2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維試題一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）共享單車調(diào)度問題某共享單車公司在大學(xué)城投放了兩種車型：A型車（輕便款）和B型車（載重款）。已知該校學(xué)生使用A型車的概率為0.6，使用B型車的概率為0.4，且使用A型車的學(xué)生中，30%會(huì)騎行超過3公里，使用B型車的學(xué)生中，60%會(huì)騎行超過3公里。若隨機(jī)抽查一名學(xué)生的騎行記錄，發(fā)現(xiàn)其騎行超過3公里，則該學(xué)生使用B型車的概率為（）A.0.4B.0.5C.0.6D.0.7無人機(jī)航拍中的三角函數(shù)應(yīng)用某無人機(jī)在離地100米處懸停拍攝，相機(jī)的水平視場(chǎng)角α與航向角θ、俯仰角φ滿足關(guān)系式α=arcsin(sinθ·cosφ)。若θ=30°，φ=45°，則此時(shí)相機(jī)拍攝的水平寬度為（）A.100√2米B.200米C.100√3米D.200√3/3米社區(qū)團(tuán)購的函數(shù)模型選擇某社區(qū)團(tuán)購平臺(tái)統(tǒng)計(jì)了前5周的訂單量（單位：千單）：3，5，8，12，17。若分別用一次函數(shù)y=ax+b、二次函數(shù)y=ax2+bx+c、指數(shù)函數(shù)y=ab?（a>0，b>1）擬合這些數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（）A.一次函數(shù)模型預(yù)測(cè)第6周訂單量最大B.二次函數(shù)模型的二次項(xiàng)系數(shù)a<0C.指數(shù)函數(shù)模型的增長(zhǎng)率隨x增大而減小D.三種模型中二次函數(shù)的擬合誤差最小跨學(xué)科融合：生物遺傳與概率某種植物的花色由兩對(duì)等位基因控制，顯性基因A和B同時(shí)存在時(shí)表現(xiàn)為紫色，其余情況為白色?，F(xiàn)有基因型為AaBb的植株自交，若產(chǎn)生的子代數(shù)量足夠多，理論上子代中紫色花植株所占比例為（）A.9/16B.3/4C.1/2D.5/8校園充電樁布局優(yōu)化某高中計(jì)劃在教學(xué)樓和宿舍區(qū)之間設(shè)置充電樁，兩地相距100米。設(shè)充電樁到教學(xué)樓的距離為x米，學(xué)生使用充電樁的概率與距離的平方成反比（比例系數(shù)k>0）。若要使充電樁的使用效率最高（即x處的概率密度函數(shù)取最大值），則x的值為（）A.25米B.50米C.60米D.75米數(shù)據(jù)安全與密碼學(xué)某加密算法將明文轉(zhuǎn)化為密文時(shí)，采用“模26加法”：將字母A-Z對(duì)應(yīng)0-25，密文c=(明文m+密鑰k)mod26。已知“WPS”加密后為“ZRU”，則密鑰k的值為（）A.3B.5C.7D.9環(huán)保中的指數(shù)增長(zhǎng)模型某湖泊因污染導(dǎo)致藻類繁殖，初始藻類數(shù)量為N?，每天的增長(zhǎng)率為r。若不采取治理措施，藻類數(shù)量將在10天后達(dá)到環(huán)境容納量K。現(xiàn)采用生物治理，每天去除剩余藻類的20%，則治理后藻類數(shù)量的增長(zhǎng)模型為（）A.N?=N?(1+r)?-0.2N???B.N?=0.8N?(1+r)?C.N?=N?(0.8+0.8r)?D.N?=N?(1+r-0.2)?藝術(shù)中的幾何變換將函數(shù)y=sinx的圖像繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角后，得到的曲線方程為（）A.y=sin(xcosθ-ysinθ)B.ycosθ-xsinθ=sin(xcosθ+ysinθ)C.xcosθ+ysinθ=sin(ycosθ-xsinθ)D.xsinθ-ycosθ=sin(xcosθ+ysinθ)二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）社區(qū)圖書館的集合應(yīng)用某社區(qū)圖書館統(tǒng)計(jì)了100名讀者的借閱偏好：58人喜歡小說，38人喜歡科普，28人喜歡歷史；其中15人同時(shí)喜歡小說和科普，10人同時(shí)喜歡科普和歷史，8人同時(shí)喜歡小說和歷史，5人三種類型都喜歡。則只喜歡一種類型書籍的讀者有______人。醫(yī)療影像中的矩陣運(yùn)算某CT影像的像素矩陣為3×3，像素值表示為[\begin{pmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{pmatrix}]，若對(duì)其進(jìn)行“水平翻轉(zhuǎn)”變換（即左右鏡像），再進(jìn)行“順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°”變換，則變換后的矩陣中心像素值為______。校園共享雨傘定價(jià)模型某共享雨傘公司的日均需求量Q（把）與租金p（元/小時(shí)）的關(guān)系為Q=1000-50p。若每把雨傘的日均運(yùn)營(yíng)成本為2元，則為使日利潤(rùn)最大，租金p應(yīng)定為______元/小時(shí)。分形幾何中的遞推數(shù)列科赫雪花是由等邊三角形通過迭代生成的分形圖形：第0代面積為S?，第1代在每邊中間1/3處向外作等邊三角形，得到4個(gè)小等邊三角形，則第n代的面積S?與S???的遞推關(guān)系為S?=S???+______（用S?表示）。三、解答題（本大題共6小題，共70分）函數(shù)建模與優(yōu)化（12分）某奶茶店推出“第二杯半價(jià)”促銷活動(dòng)，若一杯奶茶的成本為5元，售價(jià)為15元。設(shè)每天購買1杯和2杯的顧客分別為x人和y人，且x與y滿足y=200-0.5x（x≥0，y≥0）。（1）寫出該店每天的利潤(rùn)L關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若每天最多接待300名顧客，求利潤(rùn)L的最大值及對(duì)應(yīng)的x、y值。三角函數(shù)與物理運(yùn)動(dòng)（12分）某單擺的擺長(zhǎng)為1米，最大擺角為θ?（θ?<5°），擺球的位移s（米）與時(shí)間t（秒）的關(guān)系為s=sin(√(g/l)·t+φ)，其中g(shù)=9.8m/s2，l為擺長(zhǎng)。（1）求單擺的周期T；（2）若擺球在t=0時(shí)位于最大位移處，且θ?=3°，求s關(guān)于t的表達(dá)式，并計(jì)算t=π/4秒時(shí)擺球的速度v（v=ds/dt）。概率統(tǒng)計(jì)與疾病篩查（12分）某疾病的發(fā)病率為0.1%，醫(yī)院使用的檢測(cè)試劑盒靈敏度為95%（患病者中95%呈陽性），特異度為99%（未患病者中99%呈陰性）。（1）隨機(jī)抽查一人，求其檢測(cè)結(jié)果為陽性的概率；（2）若某人檢測(cè)結(jié)果為陽性，求其實(shí)際患病的概率，并解釋“假陽性”現(xiàn)象對(duì)篩查的影響。解析幾何與橋梁設(shè)計(jì)（12分）某拋物線形拱橋跨度為20米，拱高為4米，以拱頂為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系xOy。（1）求拱橋的拋物線方程；（2）若一艘寬6米、高3米的船要通過拱橋，船頂距離水面至少0.5米，求水面距離拱頂?shù)淖畲蟾叨?。?shù)學(xué)建模：校園垃圾分類優(yōu)化（14分）某校為推行垃圾分類，需在教學(xué)樓設(shè)置分類垃圾桶?，F(xiàn)有A、B兩種方案：方案A：設(shè)置4個(gè)獨(dú)立垃圾桶（可回收、廚余、有害、其他），每個(gè)成本50元，每天維護(hù)費(fèi)2元，學(xué)生投放正確率為60%；方案B：設(shè)置智能分類站，初始投入800元，每天維護(hù)費(fèi)5元，投放正確率為90%。假設(shè)垃圾分類錯(cuò)誤導(dǎo)致的環(huán)境損失為：錯(cuò)誤投放1千克垃圾損失2元，該校每天垃圾總量為100千克，平均每人每天產(chǎn)生0.5千克垃圾。（1）分別寫出兩種方案的日均總成本C?、C?與學(xué)生人數(shù)n的函數(shù)關(guān)系；（2）若該校有2000名學(xué)生，從長(zhǎng)期（按365天計(jì)算）角度選擇哪種方案更經(jīng)濟(jì)？開放探究題：跨學(xué)科綜合應(yīng)用（8分）結(jié)合生物學(xué)“種群增長(zhǎng)的邏輯斯蒂模型”（dN/dt=rN(1-N/K)）和數(shù)學(xué)“導(dǎo)數(shù)應(yīng)用”，設(shè)計(jì)一個(gè)研究“校園流浪貓數(shù)量調(diào)控”的數(shù)學(xué)建模方案，要求包含：（1）模型假設(shè)（至少3條）；（2）關(guān)鍵參數(shù)定義（如r為增長(zhǎng)率，K為環(huán)境容納量）；（3）調(diào)控策略（如絕育比例、領(lǐng)養(yǎng)率）對(duì)模型的影響分析。四、附加題（本大題共2小題，每小題10分，共20分，不計(jì)入總分）密碼學(xué)中的數(shù)論問題證明：對(duì)于任意正整數(shù)n，2??-1能被63整除。人工智能中的矩陣變換給定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入向量x=(x?,x?)，隱藏層輸出y=σ(Ax+b)，其中σ為激活函數(shù)σ(z)=1/(1+e??)，矩陣A=(\begin{pmatrix}1&-1\2&0\end{pmatrix})，b=(0,1)。若輸入x=(1,0)，求輸出y?,y?的值（精確到小數(shù)點(diǎn)后2位）。試題設(shè)計(jì)說明：創(chuàng)造性思維：通過開放探究題（如第18題）、跨學(xué)科情境（如生物遺傳、AI矩陣）和多解法問題（如函數(shù)建模題），鼓勵(lì)學(xué)生突破常規(guī)思維。實(shí)際應(yīng)用：