試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)廣東省汕頭市潮陽(yáng)某校2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．3．如果，那么“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為12，到軸的距離為9，則（

）A．2 B．3 C．4 D．65．若函數(shù)為偶函數(shù)，則取得最小值時(shí)，（

）A． B． C． D．6．如圖，在中，已知，D是BC邊上的一點(diǎn)，，，，則（

）A． B． C． D．7．已知直線為雙曲線的一條漸近線，與圓交于兩點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），若的面積為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．8．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有且僅有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)研究?jī)蓚€(gè)變量之間的關(guān)聯(lián)程度時(shí)，若相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越弱B．在評(píng)估模型擬合效果時(shí)，決定系數(shù)越接近1，表示模型對(duì)數(shù)據(jù)的擬合效果越好C．通過(guò)樣本數(shù)據(jù)得到的回歸直線一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)D．設(shè)關(guān)于分類(lèi)變量與的獨(dú)立性檢驗(yàn)的原假設(shè)為與無(wú)關(guān)，根據(jù)分類(lèi)變量與的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)（），沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立，即認(rèn)為與無(wú)關(guān).10．點(diǎn)在所在平面內(nèi)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則為鈍角三角形B．若，則為的重心C．若，則D．若為邊長(zhǎng)為2的正三角形，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍為11．如圖，中，，，是中點(diǎn)，是邊上靠近的四等分點(diǎn)，將沿著向上翻折，使點(diǎn)到點(diǎn)處，得到四棱錐，則（

）

A．四棱錐體積的最大值為B．不存在點(diǎn)使得平面平面C．中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為D．當(dāng)平面平面時(shí)，四棱錐外接球表面積為三、填空題12．函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為.13．各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列中，有，數(shù)列是等比數(shù)列，且，則．14．在維空間中，以單位長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)的“立方體”的頂點(diǎn)坐標(biāo)可表示為維坐標(biāo)，其中.定義：在維空間中的兩點(diǎn)與的曼哈頓距離為，則6維空間“立方體”的頂點(diǎn)數(shù)為；若在6維空間“立方體”中任取兩個(gè)不同的頂點(diǎn)，記隨機(jī)變量為所取兩點(diǎn)間的曼哈頓距離，則.四、解答題15．在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且滿足．(1)求角的大??；(2)若，求的取值范圍．16．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若平面平面，，，，求平面與平面夾角的余弦值.17．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若為的兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求的最小值．18．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，，成等差數(shù)列.(1)求；(2)設(shè)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，求；(3)設(shè)，是的前項(xiàng)的積，求證:時(shí)，.19．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線．(1)求的兩條漸近線的夾角；(2)給定點(diǎn)，其中正數(shù)，求上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值；(3)對(duì)平面內(nèi)不在上的任意一點(diǎn)，記為過(guò)點(diǎn)且與有兩個(gè)交點(diǎn)的直線的全體．對(duì)任意直線，記、為與的兩個(gè)交點(diǎn)，定義．若存在一條直線滿足：與的兩個(gè)交點(diǎn)位于軸異側(cè)，且對(duì)任意不同于的直線，均有，則稱為“好點(diǎn)”．求所有“好點(diǎn)”所構(gòu)成的區(qū)域的面積．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《廣東省汕頭市潮陽(yáng)某校2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)12345678910答案BACDCDCBBCABD題號(hào)11答案ACD1．B【分析】由復(fù)數(shù)四則運(yùn)算以及幾何意義即可得解.【詳解】由題意，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B.2．A【分析】根據(jù)集合的描述法化簡(jiǎn)集合B，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可得答案.【詳解】因?yàn)榧?，所以集合，則.故選：A.3．C【分析】由不等式的性質(zhì)作差后分別證明充分性和必要性即可.【詳解】若，，則，則，即，充分性成立；若，，則，所以，必要性成立，所以如果，那么“”是“”的充要條件.故選：C4．D【分析】由代入即可求.【詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，由拋物線的定義知，因?yàn)辄c(diǎn)到軸的距離為9，即，所以，解得.故選：D5．C【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合已知條件推出的取值范圍，再求出取得最小值時(shí)的值，從而求解.【詳解】根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，若為偶函數(shù)，則，已知函數(shù)為偶函數(shù)，則需滿足，所以.當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，所以取得最小值.所以.故選：C.6．D【分析】先在中應(yīng)用余弦定理求出，再根據(jù)同角關(guān)系求出，然后在中應(yīng)用正弦定理即可求出的值.【詳解】在中，由余弦定理得：，又因?yàn)?，所以，在中，由正弦定理得：，即，解?故選：D7．C【分析】由條件先證明，由點(diǎn)到直線距離公式可得點(diǎn)到直線的距離，由的面積為結(jié)合三角形面積公式可得或，分情況解三角形求，列方程求，由此可得，再結(jié)合離心率定義求結(jié)論.【詳解】因?yàn)橹本€為雙曲線的一條漸近線，所以，圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑，所以點(diǎn)到直線的距離，因?yàn)榕c圓交于兩點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），所以，因?yàn)榈拿娣e為，所以，所以，又，所以或，若，則點(diǎn)到直線的距離，所以，所以，所以，所以，此時(shí)雙曲線的離心率，若，則點(diǎn)到直線的距離，所以，所以，所以，與矛盾，舍去，所以雙曲線的離心率，故選：C

8．B【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)值的符號(hào)和單調(diào)性畫(huà)出示意圖，由題意或共有4個(gè)不同的實(shí)根，由知與的圖象僅有一個(gè)交點(diǎn)，從而的圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】由得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，畫(huà)出其大致圖象如圖.方程即，所以或.因?yàn)榈臉O大值為，而，由圖可知與的圖象僅有一個(gè)交點(diǎn).要使原方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，需的圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn)，由圖可知此時(shí)的取值范圍為.故選：B9．BC【分析】對(duì)于A根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)分析判斷；對(duì)于B根據(jù)決定系數(shù)的性質(zhì)分析判斷；對(duì)于C根據(jù)回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn)分析判斷；對(duì)于D根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)思想分析判斷.【詳解】因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)絕對(duì)值越接近1兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.因?yàn)闆Q定系數(shù)越接近1，表示模型對(duì)數(shù)據(jù)的擬合效果越好，故B選項(xiàng)正確.因?yàn)榛貧w直線一定經(jīng)過(guò)樣本均值點(diǎn)，故C選項(xiàng)正確.因?yàn)閼?yīng)拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為與有關(guān)聯(lián)，而非無(wú)關(guān)，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC10．ABD【分析】由向量數(shù)量積的定義可判斷A；由題意可得(為中點(diǎn))，再結(jié)合重心的定義可判斷B；作出圖象，結(jié)合題意可得的高是的高的，可判斷C；建立平面坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷D.【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以為鈍角三角形，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋〉闹悬c(diǎn)，連接，則有，所以，所以，所以為的重心，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，，所以點(diǎn)在線段上，如圖所示：取的四等分點(diǎn)，靠近的點(diǎn)為，取的四等分點(diǎn)，靠近的點(diǎn)為，連接則有∥且,所以的高是的高的，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，以為原點(diǎn)，邊所在的直線為軸，邊所在的直線為軸，建立平面坐標(biāo)系，如圖所示：易知直線的方程為，設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取最小值，為；當(dāng)時(shí)，取最大值，為；所以，即，故D正確.故選：ABD.11．ACD【分析】由面面垂直得到何時(shí)四棱錐體積最大，并求出此時(shí)四棱錐體積，判斷A選項(xiàng)；取中點(diǎn)，由等腰三角形和中位線得到線線的位置關(guān)系，從而得到線與平面的位置關(guān)系，從而得到線線的位置關(guān)系，然后得到線與平面的位置關(guān)系.假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，由三角形的邊角關(guān)系建立方程，由方程是否存在解判斷B選項(xiàng)；建立坐標(biāo)系得到點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，然后建立方程組求得點(diǎn)坐標(biāo)，由建立等量關(guān)系，從而得到軌跡方程，從而求得軌跡長(zhǎng)度，判斷C選項(xiàng)；由面面垂直得到線面垂直，再證明四點(diǎn)共圓，得到四棱錐的外接球，求出外接球的半徑，從而知道外接球的表面積，判斷D選項(xiàng).【詳解】平面平面時(shí)，易知平面，此時(shí)體積最大，，故A正確；對(duì)于B，連接點(diǎn)與中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，由題意可得為中點(diǎn)，是中點(diǎn)，故，所以，故，，又，、平面，故平面，又平面，所以，則當(dāng)時(shí)，又、平面，，故有平面，又平面，故平面平面，即需，由題意可得，，，即當(dāng)時(shí)，有，由，故存在點(diǎn)，使，故B不正確；

對(duì)于C，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，，，設(shè)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，，由，得，所以，即，

由，得，整理得，所以中點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的半圓，所以中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為，故C正確；對(duì)D:平面平面時(shí)，平面，又由，故，由，故，即四邊形四點(diǎn)共圓，故四棱錐的外接球即三棱錐的外接球，分別以、、為長(zhǎng)、寬、高作長(zhǎng)方體，則該長(zhǎng)方體的外接球即三棱錐的外接球，，此時(shí)表面積為，即四棱錐外接球表面積的最小值為，故D正確.故選：ACD.12．【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線的斜率，寫(xiě)出切線的點(diǎn)斜式方程，化簡(jiǎn)可得一般式方程.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?所以.函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為：，即.故答案為：.13．16【分析】根據(jù)等差性質(zhì)，求出，再根據(jù)等比性質(zhì)求出，最后得出答案即可.【詳解】由得：，而等差數(shù)列各項(xiàng)不為零，故，由數(shù)列是等比數(shù)列可知，，而，故.故答案為：16.14．64【分析】由題根據(jù)分步計(jì)數(shù)乘法原理，即可確定頂點(diǎn)個(gè)數(shù)；由離散型隨機(jī)變量的分布列步驟，數(shù)學(xué)期望公式即可求解．【詳解】（1）對(duì)于維坐標(biāo)，，所以共有種不同的點(diǎn)，即共有個(gè)頂點(diǎn)．（2）①對(duì)于的隨機(jī)變量，在坐標(biāo)與中有個(gè)坐標(biāo)值不同，剩下個(gè)坐標(biāo)相同，此時(shí)對(duì)應(yīng)情況數(shù)有種，所以，則的分布列為：126所以，，.故答案為：64，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于確定當(dāng)時(shí)，在坐標(biāo)與中有個(gè)坐標(biāo)值不同，即有個(gè)坐標(biāo)值滿足，剩下個(gè)坐標(biāo)值滿足，再由求出概率.15．(1)(2)【分析】（1）借助余弦定理的推論計(jì)算即可得；（2）借助正弦定理可將邊化為角，再結(jié)合銳角三角形性質(zhì)計(jì)算即可得.【詳解】（1）因?yàn)?，則，則，因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，所以，則，由正弦定理，得，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，所以，所以，所以，即的取值范圍為.16．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）構(gòu)造三角形的中位線，得到線線平行，根據(jù)線線平行，可證線面平行.（2）方法1：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求二面角的余弦；方法2：根據(jù)二面角的平面角的概念，作出平面與平面所成的角，再利用三角形的邊角關(guān)系，求二面角的余弦.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，，又是的中點(diǎn)，則且，由是的中點(diǎn)，底面為矩形，則，故，，所以，所以四邊形為平行四邊形，則，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）底面為矩形，可得，平面平面，平面平面，，平面PAB，所以平面，則，，可以以，，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，，所以，設(shè)平面EFD的一個(gè)法向量為，則，令，則，依題意，可得平面PAB的一個(gè)法向量為，故，所以平面與平面夾角的余弦值為.法二：（2）底面為矩形，，平面平面，平面平面，平面，所以平面PAB.延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，連接.平面，平面，，，平面，平面，平面ADH，，為二面角的平面角，，，，，，，，在中，，，所以平面與平面的夾角的余弦值為.17．(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合的不同取值范圍，分情況討論即可求解單調(diào)區(qū)間；（2）求導(dǎo)函數(shù)，由題意可得有兩個(gè)不等正根，可得，進(jìn)而可得，令，利用導(dǎo)數(shù)求得最小值即可.【詳解】（1）由，易知，求導(dǎo)可得，當(dāng)時(shí)，，解得，，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，，解得或，，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；當(dāng)時(shí)，在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，，解得或，，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和.綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；（2）由題意知：，有兩個(gè)不等正根，所以，解得：，所以；令，則，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以，即的最小值為.18．(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用推導(dǎo)公比，結(jié)合即可得通項(xiàng).（2）將數(shù)列拆分為偶數(shù)項(xiàng)的等差數(shù)列和奇數(shù)項(xiàng)的等比數(shù)列，分組求和后合并即可.（3）將化簡(jiǎn)后取對(duì)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)證明，進(jìn)而通過(guò)放縮求和，證明不等式即可.【詳解】（1）由題意得，即，即得，則，則等比數(shù)列的公比，又，故.（2）由（1）得，則，則.故.（3）由題意知，則，故，則欲證，即證，即證，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，故，所以，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則，即，故時(shí)，.19．(1)．(2)答案見(jiàn)解析(3)4【分析】（1）寫(xiě)出漸近線方程即可判斷夾角；（2）設(shè)，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式化簡(jiǎn)，求解一元二次函數(shù)的最值即可；（3）設(shè)為好點(diǎn)，則根據(jù)好點(diǎn)定義求出，再根據(jù)好點(diǎn)定義求出直線與雙曲線交于同一支時(shí)得出，即時(shí)，即可求出，求出四邊形面積即可.【詳解】（1