專題07計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)01計(jì)數(shù)原理1．（24-25高三上·河北邢臺(tái)·期末）運(yùn)動(dòng)會(huì)期間，將甲、乙等5名志愿者安排到，，三個(gè)場(chǎng)地參加志愿服務(wù)，每名志愿者只能安排去一個(gè)場(chǎng)地，每個(gè)場(chǎng)地至少需要1名志愿者，且甲、乙兩名志愿者不安排到同一個(gè)場(chǎng)地，則不同的安排方法種數(shù)為（

）A．72 B．96 C．114 D．124【答案】C【分析】根據(jù)題意，先將5人分為三組并分配到各個(gè)場(chǎng)地，再計(jì)算得出甲乙不在同一個(gè)場(chǎng)地的情況即可求解.【詳解】將5名志愿者分為1，2，2，且甲、乙兩名志愿者不安排到同一個(gè)場(chǎng)地，則不同的安排方法有種.將5名志愿者分為1，1，3，且甲、乙兩名志愿者不安排到同一個(gè)場(chǎng)地，則不同的安排方法有種.故不同的安排方法共有種.故答案為：C.易錯(cuò)分析：分組分配問(wèn)題中均分組問(wèn)題要注意做到不重不漏，一般是先分組再分配.2．（24-25高三上·江蘇南通·開學(xué)考試）今年暑期檔，全國(guó)各大院線推出多部精彩影片，其中比較熱門的有《異形：奪命艦》，《名偵探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孫》這5部，小明和小華兩位同學(xué)準(zhǔn)備從這5部影片中各選2部觀看，若兩人所選的影片至多有一部相同，且小明一定選看《名偵探柯南》，則兩位同學(xué)不同的觀影方案種數(shù)為（

）A．12 B．24 C．28 D．36【答案】D【分析】分三種情況，兩人所選影片均不同，兩人所選影片中，《名偵探柯南》相同，不是《名偵探柯南》相同，分別計(jì)算出相應(yīng)的方案數(shù)，相加即可.【詳解】若兩人所選影片均不同，此時(shí)小明先從除《名偵探柯南》中選擇一部，小華從剩余的3部中選擇兩部，此時(shí)共有種方案，若兩人所選影片中，《名偵探柯南》相同，則兩人從剩余4部中各選1部，有種方案，若兩人所選影片中，不是《名偵探柯南》相同，相同的影片為4部中1部，有種選擇，再給小華從剩余3部中選擇一部，有種選擇，故共有種方案，綜上，共有種方案.故選：D3．（24-25高三上·廣東·開學(xué)考試）某中學(xué)數(shù)學(xué)組來(lái)了名即將畢業(yè)的大學(xué)生進(jìn)行教學(xué)實(shí)習(xí)活動(dòng)，現(xiàn)將他們分配到高一年級(jí)的，，三個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少一名，最多兩名，則不同的分配方案有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】B【分析】先把名大學(xué)生按照分成三組，再將三個(gè)組分到個(gè)班，計(jì)算可得答案．【詳解】將名大學(xué)生分配到高一年級(jí)的個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少名，最多名，則將名大學(xué)生分成三組，一組人，另兩組都是人，有種方法，再將組分到個(gè)班，共有種不同的分配方案，故選：B．4．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有含甲在內(nèi)的5名游客來(lái)到江西旅游，分別準(zhǔn)備從井岡山、廬山、龍虎山這3個(gè)5A級(jí)景區(qū)中隨機(jī)選擇1個(gè)景區(qū)游玩.在這5名游客中，甲不去井岡山，但每個(gè)景區(qū)均有人選擇，則這5名游客不同的選擇方案種數(shù)為（

）A．52 B．72 C．76 D．100【答案】D【分析】分類討論與甲為一組的人數(shù)情況，結(jié)合分組分配問(wèn)題的解法即可得解.【詳解】若甲1個(gè)人一組，則其他兩組人數(shù)分別為1，3或2，2，則不同的選擇方案有種；若甲和另外1個(gè)人兩人一組，則其他兩組人數(shù)為1，2，則不同的選擇方案有種；若甲和另外2個(gè)人三人一組，則其他兩組人數(shù)為1，1，則不同的選擇方案有種；所以共有種選擇方案.故選：D.5．（25-26高三上·上?！卧獪y(cè)試）如題圖所示是某展區(qū)的一個(gè)菊花布局圖，現(xiàn)有5個(gè)不同品種的菊花可供選擇，要求相鄰的兩個(gè)展區(qū)不使用同一種菊花，則不同的布置方法有（

）．

A．240種B．300種C．360種D．420種【答案】D【分析】先安排中心區(qū)域A，再?gòu)腂開始沿逆時(shí)針?lè)较蜻M(jìn)行布置四周的區(qū)域，分D與B選用同一種和選用不同種類菊花兩種情況，結(jié)合計(jì)數(shù)原理得到答案.【詳解】先布置中心區(qū)域A共有5種方法，從B開始沿逆時(shí)針?lè)较蜻M(jìn)行布置四周的區(qū)域，則B有4種布置方法，C有3種布置方法．如果D與B選用同一種菊花，則E有3種布置方法；如果D與B選用不同種類菊花，則D有2種布置方法，E有2種布置方法．按照分步乘法與分類加法計(jì)數(shù)原理，則全部的布置方法有（種）.故選：D．易錯(cuò)分析：涂色問(wèn)題一般是綜合考查兩個(gè)原理的應(yīng)用，這類問(wèn)題要注意合理的分步分類，一般可以從哪些部分可以同色入手分析.6．（23-24高三下·山東濟(jì)寧·期中）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”.后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖，現(xiàn)提供5種顏色給圖中的5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同.記事件：“區(qū)域2和區(qū)域4顏色不同”，事件：“所有區(qū)域顏色均不相同”，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知，結(jié)合條件概率公式求解即可.【詳解】事件：“區(qū)域2和區(qū)域4顏色不同”即從5種顏色選出兩種放入?yún)^(qū)域2和區(qū)域4，再?gòu)氖Ｓ嗟?種顏色選出一種放入?yún)^(qū)域5，剩余的區(qū)域1和區(qū)域3分別都有兩種選擇，即有種，事件有種，所以，故選：C.7．（24-25高三上·黑龍江·期末）已知的展開式中第9項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則展開式中系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是（

）A．第6項(xiàng) B．第7項(xiàng)C．第8項(xiàng) D．第9項(xiàng)【答案】C【分析】先求出展開式的通項(xiàng)，從而依據(jù)展開式中第9項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)得到，再依據(jù)第項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值大于或等于第項(xiàng)且大于或等于第項(xiàng)列不等式組即可求得.【詳解】由題意，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為：因?yàn)檎归_式中第9項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，故，解得，故第項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值為.設(shè)展開式中第項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大，則有由①可得：，即，解得；由②可得：，即，解得.即，又因?yàn)?，故，即?項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大.故選：C.易錯(cuò)分析：二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式是，注意通項(xiàng)公式是表示展開式的第r+1項(xiàng).8．（24-25高三上·廣西·階段練習(xí)）已知（）的展開式中的第7項(xiàng)為7，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．3 C．7 D．【答案】A【分析】利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，根據(jù)已知條件求解即可.【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為，令，則，即，則，即，又，則.故選：A.9．（24-25高三上·湖南株洲·期末）若展開式中的第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的系數(shù)相等，則的值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用二項(xiàng)式定理求出第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的系數(shù)，列式計(jì)算得解.【詳解】二項(xiàng)式的展開式第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的系數(shù)分別為，依題意，，即，整理得，而，所以.故選：B10．（24-25高三上·湖南長(zhǎng)沙·期末）已知的展開式中第3項(xiàng)與倒數(shù)第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于72，則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，列式求出，再求出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，進(jìn)而求出冪指數(shù)為0的項(xiàng)即可.【詳解】依題意，，即，而n為正整數(shù)，解得，則展開式的通項(xiàng)公式為，由，解得，所以該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故選：A.易錯(cuò)分析：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用中要區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的不同.11．（24-25高三上·貴州·階段練習(xí)）在的二項(xiàng)展開式中，第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是（

）A．8 B． C．28 D．【答案】C【分析】利用二項(xiàng)式系數(shù)的意義求解即可.【詳解】第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為.故選：C.12．（23-24高三下·湖北·階段練習(xí)）各數(shù)位數(shù)字之和等于6（數(shù)字可以重復(fù)）的四位數(shù)個(gè)數(shù)為（請(qǐng)用數(shù)字作答）．【答案】56【分析】轉(zhuǎn)化為隔板法，解決問(wèn)題.【詳解】設(shè)，，，對(duì)應(yīng)個(gè)位到千位上的數(shù)字，則，且，相當(dāng)于6個(gè)相同的球排成一排，每個(gè)球表示1，先拿一個(gè)球裝入，轉(zhuǎn)化為5個(gè)球裝入4個(gè)盒子，每盒可空，等價(jià)于9個(gè)球用3個(gè)隔板分成4組（各組不可為空），故共有種．故答案為：56．易錯(cuò)分析：要注意“隔板法”僅適用于相同元素的分配問(wèn)題.13．（2024·湖北·二模）已知，且，，，則方程的解的組數(shù)為.【答案】15【分析】問(wèn)題等價(jià)于將7個(gè)相同的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子中至少放入1個(gè)小球的方法個(gè)數(shù)，利用隔板法求解即可.【詳解】由題意，原問(wèn)題等價(jià)于將7個(gè)相同的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子中至少放入1個(gè)小球的方法個(gè)數(shù)，在7個(gè)相同的小球之間形成的6個(gè)空中，任選2個(gè)放入兩個(gè)隔板，共有種方法，即方程的解的組數(shù)為15.故答案為：1514．（23-24高三下·山東青島·階段練習(xí)）的非負(fù)整數(shù)解有組.【答案】84【分析】把方程的解轉(zhuǎn)化為將6個(gè)相同的小球，放入4個(gè)不同的盒子，且可以有空盒出現(xiàn)，有多少種不同的方法？按照相同元素的排列問(wèn)題進(jìn)行求解即可.【詳解】本問(wèn)題等價(jià)于將6個(gè)相同的小球，放入4個(gè)不同的盒子，且可以有空盒出現(xiàn)，有多少種不同的方法？因此我們將6個(gè)小球排成一排，用3個(gè)隔板將小球隔成4段，因?yàn)楹凶涌梢詾榭?，因此隔板可以相鄰，將?,2,3,4段放入這四個(gè)盒子中即可，因?yàn)樾∏驔](méi)有區(qū)別，隔板也沒(méi)有區(qū)別，因此等價(jià)于將6個(gè)小球和3個(gè)隔板排成一列，則共有種方法，故答案為：84.考點(diǎn)02統(tǒng)計(jì)1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）非物質(zhì)文化遺產(chǎn)是文化多樣性中最富活力的重要組成部分，是人類文明的結(jié)晶和最寶貴的共同財(cái)富．某校為了解學(xué)生對(duì)當(dāng)?shù)胤沁z文化“川劇”的了解程度，現(xiàn)從高中部抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，已知該校高一、高二、高三年級(jí)學(xué)生人數(shù)之比為，若利用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取人進(jìn)行調(diào)查，則抽取到的高一年級(jí)學(xué)生人數(shù)比高三多（

）A．人 B．人 C．人 D．人【答案】C【分析】根據(jù)比例進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，計(jì)算出抽取的高一年級(jí)學(xué)生人數(shù)和高三年級(jí)學(xué)生人數(shù)，做差即可.【詳解】由題意，采用分層抽樣的方法，應(yīng)從高一年級(jí)抽取人，從高三年級(jí)抽取人，則抽取到的高一年級(jí)學(xué)生人數(shù)比高三多人．故選：C易錯(cuò)分析：處理分層抽樣問(wèn)題的關(guān)鍵是“等比”這一特征.2．（23-24高三下·江蘇南京·開學(xué)考試）某學(xué)校高二年級(jí)選擇“物化生”，“物化地”和“史地政”組合的同學(xué)人數(shù)分別為240，90和120.現(xiàn)采用分層抽樣的方法選出30位同學(xué)進(jìn)行某項(xiàng)調(diào)查研究，則“史地政”組合中選出的同學(xué)人數(shù)為（

）A．8 B．12 C．16 D．6【答案】A【分析】根據(jù)分層抽樣的定義列出式子，進(jìn)行求解.【詳解】由題意得，史地政”組合中選出的同學(xué)人數(shù)為.故選：A3．（2024·河南·三模）國(guó)內(nèi)某優(yōu)秀新能源電池制造企業(yè)在鋰電池單位能量密度技術(shù)上取得了重大突破，該制造企業(yè)內(nèi)的某車間有兩條生產(chǎn)線，分別生產(chǎn)高能量密度鋰電池和低能量密度鋰電池，總產(chǎn)量為400個(gè)鋰電池．質(zhì)檢人員采用分層隨機(jī)抽樣的方法隨機(jī)抽取了一個(gè)容量為80的樣本進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，已知樣本中高能量密度鋰電池有35個(gè)，則估計(jì)低能量密度鋰電池的總產(chǎn)量為（

）．A．325個(gè) B．300個(gè) C．225個(gè) D．175個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)分層抽樣計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得.【詳解】根據(jù)分層隨機(jī)抽樣可知低能量密度鋰電池的產(chǎn)量為（個(gè)）．故選：C4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）某市安踏專賣店為了了解某日旅游鞋的銷售情況，抽取了部分顧客所購(gòu)旅游鞋的尺寸，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖.已知從左到右前3個(gè)小組的頻率之比為，第4小組與第5小組的頻率分布直方圖如圖所示，第2小組的頻數(shù)為10，則第5小組的頻數(shù)是（）

A．4 B．5C．8 D．10【答案】B【分析】先設(shè)從左到右前3個(gè)小組的頻率分別為x，2x，3x，第5小組的頻數(shù)是y，由頻率之和為1結(jié)合題設(shè)列出關(guān)于的方程組求出即可得解.【詳解】設(shè)從左到右前3個(gè)小組的頻率分別為x，2x，3x，第5小組的頻數(shù)是y，則，解得.故選：B.易錯(cuò)分析：頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是頻率與組距的比，每個(gè)小矩形的面積才是各組中的頻率.5．（24-25高三上·天津河?xùn)|·期末）某校根據(jù)學(xué)生情況將物理考試成績(jī)進(jìn)行賦分，目的是為了更好地對(duì)新高考改革中不同選科學(xué)生的考試成績(jī)進(jìn)行橫向?qū)Ρ?，?jīng)過(guò)對(duì)全校300名學(xué)生的成績(jī)統(tǒng)計(jì)，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，則這些同學(xué)物理成績(jī)大于等于60分的人數(shù)為（

）A．270 B．240 C．180 D．150【答案】B【分析】根據(jù)頻率之和為1得到方程，求出，進(jìn)而求出物理成績(jī)大于等于60分的人數(shù).【詳解】，解得，故物理成績(jī)大于等于60分的人數(shù)為.故選：B.6．（23-24高三上·天津·階段練習(xí)）為了解某校今年準(zhǔn)備報(bào)考飛行員的學(xué)生的體重情況，對(duì)所得的體重?cái)?shù)據(jù)（單位：）進(jìn)行分組，區(qū)間為，將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第一組，第二組，……，第五組．畫出頻率分布直方圖（如圖所示），已知第一組，第二組和第三組的頻率之比為，且第一組的頻數(shù)為6，則報(bào)考飛行員的學(xué)生人數(shù)是（

）A．48 B．5 C．54 D．60【答案】A【分析】先由題意求出前三組頻率之和，進(jìn)而求出第一組的頻率，從而再結(jié)合第一組頻數(shù)即可得解.【詳解】由題前三組頻率之和為，又第一組、第二組和第三組的頻率之比為，所以第一組的頻率為，又第一組的頻數(shù)為，所以報(bào)考飛行員的學(xué)生人數(shù)為人.故選：A.7．（24-25高三上·天津西青·期末）樹人中學(xué)舉行主題為“弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，傳承中華美德”的演講比賽，現(xiàn)隨機(jī)抽選10名參賽選手，獲得他們出場(chǎng)順序的數(shù)據(jù)，將這組數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?，，，，，，，，，，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是極差的，則該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是(

)A．9 B．10 C．11 D．12【答案】A【分析】先依據(jù)題意列等量關(guān)系式求出，再依據(jù)百分位數(shù)的定義以及求解步驟直接求解即可得解.【詳解】由題可得極差是，該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是極差的，列出等式，解得，因?yàn)?，故該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為從小到大第4個(gè)數(shù)據(jù)和第5個(gè)數(shù)據(jù)的平均值，即，所以該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是.故選：A.8．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）某老年健康活動(dòng)中心隨機(jī)抽取了6位老年人的收縮壓（單位：mmHg）數(shù)據(jù)，分別為96，120，146，153，112，136，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（

）A．112 B．120 C．128 D．136【答案】B【分析】先將6個(gè)數(shù)據(jù)從小到大進(jìn)行排列，再根據(jù)百分位數(shù)的定義和求解步驟即可求解.【詳解】將這組數(shù)據(jù)從小到大依次排列為96，112，120，136，146，153，因?yàn)?，所以分位?shù)為第3個(gè)數(shù)120．故選：B．易錯(cuò)分析：求總體百分?jǐn)?shù)時(shí)一定要先將數(shù)據(jù)從小到大排列，然后再根據(jù)規(guī)則求解.9．（24-25高三上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）某市為了了解全市10萬(wàn)名高一學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，抽取了該市某個(gè)區(qū)的15000名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)能力測(cè)試（百分制），并將這些學(xué)生的成績(jī)整理成如圖所示的頻率分布直方圖、根據(jù)頻率分布直方圖，下列說(shuō)法正確的是（

）A．圖中a的值為0.15B．估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為85C．用樣本可以估計(jì)全市高一學(xué)生數(shù)學(xué)能力測(cè)試不及格（低于60分）的人數(shù)為5000D．用樣本可以估計(jì)全市高一學(xué)生數(shù)學(xué)能力測(cè)試的平均分約為81.5分（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）【答案】C【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)計(jì)算；B選項(xiàng)，先判斷出分位數(shù)所在的區(qū)間，然后列方程計(jì)算；C選項(xiàng)，先算出樣本數(shù)據(jù)中不及格的頻率，由此估計(jì)全市學(xué)生不及格的人數(shù)；D選項(xiàng)，根據(jù)題意中的平均數(shù)的計(jì)算要求進(jìn)行計(jì)算.【詳解】A選項(xiàng)，根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，，解得，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，前個(gè)矩形條的面積為，前個(gè)矩形條的面積為：，故樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)落在中，設(shè)樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，于是，解得，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，根據(jù)直方圖可以看出，低于分的頻率為：，于是估計(jì)全市學(xué)生不及格的人數(shù)為：，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，由題意，平均數(shù)為：，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.10．（24-25高三上·河北·期中）某企業(yè)五個(gè)部門年第三季度的營(yíng)業(yè)收入占比和凈利潤(rùn)占比統(tǒng)計(jì)如下表所示：第一部門第二部門第三部門第四部門第五部門營(yíng)業(yè)收入占比凈利潤(rùn)占比若該企業(yè)本季度的總營(yíng)業(yè)利潤(rùn)率為（營(yíng)業(yè)利潤(rùn)率是凈利潤(rùn)占營(yíng)業(yè)收入的百分比），則（

）A．各部門營(yíng)業(yè)收入占比的極差為B．各部門營(yíng)業(yè)收入占比的第百分位數(shù)為C．第二部門本季度的營(yíng)業(yè)利潤(rùn)為正D．第三部門本季度的營(yíng)業(yè)利潤(rùn)率大約為【答案】D【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)計(jì)算極差、百分位數(shù)、營(yíng)業(yè)利潤(rùn)率，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，各部門營(yíng)業(yè)收入占比的極差為，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，各部門營(yíng)業(yè)收入占比由小到大依次為、、、、，且，所以，各部門營(yíng)業(yè)收入占比的第百分位數(shù)為，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，第二部門本季度的營(yíng)業(yè)利潤(rùn)率，故第二部門本季度的營(yíng)業(yè)利潤(rùn)為負(fù)，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，第三部門本季度的營(yíng)業(yè)利潤(rùn)率為，D對(duì).故選：D.11．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）有一組數(shù)據(jù)24，29，，25，22，，20，24，28，25．若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與眾數(shù)相等，則平均數(shù)為（

）A．24.4 B．25.8 C．24.4或25.8 D．24.4或24.8【答案】D【分析】先將數(shù)據(jù)從小到大排列，再結(jié)合中位數(shù)，眾數(shù)定義得出數(shù)據(jù)，進(jìn)而相等得出，則平均數(shù)應(yīng)用定義即可計(jì)算.【詳解】將已知數(shù)據(jù)從小到大排列為20，22，24，24，25，25，28，29．因?yàn)樵摻M數(shù)據(jù)的中位數(shù)與眾數(shù)相等，所以眾數(shù)只能是24和25中的一個(gè)．因?yàn)槊拷M數(shù)據(jù)的中位數(shù)是唯一的，所以該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)也是唯一確定的．又該組數(shù)據(jù)中除24，25外其他數(shù)據(jù)均只出現(xiàn)一次，且與不可能相等，故眾數(shù)只能是24和25中的一個(gè)．若中位數(shù)與眾數(shù)均為24，則，，此時(shí)平均數(shù)為；若中位數(shù)與眾數(shù)均為25，則，此時(shí)平均數(shù)為，故該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為24.4或24.8．故選：D.考點(diǎn)03概率1．（24-25高三上·江蘇蘇州·期末）現(xiàn)有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5的五張卡片，甲、乙兩人隨機(jī)依次從中各抽取兩張，則僅有甲抽到的卡片上數(shù)字之和為6的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用組合數(shù)公式求得總的取法數(shù)，再求得符合條件的取法數(shù)，由古典概型概率公式可求解.【詳解】從標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5的五張卡片，甲抽取兩張卡片有，乙抽取兩張卡片有，所以共有種不同的取法，僅有甲抽到的卡片上數(shù)字之和為6的取法為：甲抽時(shí)，乙可抽與兩種，甲抽時(shí)，乙可抽與兩種，所以共有4種不同的抽法，所以僅有甲抽到的卡片上數(shù)字之和為6的概率為.故選：A.易錯(cuò)分析：古典概型概率問(wèn)題必須要滿足基本事件的等可能性.2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）近年來(lái)，國(guó)內(nèi)中、短途旅游人數(shù)增長(zhǎng)顯著，2024年上半年旅游人數(shù)更創(chuàng)新高，充分展示了國(guó)內(nèi)文旅消費(fèi)潛力．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)打算去北京、成都、貴陽(yáng)三個(gè)地方旅游，每位同學(xué)只去一個(gè)地方，每個(gè)地方至少去1人，則甲、乙都去北京的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意四位同學(xué)去三個(gè)地方，每個(gè)地方至少去一人，即可得到總的方案，甲、乙都去北京，則丙丁只能在成都和貴陽(yáng)各自選一個(gè)有2種選法，根據(jù)古典概型即可求解.【詳解】四位同學(xué)去三個(gè)地方，每個(gè)地方至少去一人，總共有（種）方案．因?yàn)榧?、乙都去北京，則丙、丁分別去成都或貴陽(yáng)，所以有2種方案，故甲、乙都去北京的概率為.故選：B．3．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）從3名男生和2名女生中任選3人參加一項(xiàng)創(chuàng)新大賽，則選出的3人中既有男生又有女生的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先計(jì)算從人中選出人的全部方法總數(shù)，減去只選男生的方法數(shù)，即可得到既有男生又有女生的方法數(shù)，計(jì)算比值即可求解.【詳解】從人中選人參加創(chuàng)新大賽共有種選法，所選人全是男生有選法，因?yàn)榕藬?shù)少于人，所以不可能所選人全是女生，所以選出的3人中既有男生又有女生的情況有種選法，所以選出的3人中既有男生又有女生的概率為.故選：D4．（24-25高三上·河北滄州·階段練習(xí)）有件產(chǎn)品，其中有3件次品，其余均為正品，從中任取2件產(chǎn)品，2件產(chǎn)品等次不同的概率為，則取出的2件產(chǎn)品都是正品的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)2件產(chǎn)品等次不同的概率為求出，根據(jù)古典概型再求取出的2件產(chǎn)品都是正品的概率即可.【詳解】由題意，得，解得或（舍去），故取出的2件產(chǎn)品都是正品的概率為，故選：B.5．袋子中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個(gè)紅球、3個(gè)黃球，從中有放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，那么這2個(gè)球同色的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意設(shè)2個(gè)紅球?yàn)椋?個(gè)黃球?yàn)?，，，考慮有放回地摸球，分別列出試驗(yàn)的樣本空間和事件“這2個(gè)球同色”表示的集合，利用古典概型概率公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)2個(gè)紅球?yàn)?，?個(gè)黃球?yàn)?，，，從中有放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，樣本空間為：，，則，設(shè)事件為“這2個(gè)球同色”，則，則，由古典概率公式，可得.故選：D易錯(cuò)分析：抽樣問(wèn)題中的概率問(wèn)題要注意區(qū)分“不放回抽取”和“有放回抽取”的不同.6．不透明的口袋里有4個(gè)白球，2個(gè)紅球，這6個(gè)球除了顏色外完全相同，從中不放回地抽取2個(gè)球，則抽出的2個(gè)球均為白球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用古典概型概率公式即可求出概率.【詳解】記4個(gè)白球?yàn)椋?個(gè)紅球?yàn)?，?個(gè)白球，2個(gè)紅球中不放回抽取2個(gè)球有:，共種不同的取法，其中抽出2球均為白球有共種不同的取法，所以抽出的2個(gè)球均為白球的概率.故選：C.7．（2024·上海徐匯·一模）一個(gè)不透明的盒子中裝有若干個(gè)紅球和5個(gè)黑球，這些球除顏色外均相同.每次將球充分?jǐn)噭蚝螅我饷?個(gè)球記下顏色后再放回盒子.經(jīng)過(guò)重復(fù)摸球足夠多次試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.1左右，則據(jù)此估計(jì)盒子中紅球的個(gè)數(shù)約為（

）A．40個(gè) B．45個(gè) C．50個(gè) D．55個(gè)【答案】B【分析】因?yàn)橹貜?fù)摸球次數(shù)足夠多，所以將頻率視為概率，應(yīng)用古典概型概率的計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)紅球個(gè)數(shù)為，由題意可得：，解得：.故選：B8．（24-25高三上·浙江·期中）某袋子中有大小相同的4個(gè)白球和2個(gè)紅球，甲乙兩人先后依次從袋中不放回取球，每次取1球，先取到紅球者獲勝，則甲獲勝的概率（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】甲獲勝的情形有三種：第一種，甲第一次就摸到紅球；第二種，甲、乙第一次都摸到白球，甲第二次摸到紅球；第三種，甲、乙第一、二次都摸到白球，第三次摸甲摸到紅球.利用古典概率的加法求解即可【詳解】；故選：C.9．（2024·上海虹口·一模）已知事件和事件滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）．A．事件和事件獨(dú)立 B．事件和事件互斥C．事件和事件對(duì)立 D．事件和事件互斥【答案】B【分析】根據(jù)互斥事件、相互獨(dú)立事件的定義判斷即可.【詳解】因?yàn)槭录褪录M足，則一定可以得到事件和事件互斥，但不一定對(duì)立，故B正確，C錯(cuò)誤；因?yàn)椋?dāng)，不為時(shí)，事件和事件不獨(dú)立，故A錯(cuò)誤；拋擲一枚骰子，記出現(xiàn)點(diǎn)為事件，出現(xiàn)點(diǎn)為事件，則，，顯然事件和事件不互斥，故D錯(cuò)誤.故選：B易錯(cuò)分析：熟記互斥事件、對(duì)立事件和相互獨(dú)立事件的定義，并能進(jìn)行正確的區(qū)分判斷.10．（24-25高三上·上?！て谥校仈S一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，記事件A：“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，事件B：“出現(xiàn)3點(diǎn)或4點(diǎn)”，則事件A與事件B的關(guān)系為（

）A．是相互獨(dú)立事件，不是互斥事件 B．是互斥事件，不是相互獨(dú)立事件C．既是相互獨(dú)立事件又是互斥事件 D．既不是互斥事件也不是相互獨(dú)立事件【答案】A【分析】根據(jù)互相獨(dú)立事件、互斥事件的定義確定即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，，所以，所以事件與事件是相互獨(dú)立事件，不是互斥事件.故選：A.11．拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的骰子，記錄骰子朝上面的點(diǎn)數(shù)，若用表示紅色骰子的點(diǎn)數(shù)，用表示綠色骰子的點(diǎn)數(shù)，用表示一次試驗(yàn)結(jié)果，設(shè)事件；事件：至少有一顆點(diǎn)數(shù)為6；事件；事件.則下列說(shuō)法正確的是（）A．事件與事件為互斥事件 B．事件與事件為互斥事件C．事件與事件相互獨(dú)立 D．事件與事件相互獨(dú)立【答案】D【分析】A選項(xiàng)，寫出事件包含的情況，得到，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，寫出事件包含的情況，結(jié)合A選項(xiàng)，得到，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，寫出事件包含的情況，故，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，寫出事件和包含的情況，得到，D正確.【詳解】A選項(xiàng)，事件包含的情況有，事件：至少有一顆點(diǎn)數(shù)為6包含的情況有，故，事件與事件不為互斥事件，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，事件包含的情況有，故，事件與事件不為互斥事件，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的骰子，共有種情況，故，事件包含的情況為，故，故，故事件與事件不相互獨(dú)立，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，事件包含的情況有，，共18種情況，故，事件包含的情況有：，故，因?yàn)?，所以事件與事件相互獨(dú)立，D正確.故選：D12．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，記事件“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，事件“出現(xiàn)3點(diǎn)或4點(diǎn)”，則事件A與B的關(guān)系為（

）A．相互獨(dú)立事件 B．相互互斥事件C．即相互獨(dú)立又相互互斥事件 D．既不互斥又不相互獨(dú)立事件【答案】A【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件、互斥事件的定義確定正確選項(xiàng).【詳解】由于表示“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為4”，所以事件A與B不是互斥事件，由，，，有，所以事件A與B是相互獨(dú)立事件，不是互斥事件.故選：A13．（24-25高三上·江蘇·期末）第屆中國(guó)國(guó)際航空航天博覽會(huì)于年月日至日在珠海舉行．本屆航展規(guī)?？涨?，首次打造“空、海、陸”一體的動(dòng)態(tài)演示新格局，盡顯逐夢(mèng)長(zhǎng)空的中國(guó)力量．航展共開辟了三處觀展區(qū)，分別是珠海國(guó)際航展中心、金鳳臺(tái)觀演區(qū)、無(wú)人系統(tǒng)演示區(qū)．甲、乙、丙、丁四人相約去參觀，每個(gè)觀展區(qū)至少有人，每人只參觀一個(gè)觀展區(qū)．在甲參觀珠海國(guó)際航展中心的條件下，甲與乙不到同一觀展區(qū)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】記事件甲參觀珠海國(guó)際航展中心，事件甲與乙不到同一觀展區(qū)，求出、的值，利用條件概率公式可求得所的值，即為所求.【詳解】記事件甲參觀珠海國(guó)際航展中心，事件甲與乙不到同一觀展區(qū)，則，因?yàn)槊總€(gè)觀展區(qū)至少有人，每人只參觀一個(gè)觀展區(qū)，則先將個(gè)人分為組，再將這三組分配給三個(gè)展區(qū)，基本事件的總數(shù)為，若事件、同時(shí)發(fā)生，若參觀珠海國(guó)際航展中心有人，則另外一人為丙或丁，此時(shí)，不同的參觀情況種數(shù)為，若參觀珠海國(guó)際航展中心只有甲一人，將另外三人分成兩組，再將這兩組分配給另外兩個(gè)展區(qū)，此時(shí)，不同的參觀情況種數(shù)為種，因此，，由條件概率公式可得.故選：A.14．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知甲、乙去北京旅游的概率分別為，，甲、乙兩人中至少有一人去北京旅游的概率為，且甲是否去北京旅游對(duì)乙去北京旅游有一定影響，則在乙不去北京的前提下，甲去北京旅游的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)兩個(gè)事件的和事件的概率公式求出，利用全概率公式得到，再利用條件概率求解即可.【詳解】記事件A：甲去北京旅游，事件B：乙去北京旅游，則，，，因?yàn)椋?，解得，又因?yàn)?，即，解得，因?yàn)椋?，所?故選：D.易錯(cuò)分析：條件概率的求解主要有兩種方法，一是公式法，二是縮小樣本空間法.15．（24-25高三上·甘肅白銀·階段練習(xí)）質(zhì)監(jiān)部門對(duì)某種建筑構(gòu)件的抗壓能力進(jìn)行檢測(cè)，對(duì)此建筑構(gòu)件實(shí)施打擊，該構(gòu)件有兩個(gè)易損部位，每次打擊后，部位損壞的概率為，部位損壞的概率為，則在第一次打擊后就有部位損壞（只考慮兩個(gè)易損部分）的條件下，兩個(gè)部位都損壞的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求得第一次打擊后就有部位損壞的概率和兩個(gè)部位都損壞的概率，再由條件概率公式代入即可求解.【詳解】解題分析記事件：第一次打擊后就有部位損壞，事件兩個(gè)部位都損壞，則，由條件概率公式可得.故選：A16．（24-25高三上·廣東·開學(xué)考試）在電子游戲中，若甲，乙，丙通關(guān)的概率分別是，且三人通關(guān)與否相互獨(dú)立，則在甲，乙，丙中恰有兩人通關(guān)的條件下，甲通關(guān)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出三人中恰有兩人通關(guān)的概率以及甲通關(guān)時(shí)恰有兩人通關(guān)的概率，利用條件概率公式求解.【詳解】設(shè)甲，乙，丙通關(guān)分別為事件，三人中恰有兩人通關(guān)為事件，則，．故選：D．17．（2024·四川內(nèi)江·一模）已知一批產(chǎn)品中有是合格品，檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)，一個(gè)合格品被誤判為次品的概率為，一個(gè)次品被誤判為合格品的概率為．任意抽查一個(gè)產(chǎn)品，檢查后被判為合格品的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】記事件抽取的一個(gè)產(chǎn)品為合格品，事件抽查一個(gè)產(chǎn)品被判為合格品，利用全概率公式可求得的值.【詳解】記事件抽取的一個(gè)產(chǎn)品為合格品，事件抽查一個(gè)產(chǎn)品被判為合格品，則，，，由全概率公式可得.所以，任意抽查一個(gè)產(chǎn)品，檢查后被判為合格品的概率為.故選：B.考點(diǎn)04隨機(jī)變量及其分布列1．設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示，則（

）X12PA． B． C． D．【答案】B【分析】由分布列的性質(zhì)可得，求解即可.【詳解】由分布列的性質(zhì)可得,即，解得.又，解得，故.故選:B.易錯(cuò)分析：根據(jù)隨機(jī)變量的分布列求值時(shí)要注意分布列的性質(zhì)，即.2．已知離散型隨機(jī)變量的分布列為0123若，則（

）A．2 B．3 C．6 D．7【答案】C【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)以及數(shù)學(xué)期望求出的值，即可求得，根據(jù)方差的性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】由題意知，由得，解得，故，故，故選：C3．若隨機(jī)變量的分布列為X0123P0.10.20.10.30.10.2則當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】可由分布列的性質(zhì)直接求解.【詳解】由隨機(jī)變量的分布列知:，則當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.4．（25-26高三上·上海·單元測(cè)試）設(shè)10件產(chǎn)品中有3件次品，從中抽取2件進(jìn)行檢查，則查得次品數(shù)的期望為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)抽得次品數(shù)為，根據(jù)超幾何分布的概率公式求解概率，進(jìn)而可求得的值．【詳解】設(shè)抽得次品數(shù)為，則隨機(jī)變量的可能取值有0、1、2，則，，，所