專題12概率

目錄

易錯點01混淆互斥、對立、獨立事件的概念

易錯點02混淆“有放回”與“不放回”致錯

易錯點03古典概型問題忽略“等可能性”

易錯點04對條件概率理解不透徹致錯

易錯點01：混淆互斥、對立、獨立事件的概念

典例（2024·上海虹口·一模）已知事件A和事件B滿足AB，則下列說法正確的是（）．

A．事件A和事件B獨立B．事件A和事件B互斥

C．事件A和事件B對立D．事件A和事件B互斥

【答案】B

【分析】根據(jù)互斥事件、相互獨立事件的定義判斷即可.

【詳解】因為事件A和事件B滿足AB，則一定可以得到事件A和事件B互斥，但不一定對立，故B

正確，C錯誤；

因為PAB0，當PA，PB不為0時，事件A和事件B不獨立，故A錯誤；

拋擲一枚骰子，記出現(xiàn)1點為事件A，出現(xiàn)2點為事件B，

則A2,3,4,5,6，B1,3,4,5,6，顯然事件A和事件B不互斥，故D錯誤.

故選：B

【易錯剖析】

本題容易混淆互斥事件、對立事件和相互獨立事件的概率而出錯.

【避錯攻略】

1.互斥事件與對立事件

（1）互斥事件：在一次試驗中，事件A和事件B不能同時發(fā)生，即AB=，則稱事件A與事件B互

斥，可用韋恩圖表示如下：

如果，，，中任何兩個都不可能同時發(fā)生，那么就說事件，．．，，彼此互斥．

A1A2…AnA1A2…An

（2）對立事件：若事件A和事件B在任何一次實驗中有且只有一個發(fā)生，即AB不發(fā)生，

AB則稱事件A和事件B互為對立事件，事件A的對立事件記為A．

【解讀】互斥事件與對立事件的關(guān)系

①互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者

之一必須有一個發(fā)生．

②對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，即“互斥”是“對立”的必要不充

分條件，而“對立”則是“互斥”的充分不必要條件．

2、相互獨立事件的概念

（1）對于兩個事件A，B，如果P(B|A)P(B)，則意味著事件A的發(fā)生不影響事件B發(fā)生的概率．設(shè)

P(AB)

P(A)0，根據(jù)條件概率的計算公式，P(B)P(B|A)，從而P(AB)P(A)P(B)．

P(A)

由此可得：設(shè)A，B為兩個事件，若P(AB)P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立．

（2）相互獨立事件的性質(zhì)：如果事件A，B互相獨立，那么A與B，A與B，A與B也都相互獨立．

兩個事件的相互獨立性的推廣：兩個事件的相互獨立性可以推廣到n(n2，nN*)個事件的相互獨立性，

即若事件，，，相互獨立，則這個事件同時發(fā)生的概率．

A1A2…AnnP(A1A2An)P(A1)(A2)P(An)

易錯提醒：(1)判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事

件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件.

(2)互斥事件與相互獨立事件的相同點與不同點：①相同點：二者都是描述兩個事件間的關(guān)系；

②不同點：互斥事件強調(diào)兩事件不可能同時發(fā)生，即P(AB)＝0，相互獨立事件則強調(diào)一個事件的發(fā)生與否

對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響.

1．（24-25高三上·上海·期中）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，記事件A：“出現(xiàn)偶數(shù)點”，事件B：“出現(xiàn)3

點或4點”，則事件A與事件B的關(guān)系為（）

A．是相互獨立事件，不是互斥事件B．是互斥事件，不是相互獨立事件

C．既是相互獨立事件又是互斥事件D．既不是互斥事件也不是相互獨立事件

2．（24-25高二上·湖北·期中）一個不透明的盒子中裝有大小和質(zhì)地都相同的編號分別為1，2，3，4，5，

6的6個小球，從中任意摸出兩個球．設(shè)事件A1“摸出的兩個球的編號之和不超過6”，事件A2“摸出的兩

個球的編號都大于3”，事件A3“摸出的兩個球中有編號為4的球”，則（）

A．事件A1與事件A2是相互獨立事件B．事件A1與事件A3是對立事件

C．事件A1A2與事件A3是互斥事件D．事件A1A3與事件A2A3是互斥事件

3．（24-25高三上·江蘇南京·期中）有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中不放回地隨

機取兩次，事件A表示“第一次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，事件B表示“第二次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，事件

C表示“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則（）

A．A與B為互斥事件B．B與C相互獨立

32

C．P(AB)D．P(C|B)

55

1．（24-25高三上·上海黃浦·期末）擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，觀察朝上面的點數(shù)．設(shè)事件E：點數(shù)是奇數(shù)，

事件F：點數(shù)是偶數(shù)，事件G：點數(shù)是3的倍數(shù)，事件H：點數(shù)是4．下列每對事件中，不是互斥事件的

為（）

A．E與FB．F與GC．E與HD．G與H

2．（2024·全國·模擬預(yù)測）分別擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，“第一枚為正面”記為事件A，“第二枚為正面”記

為事件B，“兩枚結(jié)果相同”記為事件C，那么事件A與B，A與C間的關(guān)系是（）

A．A與B，A與C均相互獨立B．A與B相互獨立，A與C互斥

C．A與B，A與C均互斥D．A與B互斥，A與C相互獨立

3．（24-25高三上·上海·開學(xué)考試）裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內(nèi)一次取出2個球，有如下的一些

事件：①兩球都不是白球；②兩球恰有一個白球；③兩球至少有一個白球，其中與事件“兩球都為白球”互斥

而非對立的事件是（）

A．①B．①②C．②③D．①②③

2573

4．（24-25高三上·上海楊浦·期末）已知PAB，PA，PB，則事件A與B的關(guān)系是（）

3284

A．A與B互斥不對立B．A與B對立

C．A與B相互獨立D．A與B既互斥又獨立

5．（2024·江蘇·二模）隨著北京冬奧會的舉辦，中國冰雪運動的參與人數(shù)有了突飛猛進的提升.某校為提升

學(xué)生的綜合素養(yǎng)、大力推廣冰雪運動，號召青少年成為“三億人參與冰雪運動的主力軍”，開設(shè)了“陸地冰

壺”“陸地冰球”“滑冰”“模擬滑雪”四類冰雪運動體驗課程.甲、乙兩名同學(xué)各自從中任意挑選兩門課程學(xué)習(xí)，

設(shè)事件A“甲乙兩人所選課程恰有一門相同”，事件B“甲乙兩人所選課程完全不同”，事件C“甲乙兩人

均未選擇陸地冰壺課程”，則（）

A．A與B為對立事件B．A與C互斥

C．A與C相互獨立D．B與C相互獨立

6．（24-25高三上·上?！て谥校τ谝粋€古典概型的樣本空間和事件A、B、C、D，其中n60，

nA30，nB10，nC20，nD30，nAB40，nAC10，nAD60，則（）

（注：nA表示集合A的元素個數(shù)）

A．A與B不互斥B．A與D互斥但不對立

C．C與D互斥D．A與C相互獨立

易錯點02：混淆“有放回”與“不放回”致錯

典例（24-25高三上·天津南開·期中）從兩名男生（記為B1和B2）、兩名女生（記為G1和G2）中任意抽取

兩人，分別采取不放回簡單隨機抽樣和有放回簡單隨機抽樣．在以上兩種抽樣方式下，抽到的兩人是一男

生一女生的概率分別為（）

21111211

A．,B．,C．,D．,

32462364

【答案】A

【分析】分別寫出樣本空間，利用古典概型的概率計算公式求解.

【詳解】從兩名男生（記為B1和B2）、兩名女生（記為G1和G2）中任意抽取兩人，

記事件A“抽到的兩人是一男生一女生”，

在無放回簡單隨機抽樣方式下的樣本空間為:

Ω1B1,B2,B1,G1,B1,G2,B2,B1,B2,G1,B2,G2,G1,B1,G1,B2,G1,G2,G2,B1,G2,B2,G2,G1

共12個樣本點，

其中AB1,G1,B1,G2,B2,G1,B2,G2,G1,B1,G1,B2,G2,B1,G2,B2有8個樣本點，所以

82

P(A).

123

在有放回簡單隨機抽樣方式下的樣本空間為:

Ω2B1,B1,B1,B2,B1,G1,B1,G2,B2,B1,B2,B2,B2,G1,B2,G2,G1,B1,G1,B2,

G1,G1,G1,G2,G2,B1,G2,B2,G2,G1,G2,G2共16個樣本點，

其中AB1,G1,B1,G2,B2,G1,B2,G2,G1,B1,G1,B2,G2,B1,G2,B2有8個樣本點，所以

81

P(A).

162

故選：A.

【易錯剖析】

本題求解時容易混淆“有放回”和“無放回”的區(qū)別而出錯.

【避錯攻略】

1.定義和操作方式

（1）無放回抽?。好看纬槿『螅槌龅脑夭辉俜呕卦?。例如，如果有10個元素，第一次抽取后

剩下9個，第二次抽取時只剩下9個元素可供選擇。

（2）有放回抽?。好看纬槿『螅厝匀环呕卦?，攪拌均勻后再進行下一次抽取。這樣，每次抽取

時元素總數(shù)保持不變和概率不變。

2.概率模型和應(yīng)用場景

（1）無放回抽?。哼m用于超幾何分布，主要用于處理總體中成功與失敗的獨立事件，如抽獎活動中獎

概率等。

（2）有放回抽?。哼m用于二項分布，常用于重復(fù)獨立試驗的情況，如多次投擲硬幣、多次獨立試驗等。

3.數(shù)學(xué)表達和計算方法

（1）無放回抽?。河嬎愀怕蕰r需要考慮元素的順序和組合數(shù)。例如，從n個元素中抽取m個元素的組

合數(shù)為

（2）有放回抽?。好看纬槿∈窍嗷オ毩⒌?，因此可以直接使用二項分布公式進行計算，即P(X=k)=

binom(n,p,k)，其中n是試驗次數(shù)，p是成功的概率，k是成功的次數(shù)。

易錯提醒：在處理與抽樣有關(guān)的概率問題時要區(qū)分“有放回抽取”和“無放回抽取”的不同，有放回抽取

時每一次抽取背景是一樣的，即總體個數(shù)不變概率不變；無放回抽取時每一次抽取背景是變化的，即總體

個數(shù)要變，概率也變.

1．（2024·四川宜賓·一模）從標有1，2，3，4，5，6的六張卡片中無放回隨機抽取兩張，則抽到的兩張卡

片數(shù)字之積是3的倍數(shù)的概率為（）

3132

A．B．C．D．

10353

2．（24-25高三上·浙江·期中）某袋子中有大小相同的4個白球和2個紅球，甲乙兩人先后依次從袋中不放

回取球，每次取1球，先取到紅球者獲勝，則甲獲勝的概率（）

8432

A．B．C．D．

15553

3．（2024·上海徐匯·一模）一個不透明的盒子中裝有若干個紅球和5個黑球，這些球除顏色外均相同.每次

將球充分攪勻后，任意摸出1個球記下顏色后再放回盒子.經(jīng)過重復(fù)摸球足夠多次試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的

頻率穩(wěn)定在0.1左右，則據(jù)此估計盒子中紅球的個數(shù)約為（）

A．40個B．45個C．50個D．55個

1

1．（24-25高三上·專題訓(xùn)練）從甲袋中隨機摸出1個球是紅球的概率是，從乙袋中隨機摸出1個球是紅

3

1

球的概率是1，從兩袋中有放回的各摸兩次球且每次摸出一個球，則是（）

26

A．4個球不都是紅球的概率B．4個球都是紅球的概率

C．4個球中恰有3個紅球的概率D．4個球中恰有1個紅球的概率

2．（23-24高二下·江蘇蘇州·期末）在一個口袋中裝有大小和質(zhì)地均相同的5個白球和3個黃球，第一次從

中隨機摸出一個球，觀察其顏色后放回，同時在袋中加入兩個與所取球完全相同的球，第二次再從中隨機

摸出一個球，則此次摸出的是黃球的概率為（）

3341

A．B．C．D．

16852

3．（24-25高三·上海·隨堂練習(xí)）盒中有a個紅球，b個黑球，今隨機地從中取出一個，觀察其顏色后放回，

并加上同色球c個，再從盒中第二次抽取一球，則第二次抽出的是黑球的概率為（）

bbc

A．B．

ababc

ab

C．D．

ababc

4．（24-25高三上·江西贛州·階段練習(xí)）從1，2，3，4，5這5個數(shù)字中每次隨機取出一個數(shù)字，取出后放

回，連續(xù)取兩次，至少有一個是奇數(shù)的概率為（）

612421

A．B．C．D．

2525525

5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回地隨機抽取2張，則抽

到的2張卡片上的數(shù)字之和是5的倍數(shù)的概率為（）

1122

A．B．C．D．

5353

6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）口袋中有質(zhì)地、大小完全相同的5個球，編號分別為1，2，3，4，5，甲、

乙兩人玩一種游戲：甲先摸出一個球，記下編號，放回后乙再摸一個球，記下編號，如果兩個編號的和為

偶數(shù)算甲贏，否則算乙贏.

(1)求甲、乙兩人摸出的兩個球編號之和為6的概率；

(2)這種游戲規(guī)則公平嗎？試說明理由.

1

7．袋中裝有圍棋黑色和白色棋子共7枚，從中任取2枚棋子都是白色的概率為.現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中

7

輪流摸取一枚棋子.甲先摸，乙后取，然后甲再取，………，取后均不放回，直到有一人取到白棋即終止.每

枚棋子在每一次被摸出的機會都是等可能的.用X表示取棋子終止時所需的取棋子的次數(shù).

（1）求隨機變量X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；

（2）求甲取到白棋的概率.

易錯點03：古典概型問題忽略“等可能性”

【典例】（2025全國高三專題訓(xùn)練）甲乙兩人進行一場抽卡游戲，規(guī)則如下：有編號1,2,3,4,5,6,7的

卡片各1張，兩人輪流從中不放回的隨機抽取1張卡片，直到其中1人抽到的卡片編號之和等于12或者所

有卡片被抽完時，游戲結(jié)束.若甲先抽卡，求甲抽了3張卡片時，恰好游戲結(jié)束的概率是.

29

【答案】

210

【解析】根據(jù)題意可知甲抽了3張卡片時，恰好游戲結(jié)束相當于從7張卡片中抽取了5張，

且甲抽取的三張卡片數(shù)字之和為12，乙抽取的兩張卡片數(shù)字之和不為12；

5

總的情況相當于從7張卡片中抽取了5張并進行全排列，即共A7種排法；

其中三張卡片數(shù)字之和為12的組合有1,4,7；1,5,6；2,3,7；2,4,6；3,4,5共5種情況；

當甲抽取的數(shù)字為1,4,7；1,5,6；2,3,7；3,4,5時，

32

乙在剩余的4個數(shù)字中隨意抽取兩張卡片再進行排列，共有4A3A4種；

當甲抽取的數(shù)字為2,4,6時，

322

若乙抽取的兩張卡片數(shù)字可能為5,7，此時不合題意，此時共有A3A4A2種；

32322

所以符合題意的排列總數(shù)為4A3A4A3A4A2種，

4A3A2A3A2A2

可得所求概率為3434246126105829

P5.

A7765437543210

29

故答案為：

210

【易錯剖析】

在處理古典概型問題時一定要注意基本事件的等可能性，否則容易誤用古典概型概率公式而出錯.

【避錯攻略】

1.古典概型的定義

一般地，若試驗E具有以下特征：

①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；

②等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.

稱試驗E為古典概型試驗，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.

2.古典概型的概率公式

一般地，設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義

knA

事件A的概率PA.

nn

3.古典概型解題步驟

（1）仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；

（2）判斷本試驗的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；

（3）分別求出基本事件的個數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個數(shù)m；

A包含的基本事件的個數(shù)

（4）利用公式P(A)求出事件A的概率．

基本事件的總數(shù)

易錯提醒：在解決這類問題時，首要步驟是確認試驗是否符合古典概型的特征。隨后，關(guān)鍵在于構(gòu)建樣本

空間，這一過程中需特別注意兩點：一是樣本中的元素是否存在順序性，因為順序的不同會構(gòu)成不同的樣

本空間；二是取樣時是否允許元素重復(fù)，即取樣是放回還是不放回，這直接決定了樣本中元素是否可以重

復(fù)出現(xiàn)。明確了這兩點后，就可以計算出樣本空間的總樣本點數(shù)量，以及所求事件對應(yīng)的樣本點數(shù)量，最

后利用古典概型的概率計算公式，得出所求事件的概率。

1．（2024·山東日照·三模）從標有1，2，3，4，5的5張卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一張，則出

現(xiàn)重復(fù)編號卡片的概率是（）

12132223

A．B．C．D．

25252525

2．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）一個盒子里裝有3個黑球，2個白球，它們除顏色外完全相同.現(xiàn)每次從袋

中不放回地隨機取出一個球，記事件Ak表示“第k次取出的球是黑球”，k1,2,3，則下列結(jié)論不正確的是（）

39

A．PAAB．PAA

12101210

13

C．PA∣AD．PA

21335

3．（2024·全國·高考真題）有6個相同的球，分別標有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中無放回地隨機取3次，

每次取1個球.記m為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，n為取出的三個球上數(shù)字的平均值，則m與n之差

的絕對值不大于1的概率為．

2

1．（24-25高三上·江蘇連云港·期末）已知在8個電子元件中，有2個次品，6個合格品，每次任取一個測

試，測試完后不再放回，直到2個次品都找到為止，則經(jīng)過3次測試恰好將2個次品全部找出的概率為（）

1111

A．B．C．D．

2814756

2．（2025高三上·專題訓(xùn)練）從兩名男生和兩名女生中任意抽取兩人，分別采取有放回簡單隨機抽樣和不

放回簡單隨機抽樣，在以上兩種抽樣方式下，抽到的兩人都是女生的概率分別為（）

11111111

A．，B．，C．，D．，

42264664

3．（2024·全國·模擬預(yù)測）4個產(chǎn)品中有3個正品，1個次品．現(xiàn)每次取出1個做檢查（檢查完后不再放回），

直到次品被找到為止，則經(jīng)過3次檢查恰好將次品找到的概率是（）

1113

A．B．C．D．

4324

4．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）在《周易》中，長橫“”表示陽爻，兩個短橫“”表示陰爻.有放回

地取陽爻和陰爻三次合成一卦，共有238種組合方法，這便是《系辭傳》所說“太極生兩儀，兩儀生四象，

四象生八卦”.有放回地取陽爻和陰爻一次有2種不同的情況，有放回地取陽爻和陰爻兩次有四種情況，有放

回地取陽爻和陰爻三次，八種情況.所謂的“算卦”，就是兩個八卦的疊合，即共有放回地取陽爻和陰爻六次，

得到六爻，然后對應(yīng)不同的解析.在一次所謂“算卦”中得到六爻，這六爻恰好有三個陽爻三個陰爻的概率是

（）

1595

A．B．C．D．E．均不是

716168

5．（2024·廣西·模擬預(yù)測）每次從0～9這10個數(shù)字中隨機取一個數(shù)字（取后放回），連續(xù)取n次，依次

得到n個數(shù)字組成的數(shù)字序列．若使該序列中的數(shù)字0至少出現(xiàn)一次的概率不小于0.9，則n的最小值是（）

（參考數(shù)據(jù)lg90.954）

A．23B．22C．21D．20

6．（24-25高二上·北京平谷·階段練習(xí)）從1，2，3，4，5這5個數(shù)字中不放回地任取兩個數(shù)，則兩個數(shù)都

是奇數(shù)的概率是.

7．（24-25高三上·廣西貴港·開學(xué)考試）甲?乙玩一個游戲，游戲規(guī)則如下：一個盒子中裝有標號為1,2,3,4,5,6

的6個大小質(zhì)地完全相同的小球，甲先從盒子中不放回地隨機取一個球，乙緊接著從盒子中不放回地隨機

取一個球，比較小球上的數(shù)字，數(shù)字更大者得1分，數(shù)字更小者得0分，以此規(guī)律，直至小球全部取完，

總分更多者獲勝.甲獲得3分的概率為.

8．（24-25高三上·天津·階段練習(xí)）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選

的概率為；從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上

的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為.

9．（2024·浙江寧波·一模）一個盒子中裝有標號為1，2，3，4，5的五個大小質(zhì)地完全相同的小球.甲、乙

兩人玩游戲，規(guī)則如下：第一輪，甲先從盒子中不放回地隨機取兩個球，乙接著從盒子中不放回地隨機取

一個球，若甲抽取的兩個小球數(shù)字之和大于乙抽取的小球數(shù)字，則甲得1分，否則甲不得分；第二輪，甲、

乙從盒子中剩余的兩個球中依次不放回地隨機取一個球，若甲抽取的小球數(shù)字大于乙抽取的小球數(shù)字，則

甲得1分，否則甲不得分.則在兩輪游戲中甲共獲得2分的概率為.

易錯點04：對條件概率理解不透徹致錯

典例（24-25高二上·遼寧·期末）某高中為了解學(xué)生的肥胖是否與經(jīng)常飲用碳酸飲料有關(guān)，現(xiàn)對400名高二

1

學(xué)生進行了問卷調(diào)查，學(xué)生飲用碳酸飲料的統(tǒng)計結(jié)果如下：學(xué)校有的學(xué)生每天飲用碳酸飲料不低于500

4

12

毫升，這些學(xué)生的肥胖率為，每天飲用碳酸飲料低于500毫升的學(xué)生的肥胖率為.若從該中學(xué)高二的學(xué)

39

生中任意抽取一名學(xué)生，則該學(xué)生肥胖的概率為（）

1137

A．B．C．D．

42412

【答案】A

【分析】設(shè)相應(yīng)事件,根據(jù)題意利用全概率公式運算求解即可.

13

【詳解】設(shè)“學(xué)生每天飲用碳酸飲料不低于500毫升”為事件A，則PA，PA，

44

12

設(shè)“學(xué)生肥胖”為事件B，則PBA，PBA，

39

11321

由全概率公式可得PBPAPBAPAPBA，

43494

1

所以若從該中學(xué)高二的學(xué)生中任意抽取一名學(xué)生，則該學(xué)生肥胖的概率為.

4

故選：A

【易錯剖析】

本題容易混淆“交事件概率”與“條件概率”的區(qū)別而致錯.

【避錯攻略】

1、條件概率

P(AB)

（1）條件概率的定義：一般地，設(shè)A，B為兩個事件，且P(A)0，稱P(B|A)為在事件A發(fā)

P(A)

生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率．

（2）條件概率的性質(zhì)

①條件概率具有概率的性質(zhì)，任何事件的條件概率都在0和1之間，即0P(B|A)1．

②必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為0．

③如果B與C互斥，則P(BC|A)P(B|A)P(C|A)．

2、全概率公式

（1）全概率公式：P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)；

（）若樣本空間中的事件，，，滿足：

2A1A2…An

①任意兩個事件均互斥，即AiAj，i，j1，2，，n，ij；

②；

A1A2An

③PAi0，i1，2，，n．

則對中的任意事件，都有，且

BBBA1BA2BAn

nn

．

P(B)P(BAi)P(Ai)P(B|Ai)

i1i1

3、貝葉斯公式

P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)

（1）一般地，當0P(A)1且P(B)0時，有P(AB)

P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)

（）定理若樣本空間中的事件，，，滿足：

22A1A2An

①任意兩個事件均互斥，即AiAj，i，j1，2，，n，ij；

②；

A1A2An

③0PAi1，i1，2，，n．

則對中的任意概率非零的事件，都有，

BBBA1BA2BAn

P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)

且P(AB)jjjj

jP(B)n

P(Ai)P(B|Ai)

i1

易錯提醒：解決條件概率問題的步驟

第一步，判斷是否為條件概率，若題目中出現(xiàn)“已知”“在……前提下”等字眼，一般為條件概率．題

目中若沒有出現(xiàn)上述字眼，但已知事件的出現(xiàn)影響所求事件的概率時，也需注意是否為條件概率．若為條

件概率，則進行第二步．

第二步，計算概率，這里有兩種思路：

縮減樣本空間法計算條件概率，如求P(A|B)，可分別求出事件B，AB包

思路一nAB

含的基本事件的個數(shù)，再利用公式P(A|B)＝計算

nB

直接利用公式計算條件概率，即先分別計算出P(AB)，P(B)，再利用公

思路二PAB

式P(A|B)＝計算

PB

32

1．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知甲、乙去北京旅游的概率分別為，，甲、乙兩人中至少有一人去

43

5

北京旅游的概率為，且甲是否去北京旅游對乙去北京旅游有一定影響，則在乙不去北京的前提下，甲去

6

北京旅游的概率為（）

4321

A．B．C．D．

7532

2．（24-25高三上·天津河?xùn)|·期末）某廠產(chǎn)品有70%的產(chǎn)品不需要調(diào)試就可以出廠上市，另30%的產(chǎn)品經(jīng)

過調(diào)試以后有80%能出廠，則該廠產(chǎn)品能出廠的概率；任取一出廠產(chǎn)品，求未經(jīng)調(diào)試的概率．

3．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）現(xiàn)有質(zhì)量分別為1,2,3,4,5,7千克的六件貨物，將它們隨機打包裝入

三個不同的箱子，每個箱子裝入兩件貨物，