試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)重慶市復(fù)旦中學(xué)教教育集團(tuán)2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．直線的一個(gè)方向向量是（

）A． B． C． D．3．若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．且C． D．4．已知直線與直線平行，則的值為（

）A．3 B． C．1或 D．或35．圓：與圓：公切線的條數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．16．已知是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．7．空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且法向量為的平面方程為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且一個(gè)方向向量為的直線的方程為，閱讀上面的材料并解決下面問(wèn)題：現(xiàn)給出平面的方程為，經(jīng)過(guò)的直線的方程為，則直線與平面的位置關(guān)系為（

）A． B．相交但不垂直 C． D．8．已知，，若直線上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題9．以下四個(gè)命題表述正確的是（

）A．直線恒過(guò)定點(diǎn)B．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上，若，則的面積為C．已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為D．已知，，過(guò)點(diǎn)的直線與線段不相交，則直線斜率的取值范圍是或10．如圖，在三棱柱中，，，，是線段上的點(diǎn)，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．直線與所成角的余弦值為11．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，離心率為為上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)（與的頂點(diǎn)不重合），則（）A．的方程為B．C．的面積隨周長(zhǎng)變大而變大D．直線和的斜率乘積為定值三、填空題12．已知空間中的三個(gè)點(diǎn)，，，則點(diǎn)到直線的距離為.13．已知圓，試寫(xiě)出一個(gè)半徑為1，且與軸和圓都相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：.14．已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，焦距為，是橢圓上一點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），是的平分線與軸的交點(diǎn)，若，則橢圓離心率的范圍是.四、解答題15．已知兩直線.(1)求過(guò)兩直線的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線方程；(2)已知兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在直線運(yùn)動(dòng)，求的最小值.16．已知圓的方程為.(1)過(guò)點(diǎn)的直線截圓所得弦長(zhǎng)為，求直線的方程；(2)過(guò)直線上任意一點(diǎn)向圓引切線，切點(diǎn)為，求的最小值.17．已知直線與橢圓在第一象限交于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，的斜率之積為.(1)求橢圓的離心率；(2)若直線與軸，軸分別相交于，兩點(diǎn)，且，，求橢圓的方程.18．如圖，四棱錐中，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，.

(1)若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，（i）證明：面；（ii）求點(diǎn)與平面間的距離；(2)若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與底面所成角的正弦值取最大值時(shí)，求三棱錐的體積.19．若一個(gè)四面體三組對(duì)棱分別相等，我們稱它為“等腰四面體”.已知在等腰四面體中，分別為所在棱的中點(diǎn)，如圖所示.(1)如圖1，求證：平面；(2)如圖1，若，，求平面與平面所成角的大??；(3)如圖2，在空間直角坐標(biāo)系中，平面內(nèi)有橢圓，為其下焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn)，為平面下方一點(diǎn)，若四面體為等腰四面體，求實(shí)數(shù)的取值范圍.答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《重慶市復(fù)旦中學(xué)教教育集團(tuán)2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)12345678910答案ABCBCBADABBCD題號(hào)11答案ABD1．A【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面對(duì)稱的特征確定對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由空間直角坐標(biāo)系的特征，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為.故選：A2．B【分析】計(jì)算出直線的斜率，得到直線的一個(gè)方向向量，再根據(jù)向量共線可判斷出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以斜率，所以一個(gè)方向向量為，即，選項(xiàng)中僅有與共線，所以是直線的一個(gè)方向向量，故選：B.3．C【分析】根據(jù)方程表示橢圓且焦點(diǎn)在軸上，列出不等式求參數(shù)范圍.【詳解】由題意.故選：C4．B【分析】根據(jù)兩條直線平行列出方程，再代入驗(yàn)證即可.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，所以,解得，或；當(dāng)時(shí)，兩條直線為：兩條直線重合，舍去；當(dāng)時(shí)，兩條直線為：兩條直線平行；故選：B5．C【分析】求出兩圓圓心距離和半徑后，可得位置關(guān)系，由位置關(guān)系可得公切線的條數(shù).【詳解】由圓，得圓心，半徑；由圓，得，即圓心，半徑.兩圓圓心距，所以，即兩圓相交，所以兩圓公切線有2條.故選：C.6．B【分析】令與直線平行且與橢圓相切的直線為，與橢圓方程聯(lián)立，應(yīng)用求參數(shù)值，再由平行線的距離公式求最小距離.【詳解】令與直線平行且與橢圓相切的直線為，聯(lián)立，則，所以，可得，即，所以，所求直線為，對(duì)于，與直線的距離為，對(duì)于，與直線的距離為，所以最小距離為.故選：B7．A【分析】根據(jù)已知條件分別確定平面和直線的法向量和方向向量，結(jié)合已知點(diǎn)，再判斷它們的位置關(guān)系.【詳解】由題設(shè)，平面的方程可寫(xiě)為，所以平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且一個(gè)法向量為，又直線的一個(gè)方向向量為，所以，即，則或，由于點(diǎn)在直線上，顯然不在平面內(nèi)，故，即.故選：A8．D【分析】先由兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合求出點(diǎn)的軌跡，然后再利用圓與直線有公共點(diǎn)可解.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)椋裕?jiǎn)可得，即點(diǎn)在以為圓心，4為半徑的圓上，又直線上存在點(diǎn)，所以直線與圓有公共點(diǎn)，所以，平方化簡(jiǎn)可得，解得的取值范圍為.故選：D.9．AB【分析】對(duì)于A，將直線化為求定點(diǎn)判斷，對(duì)于B，由余弦定理及橢圓的定義可得，再應(yīng)用三角形面積公式求面積判斷，對(duì)于C，根據(jù)題設(shè)確定的幾何意義，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合求其最小值，對(duì)于D，由兩點(diǎn)式求線段與直線相交情況下直線的斜率范圍，進(jìn)而確定不相交對(duì)應(yīng)的斜率范圍判斷.【詳解】對(duì)于A：由題設(shè)，直線可化為，聯(lián)立，則其恒過(guò)定點(diǎn)，所以A對(duì)；對(duì)于B：由題意，且，又，則，所以，則，即，所以的面積為，所以B對(duì)；對(duì)于C：由的圓心為，半徑為，而表示圓上點(diǎn)與原點(diǎn)所成直線的斜率，如下圖示，由圖知，的范圍是以過(guò)原點(diǎn)的兩條切線的斜率為上下界，即，故，所以最小值為，所以C錯(cuò)；對(duì)于D：由題設(shè)，，由圖知，過(guò)點(diǎn)的直線與線段相交，則直線斜率，過(guò)點(diǎn)的直線與線段不相交，故，所以D錯(cuò).故選：AB10．BCD【分析】A：根據(jù)，通過(guò)空間向量的加減以及數(shù)乘運(yùn)算將表示為的線性組合；B：記，，，用的線性組合表示出，再通過(guò)數(shù)量積的定義求解出；C：用的線性組合表示出，根據(jù)求解出結(jié)果；D：先計(jì)算出，然后根據(jù)求解出結(jié)果.【詳解】對(duì)于A：由題意知，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：記，，，所以，所以，故B正確；對(duì)于C：，所以，故C正確；對(duì)于D：由，，所以，所以，又，所以，所以直線與所成角的余弦值為，故D正確.故選：BCD.11．ABD【分析】A由橢圓的離心率求解；B由橢圓的對(duì)稱性知：，從而，借助基本不等式可得的最小值；表示出周長(zhǎng)和面積分析可得；D設(shè)，則，，由點(diǎn)在橢圓上，即可化得的值.【詳解】由題易知，解得，故橢圓方程為，故A正確；連接，由橢圓對(duì)稱性知為平行四邊形，，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，故正確；對(duì)C：由B知：，設(shè)，則，的面積為，由對(duì)稱性，不妨設(shè)在第一象限及正半軸上，故隨的增大而減小，的面積為隨的增大而增大，即的面積隨周長(zhǎng)變大而變小，C錯(cuò)誤；對(duì)D：設(shè)，則，又，所以，點(diǎn)在橢圓上，結(jié)合C，，所以，故D正確；故選：ABD.12．【分析】根據(jù)已知及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算易得，從而有點(diǎn)到直線的距離為，即可得.【詳解】由題設(shè)，則，所以，則點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：13．（答案不唯一）【分析】與軸相切需要滿足圓心橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為1，再數(shù)形結(jié)合考慮圓與圓外切或內(nèi)切的情況即可得解.【詳解】由圖可知，滿足題意的圓共有四個(gè)：設(shè)與圓內(nèi)切的圓,故有：,解得,故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；設(shè)與圓外切的圓,故有：,解得,故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；現(xiàn)計(jì)算圓心橫坐標(biāo)為且與圓外切的兩個(gè)圓的方程.設(shè)圓心，則有：,整理得：,解得.由對(duì)稱性可知，的兩解即的縱坐標(biāo).因此，滿足題意的圓共有四個(gè)：,,,,選擇其中一個(gè)即可.故答案為：（答案不唯一）14．【分析】由三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)結(jié)合橢圓的定義可得，從而有，結(jié)合橢圓離心率的范圍，即可得.【詳解】∵，若在O在同側(cè)，則，，∵是的角平分線，∴，則，由，得，由，得，且，∴橢圓離心率的范圍是；若在O在異側(cè)，則，，，則，得，所以，得，且，∴橢圓離心率的范圍是；綜上，橢圓離心率的范圍是.故答案為：.15．(1)(2)【分析】（1）求出兩直線的交點(diǎn)，利用垂直得出斜率，點(diǎn)斜式可得方程；（2）求出點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，利用兩點(diǎn)之間直線最短可求答案.【詳解】（1）聯(lián)立方程，解得；因?yàn)樗笾本€垂直于直線，所以所求直線的斜率為，故所求直線方程為，即；（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則，解得，即；則,故的最小值為.

16．(1)或；(2).【分析】（1）根據(jù)已知得圓心，半徑，討論直線的斜率的存在性，結(jié)合圓的弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)線距離公式列方程求參數(shù)，即可得直線方程；（2）由圓的切線長(zhǎng)，結(jié)合（為圓心到直線的距離），進(jìn)而求其最小值，注意取值條件.【詳解】（1）由題意，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑，當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線，則圓心到直線的距離，所以直線截圓所得弦長(zhǎng)為，符合題意，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線，圓心到直線的距離為，根據(jù)垂徑定理，得，即，解得，故直線的方程為或；（2）由題意，而到直線的距離，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故最小值為.17．(1)；(2).【分析】（1）利用點(diǎn)差法得到，再由離心率公式計(jì)算可得；（2）依題意可得為線段的中點(diǎn)，求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，即可得到點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出，由求出，即可得到直線方程，由（1）得橢圓，聯(lián)立直線與橢圓方程，列出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式求出，即可得到橢圓方程.【詳解】（1）依題意得，設(shè)，，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，則，，，，，又直線與直線的斜率乘積為，，則離心率．（2）因?yàn)橹本€與軸，軸分別相交于，兩點(diǎn)，且，為線段的中點(diǎn)，所以為線段的中點(diǎn)，直線與軸，軸的交點(diǎn)為，，所以，所以，又，所以或（舍去），所以直線，又橢圓，由，消去整理得，由得，又，，所以，所以，則，所以橢圓的方程為.18．(1)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）(2)【分析】（1）（i）取的中點(diǎn)，通過(guò)證明四邊形是平行四邊形可得，由此證明線面平行；（ii）建立合適空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解出點(diǎn)與平面間的距離；（2）設(shè)，利用向量法求解出的最大值即可求解出的值，從而可求得三棱錐的高和底面積，則三棱錐的體積可求.【詳解】（1）（i）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，

因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，且，因?yàn)?，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，且平面，平面，所以平面；（ii）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以四邊形是正方形，所以，因?yàn)槠矫妫云矫?，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，在平面?nèi)作直線的垂線，則平面，有，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為坐標(biāo)軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，由，，知，由，可得，從而，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，則，，所以，因?yàn)槊?，所以到平面的距離即為直線與平面間的距離，又，所以到平面的距離，所以直線與平面間的距離為.（2）由條件知，設(shè)，所以，取平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)，所以到平面的距離為，且，所以三棱錐的體積為.19．(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3).【分析】（1）連接，，，，證得四邊形為菱形，連接，則，連接，得，且四邊形為菱形，應(yīng)用線面垂直的判定證明結(jié)論；（2）構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，標(biāo)注出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求相關(guān)平面的法向量，應(yīng)用向量法求面面角的大小；（3）設(shè)，，結(jié)合題設(shè)有，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)已知有中角為銳角，再應(yīng)用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示列不等式求參數(shù)范圍