第三章數(shù)學(xué)測驗(yàn)的設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)測驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)測量的主要手段，數(shù)學(xué)測驗(yàn)題是這種測量的主要度量工具。隨著教育測量理論、計(jì)算機(jī)科學(xué)的迅速發(fā)展，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)測驗(yàn)巳發(fā)生了顯著變化，其標(biāo)志就是對測驗(yàn)題的研究客觀化，人工確定的操作和管理正在被計(jì)算機(jī)所代替。本章將探討編制數(shù)學(xué)測驗(yàn)的步驟和擬造數(shù)學(xué)題的方法，并進(jìn)一步研究有關(guān)數(shù)學(xué)題庫的一些問題。第一節(jié)編制數(shù)學(xué)測驗(yàn)的步驟把數(shù)學(xué)測驗(yàn)?zāi)繕?biāo)逐級分解為指標(biāo)系統(tǒng)，使各個(gè)指標(biāo)都可以直接進(jìn)行測量的量化要素就是編制數(shù)學(xué)測驗(yàn)。編制數(shù)學(xué)測驗(yàn)一般有以下主要步驟。一、明確測驗(yàn)?zāi)康拿鞔_測驗(yàn)?zāi)康木褪敲鞔_測驗(yàn)主辦者通過測驗(yàn)企求獲得的信息。這種信息包括被試的學(xué)習(xí)狀態(tài)、學(xué)習(xí)水平在被測群體中所處的位置，以及教學(xué)的效果等。測驗(yàn)分?jǐn)?shù)是這種信息的數(shù)量表現(xiàn)形式。為了保證獲得有效的信息，可從以下幾條途徑明確測驗(yàn)的目的。首先，通過明確測驗(yàn)的性質(zhì)明確測驗(yàn)?zāi)康?。測驗(yàn)性質(zhì)是測驗(yàn)?zāi)康牡闹匾w現(xiàn)。在實(shí)際操作中要弄清測驗(yàn)是常模參照測驗(yàn)，還是標(biāo)準(zhǔn)參照測驗(yàn)；是形成性測驗(yàn)，還是總結(jié)性測驗(yàn)等。其次，通過明確測驗(yàn)的知識容量明確測驗(yàn)?zāi)康?。測驗(yàn)?zāi)康臎Q定測驗(yàn)題的知識容量，測驗(yàn)所涉及的知識本身是揭示被試學(xué)習(xí)水平的最基本的評估要素。一般說來，要明確采用測試群體已學(xué)的所有知識中哪些是測驗(yàn)應(yīng)涉及的。例如，學(xué)完“排列、組合、二項(xiàng)式定理”的測驗(yàn)，可以是只涉及該單元知識的測驗(yàn)，也可以是兼顧已學(xué)過其他單元內(nèi)容的測驗(yàn)。第三，通過明確測驗(yàn)題的綜合程度明確測驗(yàn)?zāi)康?。測驗(yàn)題是鑒別被試達(dá)到特定目標(biāo)水平的試金石，測驗(yàn)題的這種功能很大程度上取決于它的綜合程度。一般而言，從單元測驗(yàn)、期中測驗(yàn)、期末測驗(yàn)到會考，其測驗(yàn)題的綜合程度呈遞增趨勢。第四，明確測驗(yàn)?zāi)康倪€要明確影響獲得測驗(yàn)信息的其他有關(guān)因素，以保證最大限度地獲得有效信息。這些因素包括組織測驗(yàn)的形式、參加測驗(yàn)的人數(shù)、命題的規(guī)格、應(yīng)試的情景、對被試不同的要求方式等。二、制定命題原則為了使測驗(yàn)達(dá)到預(yù)期的目的，提高測驗(yàn)的質(zhì)量，命題工作一般應(yīng)遵循如下原則。1．命題必須以數(shù)學(xué)教學(xué)大綱為依據(jù)，以教科書為主要參考材料。測驗(yàn)所涉及的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能和能力不能超出大綱中規(guī)定的教學(xué)內(nèi)容的范圍和教學(xué)要求的水平層次。2．試題內(nèi)容不能違背數(shù)學(xué)的概念和原理。試題的條件應(yīng)恰當(dāng)，試題的結(jié)論應(yīng)可行，條件與結(jié)論應(yīng)是和諧的。3．試題的取樣應(yīng)有代表性。樣本要能夠體現(xiàn)測驗(yàn)的內(nèi)容范圍與要求，有較大的覆蓋面，同時(shí)也要使各部分內(nèi)容各占適當(dāng)?shù)陌俜直?，并注意考查教學(xué)內(nèi)容中的重點(diǎn)部分。4．試題的數(shù)量要恰當(dāng)。既要使大多數(shù)考生能在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成解答，又要使他們感到時(shí)間并不十分充裕。5．試題的難度要合適。試題的難度必須適合大多數(shù)被試的水平，要按由易到難的順序編排試題，使按順序的各題難度構(gòu)成一個(gè)合適的坡度。6．各個(gè)試題之間應(yīng)保持互相獨(dú)立。不要使一個(gè)試題的解答對另一個(gè)試題的解答有暗示作用。7．試題一般應(yīng)有多種解法。要使某些試題有較好的解法，讓部分被試充分展示他們的創(chuàng)造性思維能力。8．試題的表述必須清楚明白。試題中用詞不能模棱兩可，文句要簡明扼要，圖形要正確，對解題要求的敘述必須準(zhǔn)確、明了。9．題型應(yīng)多樣。要有客觀性試題，也要有陳述性試題，各類題所占的百分比應(yīng)恰當(dāng)。10．評分標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)合理。測驗(yàn)題的解答過程應(yīng)該是可以量化的，其量化尺度是通過評分標(biāo)準(zhǔn)給出的，命題應(yīng)有利于制定清晰可辨、公平合理的評分標(biāo)準(zhǔn)。三、編制測驗(yàn)方案1．選定測驗(yàn)的知識載體分析測驗(yàn)題的功能和結(jié)構(gòu)形式可以發(fā)現(xiàn)，它的本質(zhì)是為評估被試的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本能力等教學(xué)目標(biāo)水平狀態(tài)提供工具，從而具有度量工具的功能，而它的結(jié)構(gòu)形式是由相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識表述的，并且對同一教學(xué)目標(biāo)水平的測驗(yàn)題可用不同的數(shù)學(xué)知識加以表述，表述測驗(yàn)題的數(shù)學(xué)知識稱為測驗(yàn)題的數(shù)學(xué)知識載體。數(shù)學(xué)測驗(yàn)的內(nèi)容確定后，選定數(shù)學(xué)測驗(yàn)題知識載體的途徑有兩種：一種是把測驗(yàn)所涉及的內(nèi)容逐步分解到數(shù)學(xué)教學(xué)大綱所規(guī)定的知識點(diǎn)，然后選擇適量的、重要的知識點(diǎn)作為測驗(yàn)的知識載體；另一種是對測驗(yàn)可能涉及的原始知識點(diǎn)進(jìn)行聚類分析(關(guān)于聚類分析，見參考書［12］)。作指標(biāo)Ai與指標(biāo)Aj的相似系數(shù)(相關(guān)系數(shù))這里m為被評知識點(diǎn)數(shù)，xik表示第i項(xiàng)指標(biāo)對第k個(gè)知識點(diǎn)的評估值，第i項(xiàng)指標(biāo)的平均數(shù)。聚類時(shí)只要把兩類之間的歐氏距離改為相似系數(shù)，先合并相似系數(shù)最大的知識點(diǎn)，依次進(jìn)行到最后，將所有知識點(diǎn)歸并為一類，再利用適當(dāng)?shù)拈撝祵y驗(yàn)?zāi)繕?biāo)分成恰當(dāng)?shù)念愐源_定測驗(yàn)的知識載體。2．預(yù)定測驗(yàn)的時(shí)間根據(jù)解答測驗(yàn)題所需的時(shí)間調(diào)整測驗(yàn)題和實(shí)際作答所需時(shí)間。預(yù)定測驗(yàn)的時(shí)間應(yīng)大于實(shí)際作答時(shí)間，以便讓被試有時(shí)間驗(yàn)算自己的解答，以提高測驗(yàn)的真實(shí)性。3．確定能力水平層次這里的能力，是指學(xué)生通過學(xué)習(xí)在認(rèn)知行為上所達(dá)到的目標(biāo)。能力水平的分層模式既要反映目標(biāo)的整體要求，又要便于量化測量。至于層次劃分的多少，以及記載能力層次的術(shù)語則無統(tǒng)一要求，選用何種能力層次劃分模式可視具體情況而定。4．選取題型同一知識點(diǎn)和能力層次可通過不同類型的試題予以測量。若只考察解答的最終結(jié)果是否正確，則可選用填空題、是非題、選擇題等客觀性試題；而對于需要考察解答全過程的測驗(yàn)，一般宜采用陳述性試題。選擇題是一種由題干和選擇支兩部分組成的題型。選擇支是題目的備選答案，一般有4～5個(gè)，其中至少有一個(gè)是正確的。正確的選擇支叫做正選支。不正確的選擇支稱為迷惑支，在題目中起干擾作用。在數(shù)學(xué)測驗(yàn)中，經(jīng)常使用的是有且只有一個(gè)正選支的選擇題。這樣的選擇題必須滿足以下要求：一是，正選支應(yīng)當(dāng)是唯一的；二是，各選擇支之間應(yīng)當(dāng)是平等的、協(xié)調(diào)的，不能存在包含或交叉關(guān)系；三是，題中的各個(gè)迷惑支，應(yīng)當(dāng)是學(xué)生在解題中可能發(fā)生的錯(cuò)誤，以確實(shí)起到干擾作用，同時(shí)也為改進(jìn)教學(xué)提供信息；四是，在一組選擇題中，各正選支的代號不要過多地用某一個(gè)字母，正選支的排列應(yīng)無規(guī)律可循；五是，不要濫用“以上都不對”這樣的選擇支，尤其是不要使它成為正選支。例1過ABCD的頂點(diǎn)A作SA垂直于平面AC，則直線AB、BC、CD、DA、AC、BD、SA、SB、SC、SD中每兩條確定的垂直平面的組數(shù)有[](A)2；(B)3；(C)4；(D)5。本題中ABCD的性質(zhì)對作出正確的選擇沒有影響，所涉及的知識只是面面垂直的直接判定，所設(shè)的迷惑支也起不到干擾作用，因而本題是有缺陷的。若將題中的平行四邊形改為矩形，則有：過矩形ABCD的頂點(diǎn)A作SA垂直于平面AC，則直線AB、BC、CD、DA、AC、BD、SA、SB、SC、SD中的每兩條確定的垂直平面的組數(shù)有[](A)3；(B)5；(C)6；(D)7。與原題相比，矩形ABCD的內(nèi)角均為直角，將對被試正確作答產(chǎn)生影響。被試要6次利用面面垂直的判定定理，3次利用線面垂直的判定定理，以及運(yùn)用線線垂直的判定定理，對計(jì)數(shù)的準(zhǔn)確性也有一定的要求，所設(shè)的迷惑支均是不同程度錯(cuò)誤計(jì)數(shù)的結(jié)果。若把矩形改為正方形，又有：過正方形ABCD的頂點(diǎn)A作SA垂直于平面AC，則直線AB、BC、CD、DA、AC、BD、SA、SB、SC、SD中每兩條確定的垂直平面的組數(shù)有[](A)3；(B)5；(C)6；(D)7。與矩形的情形相比，正方形對角線的位置關(guān)系也將影響被試正確作答，此時(shí)除矩形的解題要求外還涉及線面垂直的性質(zhì)定理。由于對角線分別所在的兩個(gè)平面位置有幾種情況，因而要求被試有很強(qiáng)的空間想象力和靈活運(yùn)用所涉及的知識的能力才能判斷垂直平面的組數(shù)。例2已知(a2＋a－6)x2＋(a2＋a－6)y2＋4－a2＝0表示圓，則a的取值范圍是[](A)a＜－3，a＞2，－2＜a＜2；(B)－2＜a＜2；(C)－3＜a＜－2；(D)a≠－3，a≠2的實(shí)數(shù)。本題四個(gè)選擇支的表述差異很大，而正選支(A)的地位尤其突出，容易引起被試的猜測而選(A)，為了彌補(bǔ)這些不足可將原題改為：已知(a2＋a－6)x2＋(a2＋a－6)y2＋4－a2＝0表示圓，則a的取值范圍是[](A)a＜－3，a＞2，－2＜a＜2；(B)a＜－2，a＞2，－3＜a＜2；(C)a＜－3，a＞2，－3＜a＜2；(D)a＜－2，a＞2，－2＜a＜2。新擬造的選擇支，是兼顧到求a的取值范圍時(shí)易出現(xiàn)的錯(cuò)誤加工而成的，在保留錯(cuò)誤性質(zhì)的基礎(chǔ)上各選擇支的結(jié)構(gòu)和諧一致，可減少被試猜對的可能性。(A)｛2｝；(B)｛－1｝；(C)｛x|x≤－1｝；(D)φ。本題是一道高考題，從抽取498名考生答題情況看，347人選(B)，9人選(C)，142人選(D)，無人選(A)，由此可見迷惑支(A)沒有干擾力，(C)的干擾力也很差。究其原因，是(A)中的集合明顯不是集合A的子集，(C)也一樣，因而不借助集合B即可斷定(A)、(C)都不是正選支。為了降低集合A對作答的提示作用，本題可改為：(A)｛3｝；(B)｛－1｝；(C)｛x|－1≤x≤3｝；(D)φ。新設(shè)立的選擇支(A)中的集合是集合A的子集，只有借助集合B才能判定(A)是否為正選支；新設(shè)立的(C)與原題中的(C)在錯(cuò)驗(yàn)證來判明(C)是否為正選支。5．分配測驗(yàn)總分分配測驗(yàn)總分就是將測驗(yàn)總分分解，并賦給各試題具體分值。與分值相結(jié)合的試題的全體即構(gòu)成具體獲得測驗(yàn)?zāi)繕?biāo)的工具。怎樣分配測驗(yàn)總分呢？確定試題和解答試題所涉及的知識點(diǎn)，同時(shí)考慮各知識點(diǎn)在解題中的作用和正確解答該題所需的最高能力水平，以此為依據(jù)來確定分?jǐn)?shù)Sij。這樣就可構(gòu)造出測驗(yàn)方案——雙向細(xì)目表。表3－1是雙向細(xì)目表的一般形式。表中Sij表示能力j層次在知識點(diǎn)i上的得分，這里知