第42頁(yè)（共42頁(yè)）2025年湖南省長(zhǎng)沙市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡中填涂符合題意的選項(xiàng).本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）1．（3分）（2025?長(zhǎng)沙）人類探索浩瀚宇宙的步伐從未停止，天文學(xué)家已經(jīng)探明一年之中地球與太陽(yáng)之間的距離隨時(shí)間變化而變化，地球與太陽(yáng)之間的平均距離約為149600000km，用科學(xué)記數(shù)法將數(shù)據(jù)149600000表示為（）A．1.496×109 B．1.496×108 C．1.496×107 D．14.96×1072．（3分）（2025?長(zhǎng)沙）如圖是由五個(gè)大小相同的正方體搭成的幾何體，它的左視圖是（）A． B． C． D．3．（3分）（2025?長(zhǎng)沙）在實(shí)際生活中，常用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量．如果把向東走80米記作+80米，那么向西走60米記作（）A．﹣60米 B．﹣80米 C．+90米 D．+60米4．（3分）（2025?長(zhǎng)沙）下列運(yùn)算正確的是（）A．2a+a2＝2a3 B．6a2b÷a＝6b C．（ab）7＝a7b7 D．195．（3分）（2025?長(zhǎng)沙）2020年，我國(guó)承諾，力爭(zhēng)于2030年前實(shí)現(xiàn)“碳達(dá)峰”，2060年前實(shí)現(xiàn)“碳中和”倡導(dǎo)低碳生活是每個(gè)公民的社會(huì)責(zé)任．某班環(huán)保小組為了解同學(xué)們?nèi)ツ旮髯约彝ピ缕骄疤甲阚E”的情況，收集了本組8名同學(xué)的家庭月平均用電產(chǎn)生的耗碳量（單位：千克）數(shù)據(jù)，依次為：76，78，77，79，78，75，78，80，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（）A．77 B．78 C．79 D．806．（3分）（2025?長(zhǎng)沙）智慧農(nóng)業(yè)廣泛應(yīng)用智能機(jī)器人．某品牌智能機(jī)器人的一個(gè)機(jī)械手平均每分鐘采摘10個(gè)蘋果．若該機(jī)器人搭載m個(gè)機(jī)械手（m＞1），則該機(jī)器人平均每分鐘采摘的蘋果個(gè)數(shù)為（）A．6m B．m+10 C．60m D．10m7．（3分）（2025?長(zhǎng)沙）如圖，AB∥CD，直線EF與直線AB，CD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，直線EG與直線CD交于點(diǎn)G．若∠1＝70°，∠2＝50°，則∠GEF的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．65° D．70°8．（3分）（2025?長(zhǎng)沙）如圖，AC，BC為⊙O的弦，連接OA，OB，OC．若∠AOB＝40°，∠OCA＝30°，則∠BCO的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．50° D．55°9．（3分）（2025?長(zhǎng)沙）如圖，將△ABC沿折痕AD折疊，使點(diǎn)B落在AC邊上的點(diǎn)E處，若AB＝4，BC＝5，AC＝6，則△CDE的周長(zhǎng)為（）A．5 B．6 C．6.5 D．710．（3分）（2025?長(zhǎng)沙）中國(guó)式現(xiàn)代化取得了彪炳史冊(cè)的偉大成就，極大地提升了我國(guó)的綜合國(guó)力與國(guó)際影響力．據(jù)世界銀行公布的2024年各國(guó)GDP數(shù)據(jù)，可知2024年中國(guó)GDP總量為18.53萬(wàn)億美元．附：世界銀行公布的2024年GDP排名前20名的部分國(guó)家數(shù)據(jù)表國(guó)家GDP總量（單位：萬(wàn)億美元）國(guó)家GDP總量（單位：萬(wàn)億美元）德國(guó)4.59巴西2.33印度3.93俄羅斯2.05英國(guó)3.49韓國(guó)1.76法國(guó)3.13瑞士0.93預(yù)計(jì)2025年中國(guó)GDP總量的增長(zhǎng)率為5%左右，請(qǐng)你根據(jù)以上信息估算：2025年中國(guó)GDP的增長(zhǎng)量與下列哪個(gè)國(guó)家2024年GDP總量最接近？（）A．法國(guó) B．瑞士 C．巴西 D．英國(guó)二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）11．（3分）（2025?長(zhǎng)沙）分解因式：mx﹣2my＝．12．（3分）（2025?長(zhǎng)沙）為了解某校學(xué)生利用全國(guó)中小學(xué)智慧教育平臺(tái)輔助學(xué)習(xí)的情況，從該校全體3600名學(xué)生中，隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示僅有3名學(xué)生從未使用該平臺(tái)輔助學(xué)習(xí)．由此，估計(jì)該校全體學(xué)生中，從未使用該平臺(tái)輔助學(xué)習(xí)的學(xué)生有名．13．（3分）（2025?長(zhǎng)沙）分式方程3x+1=22x14．（3分）（2025?長(zhǎng)沙）如圖，AB為⊙O的弦，OC⊥AB于點(diǎn)C，連接OA，OB，若AB＝OA，AC＝3，則OA的長(zhǎng)為．15．（3分）（2025?長(zhǎng)沙）如圖，五邊形ABCDE中，∠B＝120°，∠C＝110°，∠D＝105°，則∠A+∠E＝．16．（3分）（2025?長(zhǎng)沙）衣服穿戴整不整齊，系好第一?？圩雍苤匾嗌倌赀~開人生第一步就要走正道，要嚴(yán)格遵守國(guó)家法律法規(guī)．同樣的道理，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)首先就必須遵守?cái)?shù)學(xué)中的基本法則．例如：下面命題的推理過(guò)程所得出的錯(cuò)誤結(jié)論就是由于不遵守?cái)?shù)學(xué)的基本法則導(dǎo)致的．命題：如果a，b，c為實(shí)數(shù)，且滿足a+b＝﹣c．那么2＝1．推理過(guò)程如下：第一步：根據(jù)上述命題條件有a+b＝﹣c；①第二步：根據(jù)七年級(jí)學(xué)過(guò)的整式運(yùn)算法則有a＝2a﹣a，b＝2b﹣b，c＝2c﹣c；②第三步：把②代入①，可得（2a﹣a）+（2b﹣b）＝﹣（2c﹣c）；③第四步：把③兩邊利用移項(xiàng)、去括號(hào)法則、加法交換律等，變形可得2（a+b+c）＝（a+b+c）；④第五步：把④兩邊同時(shí)除以（a+b+c），得2＝1．⑤請(qǐng)你判斷上述推理過(guò)程中，第步是錯(cuò)誤的，它違背了數(shù)學(xué)的基本法則．二、解答題（本大題共9個(gè)小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題6分，第22、23題每小題6分，第24、25題每小題6分，共72分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．（6分）（2025?長(zhǎng)沙）計(jì)算：|22-1|+(15)-118．（6分）（2025?長(zhǎng)沙）解不等式組：1+2x19．（6分）（2025?長(zhǎng)沙）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，以點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交CA于點(diǎn)M，交CB于點(diǎn)N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于12MN的長(zhǎng)度為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P，作射線CP交AB于點(diǎn)D（1）求∠BCD的度數(shù)；（2）若BC＝2.5，求AD的長(zhǎng)．20．（8分）（2025?長(zhǎng)沙）2025年5月18日，湖南省第三屆大中小學(xué)閱讀教育論壇在長(zhǎng)沙舉行．論壇聚焦美育與閱讀融合．為探索美育與閱讀融合的新路徑，某校舉行了以“美育與閱讀融合”為主題的知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽成績(jī)以等第形式呈現(xiàn)，隨機(jī)抽取了部分參賽學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下兩幅待完善的統(tǒng)計(jì)圖表．（A代表優(yōu)秀、B代表良好、C代表一般、D代表合格．）等第頻數(shù)頻率A20mB300.30Cn0.44D60.06根據(jù)圖表中所給信息，解答下列問(wèn)題：（1）本次調(diào)查隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績(jī)；表中m＝，n＝；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“A等”所對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角為度；（3）若該校八年級(jí)一班和二班恰好各有2名學(xué)生的參賽成績(jī)是“A等”，從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加以“美育與閱讀融合”為主題的校級(jí)閱讀分享活動(dòng)，請(qǐng)用列表法或樹狀圖法求選出的2名學(xué)生恰好來(lái)自同一個(gè)班級(jí)的概率．21．（8分）（2025?長(zhǎng)沙）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，且BE＝DF．（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）連接EF，若BC＝12，BE＝5，求EF的長(zhǎng)．22．（9分）（2025?長(zhǎng)沙）為落實(shí)科技興農(nóng)政策，某鄉(xiāng)辦食品企業(yè)應(yīng)用新科技推動(dòng)農(nóng)產(chǎn)品由粗加工向精加工轉(zhuǎn)變．根據(jù)市場(chǎng)需求，該食品企業(yè)將收購(gòu)的農(nóng)產(chǎn)品加工成A，B兩種等級(jí)的農(nóng)產(chǎn)品對(duì)外銷售，已知銷售6千克A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品和4千克B等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品共收入112元，銷售4千克A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品和2千克B等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品共收入68元．（不考慮加工損耗）（1）求每千克A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品和每千克B等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品的銷售單價(jià)分別為多少元？（2）若該食品企業(yè)以每千克8元購(gòu)進(jìn)6000千克農(nóng)產(chǎn)品，全部加工后對(duì)外銷售，要求總利潤(rùn)不低于16000元，則至少需加工A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品多少千克？23．（9分）（2025?長(zhǎng)沙）如圖，某景區(qū)內(nèi)兩條互相垂直的道路a，b交于點(diǎn)M，景點(diǎn)A，B在道路a上，景點(diǎn)C在道路b上．為了進(jìn)一步提升景區(qū)品質(zhì)，景區(qū)管委會(huì)在道路b上又開發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點(diǎn)D．經(jīng)測(cè)得景點(diǎn)C位于景點(diǎn)B的北偏東60°方向上，位于景點(diǎn)A的北偏東30°方向上，景點(diǎn)B位于景點(diǎn)D的南偏西45°方向上．已知AB＝800m．（1）求∠ACB的度數(shù)；（2）求景點(diǎn)C與景點(diǎn)D之間的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）24．（10分）（2025?長(zhǎng)沙）我們約定：當(dāng)x1，y1，x2，y2滿足（x1+y2）2+（x2+y1）2＝0，且x1+y1≠0時(shí)，稱點(diǎn)（x1，y1）與點(diǎn)（x2，y2）為一對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)”．若某函數(shù)圖象上至少存在一對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)”，就稱該函數(shù)為“對(duì)偶函數(shù)”．請(qǐng)你根據(jù)該約定，解答下列問(wèn)題：（1）請(qǐng)你判斷下列說(shuō)法是否正確（在題后相應(yīng)的括號(hào)中，正確的打“?”，錯(cuò)誤的打“×”）；①函數(shù)y=kx（k是非零常數(shù)）的圖象上存在無(wú)數(shù)對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)”；②函數(shù)y＝﹣2x+1一定不是“對(duì)偶函數(shù)”；③函數(shù)y＝x2+x﹣1的圖象上至少存在兩對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)”．（2）若關(guān)于x的一次函數(shù)y＝k1x+b1與y＝k2x+b2（b1，b2都是常數(shù)，且b1?b2＜0）均是“對(duì)偶函數(shù)”，求這兩個(gè)函數(shù)的圖象分別與兩坐標(biāo)軸圍成的平面圖形的面積之和；（3）若關(guān)于x的二次函數(shù)y＝2ax2﹣1是“對(duì)偶函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．25．（10分）（2025?長(zhǎng)沙）如圖1，點(diǎn)O是以AB為直徑的半圓的圓心，AD與BC均為該半圓的切線，C，D均為直徑AB上方的動(dòng)點(diǎn)，連接CD，且始終滿足CD＝AD+BC．（1）求證：CD與該半圓相切；（2）當(dāng)半徑r=2時(shí)，令A(yù)D＝a，BC＝b，m=22+a+22+b（3）在（1）的條件下，如圖2，當(dāng)半徑r＝1時(shí)，若點(diǎn)E為CD與該半圓的切點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)G，連接EG并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F，連接AE，BE，令EG＝x，4AE?BE+1FG+CD＝y(tǒng)

2025年湖南省長(zhǎng)沙市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號(hào)12345678910答案B．AA．CBDBCDB一、選擇題（在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡中填涂符合題意的選項(xiàng).本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）1．（3分）（2025?長(zhǎng)沙）人類探索浩瀚宇宙的步伐從未停止，天文學(xué)家已經(jīng)探明一年之中地球與太陽(yáng)之間的距離隨時(shí)間變化而變化，地球與太陽(yáng)之間的平均距離約為149600000km，用科學(xué)記數(shù)法將數(shù)據(jù)149600000表示為（）A．1.496×109 B．1.496×108 C．1.496×107 D．14.96×107【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)．【專題】實(shí)數(shù)；符號(hào)意識(shí)．【答案】B．【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【解答】解：149600000＝1.496×108．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．2．（3分）（2025?長(zhǎng)沙）如圖是由五個(gè)大小相同的正方體搭成的幾何體，它的左視圖是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單組合體的三視圖．【專題】投影與視圖；幾何直觀．【答案】A【分析】根據(jù)從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案．【解答】解：從左邊看，底層是兩個(gè)小正方形，上層的左邊是一個(gè)小正方形．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖．3．（3分）（2025?長(zhǎng)沙）在實(shí)際生活中，常用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量．如果把向東走80米記作+80米，那么向西走60米記作（）A．﹣60米 B．﹣80米 C．+90米 D．+60米【考點(diǎn)】正數(shù)和負(fù)數(shù)．【專題】實(shí)數(shù)；符號(hào)意識(shí)．【答案】A．【分析】在一對(duì)具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示．【解答】解：“正”和“負(fù)”相對(duì)，所以，如果把向東走80米記作+80米，那么向西走60米記作﹣60米．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正負(fù)數(shù)的意義，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對(duì)性，明確什么是一對(duì)具有相反意義的量．4．（3分）（2025?長(zhǎng)沙）下列運(yùn)算正確的是（）A．2a+a2＝2a3 B．6a2b÷a＝6b C．（ab）7＝a7b7 D．19【考點(diǎn)】二次根式的加減法；合并同類項(xiàng)；冪的乘方與積的乘方；整式的除法．【專題】二次根式；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】利用二次根式的加減法，合并同類項(xiàng)，積的乘方，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：2a與a2不是同類項(xiàng)，無(wú)法合并，則A不符合題意，6a2b÷a＝6ab，則B不符合題意，（ab）7＝a7b7，則C符合題意，19與6不是同類二次根式，無(wú)法合并，則D不符合題意，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的加減法，合并同類項(xiàng)，積的乘方，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．5．（3分）（2025?長(zhǎng)沙）2020年，我國(guó)承諾，力爭(zhēng)于2030年前實(shí)現(xiàn)“碳達(dá)峰”，2060年前實(shí)現(xiàn)“碳中和”倡導(dǎo)低碳生活是每個(gè)公民的社會(huì)責(zé)任．某班環(huán)保小組為了解同學(xué)們?nèi)ツ旮髯约彝ピ缕骄疤甲阚E”的情況，收集了本組8名同學(xué)的家庭月平均用電產(chǎn)生的耗碳量（單位：千克）數(shù)據(jù)，依次為：76，78，77，79，78，75，78，80，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（）A．77 B．78 C．79 D．80【考點(diǎn)】眾數(shù)．【專題】統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義即可得出答案．【解答】解：這組數(shù)據(jù)中78出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)是78．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了眾數(shù)，給定一組數(shù)據(jù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)，稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．6．（3分）（2025?長(zhǎng)沙）智慧農(nóng)業(yè)廣泛應(yīng)用智能機(jī)器人．某品牌智能機(jī)器人的一個(gè)機(jī)械手平均每分鐘采摘10個(gè)蘋果．若該機(jī)器人搭載m個(gè)機(jī)械手（m＞1），則該機(jī)器人平均每分鐘采摘的蘋果個(gè)數(shù)為（）A．6m B．m+10 C．60m D．10m【考點(diǎn)】列代數(shù)式．【專題】整式；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】根據(jù)每個(gè)機(jī)械手摘的數(shù)量乘機(jī)械手的數(shù)量，即可求出m（m＞1）個(gè)機(jī)械手平均每分鐘可以采摘的蘋果數(shù)．【解答】解：m（m＞1）個(gè)機(jī)械手每分鐘采摘蘋果：10m，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列代數(shù)式．7．（3分）（2025?長(zhǎng)沙）如圖，AB∥CD，直線EF與直線AB，CD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，直線EG與直線CD交于點(diǎn)G．若∠1＝70°，∠2＝50°，則∠GEF的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．65° D．70°【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝70°，∴∠GFE＝∠1＝70°．又∵∠EGF＝∠2＝50°，∴∠GEF＝180°﹣50°﹣70°＝60°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟知平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（3分）（2025?長(zhǎng)沙）如圖，AC，BC為⊙O的弦，連接OA，OB，OC．若∠AOB＝40°，∠OCA＝30°，則∠BCO的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．50° D．55°【考點(diǎn)】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；幾何直觀；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)圓周角和圓心角的關(guān)系得∠ACB=12∠AOB＝20°，再根據(jù)∠OCA＝30°即可得出∠【解答】解：∵∠AOB＝40°，∴∠ACB=12∠AOB＝∵∠OCA＝30°，∴∠BCO＝∠OCA+∠ACB＝50°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟練掌握?qǐng)A周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．9．（3分）（2025?長(zhǎng)沙）如圖，將△ABC沿折痕AD折疊，使點(diǎn)B落在AC邊上的點(diǎn)E處，若AB＝4，BC＝5，AC＝6，則△CDE的周長(zhǎng)為（）A．5 B．6 C．6.5 D．7【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）．【專題】三角形；幾何直觀；推理能力．【答案】D【分析】由折疊性質(zhì)得AE＝AB＝4，DE＝BD，進(jìn)而得CE＝AC﹣AE＝2，CD+DE＝BC＝5，由此即可得出△CDE的周長(zhǎng)．【解答】解：∵AB＝4，BC＝5，AC＝6，∴由折疊的性質(zhì)得：AE＝AB＝4，DE＝BD，∴CE＝AC﹣AE＝6﹣4＝2，CD+DE＝CD+BD＝BC＝5，∴△CDE的周長(zhǎng)為：CE+CD+DE＝2+5＝7．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圖形的折疊變換及其性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)D形的折疊變換及其性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．10．（3分）（2025?長(zhǎng)沙）中國(guó)式現(xiàn)代化取得了彪炳史冊(cè)的偉大成就，極大地提升了我國(guó)的綜合國(guó)力與國(guó)際影響力．據(jù)世界銀行公布的2024年各國(guó)GDP數(shù)據(jù)，可知2024年中國(guó)GDP總量為18.53萬(wàn)億美元．附：世界銀行公布的2024年GDP排名前20名的部分國(guó)家數(shù)據(jù)表國(guó)家GDP總量（單位：萬(wàn)億美元）國(guó)家GDP總量（單位：萬(wàn)億美元）德國(guó)4.59巴西2.33印度3.93俄羅斯2.05英國(guó)3.49韓國(guó)1.76法國(guó)3.13瑞士0.93預(yù)計(jì)2025年中國(guó)GDP總量的增長(zhǎng)率為5%左右，請(qǐng)你根據(jù)以上信息估算：2025年中國(guó)GDP的增長(zhǎng)量與下列哪個(gè)國(guó)家2024年GDP總量最接近？（）A．法國(guó) B．瑞士 C．巴西 D．英國(guó)【考點(diǎn)】百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用．【專題】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】求出2025年中國(guó)GDP的增長(zhǎng)量，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意可知，18.53×5%＝0.9265（萬(wàn)億美元），即2025年中國(guó)GDP的增長(zhǎng)量與瑞士2024年GDP總量最接近，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用，正確列式計(jì)算是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）11．（3分）（2025?長(zhǎng)沙）分解因式：mx﹣2my＝m（x﹣2y）．【考點(diǎn)】因式分解﹣提公因式法．【專題】整式；運(yùn)算能力．【答案】m（x﹣2y）．【分析】提取公因式m進(jìn)行因式分解即可．【解答】解：原式＝m?x﹣m?2y＝m（x﹣2y），故答案為：m（x﹣2y）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查提公因式法因式分解，找到正確的公因式是解題的關(guān)鍵．12．（3分）（2025?長(zhǎng)沙）為了解某校學(xué)生利用全國(guó)中小學(xué)智慧教育平臺(tái)輔助學(xué)習(xí)的情況，從該校全體3600名學(xué)生中，隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示僅有3名學(xué)生從未使用該平臺(tái)輔助學(xué)習(xí)．由此，估計(jì)該校全體學(xué)生中，從未使用該平臺(tái)輔助學(xué)習(xí)的學(xué)生有108名．【考點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體．【專題】數(shù)據(jù)的收集與整理；數(shù)據(jù)分析觀念．【答案】108．【分析】用總?cè)藬?shù)乘樣本中“未使用該平臺(tái)輔助學(xué)習(xí)”的人數(shù)所占比例即可得．【解答】解：估計(jì)該校全體學(xué)生中，從未使用該平臺(tái)輔助學(xué)習(xí)的學(xué)生有：3600×3100故答案為：108．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查樣本估計(jì)總體，熟練掌握樣本估計(jì)總體的思想及計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．13．（3分）（2025?長(zhǎng)沙）分式方程3x+1=22x-【考點(diǎn)】解分式方程．【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】x＝1.25．【分析】利用去分母將原方程化為整式方程，解得x的值后進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【解答】解：原方程去分母得：6x﹣3＝2x+2，解得：x＝1.25，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝1.25是分式方程的解，故答案為：x＝1.25．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解分式方程，熟練掌握解方程的方法是解題的關(guān)鍵．14．（3分）（2025?長(zhǎng)沙）如圖，AB為⊙O的弦，OC⊥AB于點(diǎn)C，連接OA，OB，若AB＝OA，AC＝3，則OA的長(zhǎng)為6．【考點(diǎn)】垂徑定理；等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】6．【分析】由垂徑定理得到AB＝2AC＝6，即可得到OA的長(zhǎng)．【解答】解：∵OC⊥AB于點(diǎn)C，∴AB＝2AC＝2×3＝6，∴OA＝AB＝6，故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，關(guān)鍵是由垂徑定理推出AB＝2AC．15．（3分）（2025?長(zhǎng)沙）如圖，五邊形ABCDE中，∠B＝120°，∠C＝110°，∠D＝105°，則∠A+∠E＝205°．【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角．【專題】多邊形與平行四邊形；運(yùn)算能力．【答案】205°．【分析】先根據(jù)五邊形的內(nèi)角和定理求出五邊形的內(nèi)角和，從而得到∠A+∠B+∠C+∠D+∠E，再根據(jù)已知條件求出答案即可．【解答】解：∵五邊形的內(nèi)角和為（5﹣2）×180°＝540°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝540°，∵∠B＝120°，∠C＝110°，∠D＝105°，∴∠A+∠E＝540°﹣120°﹣110°﹣105°＝205°，故答案為：205°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角，解題關(guān)鍵是熟練掌握多邊形的內(nèi)角和定理．16．（3分）（2025?長(zhǎng)沙）衣服穿戴整不整齊，系好第一?？圩雍苤匾嗌倌赀~開人生第一步就要走正道，要嚴(yán)格遵守國(guó)家法律法規(guī)．同樣的道理，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)首先就必須遵守?cái)?shù)學(xué)中的基本法則．例如：下面命題的推理過(guò)程所得出的錯(cuò)誤結(jié)論就是由于不遵守?cái)?shù)學(xué)的基本法則導(dǎo)致的．命題：如果a，b，c為實(shí)數(shù)，且滿足a+b＝﹣c．那么2＝1．推理過(guò)程如下：第一步：根據(jù)上述命題條件有a+b＝﹣c；①第二步：根據(jù)七年級(jí)學(xué)過(guò)的整式運(yùn)算法則有a＝2a﹣a，b＝2b﹣b，c＝2c﹣c；②第三步：把②代入①，可得（2a﹣a）+（2b﹣b）＝﹣（2c﹣c）；③第四步：把③兩邊利用移項(xiàng)、去括號(hào)法則、加法交換律等，變形可得2（a+b+c）＝（a+b+c）；④第五步：把④兩邊同時(shí)除以（a+b+c），得2＝1．⑤請(qǐng)你判斷上述推理過(guò)程中，第⑤步是錯(cuò)誤的，它違背了數(shù)學(xué)的基本法則．【考點(diǎn)】推理與論證；實(shí)數(shù)的運(yùn)算；整式的混合運(yùn)算；等式的性質(zhì)；一次函數(shù)的應(yīng)用；命題與定理．【專題】推理填空題．【答案】⑤．【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，逐步分析即可．【解答】解：∵等式兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)不為0的整式，或是等式左右兩邊同時(shí)乘方，等式仍然成立．∴對(duì)于等式2（a+b+c）＝（a+b+c），當(dāng)a+b+c＝0時(shí)，該等式恒成立，當(dāng)a+b+c≠0，兩邊同時(shí)除以（a+b+c），得2＝1，∵a+b＝﹣c，∴a+b+c＝0，∴上述推理過(guò)程中，第⑤步是錯(cuò)誤的；故答案為：⑤．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等式的性質(zhì)，熟記相關(guān)結(jié)論即可．二、解答題（本大題共9個(gè)小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題6分，第22、23題每小題6分，第24、25題每小題6分，共72分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．（6分）（2025?長(zhǎng)沙）計(jì)算：|22-1|+(15)-1【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算．【專題】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力．【答案】22【分析】利用絕對(duì)值的性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪計(jì)算后再算加減即可．【解答】解：原式=2=22【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．18．（6分）（2025?長(zhǎng)沙）解不等式組：1+2x【考點(diǎn)】解一元一次不等式組．【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】﹣7＜x≤2．【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無(wú)解了確定不等式組的解集．【解答】解：解不等式①，得x＞﹣7，解不等式②，得x≤2，∴不等式組的解集為﹣7＜x≤2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．19．（6分）（2025?長(zhǎng)沙）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，以點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交CA于點(diǎn)M，交CB于點(diǎn)N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于12MN的長(zhǎng)度為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P，作射線CP交AB于點(diǎn)D（1）求∠BCD的度數(shù)；（2）若BC＝2.5，求AD的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】作圖題；等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；推理能力．【答案】（1）36°；（2）2.5．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線定義即可解決問(wèn)題；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理證明∠A＝∠ACD，得AD＝CD．進(jìn)而可以解決問(wèn)題．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠B＝72°，∴∠ACB＝∠B＝72°，由作圖可知：CD是∠ACB的角平分線，∴∠BCD（2）∵∠BDC＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝72°，∠B＝72°，∴∠BDC＝∠B，∴CD＝CB，∵∠BDC＝∠A+∠ACD，∠ACD＝36°，∴∠A＝∠BDC﹣∠ACD＝72°﹣36°＝36°，∴∠A＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AD＝BC＝2.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣基本作圖，角平分線定義，等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．20．（8分）（2025?長(zhǎng)沙）2025年5月18日，湖南省第三屆大中小學(xué)閱讀教育論壇在長(zhǎng)沙舉行．論壇聚焦美育與閱讀融合．為探索美育與閱讀融合的新路徑，某校舉行了以“美育與閱讀融合”為主題的知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽成績(jī)以等第形式呈現(xiàn)，隨機(jī)抽取了部分參賽學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下兩幅待完善的統(tǒng)計(jì)圖表．（A代表優(yōu)秀、B代表良好、C代表一般、D代表合格．）等第頻數(shù)頻率A20mB300.30Cn0.44D60.06根據(jù)圖表中所給信息，解答下列問(wèn)題：（1）本次調(diào)查隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績(jī)；表中m＝0.2，n＝44；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“A等”所對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角為72度；（3）若該校八年級(jí)一班和二班恰好各有2名學(xué)生的參賽成績(jī)是“A等”，從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加以“美育與閱讀融合”為主題的校級(jí)閱讀分享活動(dòng)，請(qǐng)用列表法或樹狀圖法求選出的2名學(xué)生恰好來(lái)自同一個(gè)班級(jí)的概率．【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法；頻數(shù)（率）分布表；扇形統(tǒng)計(jì)圖．【專題】概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）由A等頻數(shù)及頻率求解即可得出被調(diào)查的總?cè)藬?shù)，再根據(jù)頻率＝頻數(shù)÷總數(shù)求解即可得出m、n的值；（2）用360°乘A等頻率即可；（3）畫樹狀圖列出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：（1）本次隨機(jī)調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為30÷0.3＝100（名），m＝20÷100＝0.2，n＝100×0.44＝44，故答案為：100，0.2，44；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“A等”所對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角為360°×0.2＝72°，故答案為：72；（3）記“選出的2名學(xué)生恰好來(lái)自同一個(gè)班級(jí)”為事件A，設(shè)一班的2名學(xué)生為甲和乙，二班的2名學(xué)生為丙和丁，畫出樹狀圖如下：一共有12種等可能的結(jié)果，其中事件A包含4種可能的結(jié)果．∴P(【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻數(shù)分布表，頻數(shù)、頻率的計(jì)算，列表法和樹狀圖法求等可能事件的概率，熟悉頻數(shù)、頻率的關(guān)系，掌握列表法和樹狀圖法求等可能事件概率的方法是解題的關(guān)鍵．21．（8分）（2025?長(zhǎng)沙）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，且BE＝DF．（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）連接EF，若BC＝12，BE＝5，求EF的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)．【專題】多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）證明見(jiàn)解答過(guò)程；（2）237【分析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)得AB＝CD，AB∥CD，再根據(jù)BE＝DF得AE＝CF，由此根據(jù)平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CD于點(diǎn)H，證明四邊形EBCH是矩形得EH＝BC＝12，CH＝BE＝5，進(jìn)而得DH＝7，再根據(jù)BE＝DF＝5得HF＝2，然后在Rt△EFH中，由勾股定理即可求出EF的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：在正方形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，∵BE＝DF，∴AB﹣BE＝CD﹣DF，∴AE＝CF，又∵AB∥CD，∴四邊形AECF是平行四邊形；（2）解：過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CD于點(diǎn)H，如圖所示：∴∠EHC＝∠EHF＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，BC＝12，∴AB＝BC＝CD＝AD＝12，∠B＝∠BCD＝90°，∴∠EHC＝∠B＝∠BCD＝90°，∴四邊形EBCH是矩形，∴EH＝BC＝12，CH＝BE＝5，∴DH＝CD﹣CH＝12﹣5＝7，∵BE＝DF＝5，∴HF＝DH﹣DF＝7﹣5＝2，在Rt△EFH中，由勾股定理得：EF=E【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，理解正方形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定，勾股定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．22．（9分）（2025?長(zhǎng)沙）為落實(shí)科技興農(nóng)政策，某鄉(xiāng)辦食品企業(yè)應(yīng)用新科技推動(dòng)農(nóng)產(chǎn)品由粗加工向精加工轉(zhuǎn)變．根據(jù)市場(chǎng)需求，該食品企業(yè)將收購(gòu)的農(nóng)產(chǎn)品加工成A，B兩種等級(jí)的農(nóng)產(chǎn)品對(duì)外銷售，已知銷售6千克A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品和4千克B等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品共收入112元，銷售4千克A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品和2千克B等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品共收入68元．（不考慮加工損耗）（1）求每千克A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品和每千克B等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品的銷售單價(jià)分別為多少元？（2）若該食品企業(yè)以每千克8元購(gòu)進(jìn)6000千克農(nóng)產(chǎn)品，全部加工后對(duì)外銷售，要求總利潤(rùn)不低于16000元，則至少需加工A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品多少千克？【考點(diǎn)】二元一次方程組的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用．【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識(shí)．【答案】（1）每千克A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品的銷售單價(jià)為12元，每千克B等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品的銷售單價(jià)為10元；（2）至少需加工A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品2000千克．【分析】（1）設(shè)每千克A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品的銷售單價(jià)為x元，每千克B等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品的銷售單價(jià)為y元，根據(jù)銷售6千克A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品和4千克B等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品共收入112元，銷售4千克A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品和2千克B等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品共收入68元，列出二元一次方程組，解方程組即可；（2）設(shè)需加工A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品m千克，則需加工B等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品（6000﹣m）千克，根據(jù)總利潤(rùn)不低于16000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）設(shè)每千克A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品的銷售單價(jià)為x元，每千克B等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品的銷售單價(jià)為y元，由題意得：6x解得：x=12答：每千克A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品的銷售單價(jià)為12元，每千克B等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品的銷售單價(jià)為10元；（2）設(shè)需加工A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品m千克，則需加工B等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品（6000﹣m）千克，由題意得：（12﹣8）m+（10﹣8）（6000﹣m）≥16000，解得：m≥2000，答：至少需加工A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品2000千克．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式．23．（9分）（2025?長(zhǎng)沙）如圖，某景區(qū)內(nèi)兩條互相垂直的道路a，b交于點(diǎn)M，景點(diǎn)A，B在道路a上，景點(diǎn)C在道路b上．為了進(jìn)一步提升景區(qū)品質(zhì)，景區(qū)管委會(huì)在道路b上又開發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點(diǎn)D．經(jīng)測(cè)得景點(diǎn)C位于景點(diǎn)B的北偏東60°方向上，位于景點(diǎn)A的北偏東30°方向上，景點(diǎn)B位于景點(diǎn)D的南偏西45°方向上．已知AB＝800m．（1）求∠ACB的度數(shù)；（2）求景點(diǎn)C與景點(diǎn)D之間的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題；勾股定理的應(yīng)用．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）30°；（2）景點(diǎn)C與景點(diǎn)D之間的距離為（1200-4003）m【分析】（1）由題意可得∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，∠BDM＝45°，BM⊥DM，BE∥AF∥DM，進(jìn)而可以解決問(wèn)題；（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)定義和勾股定理即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）如圖，由題意點(diǎn)C位于景點(diǎn)B的北偏東60°方向上，位于景點(diǎn)A的北偏東30°方向上，景點(diǎn)B位于景點(diǎn)D的南偏西45°方向上，∴∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，∠BDM＝45°，BM⊥DM，BE∥AF∥DM，∴∠BCM＝∠CBE＝60°，∠ACM＝∠CAF＝30°，∴∠ACB＝∠BCM﹣∠ACM＝60°﹣30°＝30°；（2）方法一：∵∠CBE＝60°，∴∠CBM＝90°﹣∠CBE＝90°﹣60°＝30°，由（1）得∠ACB＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，又∵AB＝800m，∴AB＝AC＝800m，在Rt△ACM中，sin∠∴AM=AC?CM=AC?∴BM＝BA+AM＝800+400＝1200（m），∵∠BDM＝45°，BM⊥DM，∴DM＝BM＝1200m，∴DC=∴景點(diǎn)C與景點(diǎn)D之間的距離為(1200-4003方法二：∵∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，BE∥AF∥DM，∴∠BCM＝∠CBE＝60°，∠ACM＝∠CAF＝30°．設(shè)AM＝xm，∴AC＝2xm，∴CM=3AM=3x（在Rt△BCM中，tan∠即3=解得x＝400，經(jīng)檢驗(yàn)得x＝400是原方程的解，∴BM＝BA+AM＝800+400＝1200（m），∵∠BDM＝45°，BM⊥DM，∴BM＝DM＝1200m，∴DC=∴景點(diǎn)C與景點(diǎn)D之間的距離為（1200-4003）m【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是掌握方向角定義．24．（10分）（2025?長(zhǎng)沙）我們約定：當(dāng)x1，y1，x2，y2滿足（x1+y2）2+（x2+y1）2＝0，且x1+y1≠0時(shí)，稱點(diǎn)（x1，y1）與點(diǎn)（x2，y2）為一對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)”．若某函數(shù)圖象上至少存在一對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)”，就稱該函數(shù)為“對(duì)偶函數(shù)”．請(qǐng)你根據(jù)該約定，解答下列問(wèn)題：（1）請(qǐng)你判斷下列說(shuō)法是否正確（在題后相應(yīng)的括號(hào)中，正確的打“?”，錯(cuò)誤的打“×”）；①函數(shù)y=kx（k是非零常數(shù)）的圖象上存在無(wú)數(shù)對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)”；?②函數(shù)y＝﹣2x+1一定不是“對(duì)偶函數(shù)”；?③函數(shù)y＝x2+x﹣1的圖象上至少存在兩對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)”．×（2）若關(guān)于x的一次函數(shù)y＝k1x+b1與y＝k2x+b2（b1，b2都是常數(shù)，且b1?b2＜0）均是“對(duì)偶函數(shù)”，求這兩個(gè)函數(shù)的圖象分別與兩坐標(biāo)軸圍成的平面圖形的面積之和；（3）若關(guān)于x的二次函數(shù)y＝2ax2﹣1是“對(duì)偶函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】新定義；函數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識(shí)．【答案】（1）①?；②?；③×；（2）S=1（3）a＞3【分析】（1）①根據(jù)“對(duì)偶點(diǎn)”判斷即可；②設(shè)（n，﹣2n+1）和（2n﹣1，﹣n）是y＝﹣2x+1圖象上一對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)”，可得得n＝1，此時(shí)n+（﹣2n+1）＝0，不符合“對(duì)偶點(diǎn)”定義，即可判斷；③設(shè)（t，t2+t﹣1）和（﹣t2﹣t+1，﹣t）是函數(shù)y＝x2+x﹣1的圖象上的“對(duì)偶點(diǎn)”，故（﹣t2﹣t+1）2+（﹣t2﹣t+1）﹣1＝﹣t，解得t的值可知（1，1）和（﹣1，﹣1）是一對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)”，判斷函數(shù)y＝x2+x﹣1的圖象上只有一對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)”；（2）由題意可求出兩個(gè)一次函數(shù)為y＝x+b1，y＝x+b2，畫出圖象由三角形面積公式可得答案；（3）由題意可得a≠0，且x1≠﹣y1時(shí)，可得2ax12-x1+12a-1＝0，當(dāng)Δ＝0，即8a﹣3＝0時(shí)，可得x1+y1＝0，此時(shí)不符合題意，這種情況舍去；故必有【解答】解：（1）①設(shè)函數(shù)y=kx圖象上任意一點(diǎn)（m，km），可知（-km，﹣m而（m，km）與（-km，﹣m）是“∴函數(shù)y=kx（k是非零常數(shù)）的圖象上存在無(wú)數(shù)對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)故答案為：?；②設(shè)（n，﹣2n+1）和（2n﹣1，﹣n）是y＝﹣2x+1圖象上一對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)”，∴﹣n＝﹣2（2n﹣1）+1，解得n＝1，此時(shí)n+（﹣2n+1）＝0，不符合“對(duì)偶點(diǎn)”定義，∴函數(shù)y＝﹣2x+1一定不是“對(duì)偶函數(shù)”，故答案為：?；③設(shè)（t，t2+t﹣1）和（﹣t2﹣t+1，﹣t）是函數(shù)y＝x2+x﹣1的圖象上的“對(duì)偶點(diǎn)”，∴（﹣t2﹣t+1）2+（﹣t2﹣t+1）﹣1＝﹣t，變形整理得：（t+1）（t﹣1）（t2+2t﹣1）＝0，解得t1＝﹣1，t2＝1，t3=2-1，t4=-當(dāng)t1＝﹣1或t2＝1時(shí)，（1，1）和（﹣1，﹣1）是一對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)”，符合題意；當(dāng)t3=2-1，t4=-2-1時(shí)，t+（t2+t﹣1）＝0，不符合∴函數(shù)y＝x2+x﹣1的圖象上只有一對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)”，故答案為：×；（2）由題意可得：x2＝﹣y1，y2＝﹣x1，則點(diǎn)（x1，y1）與點(diǎn)（﹣y1，﹣x1）在x1≠﹣y1是一對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)”，∵y＝k1x+b1是“對(duì)偶函數(shù)”，∴其圖象上必存在一對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)”，有y1=k1x1同理可得k2＝1，∴兩個(gè)一次函數(shù)為y＝x+b1，y＝x+b2，∵b1，b2都是常數(shù)，且b1?b2＜0，∴兩個(gè)一次函數(shù)的圖象分別與兩坐標(biāo)軸圍成的平面圖形是有公共直角頂點(diǎn)的分別位于二、四象限的兩個(gè)等腰直角三角形，如圖：∴其面積之和S=1（3）由題意可得a≠0，且x1≠﹣y1時(shí)，有y1兩式相減可得x1∴y1代入①整理可得2ax12-x1+1∵二次函數(shù)y＝2ax2﹣1是“對(duì)偶函數(shù)”，∴關(guān)于x1的一元二次方程2ax12-x1+1而Δ＝1﹣8a（12a-1）＝8a當(dāng)Δ＝0，即8a﹣3＝0時(shí)，a=38，由34x12-x1∴y1=34×（23）2∴x1+y1＝0，此時(shí)不符合題意，這種情況舍去；∴必有Δ＝﹣3+8a＞0，解得a＞【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及新定義，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，理解“對(duì)偶函數(shù)”，“對(duì)偶點(diǎn)”的意義．25．（10分）（2025?長(zhǎng)沙）如圖1，點(diǎn)O是以AB為直徑的半圓的圓心，AD與BC均為該半圓的切線，C，D均為直徑AB上方的動(dòng)點(diǎn)，連接CD，且始終滿足CD＝AD+BC．（1）求證：CD與該半圓相切；（2）當(dāng)半徑r=2時(shí)，令A(yù)D＝a，BC＝b，m=22+a+22+b（3）在（1）的條件下，如圖2，當(dāng)半徑r＝1時(shí)，若點(diǎn)E為CD與該半圓的切點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)G，連接EG并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F，連接AE，BE，令EG＝x，4AE?BE+1FG+CD＝y(tǒng)【考點(diǎn)】圓的綜合題．【專題】幾何綜合題；壓軸題．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）m＝n，理由見(jiàn)解析；（3）y=3【分析】（1）如圖，連接CO，并延長(zhǎng)交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥CD于點(diǎn)E，根據(jù)AD與BC均為該半圓的切線，得出AD⊥AB，BC⊥AB，則AD∥BC，可得∠M＝∠OCB．證明△OAM≌△OBC，得出AM＝BC，根據(jù)CD＝AD+BC，得出CD＝AD+AM＝DM，則∠M＝∠OCE，可得∠OCB＝∠OCE，即CO平分∠BCD．又OE⊥CD，OB⊥CB，得出OE＝OB，即可證明CD與該半圓相切；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AD，交AD于點(diǎn)M，在△CDM中，由勾股定理可得CD2＝DM2+CM2，根據(jù)CD＝AD+BC＝a+b，DM＝|a﹣b|，CM＝2r，列等式得出r2＝AD?BC＝ab＝2，代入可得m=（3）如圖，根據(jù)CD，AD，BC均為該半圓的切線，則DA＝DE，CB＝CE，證明△DAG∽△BCG，得出CGGA=CBAD=CEED，從而得出CGCA=CECD，證明△ACD∽△GCE，得出∠ADC＝∠GEC，得出EG∥AD∥BC，F(xiàn)G∥AD∥BC，得出FGBC=AFAB，F(xiàn)GAD=BFAB，則FGBC+FGAD=1，即可得1BC+1AD=1FG，同理可得1BC+1AD=1EG，得出【解答】（1）證明：如圖，連接CO，并延長(zhǎng)交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥CD于點(diǎn)E，∵AD與BC均為該半圓的切線，∴AD⊥AB，BC⊥AB，∴AD∥BC，∴∠M＝∠OCB，∵O為AB的中點(diǎn)，∴OA＝OB，在△OAM與△OBC中，∠M∴△OAM≌△OBC（AAS），∴AM＝BC，∵CD＝AD+BC，∴CD＝AD+AM＝DM，∴∠M＝∠OCE，∴∠OCB＝∠OCE，即CO平分∠BCD，又∵OE⊥CD，OB⊥CB，∴OE＝OB，∴CD與該半圓相切；（2）解：m＝n．理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AD，交AD于點(diǎn)M，在△CDM中，由勾股定理可得CD2＝DM2+CM2，∵CD＝AD+BC＝a+b，DM＝|a﹣b|，CM＝2r，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4r2，∴r2＝AD?BC＝ab＝2，代入可得m=（3）解：∵CD，AD，BC均為該半圓的切線，∴DA＝DE，CB＝CE，∵AD⊥AB，BC⊥AB，∴AD∥BC，∴△DAG∽△BCG，∴CGGA∴CGCA∵∠ACD＝∠GCE，∴△ACD∽△GCE，∴∠ADC＝∠GEC．∴EG∥AD∥BC，F(xiàn)G∥AD∥BC，∴FGBC∴FGBC∴1BC同理可得1BC∴FG＝EG＝x，由（2）可知r2＝AD?BC＝DE?EC＝1，∴1DE又在Rt△ABE中，∵12∴AE?BE＝4x，∴4AE∴y=【點(diǎn)評(píng)】該題考查了圓綜合題，涉及圓切線的性質(zhì)和判定，切線長(zhǎng)定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線定理，勾股定理，函數(shù)解析式等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．

考點(diǎn)卡片1．正數(shù)和負(fù)數(shù)1、在以前學(xué)過(guò)的0以外的數(shù)叫做正數(shù)，在正數(shù)前面加負(fù)號(hào)“﹣”，叫做負(fù)數(shù)，一個(gè)數(shù)前面的“+”“﹣”號(hào)叫做它的符號(hào)．2、0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)．0是正負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)，正數(shù)是大于0的數(shù)，負(fù)數(shù)是小于0的數(shù)．3、用正負(fù)數(shù)表示兩種具有相反意義的量．具有相反意義的量都是互相依存的兩個(gè)量，它包含兩個(gè)要素，一是它們的意義相反，二是它們都是數(shù)量．2．科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)（1）科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．【科學(xué)記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)．】（2）規(guī)律方法總結(jié)：①科學(xué)記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來(lái)的整數(shù)位數(shù)少1；按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)n．②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學(xué)記數(shù)法表示，實(shí)質(zhì)上絕對(duì)值大于10的負(fù)數(shù)同樣可用此法表示，只是前面多一個(gè)負(fù)號(hào)．3．實(shí)數(shù)的運(yùn)算（1）實(shí)數(shù)的運(yùn)算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實(shí)數(shù)既可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方運(yùn)算，又可以進(jìn)行開方運(yùn)算，其中正實(shí)數(shù)可以開平方．（2）在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．【規(guī)律方法】實(shí)數(shù)運(yùn)算的“三個(gè)關(guān)鍵”1．運(yùn)算法則：乘方和開方運(yùn)算、冪的運(yùn)算、指數(shù)（特別是負(fù)整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運(yùn)算、根式運(yùn)算、特殊三角函數(shù)值的計(jì)算以及絕對(duì)值的化簡(jiǎn)等．2．運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的，在同一級(jí)運(yùn)算中要從左到右依次運(yùn)算，無(wú)論何種運(yùn)算，都要注意先定符號(hào)后運(yùn)算．3．運(yùn)算律的使用：使用運(yùn)算律可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度．4．列代數(shù)式（1）定義：把問(wèn)題中與數(shù)量有關(guān)的詞語(yǔ)，用含有數(shù)字、字母和運(yùn)算符號(hào)的式子表示出來(lái)，就是列代數(shù)式．（2）列代數(shù)式五點(diǎn)注意：①仔細(xì)辨別詞義．列代數(shù)式時(shí)，要先認(rèn)真審題，抓住關(guān)鍵詞語(yǔ)，仔細(xì)辯析詞義．如“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區(qū)分．②分清數(shù)量關(guān)系．要正確列代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關(guān)系．③注意運(yùn)算順序．列代數(shù)式時(shí)，一般應(yīng)在語(yǔ)言敘述的數(shù)量關(guān)系中，先讀的先寫，不同級(jí)運(yùn)算的語(yǔ)言，且又要體現(xiàn)出先低級(jí)運(yùn)算，要把代數(shù)式中代表低級(jí)運(yùn)算的這部分括起來(lái)．④規(guī)范書寫格式．列代數(shù)時(shí)要按要求規(guī)范地書寫．像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號(hào)不寫，數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號(hào)；除法可寫成分?jǐn)?shù)形式，帶分?jǐn)?shù)與字母相乘需把代分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，書寫單位名稱什么時(shí)不加括號(hào)，什么時(shí)要加括號(hào)．注意代數(shù)式括號(hào)的適當(dāng)運(yùn)用．⑤正確進(jìn)行代換．列代數(shù)式時(shí)，有時(shí)需將題中的字母代入公式，這就要求正確進(jìn)行代換．【規(guī)律方法】列代數(shù)式應(yīng)該注意的四個(gè)問(wèn)題1．在同一個(gè)式子或具體問(wèn)題中，每一個(gè)字母只能代表一個(gè)量．2．要注意書寫的規(guī)范性．用字母表示數(shù)以后，在含有字母與數(shù)字的乘法中，通常將“×”簡(jiǎn)寫作“?”或者省略不寫．3．在數(shù)和表示數(shù)的字母乘積中，一般把數(shù)寫在字母的前面，這個(gè)數(shù)若是帶分?jǐn)?shù)要把它化成假分?jǐn)?shù)．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除號(hào)），而是寫成分?jǐn)?shù)的形式．5．合并同類項(xiàng)（1）定義：把多項(xiàng)式中同類項(xiàng)合成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng)．（2）合并同類項(xiàng)的法則：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變．（3）合并同類項(xiàng)時(shí)要注意以下三點(diǎn)：①要掌握同類項(xiàng)的概念，會(huì)辨別同類項(xiàng)，并準(zhǔn)確地掌握判斷同類項(xiàng)的兩條標(biāo)準(zhǔn)：帶有相同系數(shù)的代數(shù)項(xiàng)；字母和字母指數(shù)；②明確合并同類項(xiàng)的含義是把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，經(jīng)過(guò)合并同類項(xiàng)，式的項(xiàng)數(shù)會(huì)減少，達(dá)到化簡(jiǎn)多項(xiàng)式的目的；③“合并”是指同類項(xiàng)的系數(shù)的相加，并把得到的結(jié)果作為新的系數(shù)，要保持同類項(xiàng)的字母和字母的指數(shù)不變．6．冪的乘方與積的乘方（1）冪的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘．（am）n＝amn（m，n是正整數(shù)）注意：①冪的乘方的底數(shù)指的是冪的底數(shù)；②性質(zhì)中“指數(shù)相乘”指的是冪的指數(shù)與乘方的指數(shù)相乘，這里注意與同底數(shù)冪的乘法中“指數(shù)相加”的區(qū)別．（2）積的乘方法則：把每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘．（ab）n＝anbn（n是正整數(shù)）注意：①因式是三個(gè)或三個(gè)以上積的乘方，法則仍適用；②運(yùn)用時(shí)數(shù)字因數(shù)的乘方應(yīng)根據(jù)乘方的意義，計(jì)算出最后的結(jié)果．7．整式的除法整式的除法：（1）單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，把系數(shù)，同底數(shù)冪分別相除后，作為商的因式；對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同他的指數(shù)一起作為商的一個(gè)因式．關(guān)注：從法則可以看出，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式分為三個(gè)步驟：①系數(shù)相除；②同底數(shù)冪相除；③對(duì)被除式里含有的字母直接作為商的一個(gè)因式．（2）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加．說(shuō)明：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式實(shí)質(zhì)就是轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式．多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的結(jié)果仍是一個(gè)多項(xiàng)式．8．整式的混合運(yùn)算（1）有乘方、乘除的混合運(yùn)算中，要按照先乘方后乘除的順序運(yùn)算，其運(yùn)算順序和有理數(shù)的混合運(yùn)算順序相似．（2）“整體”思想在整式運(yùn)算中較為常見(jiàn)，適時(shí)采用整體思想可使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，并且迅速地解決相關(guān)問(wèn)題，此時(shí)應(yīng)注意被看做整體的代數(shù)式通常要用括號(hào)括起來(lái)．9．因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．2、具體方法：（1）當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項(xiàng)的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的次數(shù)取最低的．（2）如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出“﹣”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)成為正數(shù)．提出“﹣”號(hào)時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào)．3、口訣：找準(zhǔn)公因式，一次要提凈；全家都搬走，留1把家守；提負(fù)要變號(hào)，變形看奇偶．4、提公因式法基本步驟：（1）找出公因式；（2）提公因式并確定另一個(gè)因式：①第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數(shù)再確定字母；②第二步提公因式并確定另一個(gè)因式，注意要確定另一個(gè)因式，可用原多項(xiàng)式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一個(gè)因式，也可用公因式分別除去原多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，求的剩下的另一個(gè)因式；③提完公因式后，另一因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同．10．二次根式的加減法（1）法則：二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變．（2）步驟：①如果有括號(hào)，根據(jù)去括號(hào)法則去掉括號(hào)．②把不是最簡(jiǎn)二次根式的二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)．③合并被開方數(shù)相同的二次根式．（3）合并被開方數(shù)相同的二次根式的方法：二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，如果被開方數(shù)相同則可以進(jìn)行合并．合并時(shí)，只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變．11．等式的性質(zhì)（1）等式的性質(zhì)性質(zhì)1、等式兩邊加同一個(gè)數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；性質(zhì)2、等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)或除以一個(gè)不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式．（2）利用等式的性質(zhì)解方程利用等式的性質(zhì)對(duì)方程進(jìn)行變形，使方程的形式向x＝a的形式轉(zhuǎn)化．應(yīng)用時(shí)要注意把握兩關(guān)：①怎樣變形；②依據(jù)哪一條，變形時(shí)只有做到步步有據(jù)，才能保證是正確的．12．二元一次方程組的應(yīng)用（一）列二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：（1）審題：找出問(wèn)題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系．（2）設(shè)元：找出題中的兩個(gè)關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來(lái)．（3）列方程組：挖掘題目中的關(guān)系，找出兩個(gè)等量關(guān)系，列出方程組．（4）求解．（5）檢驗(yàn)作答：檢驗(yàn)所求解是否符合實(shí)際意義，并作答．（二）設(shè)元的方法：直接設(shè)元與間接設(shè)元．當(dāng)問(wèn)題較復(fù)雜時(shí)，有時(shí)設(shè)與要求的未知量相關(guān)的另一些量為未知數(shù)，即為間接設(shè)元．無(wú)論怎樣設(shè)元，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就要列幾個(gè)方程．13．解分式方程（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗(yàn)；④得出結(jié)論．（2）解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應(yīng)如下檢驗(yàn)：①將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．②將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程時(shí)，一定要檢驗(yàn)．14．一元一次不等式的應(yīng)用（1）由實(shí)際問(wèn)題中的不等關(guān)系列出不等式，建立解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)解不等式可以得到實(shí)際問(wèn)題的答案．（2）列不等式解應(yīng)用題需要以“至少”、“最多”、“不超過(guò)”、“不低于”等詞來(lái)體現(xiàn)問(wèn)題中的不等關(guān)系．因此，建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵．（3）列一元一次不等式解決實(shí)際問(wèn)題的方法和步驟：①弄清題中數(shù)量關(guān)系，用字母表示未知數(shù)．②根據(jù)題中的不等關(guān)系列出不等式．③解不等式，求出解集．④寫出符合題意的解．15．解一元一次不等式組（1）一元一次不等式組的解集：幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式組的解集．（2）解不等式組：求不等式組的解集的過(guò)程叫解不等式組．（3）一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時(shí)，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．方法與步驟：①求不等式組中每個(gè)不等式的解集；②利用數(shù)軸求公共部分．解集的規(guī)律：同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到．16．一次函數(shù)的應(yīng)用1、分段函數(shù)問(wèn)題分段函數(shù)是在不同區(qū)間有不同對(duì)應(yīng)方式的函數(shù)，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科學(xué)合理，又要符合實(shí)際．2、函數(shù)的多變量問(wèn)題解決含有多變量問(wèn)題時(shí)，可以分析這些變量的關(guān)系，選取其中一個(gè)變量作為自變量，然后根據(jù)問(wèn)題的條件尋求可以反映實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)．3、概括整合（1）簡(jiǎn)單的一次函數(shù)問(wèn)題：①建立函數(shù)模型的方法；②分段函數(shù)思想的應(yīng)用．（2）理清題意是采用分段函數(shù)解決問(wèn)題的關(guān)鍵．17．二次函數(shù)綜合題（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問(wèn)題解決此類問(wèn)題時(shí)，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號(hào)，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系式中系數(shù)的符號(hào)，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項(xiàng)．（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用將函數(shù)知識(shí)與方程、幾何知識(shí)有機(jī)地結(jié)合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問(wèn)題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．（3）二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用題從實(shí)際問(wèn)題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型．關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標(biāo)系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實(shí)際問(wèn)題有意義．18．平行線的性質(zhì)1、平行線性質(zhì)定理定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，同位角相等．定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等．簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．2、兩條平行線之間的距離處處相等．19．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．20．角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長(zhǎng)；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時(shí)不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語(yǔ)言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE21．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．22．等邊三角形的判定與性質(zhì)（1）等邊三角形是一個(gè)非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時(shí)要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用．（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對(duì)稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把等邊三角形分成四個(gè)全等的小等邊三角形等．（3）等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時(shí)要抓住已知條件的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒ǎ话愕?，若從一般三角形出發(fā)可以通過(guò)三條邊相等判定、通過(guò)三個(gè)角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個(gè)60°的角判定．23．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．24．勾股定理的應(yīng)用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．（3）常見(jiàn)的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長(zhǎng)度．②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個(gè)直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外作正多邊形，以斜邊為邊長(zhǎng)的多邊形的面積等于以直角邊為邊長(zhǎng)的多邊形的面積和．③勾股定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用：運(yùn)用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問(wèn)題．④勾股定理在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個(gè)無(wú)理數(shù)表示成直角邊是兩個(gè)正整數(shù)的直角三角形的斜邊．25．多邊形內(nèi)角與外角（1）多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180°（n≥3且n為整數(shù)）此公式推導(dǎo)的基本方法是從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引出（n﹣3）條對(duì)角線，將n邊形分割為（n﹣2）個(gè)三角形，這（n﹣2）個(gè)三角形的所有內(nèi)角之和正好是n邊形的內(nèi)角和．除此方法之和還有其他幾種方法，但這些方法的基本思想是一樣的．即將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，這也是研究多邊形問(wèn)題常用的方法．（2）多邊形的外角和等于360°．①多邊形的外角和指每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，則n邊形取n個(gè)外角，無(wú)論邊數(shù)是幾，其外角和永遠(yuǎn)為360°．②借助內(nèi)角和和鄰補(bǔ)角概念共同推出以下結(jié)論：外角和＝180°n﹣（n﹣2）?180°＝360°．26．平行四邊形的判定與性質(zhì)平行四邊形的判定與性質(zhì)的作用平行四邊形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)角線互相平分及它的判定，是我們證明直線的平行、線段相等、角相等的重要方法，若要證明兩直線平行和兩線段相等、兩角相等，可考慮將要證的直線、線段、角、分別置于一個(gè)四邊形的對(duì)邊或?qū)堑奈恢蒙?，通過(guò)證明四邊形是平行四邊形達(dá)到上述目的．運(yùn)用定義，也可以判定某個(gè)圖形是平行四邊形，這是常用的方法，不要忘記平行四邊形的定義，有時(shí)用定義判定比用其他判定定理還簡(jiǎn)單．凡是可以用平行四邊形知識(shí)證明的問(wèn)題，不要再回到用三角形全等證明，應(yīng)直接運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和判定去解決問(wèn)題．27．正方形的性質(zhì)（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形．（2）正方形的性質(zhì)①正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；②正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．④兩條對(duì)角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，同時(shí)，正方形又是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸．28．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。普?：弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。普?：平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?。?9．圓心角、弧、弦的關(guān)系（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．說(shuō)明：同一條弦對(duì)應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣弧．（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問(wèn)題時(shí)，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．30．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直