試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages2727頁(yè)專題04指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)目錄題型一：指數(shù)運(yùn)算及指數(shù)函數(shù)易錯(cuò)點(diǎn)01對(duì)根式性質(zhì)理解不到位出錯(cuò)易錯(cuò)點(diǎn)02忽略底數(shù)對(duì)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的影響題型二對(duì)數(shù)運(yùn)算及對(duì)數(shù)函數(shù)易錯(cuò)點(diǎn)03忽視對(duì)數(shù)式成立的條件而出錯(cuò)易錯(cuò)點(diǎn)04判斷對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性忽略定義域易錯(cuò)點(diǎn)05利用換元法求值域遺忘范圍題型三冪函數(shù)易錯(cuò)點(diǎn)05錯(cuò)判冪函數(shù)的性質(zhì)題型一：指數(shù)運(yùn)算及指數(shù)函數(shù)易錯(cuò)點(diǎn)01：對(duì)根式性質(zhì)理解不到位出錯(cuò)典例（24-25高三·全國(guó)·專題）下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（）①49的平方根為7；②；③；④．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)根式的運(yùn)算，逐一判斷即可.【詳解】49的平方根是，故①錯(cuò)誤；，故②正確；，故③錯(cuò)誤；，故④錯(cuò)誤．故選:A．【易錯(cuò)剖析】本題容易混淆根式的性質(zhì)和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算律而認(rèn)為，成立而誤選C.【避錯(cuò)攻略】1.根式的概念一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且.（1）當(dāng)是奇數(shù)時(shí),正數(shù)的次方根是一個(gè)正數(shù),負(fù)數(shù)的次方根是一個(gè)負(fù)數(shù),這時(shí),的次方根用符號(hào)表示.（2）當(dāng)是偶數(shù)時(shí),正數(shù)的次方根有兩個(gè),記為,負(fù)數(shù)沒有偶次方根.（3）0的任何次方根都是0,記作.式子叫做根式,其中,且叫做根指數(shù),叫做被開方數(shù).2.根式的性質(zhì)根據(jù)次方根的意義,可以得到:（1）.（2）當(dāng)是奇數(shù)時(shí),;當(dāng)是偶數(shù)時(shí),3．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義易錯(cuò)提醒：(1)處理根式問題一定要注意分析根指數(shù)的奇偶性，因?yàn)楦笖?shù)奇偶性的不同，被開方數(shù)的取值范圍不同，如中當(dāng)為奇數(shù)時(shí),為偶數(shù)時(shí),，另外根式的化簡(jiǎn)結(jié)果也不同；分?jǐn)?shù)指數(shù)冪中的不能隨便約分，要注意底數(shù)取值范圍的改變．1．（2024·河南·三模）若，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)運(yùn)算法則和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】由，，可知，.故選：B2．（2025高一·全國(guó)·課后作業(yè)）（

）A． B．C． D．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，【答案】D【分析】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，即可求解.【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.故選：D3．（24-25高一上·黑龍江大慶·期中）下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分式與指數(shù)冪的互化逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)：，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，沒有意義，故D錯(cuò)誤.故選：C1．（23-24高一上·北京延慶·期末）的值為（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】根據(jù)根式的運(yùn)算求得正確答案.【詳解】.故選：C2．（23-24高三上·山東濰坊·期中）將寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)根式與指數(shù)冪的互化即可求解.【詳解】將寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式為.故選：B.3．（23-24高一上·廣東佛山·階段練習(xí)）下列運(yùn)算結(jié)果中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)有理數(shù)指數(shù)冪、根式的運(yùn)算法則計(jì)算可得答案．【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，，故D正確．故選：D．4．（23-24高三上·廣東中山·階段練習(xí)）設(shè)，將表示成指數(shù)冪的形式，其結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化，根據(jù)指數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】因?yàn)椋?故選：C5．（24-25高三上·江蘇鹽城·開學(xué)考試）（多選）下列選項(xiàng)中正確的有（

）A． B．若，則C． D．【答案】BD【分析】結(jié)合指數(shù)運(yùn)算法則及其性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得.【詳解】對(duì)A：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，故不一定成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：，故，故B正確；對(duì)C：顯然不成立，如當(dāng)時(shí)，左邊為，右邊為，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：，故D正確.故選：BD.6．（24-25高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）（多選）下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】運(yùn)用根式性質(zhì)，指數(shù)冪性質(zhì)和對(duì)數(shù)性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【詳解】，故A錯(cuò)誤.指數(shù)冪性質(zhì)，知道，B正確；對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，知道，C錯(cuò)誤；換底公式逆用，知道,D正確.故選：BD.7．（24-25高三上·海南海口·階段練習(xí)）（多選）若代數(shù)式有意義，則．【答案】1【分析】由二次根式有意義得到的取值范圍，化簡(jiǎn)所求代數(shù)值，由的取值范圍去掉絕對(duì)值符號(hào)即可得到解.【詳解】由題意可知：，∴∴故答案為：18．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）（多選）的值為．【答案】【分析】利用根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】.故答案為：.易錯(cuò)點(diǎn)02：忽略底數(shù)對(duì)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的影響典例（2024·四川攀枝花·模擬預(yù)測(cè)）已知奇函數(shù)在上的最大值為，則（）A．或3 B．或2 C．3 D．2【答案】A【分析】根據(jù)奇偶性求得，分類討論函數(shù)的單調(diào)性得出最大值，根據(jù)已知條件列方程求解即可．【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，所以．即，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，所以，，整理得，解得或(舍去)，所以；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，所以，，整理得，解得或(舍去)，所以，綜上，或3．故選：A．【易錯(cuò)剖析】本題求解時(shí)容易忽略底數(shù)對(duì)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響沒有對(duì)a進(jìn)行討論而漏解.【避錯(cuò)攻略】1指數(shù)函數(shù)的概念一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)是自變量，底數(shù)是一個(gè)大于0且不等于1的常量，定義域是.【注意】學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的定義，注意一下幾點(diǎn)（1）定義域?yàn)椋海?）規(guī)定是因?yàn)椋孩偃?，則（恒等于1）沒有研究?jī)r(jià)值；②若，則時(shí)，（恒等于0），而當(dāng)時(shí)，無(wú)意義；③若，則中為偶數(shù)，為奇數(shù)時(shí)，無(wú)意義.④只有當(dāng)或時(shí)，即，可以是任意實(shí)數(shù).2底數(shù)對(duì)指數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)的影響（1）底數(shù)與1的大小關(guān)系決定了指數(shù)函數(shù)圖象的“升”與“降”.①當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)的圖象是“上升”的，且當(dāng)時(shí)，底數(shù)的值越大，函數(shù)的圖象越“陡”，說(shuō)明其函數(shù)值增長(zhǎng)的越快.②當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)的圖象是“下降”的，且當(dāng)時(shí)，底數(shù)的值越小，函數(shù)的圖象越“陡”，說(shuō)明其函數(shù)值減小的越快.（2）底數(shù)的大小決定了圖象相對(duì)位置的高低：不論是還是，底數(shù)越大，在第一象限內(nèi)的函數(shù)圖象越“靠上”.在同一平面直角坐標(biāo)系中，底數(shù)的大小決定了圖象相對(duì)位置的高低；在軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小，即“底數(shù)大圖象高”；在軸左側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由小變大，即“底數(shù)大圖象低”；易錯(cuò)提醒：當(dāng)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)含有參數(shù)時(shí)，若應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，一定要討論底數(shù)與1的大小關(guān)系.1．（23-24高一上·湖南株洲·期末）若函數(shù)且在上的最小值與最大值的和為3，則函數(shù)在上的最大值是.【答案】【分析】對(duì)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)進(jìn)行分情況討論求出值，代入所求函數(shù)，判斷單調(diào)性即得其最大值.【詳解】當(dāng)時(shí)，在[0,1]上為增函數(shù)，則，解得；當(dāng)時(shí)，在[0,1]上為減函數(shù)，則，解得（舍去）；于是函數(shù)，顯然在上為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，.故答案為：.2．已知函數(shù)（且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由且，得為單調(diào)遞減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則得，又，解得．故選：C．3．函數(shù)在區(qū)間上的最小值是，則的值是.【答案】或【詳解】令，則，其對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，解得.綜上，所以或.故答案為：或1．函數(shù)y=ax?2（a>0且a≠1,?1≤x≤1）的值域是?53A．3 B．13 C．3或13 D．2【答案】C【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分別對(duì)0<a<1和a>1的情況討論單調(diào)性并求值域，從而列方程組即可得到答案.【詳解】函數(shù)y=ax?2（a>0且a≠1,?1≤x≤1又由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)y=ax?2在所以有0<a<1a1?2=?53當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y=ax?2在所以有a>1a?1?2=?53綜上所述，a=13或故選：C.2．（23-24高三上·北京海淀·階段練習(xí)）已知且，函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上的最大值比最小值大，則a的值為（

）A．或2 B．或2 C．2或 D．或【答案】D【分析】按照與1的大小進(jìn)行分類討論，求出函數(shù)在上的最值，從而可得的值.【詳解】①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上也是減函數(shù).∵，∴函數(shù)的最大值為，而，∴函數(shù)的最小值為，∴，解得，符合題意.②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).∵，∴函數(shù)的最大值為，而，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的最小值為，因此有，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的最小值為，因此有，解得，符合題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的值為或.故選：D3．（23-24高三上·安徽六安·階段練習(xí)）已知函數(shù)(且)，若存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】通過對(duì)參數(shù)分類討論，研究在和的單調(diào)性，再結(jié)合已知條件，即可求解.【詳解】由題意，不妨令，；，，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，易知在上的值域?yàn)椋忠驗(yàn)榇嬖谧钚≈?，只需，解得，，又由，從而；②?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)榇嬖谧钚≈?，故，即，解得，，這與矛盾；③當(dāng)時(shí)，，易知的值域?yàn)?，顯然無(wú)最小值；④當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，從而無(wú)最小值.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.5．（23-24高一上·黑龍江綏化·階段練習(xí)）已知指數(shù)函數(shù)在上的最大值與最小值之差為2，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】分和兩種情況，根據(jù)題意列方程求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，，即，解得（負(fù)根已舍棄）；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，，即，解得（不符合條件的根已舍棄）.綜上，實(shí)數(shù)的值為或.故選：BD6．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)（且）在區(qū)間上的最大值是16，求實(shí)數(shù)的值；【答案】或.【詳解】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分類求解即得.【分析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，因此；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，因此，所以實(shí)數(shù)的值為或2.7．（2024高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù)（a>0，且）在上的最大值為13，求實(shí)數(shù)a的值.【答案】3或【分析】令，討論或，求出t的取值范圍，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】∵令，則，則，其對(duì)稱軸為.該二次函數(shù)在上是增函數(shù).①若，由，得，故當(dāng)，即時(shí)，，解得(舍去).②若，由，可得，故當(dāng)，即時(shí)，.∴或(舍去).綜上可得或.8．（21-22高一上·河北·階段練習(xí)）已知函數(shù)且.(1)若，求的值；(2)若在上的最大值為，求的值.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷是奇函數(shù)，再由即可求解；（2）討論和時(shí)，函數(shù)在上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求出最值列方程，解方程可得的值.【詳解】（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以為奇函數(shù)，故.（2），若，則單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，可得為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，解得：，符合題意；若，則單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，可得為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，解得：，符合題意，綜上所述：的值為或.9．（23-24高三上·甘肅蘭州·階段練習(xí)）已知函數(shù)且.(1)若，求函數(shù)的最小值；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)1(2)【分析】（1）換元令，可得，結(jié)合二次函數(shù)即可得最小值；（2）換元令，可得恒成立，結(jié)合運(yùn)算求解.【詳解】（1）若，則，令，故原式化為，若時(shí)，可知在上單調(diào)遞增，可知在上單調(diào)遞增，可知；若時(shí)，可知在上單調(diào)遞減，可知在上單調(diào)遞減，可知；綜上所述：，可知當(dāng)時(shí)，取到最小值為1.（2）因?yàn)?，設(shè)，由題意得即恒成立，即恒成立，且，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.題型二對(duì)數(shù)運(yùn)算及對(duì)數(shù)函數(shù)易錯(cuò)點(diǎn)03：忽略對(duì)數(shù)式成立的條件而出錯(cuò)典例（24-25高三上·山西太原·期中）已知函數(shù)（，）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則不等式的解集為.【答案】【分析】由題意建立方程，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算可得參數(shù)的值，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，建立不等式組，可得答案.【詳解】由題意可得，則，解得，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，可得，解得，故答案為：.【易錯(cuò)剖析】本題在求解過程中容易忽略對(duì)數(shù)式成立的條件，漏掉這一隱含條件而出錯(cuò).【避錯(cuò)攻略】1．對(duì)數(shù)的定義一般地，如果且，那么數(shù)叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作，其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．2．常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)通常我們將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，記為.在科學(xué)技術(shù)中常使用以無(wú)理數(shù)為底的對(duì)數(shù)，以為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)，并記為.3．指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化當(dāng)時(shí)，.4．對(duì)數(shù)的性質(zhì)（1）；（2）；（3）零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)．5．對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)如果，且，那么：；；．【注意】對(duì)數(shù)的這三條運(yùn)算性質(zhì)，都要注意只有當(dāng)式子中所有的對(duì)數(shù)都有意義時(shí)，等式才成立．易錯(cuò)提醒：基于對(duì)數(shù)式，其中對(duì)應(yīng)的參數(shù)各自有其成立的條件，分別為底數(shù)a>0且a≠1,真數(shù)N>0，在解決對(duì)數(shù)問題時(shí)，一定要充分考慮對(duì)應(yīng)的隱含條件或限制條件,避免出現(xiàn)遺漏或多解.1．（24-25高一上·廣東廣州·期中）（1）已知，求的值；【答案】4【分析】根據(jù)方程可得，并結(jié)合對(duì)數(shù)的定義取舍；【詳解】（1）因?yàn)?，可得，解得或，又因?yàn)榍?，可得且，綜上所述：；2．（24-25高三上·北京·階段練習(xí)）若，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性及定義域得到不等式，求出x的取值范圍.【詳解】，解得，故實(shí)數(shù)x的取值范圍為.故答案為：3．（24-25高三上·湖北武漢·期中）若：，：，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】解兩個(gè)不等式，分別得到和，根據(jù)真包含關(guān)系，得到是的充分不必要條件.【詳解】，故，解得，，解得，因?yàn)槭堑恼孀蛹?，所以是的充分不必要條件.故選：A1．（2025·廣東·模擬預(yù)測(cè)）若，則（）A．3 B．4 C．9 D．16【答案】D【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)給定式子求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，故得，化?jiǎn)得，所以，故，故D正確.故選：D.2．（24-25高三上·四川成都·階段練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)集合，即可由并集的定義求解.【詳解】由，則，所以，所以，故選：C3．（24-25高三上·內(nèi)蒙古赤峰·期中）已知，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由對(duì)數(shù)及運(yùn)算性質(zhì)可得，，再由基本不等式即可求解.【詳解】，所以，且，所以，即，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：.4．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）若，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】由指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別求解不等式，再由充分條件以及必要條件的定義，即可判斷.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，由可得，即，所以，但無(wú)法保證，故不一定成立，充分性不滿足；由可得，所以一定成立，故必要性滿足；所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B5．（24-25高三上·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可知為定義在R上的奇函數(shù)，且為增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式即可.【詳解】由題意可知：的定義域?yàn)镽，且，可知為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)，則在內(nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在R上單調(diào)遞增，因?yàn)?，則，可得，即，解得，所以原不等式的解集為.故選：B.6．（24-25高三上·湖北·期中）若關(guān)于的函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集，轉(zhuǎn)化為且恒成立，結(jié)合二次不等式恒成立求解即可.【詳解】由題意，，且對(duì)任意，，①且，②對(duì)于①，，結(jié)合，得.若，由②知對(duì)任意，矛盾；若，由②知對(duì)任意，即，則，得，綜上，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，①②同時(shí)成立.故選：C7．（24-25高三上·上海閔行·期中）設(shè)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性求解即可；【詳解】因?yàn)椋院瘮?shù)為減函數(shù)，又，所以，解得，故答案為：.8．（23-24高三下·上?！るA段練習(xí)）方程的解是.【答案】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】由方程，可得，，解得.故答案為：9．（24-25高三上·河南·期中）已知函數(shù)為奇函數(shù).(1)求a的值；(2)求滿足的x的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）先求出函數(shù)的定義域，再結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以f?x=?f則，即，則.（2）由（1）知，，由，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，由，，即，即，即，則，解得，又，則，即x的取值范圍為0,1.易錯(cuò)點(diǎn)04：判斷對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性忽略定義域典例（24-25高三上·遼寧大連·期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算可得.【詳解】函數(shù)，令，即，解得或，所以的定義域?yàn)椋衷诙x域上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：C【易錯(cuò)剖析】本題求解時(shí)容易錯(cuò)解中忽視了函數(shù)f(x)的定義域，因?yàn)閱握{(diào)區(qū)間是定義域的子集，在解函數(shù)問題時(shí)，一定要樹立“定義域優(yōu)先”的意識(shí).【避錯(cuò)攻略】1.復(fù)合型函數(shù)單調(diào)性規(guī)律若函數(shù)在內(nèi)單調(diào)，在內(nèi)單調(diào)，且集合.(1)若是增函數(shù)，是增(減)函數(shù)，則是增(減)函數(shù)(2)若是減函數(shù)，是增(減)函數(shù)，則是減(增)函數(shù)2.復(fù)合型函數(shù)單調(diào)性判斷步驟第一步：求函數(shù)的定義域第二步：令內(nèi)函數(shù)為，畫出其圖像，從而確定其函數(shù)的單調(diào)性第三步：畫出外函數(shù)的圖象并確定其單調(diào)性第四步：利用結(jié)論同增異減判斷.易錯(cuò)提醒：在處理對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)，一定要注意兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)：（1）注意分析對(duì)數(shù)底數(shù)對(duì)單調(diào)性的影響；（2）樹立定義域優(yōu)先的思想.1．（24-25高三上·寧夏石嘴山·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】函數(shù)，因?yàn)椋獾茫院瘮?shù)的定義域?yàn)?，且，．因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間1,2上單調(diào)遞減，函數(shù)單調(diào)遞增，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間1,2上單調(diào)遞減,故選：A2．（24-25高三上·山東德州·期中）已知關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)和對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，知道內(nèi)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減且函數(shù)值一定為正，建立不等式組，求得的取值范圍.【詳解】令，則，∵，∴在上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在單調(diào)遞減，∴，則，∴故選：D3．（24-25高三上·江蘇泰州·期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．【答案】【分析】先求得函數(shù)的定義域，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減來(lái)求得單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】由，解得或，所以的定義域?yàn)?函數(shù)在上單調(diào)遞增，的開口向上，對(duì)稱軸為，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知的單調(diào)遞增區(qū)間是.故答案為：1．（24-25高三上·北京房山·期中）已知函數(shù)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．的定義域?yàn)?B．的圖象關(guān)于軸對(duì)稱C．的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D．在上單調(diào)遞增【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】函數(shù)，則，即，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故A正確；又，所以的奇函數(shù)，則函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤，C正確；因?yàn)?，又在上單調(diào)遞增，在定義域上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：B2．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·期中）已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)在上單調(diào)遞增等價(jià)條件，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，解得，充分性，當(dāng)“”時(shí)，函數(shù)在上不一定單調(diào)遞增，故充分性不成立，必要性，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，故必要性成立，則“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的必要不充分條件.故選：B3．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出函數(shù)的定義域，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則即可得解．【詳解】解：由，可得，則函數(shù)的定義域?yàn)?，又，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，則由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則可知，所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．故選：A．4．（24-25高三上·江蘇常州·期中）已知函數(shù)（，且）.，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】在單調(diào)遞減，時(shí)，,即,另外，0<a<1時(shí)，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，綜上所述，的取值范圍是.故選：A5．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知且，若函數(shù)與在上的單調(diào)性相同，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可.【詳解】由題意知在上只能是單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以得.又單調(diào)遞增，所以.綜上得.故選：C6．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）（多選）關(guān)于函數(shù)，以下說(shuō)法正確的是（

）A．為奇函數(shù)B．為偶函數(shù)C．在區(qū)間單調(diào)遞增D．在區(qū)間單調(diào)遞減【答案】BC【分析】根據(jù)奇偶性的定義，先求函數(shù)的定義域，利用定義，可得A、B的正誤；根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判別，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)和對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，可得C、B的正誤.【詳解】由，則，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則的定義域?yàn)?，為偶函?shù)，故A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)時(shí)，函數(shù)且單調(diào)遞增，函數(shù)且單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)在單調(diào)遞增，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC.7．（24-25高三上·天津南開·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)分析可知：在上單調(diào)遞增，且gx>0，結(jié)合二次函數(shù)列式求解即可.【詳解】因?yàn)樵诙x域0,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，由題意可得：在上單調(diào)遞增，且gx>0，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.8．（24-25高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)證明：是周期函數(shù)；(2)求的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）由輔助角公式可得，利用三角函數(shù)周期性即可證明得出結(jié)論；（2）利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性以及正弦函數(shù)圖象性質(zhì)解不等式可得結(jié)果.【詳解】（1）由可得；易知，所以，即可知是以為周期的周期函數(shù)（2）由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知求得的單調(diào)遞增區(qū)間即可；易知恒成立，可得函數(shù)的定義域?yàn)?；因此只需，解得；即的單調(diào)遞增區(qū)間為.9．（24-25高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）已知函數(shù)，且.(1)若，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)的最小值為，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）確定函數(shù)的定義域，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷，即可求得答案；（2）令，分和兩種情況討論，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合最值，即可求得答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，解得，即函?shù)的定義域?yàn)?，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以在定義域上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即得的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）由（1）令，則，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)不存在最小值，故舍去；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，所以，解得，符合題意，故.易錯(cuò)點(diǎn)05：求解指對(duì)復(fù)合函數(shù)值域忽略新元范圍典例（24-25高三上·河南焦作·階段練習(xí)）若函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的單調(diào)性可得，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，故，令，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以函數(shù)的值域?yàn)?故選：D.【易錯(cuò)剖析】本題在換元后容易因忽略新元的取值范圍而出錯(cuò).【避錯(cuò)攻略】1.指數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域的求法（1）形如（，且）的函數(shù)求值域借助換元法：令，將求原函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為求的值域，但要注意“新元”的范圍（2）形如（，且）的函數(shù)求值域借助換元法：令，先求出的值域，再利用的單調(diào)性求出的值域。2.對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域的求法（1）形如（，且）的函數(shù)求值域借助換元法：令，先求出的值域，再利用在上的單調(diào)性，再求出的值域。（2）形如（，且）的函數(shù)的值域借助換元法：令，先求出的值域，再利用的單調(diào)性求出的值域。易錯(cuò)提醒：再用換元法求指數(shù)、對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域、最值問題時(shí)，一定要注意新元的范圍，以免因范圍變大而出錯(cuò).1．（24-25高三上·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．定義域?yàn)镽B．值域?yàn)镃．在上單調(diào)遞增D．在上單調(diào)遞減【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式可判斷A；求出的值域再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷CD.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)镽，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，故函?shù)的值域?yàn)椋蔅正確；對(duì)于CD，因?yàn)樵赗上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.2．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）函數(shù)的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)將函數(shù)化簡(jiǎn)為，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，?dāng)，即時(shí)，取到最小值，且.故答案為：3．（22-23高一下·青海西寧·開學(xué)考試）若函數(shù)的值域?yàn)?，則a的取值范圍是.【答案】【分析】對(duì)分類討論可知，只有當(dāng)且函數(shù)的值域包含時(shí)滿足題意，由此即可列出不等式組求解.【詳解】若，則，不滿足題意；若，則，當(dāng)，即時(shí)，的值域?yàn)椋瑵M足題意.故答案為：.1．（23-24高二下·浙江·期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)榧?，值域?yàn)榧希瑒t（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先令，解出一元二次不等式，即可求出函數(shù)的定義域，從而求出函數(shù)的值域，最后求出補(bǔ)集.【詳解】由，即，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)榧?，則值域?yàn)榧希?故選：D2．（24-25高三上·山西·階段練習(xí)）已知，則函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性確定，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求出的值域，即得答案.【詳解】令，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以，又在上單調(diào)遞減，且，所以，即的值域是.故選：C.3．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)單調(diào)遞增B．函數(shù)值域?yàn)镃．函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱D．函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱【答案】ABD【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，即可判斷A，根據(jù)函數(shù)形式的變形，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域，求解函數(shù)的值域，即可判斷B，根據(jù)對(duì)稱性的定義，與的關(guān)系，即可判斷CD.【詳解】，函數(shù)，，則，又內(nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞增，外層函數(shù)在1,+∞上單調(diào)遞增，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的法則可知，函數(shù)單調(diào)遞增，故A正確；因?yàn)?，所以，則，所以函數(shù)的值域?yàn)?,2，故B正確；，，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，的最小值是.【答案】2【分析】先求出函數(shù)的定義域，然后利用基本不等式求得內(nèi)層函數(shù)的值域，然后利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得外層函數(shù)的值域，即可解答.【詳解】根據(jù)題意得到，，解得，即，則的定義域是．由于函數(shù).化簡(jiǎn)得到，由于，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取最值．所以，則的最小值是2．故答案為：25．（23-24高一上·廣東茂名·期中）函數(shù)的值域是．【答案】【分析】利用換元的思想，將復(fù)合函數(shù)轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)，結(jié)合求指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的值域，來(lái)求解復(fù)合函數(shù)的值域問題．【詳解】解：令，則，因?yàn)?，則，且的對(duì)稱軸為，可知，所以的值域是．故答案為：．6．（24-25高三上·重慶涪陵·開學(xué)考試）函數(shù)的值域?yàn)椋敬鸢浮俊痉治觥吭O(shè)，由的取值范圍及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】設(shè)，由得，，所以，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，故答案為：．7．（23-24高一上·浙江湖州·期末）設(shè)函數(shù)，，則函數(shù)的值域是．【答案】【分析】首先化解函數(shù)的解析式，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求函數(shù)的值域.【詳解】，，令，設(shè)，設(shè)，，因?yàn)?，則，，，即，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又也為增函數(shù)，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，，所以函數(shù)的值域?yàn)?8．（23-24高三上·黑龍江綏化·階段練習(xí)）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?【答案】【分析】利用換元法及二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，令，由于，則，則原函數(shù)可化為，，當(dāng)時(shí)，取最小值，當(dāng)時(shí)，取最大值，故，即.故答案為：9．（24-25高三上·山西晉城·階段練習(xí)）已知函數(shù)滿足．(1)求的解析式；(2)若，求的值域；(3)討論的定義域．【答案】(1)(2)(3)答案見解析【分析】（1）換元法求函數(shù)解析式即可；（2）換元后求出真數(shù)的取值范圍，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求值域；（3）分類討論m的取值范圍，再得出函數(shù)的定義域.【詳解】（1）令，得，則，所以．（2）若，則，令，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，u取得最小值，且最小值為4．因?yàn)闉闇p函數(shù)，所以，故的值域?yàn)椋?）．當(dāng)時(shí)，，則的定義域?yàn)?；?dāng)時(shí)，，則的定義域?yàn)?；?dāng)時(shí)，由，得或，則的定義域?yàn)椋C上，當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋}型三冪函數(shù)易錯(cuò)點(diǎn)06：錯(cuò)判冪函數(shù)的性質(zhì)典例（24-25高三上·海南?？凇るA段練習(xí)）已知冪函數(shù)（m，，m，n互質(zhì)），下列關(guān)于的結(jié)論正確的是（

）A．m，n是奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)是奇函數(shù)B．m是奇數(shù)，n是偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)是偶函數(shù)C．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)是偶函數(shù)D．時(shí)，冪函數(shù)在上是增函數(shù)【答案】ABD【分析】對(duì)于ABC：根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合奇偶性的定義直接判斷即可；對(duì)于D：根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)直接判斷即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若m，n是奇數(shù)時(shí)，則，此時(shí)的定義域?yàn)镽，且，所以冪函數(shù)是奇函數(shù)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：若m是奇數(shù)，n是偶數(shù)時(shí)，則，此時(shí)的定義域?yàn)镽，且，所以冪函數(shù)是偶函數(shù)，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：m是偶數(shù)，n是奇數(shù)時(shí)，則，此時(shí)的定義域?yàn)?，不關(guān)與原點(diǎn)對(duì)稱，所以冪函數(shù)不具有奇偶性，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：時(shí)，由冪函數(shù)性質(zhì)可知：在上是增函數(shù)，故D正確；故選：ABD.【易錯(cuò)剖析】對(duì)于冪函數(shù)，整數(shù)m,n取不同的值，對(duì)冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、定義域以及圖像分布都有影響，這一點(diǎn)在判斷冪函數(shù)的性質(zhì)時(shí)是一個(gè)容易出錯(cuò)的知識(shí)點(diǎn)，要在復(fù)習(xí)中高度重視..【避錯(cuò)攻略】1.冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域冪函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y＝xa叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù)．解析式：y＝xa＝【注意】定義域：當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：1．如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；2．如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)．當(dāng)x為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的值域的不同情況如下：1．在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)．2．在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)．而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域．由于x大于0是對(duì)a的任意取值都有意義的．2.冪函數(shù)的性質(zhì)所有的冪函數(shù)在（0，+∞）上都有各自的定義，并且圖象都過點(diǎn)（1，1）．（1）當(dāng)a＞0時(shí)，冪函數(shù)y＝xa有下列性質(zhì)：a、圖象都通過點(diǎn)（1，1）（0，0）；b、在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而增大；c、在第一象限內(nèi)，a＞1時(shí)，圖象開口向上；0＜a＜1時(shí)，圖象開口向右；d、函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)．（2）當(dāng)a＜0時(shí)，冪函數(shù)y＝xa有下列性質(zhì)：a、圖象都通過點(diǎn)（1，1）；b、在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而減小，圖象開口向上；c、在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右趨于原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸上方趨向于原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸右方無(wú)限逼近y軸，當(dāng)x趨于+∞時(shí)，圖象在x軸上方無(wú)限地逼近x軸．（3）當(dāng)a＝0時(shí)，冪函數(shù)y＝xa有下列性質(zhì)：a、y＝x0是直線y＝1去掉一點(diǎn)（0，1），它的圖象不是直線．易錯(cuò)提醒：冪函數(shù)有關(guān)的問題，一定要注意冪指數(shù)對(duì)函數(shù)定義域的影響，這也是這類問題的高頻錯(cuò)點(diǎn)，另外還要注意平常說(shuō)的指數(shù)符號(hào)對(duì)應(yīng)的單調(diào)性是相對(duì)第一象限而言.1．（24-25高三上·江西宜春·階段練習(xí)）已知冪函數(shù)過點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【分析】設(shè)出冪函數(shù)解析式代入點(diǎn)待定，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與定義域得不等式組求解即可得.【詳解】設(shè)冪函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)圖象過點(diǎn)，則，解得，則，其定義域?yàn)椋以趩握{(diào)遞減.所以由，可得，解得.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.2．（2024·北京延慶·一模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的一個(gè)取值為．【答案】（不唯一）【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性奇偶性即可得解.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，又在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以可以為偶函數(shù)，不妨取，此時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋?，故為偶函?shù)，滿足在區(qū)間上單調(diào)遞減.故答案為：（不唯一）3．（2025高三上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示是函數(shù)（m、且互質(zhì)）的圖象，則（

）A．m，n是奇數(shù)且 B．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且C．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且 D．m，n是偶數(shù)，且【答案】B【分析】根據(jù)圖象得到函數(shù)的奇偶性及上單調(diào)遞增，結(jié)合m、且互質(zhì)，從而得到答案.【詳解】由圖象可看出為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，故且為偶數(shù)，又m、且互質(zhì)，故n是奇數(shù).故選：B1．（24-25高三上·上?！て谥校┫铝泻瘮?shù)在區(qū)間上為增函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間0,1上為減函數(shù)；對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間0,1上為減函數(shù)；對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間0,1上為增函數(shù)；對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間0,1上為減函數(shù).故選：C.2．（24-25高三上·江蘇淮安·期中）已知冪函數(shù)的圖象與軸無(wú)交點(diǎn)，則的值為（

）A．