3.3探索與表達規(guī)律（第2課時）（導學案）（原卷版）1.教學目標（1）經(jīng)歷由特殊到一般和由一般到特殊的思考過程，體會代數(shù)推理的特點和作用，發(fā)展代數(shù)推理能力。（2）能用代數(shù)式表示并借助運算解釋、論證某些一般規(guī)律或現(xiàn)象。（3）能設計一些蘊含規(guī)律的游戲或問題。重點：能用代數(shù)式表示并借助代數(shù)式運算解釋某些一般規(guī)律或現(xiàn)象。難點：對解決問題的思路和方法的分析與選擇，設計數(shù)字游戲。第一環(huán)節(jié)自主學習溫故知新：①解決規(guī)律問題的一般思維路徑：“———”。②通常用表示規(guī)律，并借助一些數(shù)量關系的正確性。新知自研：自研課本第9697頁的內容【學法指導】自研課本P9697頁內容，思考：(一)數(shù)字游戲的規(guī)律表達玩數(shù)字游戲老師：你在心里想好一個兩位數(shù)，將這個兩位數(shù)的十位數(shù)字乘2，然后加3，再將所得的和乘5，最后將得到的數(shù)加你想的那個兩位數(shù)的個位數(shù)字。把你的結果告訴我，我就知道你心里想的兩位數(shù)。（1）你發(fā)現(xiàn)游戲中有什么規(guī)律?你能用語言描述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎?（2）這個規(guī)律對于任何一個兩位數(shù)都成立嗎?（3）如果請你解釋這個規(guī)律，你會借助什么方法?哪種方法更好?（4）請用適當?shù)姆椒ㄍ瓿蓪ι鲜鲆?guī)律的解釋。（二）設計數(shù)字游戲設計一個類似上面的數(shù)字游戲，解釋其中的道理，并與同伴進行交流。①請你設計一個含有一定規(guī)律的數(shù)字游戲。②設計好后，與同伴做游戲。③請同伴說出你設計的游戲中的規(guī)律，并解釋其中的道理。④跟同伴說一說你是怎樣設計的。⑤與同伴互換角色，繼續(xù)進行活動。（三）數(shù)字整除規(guī)律表達問題1：一個三位數(shù)能否被3整除，只要看這個數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字之和能否被3整除。你能說明其中的道理嗎?問題2：一個四位數(shù)能否被3整除是否也有這樣的規(guī)律?請說明理由。（四）回顧反思回顧反思回顧本章的學習，在用字母表達數(shù)量關系和運算方面你積累了哪些經(jīng)驗?【自研自探】自研課本9697頁例題內容，回答問題：例1．小明，小剛，小穎三人玩游戲，每人一張寫有已化為最簡代數(shù)式的卡片，游戲規(guī)則為選擇兩位同學的代數(shù)式相減等于第三位同學的代數(shù)式，則游戲成功．小明，小剛，小穎的卡片如下，其中小穎的卡片有一部分看不見了．(1)小穎建議選取小明卡片上的代數(shù)式減去小剛卡片上的代數(shù)式，請你判斷此操作能否使游戲成功；(2)小穎發(fā)現(xiàn)用她卡片上的代數(shù)式減去小明卡片上的代數(shù)式可以使游戲成功，你能否幫小穎求出她的代數(shù)式．例2．將10枚硬幣背面朝上放在桌子上，依次編號為①，②，③…⑩，記正面朝上為“+”，背面朝上為“”，某興趣小組同學依次按照如下規(guī)則進行翻硬幣游戲：第1次把所有編號能被1整除的硬幣翻一次，第2次把所有編號能被2整除的硬幣翻一次，第3次把所有編號能被3整除的硬幣翻一次……第次把所有編號能被整除的硬幣翻一次，游戲結束．(1)將下列表格補充完整：編號①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩翻次12232444結果++(2)若有20枚硬幣，在游戲結束時，所有正面朝上的硬幣的編號為__________；(3)按照上述規(guī)則，若共有枚硬幣在游戲結束時朝上，則硬幣數(shù)量最多為_________枚（用含有的式子表示）．例3．如果把一個正整數(shù)各數(shù)位上數(shù)字從最高位到個位依次排出一串數(shù)字，與從個位到最高位依次排出的一串數(shù)字完全相同，那么我們把這樣的正整數(shù)叫做“完美數(shù)”．例如：自然數(shù)64746從最高位到個位排出的一中數(shù)字是：6、4、7、4、6，從個位到最高位排出的一串數(shù)字也是：6、4、7、4、6，所以64746是“完美數(shù)”．再如：33，181，212，4664，…，都是“完美數(shù)”．(1)若由a、b(a、b均為19的正整數(shù))組成的兩位數(shù)、，與的和一定能被一個常數(shù)n整除(n為大于1的正整數(shù))，則常數(shù)______；(2)現(xiàn)有一個四位數(shù)，若它是“完美數(shù)”，這個“完美數(shù)”一定能被一個常數(shù)m整除(m為大于1的正整數(shù))，則常數(shù)______；請說明理由．例4．綜合與實踐．在一個創(chuàng)新教育中心，學生們正在參與一個名為“火柴棍工程”的綜合實踐活動．這個活動旨在通過動手實踐來培養(yǎng)學生的空間想象力、邏輯思維和數(shù)學計算能力．如圖所示，學生們需要使用火柴棍來構建一系列由三角形組成的圖形，并探索這些圖形的數(shù)學規(guī)律．(1)實踐操作：如果圖形中含有4個三角形，那么拼成這個圖形需要根火柴棍．(2)數(shù)學探究：如果圖形中含有n個三角形，那么拼成這個圖形需要根火柴棍．第二環(huán)節(jié)合作探究1.討論游戲中有什么規(guī)律?你能用語言描述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎?這個規(guī)律對于任何一個兩位數(shù)都成立嗎?如果請你解釋這個規(guī)律，你會借助什么方法?哪種方法更好？請用適當?shù)姆椒ㄍ瓿蓪ι鲜鲆?guī)律的解釋。2.討論設計一個類似上面的數(shù)字游戲，解釋其中的道理，并與同伴進行交流。3.討論一個三位數(shù)能否被3整除，只要看這個數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字之和能否被3整除。你能說明其中的道理嗎?一個四位數(shù)能否被3整除是否也有這樣的規(guī)律?請說明理由。4.討論回顧本章的學習，在用字母表達數(shù)量關系和運算方面你積累了哪些經(jīng)驗?(3)北京時間2019年4月10日21時，人類拍攝的首張黑洞照片問世，黑洞是一種引力極大的天體，連光都逃脫不了它的束縛．數(shù)學中也存在有趣的黑洞現(xiàn)象：任選一個三位數(shù)，要求個、十、百位的數(shù)字各不相同，把這個三位數(shù)的三個數(shù)字按大小重新排列，得出一個最大的數(shù)和一個最小的數(shù)，用得出的最大的數(shù)減去最小的數(shù)得到一個新數(shù)，再將這個新數(shù)按上述方式重新排列，再相減，像這樣運算若干次后一定會得到同一個重復出現(xiàn)的數(shù)，這個數(shù)稱為“卡普雷卡爾黑洞數(shù)”．①該“卡普雷卡爾黑洞數(shù)”為；課本課堂練習：1.有三堆棋子，數(shù)目相等，每堆至少有4枚。從左堆中取出3枚放入中堆，從右堆中取出4枚放入中堆，再從中堆中取出與左堆剩余棋子數(shù)相同的棋子數(shù)放入左堆，這時中堆的棋子數(shù)是多少?請做一做，并解釋其中的道理。1．（2025.六安金安期中）課堂上，老師設計了一個數(shù)學游戲，給甲、乙、丙三名同學各一張寫有代數(shù)式（已化簡）的卡片，若兩位同學的代數(shù)式相減等于第三位同學的代數(shù)式，則游戲成功．甲、乙、丙的卡片如圖所示，其中丙的卡片有一部分看不清楚了（圖中陰影所示）．甲

乙

丙(1)計算甲的代數(shù)式減乙的代數(shù)式的結果，并判斷該運算能否使游戲成功；(2)小明發(fā)現(xiàn)丙的代數(shù)式減甲的代數(shù)式可以使游戲成功，請求出丙的代數(shù)式．2.（2025.安徽）對于正整數(shù)n，根據(jù)n除以3的余數(shù)，分以下三種情況得到另一個正整數(shù)m；若余數(shù)為0，則m=n3；若余數(shù)為1，則m＝2n；若余數(shù)為2，則m＝n+1．這種得到m的過程稱為對n進行一次“變換”．對所得的數(shù)m再進行一次變換稱為對n進行二次變換，依此類推．例如，正整數(shù)（1）對正整數(shù)15進行三次變換，得到的數(shù)為；（2）若對正整數(shù)n進行