答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁安徽省蕪湖市2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．兩條平行直線與間的距離為A． B． C． D．2．已知向量，，，若，，共面，則z等于（

）A． B．9 C． D．53．點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．4．已知四面體中，設(shè)，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則用向量可表示為（

）A． B．C． D．5．已知直線與圓相交于兩點(diǎn)．若圓上存在一點(diǎn)，使得四邊形為菱形，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B． C． D．6．已知正四棱錐的高為4，棱的長為2，點(diǎn)為側(cè)棱上的一動點(diǎn)，則面積的取小值為（

）A． B． C． D．7．在中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中，稱圖中的多面體為“芻（chu）甍（meng）”.若底面是邊長為的正方形，，且，和是等腰三角形，，則該芻甍的高（即點(diǎn)到底面的距離）為（

）A． B．C． D．8．一個平面區(qū)域內(nèi)，兩點(diǎn)間距離的最大值稱為此區(qū)域的直徑，那么曲線圍成的平面區(qū)域的直徑為（

）A． B．3 C． D．4二、多選題9．對于直線，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．直線l恒過點(diǎn)B．當(dāng)時，直線l在y軸上的截距為3C．若直線l不經(jīng)過第二象限，則D．坐標(biāo)原點(diǎn)到直線l的距離的最大值為10．已知圓，圓，則下列是圓與圓的公切線的直線方程為（

）A． B．C． D．11．（多選）《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中將底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖，在陽馬中，平面ABCD，底面是正方形，且，E，F(xiàn)分別為PD，PB的中點(diǎn)，則（

）A．平面PAC B．平面EFCC．點(diǎn)F到直線CD的距離為 D．點(diǎn)A到平面EFC的距離為三、填空題12．已知，則等于13．某景觀亭（如圖1）的上部可視為正四棱錐（如圖2）．已知長為4米，且平面平面，則頂點(diǎn)S到直線的距離為米；正四棱錐的側(cè)面積為平方米．14．已知點(diǎn)P在直線上，點(diǎn)，則的最小值為四、解答題15．請求出滿足題意的直線方程：(1)過定點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線；(2)求經(jīng)過直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線的方程．16．已知圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)（4，0），且圓心在x軸上(1)求圓C的方程；(2)已知直線l：與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，求所得弦長的值．17．如圖，在正方體中，與的交點(diǎn)為，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的大小.18．阿波羅尼斯是與阿基米德、歐幾里得齊名的古希臘數(shù)學(xué)家，以他的姓名命名的阿波羅尼斯圓，是指平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的比值為常數(shù)（，）的動點(diǎn)軌跡.已知，，動點(diǎn)滿足.(1)求動點(diǎn)所在的阿波羅尼斯圓的方程；(2)若點(diǎn)，求的最小值和最大值.(3)設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)，且與（1）所求的圓相切，求直線的方程.19．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求二面角的余弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．《安徽省蕪湖市2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題》參考答案題號12345678910答案CBBACBBBADABC題號11答案AD1．C【詳解】由直線平行的充要條件可得：，結(jié)合平行線之間的距離公式可得，兩條平行直線6與間的距離為：.本題選擇C選項(xiàng).2．B【分析】根據(jù)共面列方程，根據(jù)空間向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算求解出的值.【詳解】向量，，，由于共面，所以存在，使得，即，所以，解得：，所以.故選：B.3．B【分析】使用待定系數(shù)法結(jié)合直線對稱的幾何關(guān)系求解即可.【詳解】設(shè)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為則解得：故選：B.4．A【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算的幾何表示可得.【詳解】如圖，，故選：A5．C【分析】由四邊形為菱形，得到到的距離等于1，由點(diǎn)到線的距離公式列出等式求解即可；【詳解】

因?yàn)閳A上存在一點(diǎn)，使得四邊形為菱形，所以到的距離等于,即，解得：，故選：C.6．B【分析】根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)得到平面，，然后根據(jù)，，得到的范圍，最后根據(jù)三角形面積公式求面積的最小值即可.【詳解】取中點(diǎn)，連接、、，因?yàn)樗睦忮F為正四棱錐，所以平面，，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)?，，所以，，在直角三角形中，?dāng)時，最小，為，當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時，最大，最大為4，所以，，所以當(dāng)時，的面積最小為.故選：B7．B【分析】如圖，利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)確定為芻甍的高，求出即可.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，則，過點(diǎn)分別作，垂足分別為，則四邊形為矩形，且，由，平面，得平面，又平面，所以，又平面，所以平面，即為芻甍的高.又，所以，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，所以，即該芻甍的高為.故選：B8．B【分析】根據(jù)曲線對稱性，利用曲線參數(shù)方程表示區(qū)域內(nèi)兩點(diǎn)間的距離，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值得結(jié)果.【詳解】的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）由于都滿足方程，所以曲線是關(guān)于點(diǎn)中心對稱的圖形，所以曲線上點(diǎn)到原點(diǎn)距離為直徑長的一半，由于，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時，取得取大值為，所以，直徑為.故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用對稱性簡化問題：由于曲線的對稱性，可以只計算某一區(qū)域的直徑.參數(shù)方程表示曲線：通過適當(dāng)?shù)膮?shù)化簡化曲線方程，方便計算.求最大距離：通過計算曲線上某一點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，并找到最大值.9．AD【分析】將方程變形為，即可列方程求解定點(diǎn)判斷A，令，即可求解截距判斷B，取，即可判斷C，根據(jù)垂直即可求解最大距離判斷D.【詳解】已知直線，則，由，得，所以直線恒過點(diǎn)，故A正確；當(dāng)時，直線,令，，故在軸上的截距為，B錯誤，當(dāng)時，直線的方程為，直線不經(jīng)過第二象限，故C不正確；因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，所以坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離的最大值為，故D正確．故選：AD．10．ABC【分析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩圓圖象，由兩圓相離可知共有4條切線，再利用對稱性設(shè)出直線方程，由點(diǎn)到直線距離公式即可求得切線方程.【詳解】根據(jù)題意可知，兩圓心關(guān)于原點(diǎn)對稱，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩圓圖象，如下圖所示：

顯然，圓心距，即兩圓外離，共有4條切線；又兩圓心到軸的距離都等于其半徑，所以軸是其中一條公切線，即A正確；利用對稱性可知，其中一條切線過原點(diǎn)，設(shè)其方程為，又到切線的距離為1，即，解得或；當(dāng)時，切線即為軸，當(dāng)時，切線方程為，即，B正確；由對稱性可知，切線與直線平行，易知，所以直線的方程為，可設(shè)的方程分別為，由兩平行線間距離公式可得，解得，即切線的方程分別為，；整理可得兩切線方程為和，故C正確，D錯誤；故選：ABC11．AD【分析】根據(jù)已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及平面EFC的法向量，利用向量垂直條件及線面垂直的判定定理及線面平行的向量關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離及點(diǎn)到面的距離的向量公式即可求解.【詳解】解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空直角坐標(biāo)系，如圖所示由題意可知，，，，，，，所以，，，.因?yàn)椋裕?，所以，?又，所以平面PAC，故A正確；設(shè)平面EFC的法向量為，則，即，令，則，所以.因?yàn)?，所以，故B不正確；設(shè)點(diǎn)F到直線CD的距離為h，，，則，即，所以點(diǎn)F到直線CD的距離為，故C不正確；設(shè)點(diǎn)A到平面EFC的距離為d，，則，所以點(diǎn)A到平面EFC的距離為，故D正確.故選：AD.12．【分析】根據(jù)空間向量加法、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】，，所以.故答案為：.13．【分析】根據(jù)平行關(guān)系，構(gòu)造直二面角的平面角，根據(jù)幾何關(guān)系，即可求解.【詳解】設(shè)平面和平面交于過點(diǎn)的直線，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，平面，且平面平面，所以，取的中點(diǎn)，連結(jié)，，，即，，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，且，，所以，所以點(diǎn)到的距離為；正四棱錐的側(cè)面積為.故答案為：；14．【知識點(diǎn)】求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)后可求線段差的最小值.【詳解】如圖，設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，則，于是，結(jié)合圖形知，當(dāng)三點(diǎn)共線時，此時取得最小值，即取得最小值為故答案為：15．(1)和(2)【分析】（1）根據(jù)截距為0和不為0兩種情況，即可根據(jù)待定系數(shù)法求解直線方程，（2）聯(lián)立方程求解交點(diǎn)坐標(biāo)，即可根據(jù)直線垂直滿足的斜率關(guān)系求解斜率，進(jìn)而根據(jù)直線的點(diǎn)斜式求解即可.【詳解】（1）①截距均為：設(shè)直線方程：，直線過定點(diǎn)，②截距不為0：設(shè)直線方程：，直線過定點(diǎn)即綜上，滿足題意直線方程為，（2）設(shè)的交點(diǎn)為，直線斜率為聯(lián)立，解得，所以的交點(diǎn)為，直線與直線垂直，直線的斜率為，由點(diǎn)斜式可得，整理得，即16．(1)(2)【分析】（1）求出圓心和半徑，寫出圓的方程；（2）求出圓心到直線距離，進(jìn)而利用垂徑定理求出弦長.【詳解】（1）由題意可得，圓心為(2，0)，半徑為2．則圓的方程為；（2）由（1）可知：圓C半徑為，設(shè)圓心（2，0）到l的距離為d，則，由垂徑定理得：．17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，證明，即可得證；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）連接，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)是棱的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面；（2）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，所以，因?yàn)椋?，所以平面，所以直線與平面所成角的大小為.

18．(1)(2)最小值是，最大值是.(3)或【分析】（1）設(shè)，把條件用坐標(biāo)表示出來，化簡即可.（2）數(shù)形結(jié)合，根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，分析點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的距離的最值.（3）根據(jù)斜率存在與否進(jìn)行分類討論，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求出直線方程.【詳解】（1）設(shè)動點(diǎn)，則就是，即，整理得，.故動點(diǎn)所在的阿波羅尼斯圓的方程為.（2）就是，其半徑是4，圓心是，.顯然在圓外，故的最小值是，最大值是.（3）①當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時圓心到直線的距離，直線與圓相切，滿足題意.②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，圓心到直線的距離，解得，則直線的方程為.綜上，直線的方程為或.19．(1)證明見解析(2)，詳情見解析【分析】(1)設(shè)中點(diǎn)為，連接，由三角形中位線性質(zhì)可得，且從而可得四邊形為平行四邊形，再由即可證得平面；(2)按照條件①、條件②的不同，分別作出圖形和輔助線，利用已知條件求出的長，以及證得平面，再建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角的余弦值．【詳解】（1）如圖（1），設(shè)中點(diǎn)為，連接，底面為正方形，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)．，且，而又，,且，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面.（2）選條件①：連結(jié),過作交于點(diǎn)，又因?yàn)?，所以點(diǎn)也是中點(diǎn)，連結(jié)，，為的中點(diǎn)，則,又底面為正方形，,，,在中，,平面平面，平面平面，平面，如圖（2）以為原點(diǎn)，所