2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)多題一解歸納題（二）一、函數(shù)單調(diào)性定義的多場景應(yīng)用（一）代數(shù)證明類問題例題1：證明函數(shù)$f(x)=x+\frac{1}{x}$在區(qū)間$(1,+\infty)$上是增函數(shù)。證明步驟：取值：設(shè)$1<x_1<x_2$，則$x_1-x_2<0$，$x_1x_2>1$；作差變形：$f(x_1)-f(x_2)=(x_1+\frac{1}{x_1})-(x_2+\frac{1}{x_2})=(x_1-x_2)+\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}=(x_1-x_2)(1-\frac{1}{x_1x_2})$；定號：因為$x_1-x_2<0$，$1-\frac{1}{x_1x_2}>0$（$x_1x_2>1$），所以$f(x_1)-f(x_2)<0$；結(jié)論：$f(x_1)<f(x_2)$，故函數(shù)在$(1,+\infty)$上單調(diào)遞增。同類題遷移：證明$f(x)=x^2-2x$在$[1,+\infty)$上單調(diào)遞增（提示：作差后配方得$(x_1-x_2)(x_1+x_2-2)$，利用$x_1+x_2>2$判斷符號）。（二）分段函數(shù)單調(diào)性判斷例題2：已知函數(shù)$f(x)=\begin{cases}x^2-4x+3,&x\leq2\ax+2,&x>2\end{cases}$在$R$上單調(diào)遞減，求實數(shù)$a$的取值范圍。解題關(guān)鍵：各段單調(diào)性：二次函數(shù)$x^2-4x+3$的對稱軸為$x=2$，在$(-\infty,2]$上單調(diào)遞減；一次函數(shù)$ax+2$需滿足$a<0$以保證在$(2,+\infty)$上單調(diào)遞減。銜接點處函數(shù)值關(guān)系：當(dāng)$x=2$時，左段函數(shù)值$f(2)=2^2-4\times2+3=-1$，右段函數(shù)值需滿足$2a+2\leq-1$，解得$a\leq-\frac{3}{2}$。結(jié)論：$a$的取值范圍為$(-\infty,-\frac{3}{2}]$。同類題遷移：已知$f(x)=\begin{cases}mx+1,&x<1\(2-m)x+2,&x\geq1\end{cases}$在$R$上單調(diào)遞增，求$m$的范圍（答案：$1\leqm<2$）。二、單調(diào)性的應(yīng)用：從函數(shù)性質(zhì)到解題工具（一）利用單調(diào)性求最值例題3：求函數(shù)$f(x)=x+\frac{4}{x}$在$[1,4]$上的最值。分析：由對勾函數(shù)性質(zhì)知，$f(x)$在$(0,2]$單調(diào)遞減，在$[2,+\infty)$單調(diào)遞增；最小值：$f(2)=2+\frac{4}{2}=4$；最大值：比較端點值$f(1)=5$，$f(4)=5$，故最大值為$5$。方法提煉：確定單調(diào)區(qū)間；比較區(qū)間端點及極值點函數(shù)值（若有）。同類題：求$f(x)=|x-1|+|x+2|$在$[-3,3]$上的最值（提示：分段去絕對值后判斷單調(diào)性，最小值在$[-2,1]$上恒為$3$）。（二）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷例題4：求函數(shù)$y=\sqrt{-x^2+2x+3}$的單調(diào)遞增區(qū)間。解題步驟：求定義域：由$-x^2+2x+3\geq0$解得$x\in[-1,3]$。分解復(fù)合函數(shù)：令$u=-x^2+2x+3$，則$y=\sqrt{u}$，外層函數(shù)$y=\sqrt{u}$在$[0,+\infty)$上單調(diào)遞增。判斷內(nèi)層函數(shù)單調(diào)性：$u=-x^2+2x+3$的對稱軸為$x=1$，在$[-1,1]$上單調(diào)遞增，在$[1,3]$上單調(diào)遞減。復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：根據(jù)“同增異減”原則，$y=\sqrt{u}$的遞增區(qū)間對應(yīng)$u$的遞增區(qū)間$[-1,1]$。同類題遷移：求$y=\log_{\frac{1}{2}}(x^2-4x)$的單調(diào)遞增區(qū)間（提示：定義域$(-\infty,0)\cup(4,+\infty)$，內(nèi)層函數(shù)$x^2-4x$在$(-\infty,0)$上遞減，外層對數(shù)函數(shù)底數(shù)小于1，故復(fù)合函數(shù)在$(-\infty,0)$上遞增）。三、單調(diào)性與不等式綜合應(yīng)用（一）利用單調(diào)性解抽象函數(shù)不等式例題5：已知$f(x)$是定義在$(-1,1)$上的增函數(shù)，且$f(2a-1)<f(1-a)$，求$a$的取值范圍。解題步驟：定義域限制：$\begin{cases}-1<2a-1<1\-1<1-a<1\end{cases}$，解得$0<a<1$。單調(diào)性轉(zhuǎn)化：因為$f(x)$單調(diào)遞增，所以$2a-1<1-a$，解得$a<\frac{2}{3}$。綜合結(jié)論：$a$的取值范圍為$(0,\frac{2}{3})$。同類題遷移：已知$f(x)$是$R$上的偶函數(shù)且在$[0,+\infty)$上遞增，解不等式$f(x-1)>f(2x)$（提示：利用偶函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為$f(|x-1|)>f(|2x|)$，再由單調(diào)性得$|x-1|>|2x|$，平方后解得$-1<x<\frac{1}{3}$）。（二）二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值例題6：求$f(x)=x^2-2ax+1$在$[0,2]$上的最小值。分類討論依據(jù)：對稱軸$x=a$與區(qū)間$[0,2]$的位置關(guān)系。當(dāng)$a\leq0$時：函數(shù)在$[0,2]$上單調(diào)遞增，$f_{\min}=f(0)=1$；當(dāng)$0<a<2$時：函數(shù)在$x=a$處取最小值，$f_{\min}=f(a)=1-a^2$；當(dāng)$a\geq2$時：函數(shù)在$[0,2]$上單調(diào)遞減，$f_{\min}=f(2)=5-4a$。方法總結(jié)：開口向上的二次函數(shù)，離對稱軸越遠函數(shù)值越大；含參數(shù)時需按對稱軸位置分“軸在區(qū)間左、中、右”三類討論。四、多題一解核心方法提煉定義法四步流程：取值→作差→變形（因式分解/配方/有理化）→定號→結(jié)論，適用于證明單調(diào)性及比較大小。數(shù)形結(jié)合策略：一次函數(shù)、二次函數(shù)等基本函數(shù)直接用圖像判斷單調(diào)性；分段函數(shù)需保證各段單調(diào)性一致且銜接點處滿足增減趨勢。復(fù)合函數(shù)“同增異減”法則：分解為內(nèi)層函數(shù)$u=g(x)$與外層函數(shù)$y=f(u)$，分別判斷單調(diào)性后組合。參數(shù)問題處理技巧：單調(diào)性含參時，需保證“任意$x_1<x_2$都有$f(x_1)<f(x_2)$（或反之）”，常轉(zhuǎn)化為恒成立問題；二次函數(shù)最值含參時，按對稱軸與區(qū)間位置分類討論。典型錯誤警示：證明單調(diào)性時忽略“任意取值”，僅用特殊值驗證；復(fù)合函數(shù)求單調(diào)區(qū)間時忽略定義域（如例4中需先解$-x^2+2x+3\geq0$）；分段函數(shù)單調(diào)性忘記驗證銜接點處函數(shù)值大小關(guān)系。五、強化訓(xùn)練題組基礎(chǔ)鞏固：證明$f(x)=\frac{2x}{x+1}$在$(-1,+\infty)$上單調(diào)遞增（提示：作差變形為$\frac{2(x_1-x_2)}{(x_1+1)(x_2+1)}$）。能力提升：已知$f(x)=x^3+ax$在$R$上單調(diào)遞增，求$a$的取值范圍（提示：任取$x_1<x_2$，$f(x_1)-f(x_2)=(x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2+a)<0$恒成立，需$x_1^2+x_1x_2+x_2^2+a\geq0$，由$x_1^2+x_1x_2+x_2^2\geq0$得$a\geq0$）。綜合應(yīng)用：定義在$[0,+\infty)$上的函數(shù)$f(x)$滿足$f(x+2)=f(x)+1$，且當(dāng)$x\in[0,2)$時，$f(x)=x^2$，求$f(x)$在$[2,4]$上的解析式并