（第二版）微積分普通高等院校數(shù)學(xué)類規(guī)劃教材主編閻慧臻劉超劉燕2.1函導(dǎo)數(shù)的概念2.2求導(dǎo)法則2.3高階導(dǎo)數(shù)2.4隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第2章2.5函數(shù)的微分導(dǎo)數(shù)與微分微分學(xué)是微積分的重要組成部分.導(dǎo)數(shù)與微分是微分學(xué)中的兩個基本概念.本章主要討論導(dǎo)數(shù)與微分的概念以及它們的計(jì)算方法.第2章2.1.1引例導(dǎo)數(shù)是微分學(xué)中最基本的概念,它是為解決實(shí)際問題的需要而產(chǎn)生的.我們先討論兩個問題:速度問題和切線問題.這兩個問題都與導(dǎo)數(shù)概念有密切的關(guān)系.設(shè)某物體作變速直線運(yùn)動,S

表示該物體從某一時刻開始到時刻t所經(jīng)過的路程,則S是時刻t的函數(shù),記為S=S(t).現(xiàn)在我們需要求物體在t=t0

時的瞬時速度v(t0).當(dāng)物體從時刻t0

運(yùn)動到時刻t0+Δt

時,物體在Δt

這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程為則物體在Δt

這段時間內(nèi)移動的平均速度為當(dāng)Δt很小時,平均速度

可看作是時刻t0

的瞬時速度v(t0)的近似值.顯然,Δt越小,近似的精確程度越高.如果當(dāng)Δt

趨于零時,平均速度的極限存在,那么,我們可以把這個極限值定義為物體在時刻t0

時的瞬時速度,即1.變速直線運(yùn)動的瞬時速度在介紹平面曲線的切線斜率之前,首先要明確什么是平面曲線的切線.在平面解析幾何中把圓的切線定義為與圓只有一個交點(diǎn)的直線,但是,對于一般的平面曲線來說,用“與曲線僅交于一點(diǎn)的直線”來作為此曲線在該點(diǎn)的切線是不合適的.例如,對于拋物線y=x2,在原點(diǎn)O

處,x

軸與y

軸與此曲線都只有一個交點(diǎn)(0,0),但顯然y軸不能作為曲線y=x2

在點(diǎn)(0,0)處的切線.下面給出平面曲線在一點(diǎn)處的切線的定義.設(shè)有曲線C

及C

上一點(diǎn)M(圖2-1),在點(diǎn)M

外另取C

上一點(diǎn)N,作割線MN,當(dāng)點(diǎn)N沿曲線C

趨于點(diǎn)M

時,如果割線MN

的極限位置MT

存在,則稱直線MT

為曲線C在點(diǎn)M

處的切線.圖2-12.平面曲線的切線斜率現(xiàn)在設(shè)曲線C

在點(diǎn)M處的切線MT

存在,我們來求此切線的斜率.設(shè)曲線C

的方程為y=f(x),點(diǎn)M

的坐標(biāo)為(x0,y0),點(diǎn)N

的坐標(biāo)為(x0+Δx,y0+Δy),則y0=f(x0),Δy=f(x0+Δx)-f(x0).于是割線MN

的斜率為其中φ

為割線MN

的傾角.當(dāng)點(diǎn)N

沿曲線C

趨于點(diǎn)M

時,Δx→0,此時,割線MN

的傾角φ

趨向于切線MT

的傾角α.即切線MT

的斜率k

為上述兩個問題,一個來自物理學(xué),一個來自幾何學(xué),盡管實(shí)際意義不同,但從數(shù)學(xué)角度來看,都可歸結(jié)為當(dāng)自變量的增量趨于零時函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.由于科學(xué)技術(shù)中還有許多其他問題也可歸結(jié)為這種形式的極限,因此,有必要將其抽象出來進(jìn)行研究.這種形式的極限就是函數(shù)的導(dǎo)數(shù).2.1.2導(dǎo)數(shù)的定義

定義1

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0

的某一鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量x

在x0

處取得增量Δx(點(diǎn)x0+Δx

仍在該鄰域內(nèi))時,相應(yīng)地函數(shù)y取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0),如果極限存在,則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0

處可導(dǎo),并稱這個極限值為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0

處的導(dǎo)數(shù),記為f'(x0),即1.函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0

處可導(dǎo)有時也說成f(x)在點(diǎn)x0

具有導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)存在.如果式(1)中的極限不存在(包括∞),則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0

處不可導(dǎo)或沒有導(dǎo)數(shù),但當(dāng)式(1)中的極限為∞時,我們也常說y=f(x)在點(diǎn)x0

處的導(dǎo)數(shù)為無窮大.函數(shù)f(x)在x0

處的導(dǎo)數(shù)定義式(式(1))也可寫成不同的形式,如顯然,函數(shù)增量與自變量增量之比是函數(shù)在區(qū)間[x0,x0+Δx](或[x0+Δx,x0])上的平均變化速度,即平均變化率.而導(dǎo)數(shù)f'(x0)則為函數(shù)f(x)在x0處的變化速度,即函數(shù)在x0

處的變化率,它反映了因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度.由于導(dǎo)數(shù)是用極限定義的,相應(yīng)于左極限與右極限的概念,可以定義函數(shù)在一點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)的概念.如果左極限存在,則稱函數(shù)f(x)在x0

處左可導(dǎo),且稱此極限值為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0

處的左導(dǎo)數(shù),記作即如果右極限存在,則稱函數(shù)f(x)在x0

處右可導(dǎo),且稱此極限值為函數(shù)f(x)在x0

處的右導(dǎo)數(shù),記作f'+(x0),即2.左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)利用極限與左、右極限的關(guān)系,立即可得導(dǎo)數(shù)與左、右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系如下:函數(shù)f(x)在x0

處可導(dǎo)的充分必要條件是左導(dǎo)數(shù)f'-(x0)與右導(dǎo)數(shù)f'+(x0)都存在且相等.左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù).

如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)均可導(dǎo),則稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且在區(qū)間的左端點(diǎn)x=a

處右可導(dǎo),在右端點(diǎn)x=b

處左可導(dǎo),則稱函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上可導(dǎo).類似地可以定義函數(shù)f(x)在半閉區(qū)間或無窮區(qū)間上的可導(dǎo)性.如果函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間I

上可導(dǎo),則對于任一x∈I,都對應(yīng)著f(x)的一個確定的導(dǎo)數(shù)值,這樣就構(gòu)成了一個新的函數(shù),這個函數(shù)叫作原來函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù),記作在式(1)或式(2)中把x0換成x,即得導(dǎo)函數(shù)的定義式:3.導(dǎo)函數(shù)注:(1)在以上兩式中,雖然x

可以取區(qū)間I

內(nèi)的任何值,但在取極限過程中,x

是常量,Δx

或h

是變量.

(2)當(dāng)x位于區(qū)間端點(diǎn)時,以上兩式中的極限為相應(yīng)的單側(cè)極限.顯然,函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0

處的導(dǎo)數(shù)f'(x0)就是導(dǎo)函數(shù)f'(x)在點(diǎn)x=x0

處的函數(shù)值,即今后在不致混淆的情況下,導(dǎo)函數(shù)f'(x)也簡稱導(dǎo)數(shù),而f'(x0)是f(x)在點(diǎn)x0

處的導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)f'(x)在x0

處的值.

下面根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求一些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

【例1】求函數(shù)f(x)=c(c

為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).即(c)'=0,這就是說,常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零.4.求導(dǎo)數(shù)舉例

【例2】求函數(shù)y=f(x)=xn(n為正整數(shù))的導(dǎo)數(shù).更一般地,對于冪函數(shù)y=xμ(μ

為常數(shù)),有(xμ)'=μxμ-1.這就是冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,該公式的證明將在以后討論.利用該公式,可以很方便地求出冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù),例如

【例3】求函數(shù)f(x)=sinx

的導(dǎo)數(shù).這就是指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.特殊地,當(dāng)a=e時,有(ex)'=ex.即以e為底的指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是它自己,這是以e為底的指數(shù)函數(shù)的一個重要特征.這就是對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.特殊地,當(dāng)a=e時,有2.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義由前面有關(guān)曲線的切線斜率的討論和導(dǎo)數(shù)的定義可知,函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0

處的導(dǎo)數(shù)f'(x0)的幾何意義就是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線斜率,即f'(x0)=tanα,其中α

是切線的傾角(圖2-1).如果y=f(x)在點(diǎn)x0

處的導(dǎo)數(shù)為無窮大,這時曲線y=f(x)的割線以垂直于x

軸的直線x=x0

為極限位置,即曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x0,f(x0))處具有垂直于x

軸的切線x=x0.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義并應(yīng)用直線的點(diǎn)斜式方程,可知曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x0,y0)處的切線方程為y-y0=f'(x0)(x-x0).過切點(diǎn)M(x0,y0)且與切線垂直的直線叫作曲線y=f(x)在點(diǎn)M

處的法線.如果f'(x0)≠0,則法線的斜率為從而法線方程為如果f'(x0)=0,則曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x0,y0)處的切線方程為y=y0,法線方程為x=x0.2.1.4可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

定理1

如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0

處可導(dǎo),則函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0

處連續(xù).

證明因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在點(diǎn)x0

處可導(dǎo),則即函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0

處連續(xù).該定理的逆定理不成立.即函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0

處連續(xù),但函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0

處不一定可導(dǎo).例如,函數(shù)f(x)=|x|在x=0處是連續(xù)的,但在x=0處卻不可導(dǎo).因此,函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)的必要條件,但不是充分條件.上一節(jié)我們根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,求出了幾個基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),但是,對于比較復(fù)雜的函數(shù),直接根據(jù)定義來求它們的導(dǎo)數(shù)往往很困難.本節(jié)我們將介紹求導(dǎo)數(shù)的幾個基本法則和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式,利用這些法則和公式,就可以比較方便地求出某些函數(shù)的導(dǎo)數(shù).2.2.1函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則到目前為止,我們已經(jīng)求出了除反三角函數(shù)外的所有基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.下面給出反函數(shù)的求導(dǎo)法則,在此基礎(chǔ)上,推導(dǎo)反三角函數(shù)的求導(dǎo)公式.2.2.2反函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理2

如果函數(shù)x=f(y)在區(qū)間Iy

內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f'(y)≠0,則它的反函數(shù)y=f-1(x)在對應(yīng)的區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo),且2.2.3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則迄今為止,對于這樣的函數(shù),我們還不知道它們是否可導(dǎo),如果可導(dǎo),也不知道如何求它們的導(dǎo)數(shù).由于這些函數(shù)都是復(fù)合函數(shù),因此需要討論復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.

定理3設(shè)函數(shù)u=φ(x)在點(diǎn)x

處可導(dǎo),而函數(shù)y=f(u)在對應(yīng)點(diǎn)u=φ(x)處可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)y=f(φ(x))在點(diǎn)x處可導(dǎo),且有

證明設(shè)x

有增量Δx

時,u

的增量為Δu,從而y也有增量Δy.當(dāng)Δu≠0時,因?yàn)楦鶕?jù)無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系有當(dāng)Δu=0時,由于Δy=0,上式仍成立(這時取α=0),于是由于u=φ(x)在x處連續(xù),所以當(dāng)Δx→0時,Δu→0，從而因此可見復(fù)合函數(shù)y關(guān)于自變量x的導(dǎo)數(shù)是復(fù)合函數(shù)y

關(guān)于中間變量u

的導(dǎo)數(shù)與中間變量u

關(guān)于自變量x

的導(dǎo)數(shù)的乘積,這個法則也被形象地稱為鏈?zhǔn)椒▌t.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以推廣到多個中間變量的情形,例如,設(shè)且這三個函數(shù)都可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)y=f{φ[ψ(x)]}的導(dǎo)數(shù)為從以上例子可看出,求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時,首先要分析所給函數(shù)是由哪些簡單函數(shù)復(fù)合而成,然后引入相應(yīng)的中間變量,像鏈條一樣由外層向內(nèi)層分別求導(dǎo)數(shù),一直求到對此復(fù)合函數(shù)的自變量的導(dǎo)數(shù)為止,它們的乘積就是此復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則熟練之后,中間變量可以不必寫出來,但在求導(dǎo)時應(yīng)把中間變量記在腦子中,心中要清楚每一步是在對誰求導(dǎo)數(shù),直到求到對自變量的導(dǎo)數(shù)為止.2.2.4基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式與本節(jié)中所討論的求導(dǎo)法則在初等函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算中起著重要的作用,我們必須熟練地掌握它們.為了便于查閱,現(xiàn)在把這些導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則歸納如下:1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式設(shè)u=u(x),v=v(x)都可導(dǎo),則2.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)y=f(u),u=φ(x),而f(u)及φ(x)都可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)y=f(φ(x))的導(dǎo)數(shù)為設(shè)y=f-1(x)是x=f(y)的反函數(shù),且f'(y)≠0,則4.反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)下面再舉兩個運(yùn)用這些法則和導(dǎo)數(shù)公式的例子.我們知道,變速直線運(yùn)動的速度v(t)是位置函數(shù)S(t)對時間t的導(dǎo)數(shù),即或v=S‘.而加速度a

又是速度v

對時間t的變化率,即a

是速度v

對時間t

的導(dǎo)數(shù):這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)

叫作S

對t的二階導(dǎo)數(shù),記作或S″(t),因此,直線運(yùn)動的加速度就是位置函數(shù)S

對時間t的二階導(dǎo)數(shù).一般地,函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y'=f'(x)仍然是x

的函數(shù),我們把y'=f'(x)的導(dǎo)數(shù)叫作函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù),記作相應(yīng)地,把y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)叫作函數(shù)y=f(x)的一階導(dǎo)數(shù).類似地,二階導(dǎo)數(shù)f″(x)的導(dǎo)數(shù)稱為y=f(x)的三階導(dǎo)數(shù),記作一般地,y=f(x)的n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫作y=f(x)的n

階導(dǎo)數(shù),記作即函數(shù)y=f(x)具有n

階導(dǎo)數(shù),通常也稱函數(shù)f(x)為n

階可導(dǎo).如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處具有n

階導(dǎo)數(shù),則f(x)在點(diǎn)x處的某一鄰域內(nèi)必定具有低于n

階的各階導(dǎo)數(shù).二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).由此可見,求高階導(dǎo)數(shù)只需對函數(shù)f(x)逐次求導(dǎo)就可以了,并不需要新的求導(dǎo)公式.函數(shù)f(x)的各階導(dǎo)數(shù)在x=x0處的數(shù)值記為:2.4.1隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)前面我們所討論的函數(shù),都是一個變量明顯地用另一個變量表示的形式,例如,y=x2+sinx,用y=f(x)這種方式表示的函數(shù)稱為顯函數(shù).然而,函數(shù)也可不以顯函數(shù)的形式出現(xiàn),例如,方程x+2y3-5=0表示一個函數(shù),因?yàn)楫?dāng)變量x

在(-∞,+∞)內(nèi)取值時,變量y

有唯一確定的數(shù)值與之對應(yīng),這樣的函數(shù)稱為隱函數(shù).一般地,如果變量x

和y

滿足一個方程F(x,y)=0,在一定條件下,當(dāng)x

取某區(qū)間內(nèi)的任一值時,相應(yīng)地總有滿足這個方程的唯一的y

值存在,則就稱方程F(x,y)=0在該區(qū)間內(nèi)確定了一個隱函數(shù)y=y(x).對于由方程F(x,y)=0確定的隱函數(shù)y,若能從方程中解出y來,得到y(tǒng)=y(x),此時隱函數(shù)成為顯函數(shù),這種情形稱為隱函數(shù)的顯化.例如,從方程x+2y3-5=0中解出就把隱函數(shù)化成了顯函數(shù).但是隱函數(shù)的顯化有時是很困難的,甚至是不可能的,例如方程x-y+exy=0就很難顯化.因此,有必要討論隱函數(shù)的求導(dǎo)方法.還應(yīng)指出,并非任何一個方程都能確定隱函數(shù),例如,x2+y2+4=0顯然就不能確定隱函數(shù).設(shè)由方程F(x,y)=0確定y

為x

的隱函數(shù)y=y(x),將y=y(x)代入方程得恒等式:F(x,y(x))≡0.在F(x,y(x))=0的兩端關(guān)于自變量x

求導(dǎo),在此過程中,把y

看作x

的函數(shù),運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,便可解出y

對x

的導(dǎo)數(shù)

注:也可在式(1)兩端再對x

求導(dǎo),求得y″.對于某些函數(shù),利用普通方法求導(dǎo)數(shù)比較復(fù)雜,甚至難于進(jìn)行.例如,由多個因式的積、商、冪構(gòu)成的函數(shù)及冪指函數(shù),對于這類函數(shù)的求導(dǎo),可以先對函數(shù)式兩端取自然對數(shù),利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)對函數(shù)式進(jìn)行化簡,然后利用隱函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo),這種方法稱為對數(shù)求導(dǎo)法.

2.4.2由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在解析幾何中,我們知道有些函數(shù)關(guān)系可用參數(shù)方程來確定,這里t為參變量.例如,圓x2+y2=R2的參數(shù)方程是在實(shí)際問題中,需要計(jì)算由參數(shù)方程(2)所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),但從(2)中消去參數(shù)t有時會有困難,因此,需要建立一種方法,不管能否消去參數(shù)t,都能直接由參數(shù)方程(2)求出它所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

定理1在參數(shù)方程(2)中,如果

(1)函數(shù)x=φ(t),y=ψ(t)都可導(dǎo),且φ'(t)≠0.

(2)函數(shù)x=φ(t)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)t=φ-1(x),且此反函數(shù)能與函數(shù)y=ψ(t)構(gòu)成復(fù)合函數(shù).則由參數(shù)方程(2)所確定的函數(shù)y=y(x)的導(dǎo)數(shù)為

證明由參數(shù)方程(2)所確定的函數(shù)可以看成是由函數(shù)y=ψ(t),t=φ-1(x)復(fù)合而成的函數(shù)y=ψ[φ-1(x)],于是由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則與反函數(shù)求導(dǎo)法則,有如果x=φ(t),y=ψ(t)還是二階可導(dǎo)的,則可從式(3)求得函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù):2.5.1微分的定義微分是與導(dǎo)數(shù)密切相關(guān)又有本質(zhì)差異的一個重要概念.導(dǎo)數(shù)反映函數(shù)在某一點(diǎn)變化的快慢程度,即變化率;而微分則主要是表述函數(shù)在某一點(diǎn)的增量的近似程度.本節(jié)主要介紹微分的概念、計(jì)算及簡單應(yīng)用.先分析一個具體問題:一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,其邊長由x0

變到x0+Δx(圖2-3),問此薄片的面積改變了多少?設(shè)此薄片的邊長為x,面積為A,則A是x

的函數(shù):A=x2.薄片受溫度變化的影響時,邊長x

在x0

處有增量Δx,這時面積A的相應(yīng)增量為圖2-3從上式可以看出,ΔA

分成兩部分:第一部分2x0·Δx

是Δx

的線性函數(shù),即圖2-3中帶有斜線的兩個矩形面積之和;第二部分(Δx)2

在圖2-3中是帶有交叉斜線的小正方形的面積.當(dāng)Δx→0時,第二部分(Δx)2

是比Δx

高階的無窮小,即(Δx)2=o(Δx).因此,當(dāng)|

Δx|很小時,第一部分2x0·Δx

是面積增量ΔA

的主要部分,可用它來作為ΔA

的近似值,而第二部分(Δx)2

在計(jì)算ΔA時可以忽略不計(jì),即有ΔA≈2x0·Δx.

2x0·Δx稱為函數(shù)A=x2

在點(diǎn)x0處的微分.一般地,有下列定義:

定義1設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0

的某一鄰域內(nèi)有定義,x0+Δx

在該鄰域內(nèi),如果f(x)在點(diǎn)x0

處的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)可表示為其中A

是不依賴于Δx

的常數(shù),而o(Δx)是比Δx

高階的無窮小,則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0

處是可微的,而A·Δx

叫作函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0

相應(yīng)于自變量增量Δx

的微分,記作dy,即dy=A·Δx.

注:(1)由微分定義知,當(dāng)A≠0時,微分dy=A·Δx

是Δx

的線性函數(shù),而且當(dāng)|Δx|很小時,微分dy

是函數(shù)增量Δy的主要部分.因此,在A≠0的條件下,微分也稱為函數(shù)增量的線性主部(當(dāng)Δx→0時).

(2)由微分的定義可知,Δy-dy

是Δx

的高階無窮小,即下面討論函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可微的條件.

定理1函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0

處可微的充分必要條件是f(x)在點(diǎn)x0

可導(dǎo),且有dy=f'(x0)·Δx.證明設(shè)y=f(x)在點(diǎn)x0

處可微,即Δy=A·Δx+o(Δx).于是所以f(x)在點(diǎn)x0

可導(dǎo),且有反之,如果y=f(x)在點(diǎn)x0

可導(dǎo),即由無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系,得其中所以顯然,當(dāng)Δx→0時,α·Δx=o(Δx),且f'(x0)與Δx

無關(guān),由微分定義可知,y=f(x)在點(diǎn)x0

可微,且有dy=f'(x0)·Δx.該定理說明了函數(shù)在點(diǎn)x0

的可微性與可導(dǎo)性是等價的,且有關(guān)系式dy=f'(x0)·Δx.函數(shù)y=f(x)在任意點(diǎn)x

的微分,稱為函數(shù)y=f(x)的微分,記作dy

或df(x),即dy=f'(x)·Δx.我們規(guī)定,自變量的微分等于自變量的增量,即dx=Δx.這樣規(guī)定是很自然的,因?yàn)樽宰兞縳

可以看作是一個特殊的函數(shù)y=x,所以有dy=dx=(x)'·Δx=Δx,即dx=Δx.于是函數(shù)y=f(x)的微分又可記作dy=f'(x)dx,從而有這就是說,函數(shù)的微分dy

與自變量的微分dx

之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù),因此,導(dǎo)數(shù)也稱作微商.以前我們把導(dǎo)數(shù)的記號

看作是一個整體記號,現(xiàn)在,就可以把它看成是dy與dx

之商了,這正是用來作為導(dǎo)數(shù)記號的原因.

【例1】求函數(shù)y=x3

在x=1和x=2處的微分.

解因?yàn)閐y=(x3)'dx=3x2dx,所以

【例2】求函數(shù)y=在x=1,Δx=0.002處的微分.2.5.2復(fù)基本初等函數(shù)的微分公式與

微分運(yùn)算法則從函數(shù)的微分表達(dá)式dy=f'(x)dx

可以看出,要計(jì)算函數(shù)的微分,只要計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再乘以自變量的微分,因此,可得如下的微分公式和微分運(yùn)算法則.由常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,可以直接寫出常數(shù)和基本初等函數(shù)的微分公式.為了便于對照,列表如下,見表2-1.1.基本初等函數(shù)的微分公式由函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則,可得出相應(yīng)的微分法則.為了便于對照,列表如下,見表2-2.(表中u=u(x),v=v(x)都可導(dǎo))2.函數(shù)和、差、積、商的微分法則我們僅證明乘積的微分法則.由函數(shù)的微分表達(dá)式,有d(uv)=(uv)'dx.再由乘積的求導(dǎo)法則,有(uv)'=u'v+uv’.所以由于u'dx=du,v'dx=dv,于是d(uv)=udv+vdu.其他法則都可以類似地證明.

設(shè)y=f(u)對u

可導(dǎo),則

(1)當(dāng)u

是自變量時,函數(shù)的微分為dy=f'(u)du.

(2)當(dāng)u

不是自變量,而是中間變量時,設(shè)u=φ(x)為x

的可導(dǎo)函數(shù),則復(fù)合函數(shù)y=f

φ(x)的微分為由于φ'(x)dx=du,所以