第三章數(shù)學(xué)測驗的設(shè)計數(shù)學(xué)測驗是數(shù)學(xué)教學(xué)測量的主要手段，數(shù)學(xué)測驗題是這種測量的主要度量工具。隨著教育測量理論、計算機科學(xué)的迅速發(fā)展，設(shè)計數(shù)學(xué)測驗巳發(fā)生了顯著變化，其標(biāo)志就是對測驗題的研究客觀化，人工確定的操作和管理正在被計算機所代替。本章將探討編制數(shù)學(xué)測驗的步驟和擬造數(shù)學(xué)題的方法，并進一步研究有關(guān)數(shù)學(xué)題庫的一些問題。第一節(jié)編制數(shù)學(xué)測驗的步驟把數(shù)學(xué)測驗?zāi)繕?biāo)逐級分解為指標(biāo)系統(tǒng)，使各個指標(biāo)都可以直接進行測量的量化要素就是編制數(shù)學(xué)測驗。編制數(shù)學(xué)測驗一般有以下主要步驟。一、明確測驗?zāi)康拿鞔_測驗?zāi)康木褪敲鞔_測驗主辦者通過測驗企求獲得的信息。這種信息包括被試的學(xué)習(xí)狀態(tài)、學(xué)習(xí)水平在被測群體中所處的位置，以及教學(xué)的效果等。測驗分數(shù)是這種信息的數(shù)量表現(xiàn)形式。為了保證獲得有效的信息，可從以下幾條途徑明確測驗的目的。首先，通過明確測驗的性質(zhì)明確測驗?zāi)康摹y驗性質(zhì)是測驗?zāi)康牡闹匾w現(xiàn)。在實際操作中要弄清測驗是常模參照測驗，還是標(biāo)準參照測驗；是形成性測驗，還是總結(jié)性測驗等。其次，通過明確測驗的知識容量明確測驗?zāi)康摹y驗?zāi)康臎Q定測驗題的知識容量，測驗所涉及的知識本身是揭示被試學(xué)習(xí)水平的最基本的評估要素。一般說來，要明確采用測試群體已學(xué)的所有知識中哪些是測驗應(yīng)涉及的。例如，學(xué)完“排列、組合、二項式定理”的測驗，可以是只涉及該單元知識的測驗，也可以是兼顧已學(xué)過其他單元內(nèi)容的測驗。第三，通過明確測驗題的綜合程度明確測驗?zāi)康摹y驗題是鑒別被試達到特定目標(biāo)水平的試金石，測驗題的這種功能很大程度上取決于它的綜合程度。一般而言，從單元測驗、期中測驗、期末測驗到會考，其測驗題的綜合程度呈遞增趨勢。第四，明確測驗?zāi)康倪€要明確影響獲得測驗信息的其他有關(guān)因素，以保證最大限度地獲得有效信息。這些因素包括組織測驗的形式、參加測驗的人數(shù)、命題的規(guī)格、應(yīng)試的情景、對被試不同的要求方式等。二、制定命題原則為了使測驗達到預(yù)期的目的，提高測驗的質(zhì)量，命題工作一般應(yīng)遵循如下原則。1．命題必須以數(shù)學(xué)教學(xué)大綱為依據(jù)，以教科書為主要參考材料。測驗所涉及的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能和能力不能超出大綱中規(guī)定的教學(xué)內(nèi)容的范圍和教學(xué)要求的水平層次。2．試題內(nèi)容不能違背數(shù)學(xué)的概念和原理。試題的條件應(yīng)恰當(dāng)，試題的結(jié)論應(yīng)可行，條件與結(jié)論應(yīng)是和諧的。3．試題的取樣應(yīng)有代表性。樣本要能夠體現(xiàn)測驗的內(nèi)容范圍與要求，有較大的覆蓋面，同時也要使各部分內(nèi)容各占適當(dāng)?shù)陌俜直龋⒆⒁饪疾榻虒W(xué)內(nèi)容中的重點部分。4．試題的數(shù)量要恰當(dāng)。既要使大多數(shù)考生能在規(guī)定的時間內(nèi)完成解答，又要使他們感到時間并不十分充裕。5．試題的難度要合適。試題的難度必須適合大多數(shù)被試的水平，要按由易到難的順序編排試題，使按順序的各題難度構(gòu)成一個合適的坡度。6．各個試題之間應(yīng)保持互相獨立。不要使一個試題的解答對另一個試題的解答有暗示作用。7．試題一般應(yīng)有多種解法。要使某些試題有較好的解法，讓部分被試充分展示他們的創(chuàng)造性思維能力。8．試題的表述必須清楚明白。試題中用詞不能模棱兩可，文句要簡明扼要，圖形要正確，對解題要求的敘述必須準確、明了。9．題型應(yīng)多樣。要有客觀性試題，也要有陳述性試題，各類題所占的百分比應(yīng)恰當(dāng)。10．評分標(biāo)準應(yīng)合理。測驗題的解答過程應(yīng)該是可以量化的，其量化尺度是通過評分標(biāo)準給出的，命題應(yīng)有利于制定清晰可辨、公平合理的評分標(biāo)準。三、編制測驗方案1．選定測驗的知識載體分析測驗題的功能和結(jié)構(gòu)形式可以發(fā)現(xiàn)，它的本質(zhì)是為評估被試的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本能力等教學(xué)目標(biāo)水平狀態(tài)提供工具，從而具有度量工具的功能，而它的結(jié)構(gòu)形式是由相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識表述的，并且對同一教學(xué)目標(biāo)水平的測驗題可用不同的數(shù)學(xué)知識加以表述，表述測驗題的數(shù)學(xué)知識稱為測驗題的數(shù)學(xué)知識載體。數(shù)學(xué)測驗的內(nèi)容確定后，選定數(shù)學(xué)測驗題知識載體的途徑有兩種：一種是把測驗所涉及的內(nèi)容逐步分解到數(shù)學(xué)教學(xué)大綱所規(guī)定的知識點，然后選擇適量的、重要的知識點作為測驗的知識載體；另一種是對測驗可能涉及的原始知識點進行聚類分析(關(guān)于聚類分析，見參考書［12］)。作指標(biāo)Ai與指標(biāo)Aj的相似系數(shù)(相關(guān)系數(shù))這里m為被評知識點數(shù)，xik表示第i項指標(biāo)對第k個知識點的評估值，第i項指標(biāo)的平均數(shù)。聚類時只要把兩類之間的歐氏距離改為相似系數(shù)，先合并相似系數(shù)最大的知識點，依次進行到最后，將所有知識點歸并為一類，再利用適當(dāng)?shù)拈撝祵y驗?zāi)繕?biāo)分成恰當(dāng)?shù)念愐源_定測驗的知識載體。2．預(yù)定測驗的時間根據(jù)解答測驗題所需的時間調(diào)整測驗題和實際作答所需時間。預(yù)定測驗的時間應(yīng)大于實際作答時間，以便讓被試有時間驗算自己的解答，以提高測驗的真實性。3．確定能力水平層次這里的能力，是指學(xué)生通過學(xué)習(xí)在認知行為上所達到的目標(biāo)。能力水平的分層模式既要反映目標(biāo)的整體要求，又要便于量化測量。至于層次劃分的多少，以及記載能力層次的術(shù)語則無統(tǒng)一要求，選用何種能力層次劃分模式可視具體情況而定。4．選取題型同一知識點和能力層次可通過不同類型的試題予以測量。若只考察解答的最終結(jié)果是否正確，則可選用填空題、是非題、選擇題等客觀性試題；而對于需要考察解答全過程的測驗，一般宜采用陳述性試題。選擇題是一種由題干和選擇支兩部分組成的題型。選擇支是題目的備選答案，一般有4～5個，其中至少有一個是正確的。正確的選擇支叫做正選支。不正確的選擇支稱為迷惑支，在題目中起干擾作用。在數(shù)學(xué)測驗中，經(jīng)常使用的是有且只有一個正選支的選擇題。這樣的選擇題必須滿足以下要求：一是，正選支應(yīng)當(dāng)是唯一的；二是，各選擇支之間應(yīng)當(dāng)是平等的、協(xié)調(diào)的，不能存在包含或交叉關(guān)系；三是，題中的各個迷惑支，應(yīng)當(dāng)是學(xué)生在解題中可能發(fā)生的錯誤，以確實起到干擾作用，同時也為改進教學(xué)提供信息；四是，在一組選擇題中，各正選支的代號不要過多地用某一個字母，正選支的排列應(yīng)無規(guī)律可循；五是，不要濫用“以上都不對”這樣的選擇支，尤其是不要使它成為正選支。例1過ABCD的頂點A作SA垂直于平面AC，則直線AB、BC、CD、DA、AC、BD、SA、SB、SC、SD中每兩條確定的垂直平面的組數(shù)有[](A)2；(B)3；(C)4；(D)5。本題中ABCD的性質(zhì)對作出正確的選擇沒有影響，所涉及的知識只是面面垂直的直接判定，所設(shè)的迷惑支也起不到干擾作用，因而本題是有缺陷的。若將題中的平行四邊形改為矩形，則有：過矩形ABCD的頂點A作SA垂直于平面AC，則直線AB、BC、CD、DA、AC、BD、SA、SB、SC、SD中的每兩條確定的垂直平面的組數(shù)有[](A)3；(B)5；(C)6；(D)7。與原題相比，矩形ABCD的內(nèi)角均為直角，將對被試正確作答產(chǎn)生影響。被試要6次利用面面垂直的判定定理，3次利用線面垂直的判定定理，以及運用線線垂直的判定定理，對計數(shù)的準確性也有一定的要求，所設(shè)的迷惑支均是不同程度錯誤計數(shù)的結(jié)果。若把矩形改為正方形，又有：過正方形ABCD的頂點A作SA垂直于平面AC，則直線AB、BC、CD、DA、AC、BD、SA、SB、SC、SD中每兩條確定的垂直平面的組數(shù)有[](A)3；(B)5；(C)6；(D)7。與矩形的情形相比，正方形對角線的位置關(guān)系也將影響被試正確作答，此時除矩形的解題要求外還涉及線面垂直的性質(zhì)定理。由于對角線分別所在的兩個平面位置有幾種情況，因而要求被試有很強的空間想象力和靈活運用所涉及的知識的能力才能判斷垂直平面的組數(shù)。例2已知(a2＋a－6)x2＋(a2＋a－6)y2＋4－a2＝0表示圓，則a的取值范圍是[](A)a＜－3，a＞2，－2＜a＜2；(B)－2＜a＜2；(C)－3＜a＜－2；(D)a≠－3，a≠2的實數(shù)。本題四個選擇支的表述差異很大，而正選支(A)的地位尤其突出，容易引起被試的猜測而選(A)，為了彌補這些不足可將原題改為：已知(a2＋a－6)x2＋(a2＋a－6)y2＋4－a2＝0表示圓，則a的取值范圍是[](A)a＜－3，a＞2，－2＜a＜2；(B)a＜－2，a＞2，－3＜a＜2；(C)a＜－3，a＞2，－3＜a＜2；(D)a＜－2，a＞2，－2＜a＜2。新擬造的選擇支，是兼顧到求a的取值范圍時易出現(xiàn)的錯誤加工而成的，在保留錯誤性質(zhì)的基礎(chǔ)上各選擇支的結(jié)構(gòu)和諧一致，可減少被試猜對的可能性。(A)｛2｝；(B)｛－1｝；(C)｛x|x≤－1｝；(D)φ。本題是一道高考題，從抽取498名考生答題情況看，347人選(B)，9人選(C)，142人選(D)，無人選(A)，由此可見迷惑支(A)沒有干擾力，(C)的干擾力也很差。究其原因，是(A)中的集合明顯不是集合A的子集，(C)也一樣，因而不借助集合B即可斷定(A)、(C)都不是正選支。為了降低集合A對作答的提示作用，本題可改為：(A)｛3｝；(B)｛－1｝；(C)｛x|－1≤x≤3｝；(D)φ。新設(shè)立的選擇支(A)中的集合是集合A的子集，只有借助集合B才能判定(A)是否為正選支；新設(shè)立的(C)與原題中的(C)在錯驗證來判明(C)是否為正選支。5．分配測驗總分分配測驗總分就是將測驗總分分解，并賦給各試題具體分值。與分值相結(jié)合的試題的全體即構(gòu)成具體獲得測驗?zāi)繕?biāo)的工具。怎樣分配測驗總分呢？確定試題和解答試題所涉及的知識點，同時考慮各知識點在解題中的作用和正確解答該題所需的最高能力水平，以此為依據(jù)來確定分數(shù)Sij。這樣就可構(gòu)造出測驗方案——雙向細目表。表3－1是雙向細目表的一般形式。表中Sij表示能力j層次在知識點i上的得分，這里知識點的劃分是相對于測驗的內(nèi)容范圍而言的，有時也可用相對獨立的知識單元作為知識點。如果所得的雙向細目表不能反映測驗的目的要求，則可調(diào)整試題，經(jīng)過數(shù)次調(diào)整就可得到較為滿意的測驗方案和測驗題。例如，經(jīng)多次調(diào)整后，全國初中數(shù)學(xué)教學(xué)抽樣調(diào)查測試方案如表3－2(見下頁，測試題見附件一)。6．制定評分標(biāo)準評分標(biāo)準是閱卷評分應(yīng)遵循的準則。它包括預(yù)先判明(估計)被試解答的評分標(biāo)準和預(yù)先不能判明被試解答的評分標(biāo)準兩個部分。

第二節(jié)數(shù)學(xué)題的擬造由已知條件、已知條件展開的數(shù)學(xué)邏輯敘述(推理)過程，及由此得到的結(jié)論這三個要素組成完整數(shù)學(xué)意義的陳述。隱去或部分隱去真實、確定的完整數(shù)學(xué)意義陳述的構(gòu)成要素，要求應(yīng)答者構(gòu)造完整數(shù)學(xué)意義的陳述。這種構(gòu)造過程就是擬造數(shù)學(xué)題。擬題的方法有以下幾種。一、改編陳題習(xí)慣上把數(shù)學(xué)教科書中的例題、習(xí)題和其他各類書刊上已有的題目等稱為陳題。根據(jù)陳題擬造新題，所得的新題源于陳題，又有新意，對作答者要求的針對性較強。它是擬造新題的一種常用方法。1．變更陳題的結(jié)論擬造新題這種擬造新題的方法是保持陳題的條件不變，變更陳題的結(jié)論。怎樣變更結(jié)論呢？(1)將陳題的結(jié)論特殊化擬造新題例1已知數(shù)列｛an｝滿足其中c≠0，且c≠1，證明這個數(shù)列的通項公式是(選自高級中學(xué)課本《代數(shù)》(下冊))若考察這個數(shù)列的第10項，可擬造如下的題目：已知數(shù)列｛an｝滿足其中c≠0，且c≠1，求a10。(2)將陳題的結(jié)論作為中間結(jié)果擬造新題例2如圖3－1，⊙O1和⊙O2外切于點A，BC是⊙O1和⊙O2的公切線，B、C是切點，求證AB⊥AC。(選自初級中學(xué)課本《幾何》(第二冊))將AB⊥AC作為進行下一步推理的條件，可擬造如下的題目：如圖3－1，⊙O1和⊙O2外切于點A，BC是⊙O1和⊙O2的公切線，B、C是切點，求證：以BC為直徑的圓必與線段O1O2相切于點A。(3)將陳題的結(jié)論作等價變換擬造新題例3求證：將等式的右邊作等價變換，可擬造如下的題目：求證：2．變更陳題的條件擬造新題這種擬造新題的方法是保持結(jié)論不變，變更陳題的條件。變更條件有如下途徑。(1)將陳題的條件作等價變換擬造新題例4設(shè)(x－3)2＋(y－1)2＝0(x，y為實數(shù))，求x、y。(選自初級中學(xué)課本《代數(shù)》(第四冊))等價變換本題條件的表述形式，可擬造如下的題目：已知x2－6x＋y2－2y＋10＝0(x，y為實數(shù))，求x、y。(2)尋找得到陳題條件的條件擬造新題例5已知數(shù)列｛an｝，其中an＝cosnα(0＜α＜π)，求a1－a2＋a3－a4＋…＋(－1)k+1ak＋…－a2n＋a2n+1。由an＝cosnα可得an＝2an-1cosα－an-2，但反之不然。為了能由an＝2an-1cosα－an-2，得出an＝cosnα，顯然還需附加規(guī)定a1＝cosα，a2＝cos2α。這樣可擬造如下的題目：已知數(shù)列｛an｝，其中a1＝cosα，a2＝cos2α，an＝2an-1·cosα－an-2(n≥3，0＜α＜π)，求a1－a2＋a3－a4＋…＋(－1)k+1ak＋…－a2n＋a2n+1。(3)將陳題的條件一般化擬造新題例6如圖3－2，已知點C為線段AB上一點，△ACM與△CBN均是等邊三角形，求證：AN＝BM。(選自初級中學(xué)課本《幾何》(第一冊))該題中C點被限制在AB上。一般地，若C是任意一點，也有同樣的結(jié)論，這樣可擬造如下的題目：如圖3－3，已知點C是任意一點，△ACM與△BCN均是等邊三角形，求證：AN＝BM。(4)將條件特殊化擬造新題例7已知P為定角∠XAY的平分線上的定點，過P、A兩點任作一圓與AX交于點B，與AY交于點C，求證AB＋AC為定值。過P、A兩點任作一圓與AX交于點B，與AY交于點C，求證AB＋AC為定值。3．同時變更陳題的條件和結(jié)論擬造新題同時變更陳題的條件、結(jié)論是一種較為有效的擬題方法。(1)通過類比關(guān)系擬造新題將陳題的知識背景與另一知識背景建立類比關(guān)系，從而擬造出類似的問題(新題的正確性用另外途徑加以證明)。例8證明圓內(nèi)接n(n≥3)邊形中的面積最大者為正n邊形。若已知圓的半徑為R，求出這個最大面積。有x′2＋b2y′2＝R2，進一步可得這樣把圓壓縮(拉伸)為橢圓，從而圓與橢圓可進行類比。對于橢圓，可擬造類似的題目：(2)將陳題的條件和結(jié)論同時一般化擬造新題例9已知a，b∈R＋，a≠b，求證a4＋b4＞a3b＋ab3。(選自高級中學(xué)課本《代數(shù)》(下冊))分別將條件和不等式左、右兩邊各項同時一般化，有：若ai∈R＋(i＝1，2，…，n)，n，m，p，q均為自然數(shù)，且p＋q＝m，求證：當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an時等號成立。(3)將陳題的條件和結(jié)論同時特殊化擬造新題例10如圖3－4，AB和平面α所成的角是θ1，AC在平面α內(nèi)AC和AB的射影AB′成角θ2，設(shè)∠BAC＝θ。求證：cosθ1·cosθ2＝cosθ。(選自高級中學(xué)課本《立體幾何》(乙種本))令θ＝60°，則可將該題的部分條件和結(jié)論特殊化，并擬造出如下的題目：如圖3－4，AB和平面α所成的角是θ1，AC在平面α內(nèi)，AC和AB的射影AB′成角θ2，若∠BAC＝60°，求證：2cosθ1cosθ2－1＝0。(4)交換陳題中的條件和結(jié)論擬造新題將陳題中的條件與結(jié)論全部交換，或?qū)⒉糠謼l件與部分結(jié)論交換，擬造新題。例11如果f(x)＝ex，求證f(x)f(y)＝f(x＋y)。(選自高級中學(xué)課本《代數(shù)》(上冊))將該題的部分條件和結(jié)論互換，可擬造如下的題目：已知f(x)不是常數(shù)函數(shù)且滿足f(x)f(y)＝f(x＋y)，求證f(n)＝［f(1)］n(n∈N)。(5)以陳題作為解題依據(jù)擬造新題有些陳題本身是重要的命題，利用它可以擬造新題。例12如果兩條曲線的方程是f1(x，y)＝0，f2(x，y)＝0，它們的交點是P(x0，y0)，證明方程f1(x，y)＋λf2(x，y)＝0的曲線也經(jīng)過點P(λ是任意實數(shù))。(選自高級中學(xué)課本《平面解析幾何》)利用本題作為解題依據(jù)可擬造如下的題目：求經(jīng)過圓x2＋y2－10x－10y＝0與圓x2＋y2＋6x＋2y－40＝0的交點，且過點(4，5)的圓的方程；求證三個圓x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，x2＋y2－6x＋4y＋1＝0，有兩個公共點。二、編制新題1．利用實際問題擬造數(shù)學(xué)題通過建立數(shù)學(xué)模型，將實際問題抽象出新的數(shù)學(xué)問題。這類題的結(jié)構(gòu)為：實際問題情景，數(shù)學(xué)模型化，解數(shù)學(xué)模型，從而解答這個實際問題，其目的是為了測量被試靈活運用所學(xué)數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力，而解答這類題的關(guān)鍵，是從所學(xué)的數(shù)學(xué)知識中選取合適的數(shù)學(xué)知識，將實際問題數(shù)學(xué)化，因此擬出的題的本身應(yīng)盡量減少暗示被試采用某種數(shù)學(xué)知識作答。例13某人想利用樹影測樹高。他在某—時刻測得1米長的竹竿影長為0.9米。他同時測樹高時，因樹靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有部分影子在墻上。他測得留在地面部分的影長為2.7米，留在墻壁部分的影高為1.2米。求樹高。擬造這類題時，應(yīng)先選定日常生活中的事實作為背景，然后用合適的數(shù)學(xué)語言來表述它。為了便于被試者理解，必要時需對實際問題進行適當(dāng)加工。2．利用數(shù)學(xué)自身問題擬造新題利用已學(xué)過的數(shù)學(xué)命題間的不同組合進行邏輯推導(dǎo)，是擬造新題的主要方法。(1)由給定的條件確定結(jié)論擬造新題先給出題目的已知條件，由已知條件推出其結(jié)論，然后比較其中獨立結(jié)論得到的途徑，以確定作為新題的結(jié)論。例14如圖3－5，已知三棱錐S－ABC的側(cè)棱SA、SB、SC兩兩垂直。由此可得以下結(jié)論：三個側(cè)面兩兩垂直；底面△ABC是銳角三角形；頂點S在底面的射影H是△ABC的垂心；△SAB的面積是△HAB的面積和△ABC的面積的比例中項；底面積的平方等于各側(cè)面積的平方和；三棱錐S－ABC的體積設(shè)SA＝a，SB＝b，SC＝c，SH＝h，又有：選取上面的結(jié)論與已知條件相匹配即可擬造很多題目。例如：如圖3－5，已知三棱錐S－ABC的側(cè)棱SA、SB、SC兩兩垂直，求證底面積的平方等于各側(cè)面積的平方和，且其體積(2)由給定的結(jié)論確定條件擬造新題先給定結(jié)論，再尋找結(jié)論成立的充分條件，然后比較其中獨立條件得到的途徑以確定新題的條件。b的具體值；也可給出a2＋b2與ab的值；或者給出a＋b與ab的值，這樣可擬造如下的題目：(3)利用基本量法擬造新題在一個系統(tǒng)中，如果任意一個量都可由幾個量導(dǎo)出，而這幾個量又不能相互導(dǎo)出，則稱這幾個量為該系統(tǒng)的基本量。利用基本量法擬造數(shù)學(xué)題的思路：弄清系統(tǒng)的量，確定系統(tǒng)基本量并給予賦值，設(shè)計條件擬造題并審定計算順序。應(yīng)該指出，一個系統(tǒng)的基本量不一定相同。例如與等差數(shù)列｛an｝相應(yīng)的量有a1、n、an、Sn、公差d等，而a1、d、Sn和d、n、Sn分別可作為它的基本量。利用等差數(shù)列的基本量可擬造如下題目：在等差數(shù)列｛an｝中，a6＋a9＋a12＋a15＝30，求S20。(4)利用新的數(shù)學(xué)概念、運算法則擬造新題利用新規(guī)定的概念、法則等擬造數(shù)學(xué)題的主要步驟為，首先用中學(xué)數(shù)學(xué)的概念、法則等闡述新概念、法則的意義，然后用新概念、法則提出數(shù)學(xué)題。例如，用中學(xué)數(shù)學(xué)語言揭示不動點的意義后，可擬造如下的題目：如果函數(shù)f(x)的定義域為實數(shù)集，而實數(shù)c使得f(c)＝c，則稱c是f(x)的一個不動點。設(shè)f(x)的不動點數(shù)為有限多個，下述命題“若f(x)是奇(偶)函數(shù)，則它的不動點數(shù)目為奇(偶)數(shù)?！笔欠裾_？若正確請給予證明，若不正確請舉一個例子說明。應(yīng)該指出，本題除對不動點的概念在中學(xué)數(shù)學(xué)范圍內(nèi)作出解釋外，不動點數(shù)為有限多個的條件也極為必要，否則f(x)＝x的不動點數(shù)是不可數(shù)的，當(dāng)然不存在總個數(shù)的奇偶性問題。同樣，f(x)＝|x|的不動點數(shù)也是不可數(shù)的，也就不存在總個數(shù)的奇偶性問題。(5)以高等數(shù)學(xué)知識為背景擬造新題以高等數(shù)學(xué)的思想和知識為背景，把高等數(shù)學(xué)中的問題初等化，可以擬造新題。如(4)中不動點的定義和只有有限個不動點的條件，可看成構(gòu)造這類題的例子。下面再舉一例。高等幾何中有一個帕斯卡(Pascal)定理：“二階曲線內(nèi)接六角形的對邊交點共線”。在這個定理中，把二階曲線特殊化為圓，內(nèi)接六角形用內(nèi)接六邊形代替，相應(yīng)的對邊改為對角線，則可擬造以下的題目：已知圓的內(nèi)接六邊形的頂點為A(－3，4)，B(0，5)，C(4，3)，D(4，－3)，E(－3，－4)，F(xiàn)(－5，0)，求證AE與FB的交點、AD與CF的交點、BD與CE的交點在同一直線上。利用帕斯卡定理的對偶定理“二階曲線的外切六邊形的對頂點連線共點”(這個定理被稱為布里安桑(Brianchon)定理)，則可擬造如下的題目：已知六邊形HIJKLM與圓相切于點A(－3，4)，B(0，5)，C(4，3)，D(4，－3)，E(－3，－4)，F(xiàn)(－5，0)。求證HK、IL、JM三條直線共點。若把圓改為橢圓，顯然也可得到類似的題目。(6)不完全確定條件或結(jié)論擬造新題到目前為止，我們所探討的數(shù)學(xué)題，其條件和結(jié)論均是完全確定的。但在數(shù)學(xué)教學(xué)中，還經(jīng)常使用結(jié)論或條件不完全確定的題的擬造方法。請看下面幾道例題：例16設(shè)a、b是兩個實數(shù)，A＝｛(x，y)｜x＝n，y＝na＋b，n為整數(shù)｝，B＝｛(x，y)｜x＝m，y＝3m2＋15，m是整數(shù)｝，C＝｛(x，y)｜x2＋y2≤144｝是平面內(nèi)點的集合，討論是否存在a和b使得A∩B≠φ，且(a，b)∈C同時成立。例17求在Acos2θ＋Bcos2(ψ＋θ)＋Ccosθcos(ψ＋θ)的值與θ無關(guān)的條件。例18設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0。指出S1，S2，…，S12中，哪一個值最大，并說明理由。例19設(shè)△ABC的三邊a、b、c滿足an＝bn＋cn(n∈N，n≥2)。試判定△ABC的類型。由這幾個例題可以看出，擬造這類題需對所探求的條件或結(jié)論的范圍作限制，而且這個限制表現(xiàn)在解答過程需要對條件或結(jié)論進行討論。還應(yīng)指出的是在數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，有時還使用由給定的條件(結(jié)論)所導(dǎo)出的結(jié)論(條件)難以限制的題作新題。這類題對培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維是有益的。例20任意一直線截ABCD，分別交BC、CD于F、G，交AB、AD的延長線于E、H，⊙EFC與⊙GHC的另一交點為Q，請寫出由此條件出發(fā)可能得到的結(jié)論，并說明理由。結(jié)論1∠QEH＝∠CAD；結(jié)論2∠GDH＝∠GHQ＋∠QEF；結(jié)論3△EQH∽△CBA，△EQH∽△ADC；結(jié)論4EQ·AC＝EH·BC，EQ·AB＝EH·AD；結(jié)論5∠EQC＝∠GFC，∠HQC＝∠FGC；結(jié)論6∠EQH＋∠A＝180°；結(jié)論7A、E、Q、H四點共圓；結(jié)論8∠FQA＝∠EHA；結(jié)論9Q在AC上；結(jié)論10EH的移動對Q在AC上無影響。由于該題的結(jié)論數(shù)難于預(yù)控，制定評分標(biāo)準困難，擬定試題時應(yīng)避免此類題型。

第三節(jié)題庫反映現(xiàn)代編制數(shù)學(xué)測驗技術(shù)的題庫理論和它的應(yīng)用，主要涉及題庫的意義、題庫建設(shè)、利用題庫生成數(shù)學(xué)測驗題這三個方面的內(nèi)容。一、題庫的意義20世紀中葉，迅猛發(fā)展的世界經(jīng)濟迫使人們尋找編制測驗的新技術(shù)，以保證客觀、準確、及時地選拔人才，題庫正是順應(yīng)這一時代潮流需要的產(chǎn)物。題庫的建立使編制測驗技術(shù)發(fā)生了根本性的變革。在已建立的不同級別、不同類型題庫的實踐中，已顯示了題庫的優(yōu)越性。1．題庫的概念題庫是帶有必要參數(shù)的大量題目的有機組合。按建設(shè)題庫的主管單位劃分，有國家級、省級、校級等題庫；按其生成測驗題的能力，則可分為只能生成一種測試性質(zhì)的單功能題庫，以及能生成兩種或兩種以上測試性質(zhì)的多功能題庫；按構(gòu)成題庫的學(xué)科可分為單分支學(xué)科題庫和多分支學(xué)科題庫；按接受測試的對象來分，則有適宜于各級、各類在校學(xué)生與適用于非在校人員的題庫。容量小的題庫往往只有單功能，而國家級和省級題庫一般具有多種功能。題庫除了能完成建庫所規(guī)定的任務(wù)外，還應(yīng)符合如下標(biāo)準：(1)高效、經(jīng)濟、保密、易于管理；(2)庫題的質(zhì)量應(yīng)是較高的，能預(yù)控，且等值可比；(3)題庫應(yīng)便于技術(shù)上的維修，并不斷完善和增加新庫題，具有根據(jù)考試水平的變化及時修改庫題的參數(shù)值的能力。2．建立題庫的基本條件建立題庫一般應(yīng)具備如下基本條件：(1)有一個成熟、穩(wěn)定、明確的考試大鋼。這個大綱應(yīng)對不同性質(zhì)、層次和目的考試的內(nèi)容、能力要求，考試方式和對象作出明確說明，以便明確庫題的內(nèi)容、題型、權(quán)重和完成時量，避免構(gòu)造無效庫題。(2)有一個命題和審題的專門隊伍。命題的專門隊伍由職業(yè)專家和兼職人員(有關(guān)學(xué)科的教師和愛好者)組成，其任務(wù)是根據(jù)考綱擬造題目。而審題班子，則是由各種測評專家和經(jīng)驗豐富的教師組成的，鑒定題目能否入庫的具有決定性的權(quán)威組織。(3)有科學(xué)有效地測試擬入庫題指標(biāo)的方法。對于一個題目，必須判明其適宜性、難度、區(qū)分度、及格要求度、信息函數(shù)值等才能決斷該題能否入庫。目前，用經(jīng)典測驗理論(CTT)建立的難度、區(qū)分度等指標(biāo)法，在建設(shè)題庫時仍在使用；由項目反應(yīng)理論(IRT)建立的適宜性、難度、區(qū)分度、及格要求度、信息函數(shù)值等指標(biāo)法，在一定場合下對確定庫題也非常有效。但由于CTT對樣本依賴性強，而IRT對多級評分模型又不能直接使用，所以建設(shè)題庫的權(quán)宜之計是CTT與IRT并用。(4)有建立庫題的分類系統(tǒng)。為便于管理，對庫題必須進行分類。分類標(biāo)準可以是知識結(jié)構(gòu)，也可以是題目的指標(biāo)值。整個分類系統(tǒng)由基本情況(名稱和索引、編制和使用情況、來源和加工情況等)、內(nèi)容分類、試測數(shù)據(jù)(指標(biāo)狀況)、答案等組成。(5)有大量的題目。校級單功能題庫，一般實際考題數(shù)與庫題數(shù)之比不低于1∶10，而省級、國家級的題庫，按照多功能性的要求，其庫題數(shù)應(yīng)逾萬。(6)有合理完善的保存庫題的方法。無論是用題卡還是用計算機保存庫題，都必須完整地記載分類細目，而且要利于檢索和管理。二、題庫的建設(shè)建設(shè)題庫，首先必須把好題目的入庫關(guān)。題目入庫后，還必須建立相應(yīng)的管理、維護和擴充題庫的措施。1．選擇庫題的標(biāo)準根據(jù)所建題庫用于編制測驗題的性質(zhì)，CTT與IRT各有確定庫題的標(biāo)準。(1)利用CTT確定庫題φ－系數(shù)法是用于CTT建立題庫時的簡單易行的確定庫題的方法。通常規(guī)定其中PH表示成績好的答對率，PL表示成績差的答對率，當(dāng)被測總數(shù)N＞30時，計算PH、PL的人數(shù)均取27N%，而具體操作為：第一步，求出φ。根據(jù)抽取的被試樣本的測試結(jié)果，利用φ－系數(shù)公式求出φ值。第二步，檢驗。利用大于φ0.05，就可保證肯定性判斷錯誤的可能性不超過5%。一般地，當(dāng)φ≥0.5時有較好的區(qū)分度。如圖3－6，其陰影部分中的點(φ，P)所對應(yīng)的題可入選為庫題。φ－系數(shù)法的精確性很大程度上依賴于被抽取的測試樣本，而且等值問題未能得到有效解決，對于庫題的參數(shù)也未能予以充分揭示。盡管如此，在建立小型題庫(如校級題庫)時，它仍不失為一種可行的方法。(2)利用IRT確定庫題IRT是一種關(guān)于能力測量的理論。它的理論基礎(chǔ)是能力單維性(每題只測驗一種能力)，局部獨立性(考生對測驗各題的反應(yīng)在統(tǒng)計上是獨立的)，題目特征曲線(ICC)，完成時間充分性(考生完成測驗題的時間是足夠的)四個假設(shè)。它包括復(fù)雜程度不同的多個模型，目前被廣泛使用的是下面的邏輯斯蒂(logistic)模型。三參數(shù)模型(其中難度b，區(qū)分度a，猜測因素c)二參數(shù)模型(其中難度b，區(qū)分度a)單參數(shù)模型(其中難度b)又稱拉什(Rasch)模型以上三個模型中參數(shù)取值的正常范圍分別為：0≤ai≤2，－3≤bi≤3，0≤ci≤1，D＝1.7(D被稱為調(diào)整因子，是常數(shù))。更精確的D值可取為1.704。這里，Pij(θ)表示能力水平為θ的考生按第j種模型計算答對第i題的概率，顯然有對于單參數(shù)模型表示的能力和水平，可通過公式聯(lián)系起來，這里fr為具有r分數(shù)考生的能力估計值，bi為第i題的難度估計值。規(guī)定題i對測驗信息函數(shù)的貢獻為題i的信息函數(shù)，這里只P′i(θ)為Pi(θ)關(guān)于θ的一階導(dǎo)數(shù)，Qi(θ)＝1－Pi(θ)。利用IRT建設(shè)題庫具有難度與樣本無關(guān)、能力與題目無關(guān)的優(yōu)點，便于對題目和考生作適宜性檢驗，及研究整卷的效度、難度。由此建立的題庫易于擴充，并能根據(jù)考生水平調(diào)整庫題的難度值。IRT在題庫建設(shè)中有多方面的應(yīng)用。第一，估計能力參數(shù)θ與題目參數(shù)a、b、c。對參數(shù)估計的研究一直是IRT研究的一個重要問題，已有的估計能力參數(shù)θ和題目參數(shù)a、b、c的方法有多種。下面用極大似然估計和近似估計方法對邏輯斯蒂三參數(shù)模型的參數(shù)進行估計，可見求參數(shù)的一般過程。先看邏輯斯蒂三參數(shù)模型參數(shù)的極大似然估計。設(shè)被試樣本容量為N，其個體能力水平為θi(i＝1，2，…，N)，θ＝(θ1，θ2，…，θn)，選取M道題目測試，第j(j＝1，2，…，M)道題的反應(yīng)為uj，u＝(u1，u2，…，um)，樣本對題作出的反應(yīng)概率為P(u｜θ)，利用IRT的局部獨立性假設(shè)，有L(u｜θ)就是極大似然函數(shù)。利用極大似然估計可得：能力參數(shù)估計式題目參數(shù)估計式這里Qji＝1－Pji，D＝1.7，Pji＝P(uj｜θi)，a＝(a1，a2，…，an)，b＝(b1，b2，…，bn)，c＝(c1，c2，…，cn)。根據(jù)θ、a、b、c的初值以及上述3M＋N個方程，用迭代法反復(fù)在θ和a、b、c之間進行迭代，能按預(yù)定的精確度求出θ和a、b、c的值。若將求解的過程設(shè)計成程序，可以用計算機求解。再看邏輯斯蒂三參數(shù)模型參數(shù)的近似估計。在大樣本和能力參數(shù)θ服從正態(tài)分布的條件下，近似估計邏輯斯蒂三參數(shù)模型的參數(shù)有如下關(guān)系式：其中ρ′iθ是ui與θ的點二列相關(guān)系數(shù)，ρiθ是第i題與θ的點二列相關(guān)系數(shù)，πi為第i題的通過率難度，φ(t)是標(biāo)準正態(tài)分布的密度第二，庫題的適宜性檢驗。測驗者對題目作出的反應(yīng)是否與測量模式所期望的相符，這就是題目的適宜性。建設(shè)題庫的選題是為編制測驗作準備的，因而必須查明擬入庫題的適宜性。規(guī)定Z2＝exp［(2x－1)(f－b)］為殘余值，式中f為能力值，b為難度值，答對時x＝1，答錯時x＝0，可通過下面步驟對擬入庫題作適宜性檢驗：第一步，按題目從易到難為行序，得分由高到低為列序構(gòu)成分數(shù)矩陣。第二步，設(shè)∑Z2表示各測驗者標(biāo)準殘余值的和，利用作t檢驗，其中df為自由度。第三步，以總題數(shù)－1為題目數(shù)的自由度作能力值t檢驗，以測驗人數(shù)－1為自由度作難度值t檢驗，決定擬入庫題是否可作為庫題接受。在缺乏分布表的情況下，當(dāng)t＜3時可接受，t＞5時應(yīng)加以拒絕，當(dāng)3≤t≤5時應(yīng)作進一步不合適的原因分析。2．建設(shè)題庫的方法建設(shè)題庫的方法起初是實驗性的，由此所生成的庫題具有隨意性，只能生成具有特定性的小規(guī)模測驗題。當(dāng)今，建設(shè)題庫的方法已得到根本的改變和發(fā)展。建設(shè)庫題可按如下步驟進行：(1)作好擬入庫題的開發(fā)工作開發(fā)擬入庫題可按兩種形式進行：其一，組織專家從事庫題的開發(fā)和研究；其二，向廣大教師及有關(guān)學(xué)科愛好者征題，由此而帶動開發(fā)庫題的群眾性活動。(2)分析等值所謂分析等值主要分析題目間的難度b、區(qū)分度a是否等值，并把它轉(zhuǎn)化到一量表上。用CTT分析等值受樣本的影響較大，故一般用IRT進行等值分析。在二級評分模型中，具體應(yīng)用IRT理論進行等值分析的途徑很多。PROX過程使能力與難度相分離，可對能力與難度進行數(shù)值比較，又易于操作，其步驟如下。第一步，整理數(shù)據(jù)。刪除全答對或全答錯的題，構(gòu)成分數(shù)矩陣(表3－3)。第二步，根據(jù)分數(shù)構(gòu)造題目難度值分布表3－4，表中fi表示能力，第三步，根據(jù)分數(shù)矩陣整理出測驗者能力值的分布(表分3－5)，第四步，求出離差擴張因子X，Y：第五步，用X校正能力值，用Y校正難度值，通過以上各步驟求出的fr和bi具有可比性。當(dāng)bi＜0時，題偏易；當(dāng)bi＞0時，題偏難。題庫總是按br將庫題分等。例如，按容易(br≤－3)，比較容易(－3＜bi≤－1)，中等難度(－1＜bi≤1)，比較難(1＜bi≤3)，難(bi＞3)，可將庫題分為五等。當(dāng)然也可采用其他標(biāo)準將庫題分等。PROX過程雖容易理解，但較復(fù)雜，再加上逐一測試，工作量大，因而常用學(xué)科評估專家對擬入庫題進行估計來推導(dǎo)有關(guān)參數(shù)值。這已成為一種可行的方法。在二級評分模型中，可以證明，用貝葉斯(Bayes)估計參數(shù)得的難度值bB與專家評估難度bη有如下關(guān)系式bB＝0.613＋1.333bη(相關(guān)系數(shù)為0.712，誤差標(biāo)準差的估計為0.7383)，或(誤差標(biāo)準差的估計為0.70)。通過率p與bη的關(guān)系為(誤差標(biāo)準差的估計為0.0017)。通過率p與bB的關(guān)系為bB＝3.0516－6.1244p(相關(guān)系數(shù)為0.975，誤差標(biāo)準差的估計為0.073)。我們認為，只要有一定數(shù)量的，并在測評題目方面有豐富經(jīng)驗的教師，就可用上述關(guān)系求bB。類似于分數(shù)的等值定義可給出內(nèi)容難度等值的定義。如果在任一題組中(實際上取一個題目大樣本)兩個水平相同的專家組評定的兩題的百分等級相等，則稱這兩題的內(nèi)容難度等值。例如，取60道題構(gòu)成大樣本，由A、B兩個專家組對其內(nèi)容難度值進行評定。若題甲由A評定的內(nèi)容難度值為0.6，其所在百分等級是30，而題乙由B評定的內(nèi)容難度值為0.65，其所在百分等級也為30，則題甲與題乙的內(nèi)容難度值相等。(3)貯存庫題建設(shè)題庫設(shè)置題卡是早期建設(shè)題庫的主要方法，現(xiàn)代題卡主要由正文、答案、評分標(biāo)準、使用情況、使用后記錄、適宜性記錄、及格要求度、各種參數(shù)(a、b、c)值、命題人、審題人和編卡時間組成。為了便于查閱，還需對題卡進行分類編號。早期的題卡沒有如此詳盡的記載，而且不用計算機貯存。盡管如此，當(dāng)今沒有計算機管理系統(tǒng)的單位仍采用較完備的題卡以建立題庫。但是，隨著題庫容量大幅度增加，對題庫的管理和使用提出了很高的要求，今天利用計算機技術(shù)建庫已成了建庫的主流和方向。利用計算機技術(shù)可把庫題存于機內(nèi)，也可把庫題單獨放在機外。前者管理起來方便，但對內(nèi)存要求高；后者節(jié)省了計算機存儲空間，但管理不太方便。隨著計算機存儲容量的提高，目前一般傾向于采用把庫題存入計算機內(nèi)的建庫方法，并建立相應(yīng)的軟件對整個題庫進行監(jiān)控。這種軟件由題目輸入，題目信息管理，統(tǒng)計分析(庫題各項指標(biāo)的獲得方式)，試卷生成，信息輸出等五個模塊組成。3．題庫的維護和擴充題庫是一個動態(tài)的存儲和管理系統(tǒng)，便于維護和擴充題庫是當(dāng)代題庫建設(shè)的重要特征。(1)題庫的動態(tài)維護題庫的狀態(tài)隨情況的變化而變化，必須經(jīng)常對題庫的思想性、科學(xué)性，根據(jù)相關(guān)學(xué)科的教育現(xiàn)狀和要求加以調(diào)整，及時修正庫題的各種參數(shù)值。(2)題庫的擴充擴充題庫，充實題庫中新內(nèi)容，能給題庫帶來生機。用CTT很難實現(xiàn)題庫的參數(shù)可公度(新舊參數(shù)值可比)擴充，IRT為擴充題庫提供了如下可行的方法。設(shè)g1，g2，…，gn為題庫中的n道題，其難度分別為b1，b2，…，bn，問欲新增加gn+1，gn+2，…，gn+m這m道題入庫是否可行？選gi(1≤i≤n)為連接題目(在不同時期測驗中總是使用的庫題稱為連接題目)，由gi，gn+1，gn+2，…，gn+m編成測驗題，測這樣經(jīng)重新調(diào)整后的這m＋n道題的難度都在同一量表上，由此即可回答這m道題是否可入庫。應(yīng)該指出，這里僅選—個連接題目是為了闡述的方便，實際操作時所選的連接題目應(yīng)不少于五個，而且為了保證所選連接題目合理，還應(yīng)對連接題目按下面的步驟進行適宜性檢驗。第一步，計算標(biāo)準殘余值Sr＝(殘余值－平均值)2。第二步，計算Q＝(N/12)［k/(k－1)］，其中N表示參加連接測驗的人數(shù)，k為被選出的連接題目數(shù)。第三步，計算x2＝Q·Sr。若逐個題目檢查，則x2＜3.84(自由度為1)者符合要求；對整套連接題目進行評估，查自由度為k－1的表即可，若x2大于查表值，則認為是適宜的。實踐中選100名測驗者作樣本估計值已經(jīng)足夠。為了保證庫題難度緊湊一致，須從統(tǒng)計上考慮優(yōu)化連接結(jié)構(gòu)。其基本思想是使每個測驗中的每個題目都能作為連接題目，用于其他測驗，從而使所有題目組成一個互相聯(lián)系的網(wǎng)絡(luò)。三、利用題庫