第三章圓錐曲線的方程

人教2019A版選擇性必修第一冊(cè)3.1橢圓3.1.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)2標(biāo)準(zhǔn)方程圖象F?

0F?

x范圍|x|≤a,

|yl≤b|x|≤b,

|yl≤a對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱頂點(diǎn)坐標(biāo)(a,0)、(-a,0)(0,b)、(0,-b)(b,0)、(-b,0)(0,a)、(0,-a)焦點(diǎn)坐標(biāo)(c,0)、(-c,0)(0,c)、(0,-c)半軸長(zhǎng)長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a,短半軸長(zhǎng)為b.焦距焦距為2c;a,b,c關(guān)系離心率eJ新課導(dǎo)入新課講解橢圓的弦：橢圓上任意兩點(diǎn)連接的線段。橢圓的長(zhǎng)軸是最長(zhǎng)的弦XxD24橢圓的通徑：過(guò)焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的弦，其長(zhǎng)為橢圓的焦點(diǎn)弦：

橢圓中過(guò)焦點(diǎn)的弦橢圓的通徑是焦點(diǎn)弦中最短的?焦點(diǎn)三角形

△F?PF定義式的平方余弦定理面積公式焦點(diǎn)三角形：橢圓上任意一點(diǎn)P(x,y)

(真的嗎?)與兩焦點(diǎn)F?,F?構(gòu)成的△PF?F?

稱為焦點(diǎn)三角形，其周長(zhǎng)為2(a+c).橢圓內(nèi)三角形問(wèn)題橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)、中心和短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成直角三角形.新課講解XX與橢圓有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題解決橢圓的實(shí)際問(wèn)題的基本步驟(1)認(rèn)真審題，理順題中的各種關(guān)系，如等量關(guān)系；(2)結(jié)合所給圖形及題意建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；(3)利用橢圓知識(shí)及其他相關(guān)知識(shí)求解.新課講解例1

.如圖一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面(橢圓繞其對(duì)稱軸

旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面)的一部分.過(guò)對(duì)稱軸的截口

BAC

是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F?上，片門位于另一個(gè)焦點(diǎn)F?上.

由橢圓一

個(gè)焦點(diǎn)F?

上，片門位于另一個(gè)焦點(diǎn)F?上.由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F?發(fā)出的光線，

經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個(gè)焦點(diǎn)F?

.已知

BC⊥F?F?,|F?B|=2.8cm,|F?F?|=4.5cm.

試建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求截口

BAC所在橢圓的方程(精確到0.

1cm).解：建立圖示的直角坐標(biāo)系，設(shè)所求橢圓方程為在

Rt△BF?F?中

，|F?B|=√

|F?B|2+|F?F?I2=√2.82+4.52.由橢圓的性質(zhì)知，|F?B|+|F?B|=2a,所以b=√a2

c2=√4.12-2.252≈3.4.所以，所求的橢圓方程為例題解析解：如圖，設(shè)d是點(diǎn)M到直線l:的距離，根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡就是集合由此得例題解析例2.動(dòng)點(diǎn)M(x,y)

與定點(diǎn)F(4,0)

的距離和M到定直線l:的距離的比是常數(shù)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡.所以，點(diǎn)M

的軌跡是長(zhǎng)軸、短軸長(zhǎng)分別為10,6的橢圓.將上式兩邊平方，并化簡(jiǎn)，得9x2+25y2=225,即例3.已知F,A分別為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，若橢圓的長(zhǎng)

則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

或例題解析課堂練習(xí)解：由

知：a=3,b=

√2,c=

√7,則|PF?

|=2a-|PF|=2,在

△F?PF?

中

|FE?|=2c=2√7

,所

以

,

則

∠F?PF?

=120°

,所以1.橢圓

的焦點(diǎn)為

,F?'

點(diǎn)p

在橢圓上，若

二

4,

則

∠F?

PF?的大小為120°△F?PF?

的面積為2課堂練習(xí)2.已知F

是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，AB為過(guò)橢圓中心的一條弦，則△ABF面

積的最大值為_123.P

為橢圓

上任意

一

點(diǎn)，F(xiàn)?

、F?

是焦點(diǎn)，則∠F?PF?的最大值是

.因

為AB⊥F?F?,且△ABF?為正三角形，所以在Rt△AF?F?中

，

∠AF?F?=30°令|AF?|=x,

則|AF?|=2x,∴F?F?I=√

|AF?l2-|AF?I2=√3x=2c.再由橢圓的定義，得|AF?|+|AF?|=2a=3x,所以即橢圓的離心率為課堂練習(xí)4.已

知F?,F?是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F?且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，若△ABF?是正三角形，求該橢圓的離心率.解：不妨設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上.課堂小結(jié)橢圓的弦：橢圓上任意兩點(diǎn)連接的線段.

橢圓的長(zhǎng)軸是最長(zhǎng)的弦.橢圓的焦點(diǎn)弦：橢圓中過(guò)焦點(diǎn)的弦橢圓的通徑：過(guò)焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的弦，其長(zhǎng)為橢圓的通徑是焦點(diǎn)弦