；(C)89；(D)72；(E)71。例13410的末位數(shù)字是[](A)0；(B)2；(C)4；(D)6；(E)8。4．分析分析是認(rèn)知水平中最高級、最復(fù)雜的行為水平，它包括了布魯姆教育目標(biāo)分類學(xué)中描述的諸如分析、綜合和評價的絕大部分行為。分析水平是指需要非常規(guī)地運用概念，它要求探測關(guān)系，在一種非實踐過的情景中對概念和運算進行組織和使用。分析水平包括五個子類。(1)解決非常規(guī)問題的能力。這個子類要求學(xué)生把先前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移到一個新情景中去，發(fā)展解決不同于已解決過的問題的能力。這樣的解決問題的過程可能涉及把問題分解成幾部分，并從每個部分中探求所能知道的東西，也可能包括為了求解用一種新方法重新組織問題元素。總之，解決非常規(guī)問題，是向?qū)W生提供一個問題情景，學(xué)生沒有現(xiàn)成的算法來解答，需要一種探索性方法，即需要制定一個計劃并實施它，或者反復(fù)對已知情景和目標(biāo)進行比較，以找出區(qū)別，隨著這些區(qū)別依次消失，問題也就逐步得到解決。(2)發(fā)現(xiàn)關(guān)系的能力。這一子類需要用一種方式重新組織問題元素，以發(fā)現(xiàn)(形成)一個新關(guān)系，而不是在新的已知條件當(dāng)中辨別出一個熟悉的關(guān)系。(3)構(gòu)造證明的能力。這一子類是指構(gòu)造一種新證明的能力，它與模仿性證明、重述證明(運用水平)或回憶水平(計算水平)是完全不一樣的。(4)評判證明的能力。這一子類主要是指能指出隱藏在“證明”中的錯誤的能力。(5)形成和證實通則的能力。這一子類是指發(fā)現(xiàn)一個關(guān)系并構(gòu)造一個證明來證實這個發(fā)現(xiàn)的能力。上述五個子類的測題，分別如下：例14在圖1－3中，分別經(jīng)過射線Ox和Oy上一點，從P到Q的最短路徑是[](A)PA1A2Q；(B)PB1B2Q；(C)PC1C2Q；(D)PD1D2Q；(E)POQ。例15一個牲口柵，長18m，寬9m，一條長16m的鏈條系在牲口柵中一條較長邊的中點，另一條長16m的鏈條系在牲口柵的一個角上。鏈條都用來拴住一頭吃草的奶牛。問：哪一條鏈條給予拴住的奶牛有較多的活動余地來吃草？兩個活動地方的面積之差是多少(用3.14作π的近似值)？例16證明：對于任何整數(shù)n，是一個整數(shù)。例17下面是“任何兩個實數(shù)都相等”的一個“證明”：ii2c＝a＋b，iii2c(a－b)＝(a＋b)(a－b)，iv2ac－2bc＝a2－b2，vb2－2bc＋c2＝a2－2ac＋c2，vi(b－c)2＝(a－c)2，viib－c＝a－c，viiib＝a，其中步驟不正確的是[](A)從ii到iii；(B)從iv到v；(C)從v到vi；(D)從vi到vii。例18在紙上畫三個三角形：一個是銳角三角形，一個是直角三角形，一個是鈍角三角形。用直尺和圓規(guī)，把每個三角形的每一個內(nèi)角平分。在此過程中，你觀察到每一個三角形的三條內(nèi)角平分線之間有什么關(guān)系？這對任何三角形都正確嗎？為什么？在《中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評價》一書中，威爾遜還特別指出了以下幾點：第一，行為水平具有順序性和層次性。它的順序性體現(xiàn)在：在認(rèn)知上，分析水平比運用水平更復(fù)雜，運用水平比領(lǐng)會水平更為復(fù)雜，而計算水平包括那些在認(rèn)知上最簡單的測試題。它的層次性體現(xiàn)在：例如一個屬于運用水平的測試題也許既需要領(lǐng)會水平的技能(選擇恰當(dāng)?shù)倪\算)，也需要計算水平的技能(實施一種運算)。第二，為了說明一道試題對于測量某個行為水平是否恰當(dāng)，需要作出有關(guān)學(xué)生背景的假設(shè)。一道試題究竟處于哪一水平，這要看它是對于哪個年級水平上的大多數(shù)學(xué)生或中等水平的學(xué)生能否作出回答而言。第三，某個學(xué)生對一道試題的回答也許不能說明他的行為水平。例理數(shù)”這一試題也許引出運用水平的行為，而不是分析水平的行為。當(dāng)一個學(xué)生第一次遇到一道題目，給出這道題目的解答也許是一種分析或運用水平的行為；而下一次遇到同樣的題目時，也許是處于計算水平的行為。第四，在決定把一道試題置于何種行為水平時，學(xué)生解題所用的方法也許能決定他的行為水平。對于某些試題，某些學(xué)生也許以分析水平的行為作出回答，而另外一些學(xué)生也許以常規(guī)的、運用水平的行為作出回答。例如，對于如下這道題目：“求從1至25的自然數(shù)之和”，解這道題可以直接運用加法法則，簡單地做1＋2＋3＋…＋25，這顯然是計算水平的行為，然而，如果采用像高斯(C．F．Gauss)那樣的解法，顯然是屬于分析水平的行為。二、國內(nèi)對數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)模型的探索在我國歷次制訂的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中，都沒有教學(xué)目標(biāo)的提法，而是將教學(xué)目標(biāo)包含在教學(xué)要求和具體要求之中。因此，教師在教學(xué)中有必要依據(jù)教學(xué)大綱制定教學(xué)目標(biāo)。我國進行數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)實驗研究的教師，多數(shù)直接采用布魯姆的六級分類法，或者根據(jù)實際和自身的理解建立目標(biāo)體系。例如，有的將認(rèn)知領(lǐng)域數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)劃分為五級水平：“記憶、了解、簡單應(yīng)用、綜合應(yīng)用、創(chuàng)見”；有的劃分為六級水平：“識記、理解、應(yīng)用、分析、綜合、創(chuàng)新”；也有的劃分為四級水平：“了解和認(rèn)識，理解、簡單應(yīng)用、解決較復(fù)雜的問題或提出新見解”。我們傾向于按國家教委1992年6月制訂的《九年義務(wù)教育全日制初級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(試用)》中教學(xué)要求的層次來劃分學(xué)習(xí)水平，即將認(rèn)知領(lǐng)域的數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)劃分為“了解、理解、掌握、靈活運用”四級水平。其理由是：第一，“了解、理解、掌握、靈活運用”四級學(xué)習(xí)水平與威爾遜的“計算、領(lǐng)會、運用、分析”四級行為水平是吻合的，比較符合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點；第二，我國對數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的研究目前尚處于起始階段，把教學(xué)目標(biāo)的確定與教學(xué)大綱一致起來，便于教師理解、掌握和貫徹大綱；第三，大綱對教學(xué)要求的四個層次所作的明確的界說，是我國廣大數(shù)學(xué)教師經(jīng)驗的結(jié)晶，因而這種劃分易于被大多數(shù)教師所接受；第四，上述教學(xué)目標(biāo)的四級水平中，了解水平和理解水平是對知識而言的，掌握水平是對技能而言的，靈活運用是對能力而言的。這樣的分類體現(xiàn)了教學(xué)目標(biāo)的層次性、順序性和相對性等特點，有利于教師在教學(xué)中將學(xué)生知識的學(xué)習(xí)、技能的訓(xùn)練和能力的發(fā)展落到實處。下面詳細介紹“了解、理解、掌握、靈活運用”這四級學(xué)習(xí)水平及其子類的特征。1．了解了解水平是指對數(shù)學(xué)概念、定理、公式、法則、圖形等知識有感性的、初步的認(rèn)識，能說出這些知識是什么，能夠在有關(guān)的問題中識別它們。了解相當(dāng)于識記。了解水平所要解決的是“知”與“不知”的問題，即只要求“知其然”，知道“是什么”。描述了解水平的行為動詞如：記住、識別、指出、畫出等。了解水平包括以下兩個子類。(1)識別、回憶。這一子類是指能再認(rèn)、再現(xiàn)、復(fù)述學(xué)習(xí)過的材料，能記住有關(guān)的數(shù)學(xué)符號、常數(shù)、術(shù)語等，能識別相近的或容易混淆的基本概念和基本規(guī)律，在解題過程中能回憶所學(xué)的基本概念、基本規(guī)律和數(shù)學(xué)方法等數(shù)學(xué)知識。(2)計算、畫圖。這一子類是指能在標(biāo)準(zhǔn)情境下，進行無需選擇算法的簡單計算，能按已經(jīng)學(xué)過的規(guī)則作簡單套用或機械模仿，能畫出簡單的幾何圖形和基本初等函數(shù)的大致圖象。上述兩個子類的測題，分別如下：例1下列等式中不成立的是[]2．理解理解水平是指對數(shù)學(xué)概念、定理、公式、法則、圖形等知識達到理性的認(rèn)識，能用自己的語言敘述和解釋它們，不僅能知道它們是什么，而且能知道它們的由來，并了解它們的用途及其和其他知識之間的聯(lián)系。理解水平相當(dāng)于領(lǐng)會。理解水平所要解決的是“懂”的問題，即要求“知其所以然”，知道“為什么”。描述理解水平的行為動詞如：能(會)概述、能解釋、能舉例說明等。理解水平包括以下三個子類。(1)解釋。這一子類是指能用自己的語言對數(shù)學(xué)問題所涉及的概念和原理進行敘述，能用語言概述其一般內(nèi)容，并能抓住其實質(zhì)和關(guān)鍵部分。(2)舉例。能舉出確切的實例說明被理解的對象。(3)轉(zhuǎn)換。這一子類是指能將所給出的數(shù)學(xué)問題從一種形式向另一種形式轉(zhuǎn)化。具體表現(xiàn)為能將語言的表達形式轉(zhuǎn)化為符號表達形式或圖形表示方式；或者是上述各種情形的逆過程。上述三個子類的測題，分別如下：例3舉出解集為空集的一元二次不等式的例子。例4舉出幾個軸對稱圖形的實例。例5用語言敘述“三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)”定理，并用圖形和數(shù)學(xué)式子表示出來。理解水平包含了解水平，即具有了解水平是達到理解水平的必要條件。但是，理解水平是比了解水平高一層次的認(rèn)知狀態(tài)，理解水平的記憶高于了解水平的識記。了解水平的識記可以是機械的，它只能在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下再認(rèn)和再現(xiàn)，是對數(shù)學(xué)知識的感性認(rèn)識；而理解水平的記憶是意義記憶或概括記憶，能在非標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下再認(rèn)和再現(xiàn)，是對數(shù)學(xué)知識的理性認(rèn)識。這是區(qū)別了解水平與理解水平的主要標(biāo)志。例如，學(xué)生學(xué)習(xí)了函數(shù)概念以后，能復(fù)述函數(shù)的定義，知道f(x)是表示函數(shù)的記號，這表示學(xué)生對函數(shù)概念達到了解水平。如果進一步能用自己的語言敘述函數(shù)的定義，懂得函數(shù)的兩個基本要素是它的定義域和對應(yīng)法則，此外，還知道函數(shù)可用解析式、表格和圖象等多種方法來表示，能辨別函數(shù)的肯定例證和否定例證等，這表示學(xué)生對函數(shù)概念已經(jīng)達到了理解水平。3．掌握一般說來，掌握水平是指在理解的基礎(chǔ)上，通過練習(xí)，形成技能，能夠(或會)用它去解決一些問題。掌握水平相當(dāng)于簡單應(yīng)用。掌握水平解決的主要問題是“會”與“不會”的問題。描述掌握水平的行為動詞如：能(會)計算、化簡、解、證明等。掌握水平包括以下三個子類。(1)運算。這一子類是指能根據(jù)數(shù)量關(guān)系選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ瑢?shù)、式實施恒等變形。(2)作圖。這一子類指能使用一定的作圖工具，作出符合預(yù)先給定條件的圖形，能正確反映圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系。(3)推理。這一子類指能將所給的信息概括成熟悉的模式，然后依據(jù)基本概念和基本原理揭示已知信息與未知元素之間存在的因果關(guān)系并作出判斷。上述三個子類的測題，分別如下：例7如圖1－4，求作一點P，使PC＝PD，并且使點P到∠AOB的兩邊OA、OB的距離相等。例8設(shè)0＜x＜1，a＞0，a≠1，試比較│loga(1－x)│與│loga(1＋x)│的大小，并說明理由。了解水平只是對知識的直接儲存，理解水平則是將知識加工整理后的系統(tǒng)儲存，掌握則需要對知識進行檢索。因此，一般說來，掌握是在理解的基礎(chǔ)上知識深化的表現(xiàn)。4．靈活運用靈活運用水平是指能夠綜合運用知識解決問題，并達到熟練、靈活的程度，從而形成能力。靈活運用相當(dāng)于熟練掌握、融會貫通。靈活運用水平要解決的主要問題是“熟”與“不熟”和“活”與“不活”的問題。描述靈活運用水平的行為動詞如：能(會)分解、選擇、分類、類比、歸納、組合等。靈活運用水平的行為標(biāo)志是能將學(xué)過的多種定義、公理、定理、法則、數(shù)學(xué)思想方法等綜合運用于新的情景中去，解決一些較復(fù)雜的非常規(guī)的數(shù)學(xué)問題，即把先前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移到一個新的情景中去。靈活運用水平包括對具體問題各組成部分的辨認(rèn)，各部分之間關(guān)系的分析和組織結(jié)構(gòu)的分析等。靈活運用水平包括以下兩個子類。(1)要素分析綜合。這一子類是指能將所給信息分解成各種要素，并進一步對名種要素進行加工，以便對給出的信息在整體上有一個認(rèn)識，并使這種認(rèn)識與抽象概念聯(lián)系起來，進而解決問題。(2)結(jié)構(gòu)關(guān)系分析綜合。這一子類是指能將所給信息分解成各個組成部分，弄清各部分的結(jié)構(gòu)及其關(guān)系，并進行重組，以形成一個新的、更清晰的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上確定解決問題的途徑。上述兩個子類的測題，分別如下：位于第一象限內(nèi)？例10邊長為1的等邊六邊形，它有三個內(nèi)角為直角，這個六邊形確定嗎？如果確定，說明理由；如果不確定，請找出兩個符合條件的六邊形。掌握水平與靈活運用水平都是通過應(yīng)用知識解決問題表現(xiàn)出來的，但所解決的問題有質(zhì)的區(qū)別，前者是常規(guī)問題，后者是非常規(guī)問題。處于掌握水平階段時，知識的運用限于同類課題，解決問題具有一定的方法和步驟；而處于靈活運用水平這一階段時，知識的運用需要突破同類課題或透過同類課題達到更高層次的境界。解決問題必須經(jīng)過聯(lián)想、類比等復(fù)雜的思維活動尋找解決問題的策略，具有創(chuàng)造水平。

第三節(jié)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的制定教學(xué)目標(biāo)的制定是教學(xué)目標(biāo)研究的一個課題，其中主要的問題是制定教學(xué)目標(biāo)的原則和方法。一、制定數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的原則制定數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)一般應(yīng)遵循以下原則。1．服務(wù)性原則教學(xué)大綱和教科書是制定教學(xué)目標(biāo)的主要依據(jù)。因此，要嚴(yán)格按照教學(xué)大綱和教科書制定各年級、各單元的教學(xué)目標(biāo)，落實雙基教學(xué)、加強思想情感教育，為實現(xiàn)教育的目的任務(wù)服務(wù)。2．適應(yīng)性原則中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱的制訂，既考慮了社會的需求和數(shù)學(xué)的特征，也考慮到我國大多數(shù)教師的狀況和學(xué)生所能達到的水平。大綱所規(guī)定的教學(xué)要求，理應(yīng)是全體學(xué)生都應(yīng)該達到的。但是，由于學(xué)生在知識、技能、能力、動機、興趣諸方面都存在著差異，所以，在制定教學(xué)目標(biāo)時，要從學(xué)生的實際出發(fā)，適應(yīng)不同基礎(chǔ)學(xué)生的水平。只有這樣，才能使每一個學(xué)生都在原有的基礎(chǔ)上學(xué)有所得，達到大面積提高教學(xué)質(zhì)量的目的。3．層次性原則教學(xué)目標(biāo)中關(guān)于“了解、理解、掌握和靈活運用”四級學(xué)習(xí)水平的界說要敘述清楚，涵義確切，界限明顯，層次分明，這可用適當(dāng)數(shù)量的有代表性的測題加以表征。測題是幫助教師和學(xué)生理解學(xué)習(xí)水平層次的最好、最具體的材料，在編制教學(xué)目標(biāo)時必須精心選擇。4．階段性原則數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須循序漸進，教學(xué)要求要逐步提高。特別是其中較重要的知識點，如絕對值的概念、函數(shù)的概念等，應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的年齡特點和認(rèn)知水平，在不同的教學(xué)階段提出不同的要求，避免在這些知識點的教學(xué)中出現(xiàn)要求偏高、偏低或前后脫節(jié)的現(xiàn)象。為此，教學(xué)目標(biāo)的編制者必須縱觀教學(xué)大綱和教科書，理清各知識點出現(xiàn)時序的變化、要求的變化和相互間的關(guān)系。5．可測性原則對教學(xué)質(zhì)量的評估，是以學(xué)生對教學(xué)目標(biāo)的達成度來衡量的，這是在教學(xué)后從學(xué)生的行為變化反映出來的。因此，根據(jù)“了解、理解、掌握、靈活運用”四級水平編制的教學(xué)目標(biāo)，在描述上盡量行為化，所用的行為動詞既要便于教師和學(xué)生掌握，也要便于測量。二、制定數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的方法1．編寫教學(xué)目標(biāo)規(guī)格表為了編寫規(guī)格表，首先要鉆研大綱和教科書，根據(jù)基礎(chǔ)知識以及知識的相對獨立性，劃分知識點，確定認(rèn)知內(nèi)容。認(rèn)知內(nèi)容構(gòu)成規(guī)格表的一個維度。其次，將學(xué)習(xí)水平劃分為“了解、理解、掌握、靈活運用”四級水平，確定每一知識內(nèi)容應(yīng)達到的學(xué)習(xí)水平，構(gòu)成規(guī)格表的另一個維度。例如，對于初中幾何中的全等三角形，可以編制如表1－1的教學(xué)目標(biāo)規(guī)格表。2．編寫學(xué)習(xí)水平的具體要求這是將教學(xué)目標(biāo)規(guī)格表具體化，行為化，即列出對每一認(rèn)知內(nèi)容學(xué)習(xí)水平的具體要求。例如，根據(jù)表1－1，可以寫出全等三角形教學(xué)目標(biāo)的各種水平。第一，屬于了解水平的有：能說出全等形的定義及對應(yīng)元素；能說出全等三角形的定義；知道全等三角形的記法；知道全等三角形的性質(zhì)；知道三角形的穩(wěn)定性。第二，屬于理解水平的有：能舉例說明面積相等的兩個三角形不一定全等；能畫圖說明兩邊一對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等；能畫圖說明三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等；能將文字?jǐn)⑹龅膽?yīng)用題轉(zhuǎn)換成用符號和圖形表示，并按圖形寫出“已知”、“求證”或“求”。第三，屬于掌握水平的有：能根據(jù)全等三角形的定義，在較復(fù)雜的圖形中找出兩個全等三角形的對應(yīng)元素；能運用全等三角形的判定公理或定理，準(zhǔn)確地判斷兩個三角形全等；直接利用全等三角形的性質(zhì)證明兩條線段相等或兩個角相等；能利用三角形全等求解簡單的實際問題。第四，屬于靈活運用水平的有：能綜合運用已學(xué)過的知識，將間接條件轉(zhuǎn)化為直接條件證明兩個三角形全等或進行推理論證；能綜合運用已學(xué)過的知識，通過兩次三角形全等進行推理論證。3．配置教學(xué)目標(biāo)的測題在制定教學(xué)目標(biāo)時，要配置適當(dāng)數(shù)量的有代表性的測題。測題的作用，一是用于表征教學(xué)目標(biāo)的水平層次，有利于教師和學(xué)生領(lǐng)會和把握教學(xué)目標(biāo)；二是用于測量屬于某級水平的數(shù)學(xué)行為。從理論上說，教學(xué)目標(biāo)就是測量目標(biāo)，但教學(xué)目標(biāo)本身不能直接用于測量，要通過測題將教學(xué)目標(biāo)轉(zhuǎn)化為具體的測量目標(biāo)。編制教學(xué)目標(biāo)測題是一項要求較高的技術(shù)性工作，它不僅需要較高的數(shù)學(xué)專業(yè)造詣，而且需要豐富的教學(xué)經(jīng)驗和一定的教育測量、評估方面的知識。了解水平的測題，目的是測量學(xué)生對已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)知識能否再認(rèn)、再現(xiàn)、復(fù)述和回憶。因此，了解水平測題應(yīng)有兩個特點：第一，測題測量的準(zhǔn)確程度和識別程度應(yīng)盡量與教學(xué)過程中實踐過的相一致；第二，測題一般不用新的術(shù)語和問題背景表述。理解水平的測題，目的是測量學(xué)生能否把握數(shù)學(xué)概念和原理的實質(zhì)，是否知道它們的由來和用途。因此，理解水平的測題的特點是，數(shù)學(xué)問題的背景材料應(yīng)在一定程度上不同于教學(xué)過程中使用過的材料，但是在內(nèi)容、表述和復(fù)雜性等方面可有類似的特征，轉(zhuǎn)換應(yīng)該包括信息的各種要素，但不包括它們之間的關(guān)系；解釋除了包括要素的轉(zhuǎn)換以外，還要求思考各要素之間的內(nèi)在聯(lián)系；舉例說明則要求用教學(xué)中未曾使用過的例子。掌握水平的測題，目的是測量學(xué)生將所學(xué)的數(shù)學(xué)概念和原理用于解決常規(guī)問題。因此，掌握水平的測題的特點是，要學(xué)生解決的問題是與他們在課程學(xué)習(xí)中遇到過的相類似的問題，是在所學(xué)知識的背景下，在學(xué)生熟悉的基礎(chǔ)知識、基本方法的范圍內(nèi)，對某一知識點和方法作簡單應(yīng)用。一般地說，解決問題都有一定的程序。靈活運用水平的測題，目的是測量學(xué)生解決非常規(guī)問題的能力。因此，靈活運用水平的測題的特點是，問題的情境應(yīng)該是新的，解決問題沒有現(xiàn)成的對策。在某些情況下，甚至可適當(dāng)采用并非教科書中獲得的知識和能力來解決問題。按照前述全等三角形的各級學(xué)習(xí)水平，可以配置以下測題。(1)了解水平的測題例1如圖1－5，把△ABC沿AB邊翻折180°得到△ABD，用符號表示這兩個三角形的全等關(guān)系。例2如圖1－6，△ABC≌△CDA，A和C、B和D是對應(yīng)頂點，寫出這兩個三角形中相等的邊和角。例3起重機的支架采用三角形結(jié)構(gòu)，這是因為三角形具有____。例4如果兩個三角形全等，那么它們的對應(yīng)外角是否相等？例5如圖1－7，△ADB≌△CEB，則AD＝____，∠CBE＝____，∠ABE＝____。(2)理解水平的測題例6判斷下列說法是否正確：所有的等邊三角形都全等；兩個等腰三角形必全等；底邊相等的兩個等腰直角三角形全等；兩個直角三角形的面積均為12cm2，則它們?nèi)龋粌蛇呉粚菍?yīng)相等的兩個三角形全等。例7如圖1－8所示的四個三角形中，判定△ABC與△DEF全等的依據(jù)是____。判定△ABC與△LMN全等的依據(jù)是____?！鰽BC與△PQR全等嗎？為什么？例8試用三角形全等的原理，說明如何測量小河兩端的距離(要求說明測量的步驟，且畫出圖形，寫出“已知”和“求證”)。(3)掌握水平的測題例9如圖1－9，△GAB≌△HDC，對應(yīng)角是____；△AEC≌△DFB，對應(yīng)邊是____。例10如圖1－10，已知AD＝AE，BD＝CE，求證△ABE≌△ACD。例11如圖1－11，已知AB＝CD，AD＝BC，求證∠B＝∠D。例12證明：等腰三角形兩腰上的中線相等(要求畫出圖形，寫出“已知”、“求證”，并進行證明)。(4)靈活運用水平的測題例13如圖1－12，已知∠ABC＝45°，AD是BC邊上的高，BE是AC邊上的高，AD、BE相交于H，求證BH＝AC。例14如圖1－13，已知AB＝AC，D是AB上一點，E是AC延長線上一點，BD＝CE，連結(jié)DE交BC于M，求證DM＝EM。例15如圖1－14，AB＝CD，BC＝DA，E、F是AC上兩點，且AE＝CF，求證BF＝DE。例16如圖1－15，AB＝AC，BD＝CD，求證AD⊥BC。例17在△ABC中，AD是BC邊上的中線，求證三、中學(xué)數(shù)學(xué)單元教學(xué)目標(biāo)例析為體現(xiàn)制定數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的原則和方法，這里再選取初中數(shù)學(xué)和高中數(shù)學(xué)各一個單元，分別列出它們的教學(xué)目標(biāo)規(guī)格表、各級學(xué)習(xí)水平的具體要求和測題。1．一元二次方程及其解法(1)教學(xué)目標(biāo)規(guī)格表(2)學(xué)習(xí)水平的具體要求第一，屬于了解水平的有：能記住整式方程的定義；能記住一元二次方程的定義；能熟記一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；能識別一元二次方程；能說出一元二次方程中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項；知道形如x2＝m(m≥0)或(ax＋n)2＝m(a≠0，m≥0)類型的一元二次方程可用直接開平方法來解；知道一元二次方程可用配方法變?yōu)?x＋n)2＝m的形式，再用直接開平方法求其解；記住一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在Δ＝b2－4ac≥0的條件下，求根公式為第二，屬于理解水平的有：知道用直接開平方法解一元二次方程的依據(jù)是平方根的定義；知道用配方法解一元二次方程的基本思路和方法；懂得用因式分解法解一元二次方程的關(guān)鍵是將二次方程降次為與其同解的兩個一元一次方程；懂得一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程。第三，屬于掌握水平的有：能熟練地用直接開平方法解形如(x－m)2＝n(n≥0)的方程；能熟練地用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；能推導(dǎo)一元二次方程的求根公式；能熟練地用求根公式解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；能用因式分解法解某些數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。第四，屬于靈活運用水平的有：能靈活運用四種解法解