線性代數(shù)課后習題詳細答案

姓名：__________考號：__________一、單選題(共10題)1.設矩陣A=[12;34]，求矩陣A的特征值。()A.5,7B.4,6C.5,5D.7,72.若向量v=[1;2]，求向量v的長度。()A.√5B.√2C.1D.23.已知線性方程組Ax=b，其中A為3x3矩陣，b為3x1向量，A的行列式不為0，則方程組有()A.無解B.唯一解C.無窮多解D.無法確定4.矩陣B=[12;34]，求矩陣B的伴隨矩陣。()A.[4-2;-31]B.[42;31]C.[43;21]D.[21;34]5.設線性變換T將向量v映射到向量w，若v=[1;2]，w=[3;4]，則線性變換T的矩陣表示為()A.[31;42]B.[13;24]C.[32;14]D.[23;41]6.求矩陣A=[12;34]的逆矩陣。()A.[2-1;-32]B.[21;-32]C.[12;34]D.[23;14]7.已知向量組v1=[1;2]，v2=[2;4]，求該向量組的秩。()A.1B.2C.0D.無法確定8.若線性方程組Ax=b的增廣矩陣的秩等于A的秩，則方程組有()A.無解B.唯一解C.無窮多解D.無法確定9.設矩陣A=[10;01]，求矩陣A的行列式。()A.1B.0C.2D.無法確定10.求矩陣A=[123;456;789]的秩。()A.1B.2C.3D.611.若矩陣A和B都是n階方陣，且AB=BA，則A和B必為()A.對稱矩陣B.反對稱矩陣C.相似矩陣D.可逆矩陣二、多選題(共5題)12.以下哪些是線性方程組解的情況？()A.方程組有無窮多解B.方程組有唯一解C.方程組無解D.方程組有無數(shù)解13.下列矩陣哪些是方陣？()A.[123;456]B.[12;34;56]C.[1;2;3]D.[1234]14.以下哪些是線性變換的特征？()A.線性變換是可逆的B.線性變換保持線性組合C.線性變換保持向量的長度D.線性變換保持向量的夾角15.下列矩陣哪些是正定矩陣？()A.[12;25]B.[1-2;-21]C.[400;040;004]D.[01;10]16.以下哪些是矩陣的秩的性質(zhì)？()A.矩陣的秩小于等于其行數(shù)B.矩陣的秩小于等于其列數(shù)C.矩陣的秩大于等于其行數(shù)與列數(shù)之差D.矩陣的秩小于等于其行數(shù)與列數(shù)之和三、填空題(共5題)17.若矩陣A=[12;34]，則矩陣A的行列式值為______。18.設向量v=[1;2]，向量w=[3;4]，則向量v與向量w的點積為______。19.若線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A的秩為r，增廣矩陣的秩為s，則當______時，方程組有唯一解。20.矩陣A=[123;456;789]的秩為______。21.若矩陣A是n階方陣，且A的行列式不為0，則矩陣A______。四、判斷題(共5題)22.線性方程組Ax=b有無窮多解的充分必要條件是矩陣A的秩小于未知數(shù)的個數(shù)。()A.正確B.錯誤23.任意兩個n階方陣的乘積一定是n階方陣。()A.正確B.錯誤24.對于任意矩陣A，都有A^T(AA^T)^{-1}=A。()A.正確B.錯誤25.矩陣的秩是其行向量組的秩與列向量組的秩的最大值。()A.正確B.錯誤26.若矩陣A是可逆的，則A的行列式一定不為0。()A.正確B.錯誤五、簡單題(共5題)27.什么是矩陣的秩？28.如何判斷一個矩陣是否可逆？29.線性變換T將向量v映射到向量w，若T是線性變換，則T滿足哪些性質(zhì)？30.什么是特征值和特征向量？31.什么是矩陣的逆？

線性代數(shù)課后習題詳細答案一、單選題(共10題)1.【答案】C【解析】矩陣A的特征值由特征多項式得到，特征多項式為det(A-λI)=0，即det([1-λ2;34-λ])=0，解得特征值為5,5。2.【答案】B【解析】向量v的長度為√(1^2+2^2)=√5。3.【答案】B【解析】由于A的行列式不為0，矩陣A是可逆的，因此線性方程組有唯一解。4.【答案】A【解析】伴隨矩陣由矩陣B的代數(shù)余子式組成，計算得到伴隨矩陣為[4-2;-31]。5.【答案】B【解析】線性變換T的矩陣表示為變換前后的向量的對應分量成比例，即[13;24]。6.【答案】A【解析】矩陣A的逆矩陣存在，且計算得到為[2-1;-32]。7.【答案】B【解析】向量v1和v2線性無關(guān)，因此向量組的秩為2。8.【答案】B【解析】根據(jù)秩的性質(zhì)，當增廣矩陣的秩等于A的秩時，方程組有唯一解。9.【答案】A【解析】對角矩陣的行列式等于對角線元素的乘積，因此矩陣A的行列式為1。10.【答案】C【解析】矩陣A是一個上三角矩陣，其秩等于其行數(shù)，即3。11.【答案】C【解析】如果AB=BA，則A和B是相似矩陣，因為它們滿足相似矩陣的定義。二、多選題(共5題)12.【答案】ABC【解析】線性方程組的解有三種情況：唯一解、無窮多解和無解。13.【答案】AC【解析】方陣是指行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣，因此A和C是方陣。14.【答案】BD【解析】線性變換保持線性組合和向量的夾角是其基本特征，但不是所有的線性變換都是可逆的，也不是所有的線性變換都保持向量的長度。15.【答案】AC【解析】正定矩陣的特征值都大于0，因此A和C是正定矩陣。16.【答案】ABC【解析】矩陣的秩的性質(zhì)包括：秩小于等于其行數(shù)、秩小于等于其列數(shù)以及秩大于等于其行數(shù)與列數(shù)之差。三、填空題(共5題)17.【答案】2【解析】矩陣A的行列式為1*4-2*3=2。18.【答案】11【解析】向量v與向量w的點積為1*3+2*4=11。19.【答案】r=s【解析】根據(jù)線性方程組的秩定理，當系數(shù)矩陣A的秩等于增廣矩陣的秩時，方程組有唯一解。20.【答案】1【解析】矩陣A是一個上三角矩陣，其秩等于其非零行的個數(shù)，即1。21.【答案】可逆【解析】如果n階方陣A的行列式不為0，則矩陣A是可逆的。四、判斷題(共5題)22.【答案】錯誤【解析】線性方程組Ax=b有無窮多解的充分必要條件是矩陣A的秩等于增廣矩陣的秩，且小于未知數(shù)的個數(shù)。23.【答案】正確【解析】兩個n階方陣相乘的結(jié)果仍然是一個n階方陣。24.【答案】錯誤【解析】正確的表達式是AA^T(A^TA)^{-1}=A，這是矩陣左乘單位矩陣的性質(zhì)。25.【答案】正確【解析】矩陣的秩定義為矩陣的行向量組或列向量組中線性無關(guān)向量的最大個數(shù)。26.【答案】正確【解析】矩陣A可逆的充分必要條件是A的行列式不為0。五、簡答題(共5題)27.【答案】矩陣的秩是指矩陣中線性無關(guān)的行或列的最大數(shù)目。它反映了矩陣的某種“自由度”或“簡化形式”?！窘馕觥烤仃嚨闹仁且粋€重要的概念，它不僅用于判斷矩陣是否可逆，還在線性方程組的求解、矩陣的簡化等方面有重要作用。28.【答案】一個矩陣A是可逆的，當且僅當它的行列式不為零，即det(A)≠0。此外，A的行向量組或列向量組必須是線性無關(guān)的?！窘馕觥烤仃嚨目赡嫘允蔷€性代數(shù)中的一個基本概念，它意味著矩陣可以表示為另一矩陣的乘積，從而可以解線性方程組等。29.【答案】線性變換T滿足以下性質(zhì)：1)T保持向量加法，即T(v+w)=T(v)+T(w)；2)T保持數(shù)乘，即T(cv)=cT(v)；3)T將零向量映射到零向量?！窘馕觥烤€性變換是線性代數(shù)中的核心概念，這些性質(zhì)保證了線性變換的連續(xù)性和可加性，是線性代數(shù)分析線性系統(tǒng)的基礎。30.【答案】特征值是矩陣A與單位矩陣I的差（A-I）的行列式為