第12講圖形的相似知識點1：相似多邊形及性質(zhì)相似圖形：我們把形狀相同的圖形叫相似圖形.兩個圖形相似，其中一個圖形可以看成是由另一個圖形放大或縮小得到的.如圖所示的幾組圖形都是形狀相同，大小不同的圖形，因此這幾組圖形分別都是相似圖形.當兩個圖形的形狀相同，大小相同，這兩個圖形也是相似圖形，它們是特殊的相似圖形：全等圖形.相似多邊形：兩個邊數(shù)相同的多邊形，如果他們的角分別相等，邊成比例，那么這兩個多邊形叫相似多邊形，相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比.相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.相似圖形周長的比等于相似比，相似圖形面積比等于相似比的平方.【典例】1.圖中的兩個多邊形相似嗎？說說你判斷的理由．【解析】解：不相似．理由：∵∠D=360°﹣135°﹣95°﹣72°=58°，∠E=360°﹣135°﹣95°﹣59°=71°，∴兩個四邊形中不可能有“對應(yīng)角相等”，又∵沒法判定對應(yīng)邊成比例，∴不相似．2.兩個相似多邊形的一對對應(yīng)邊的邊長．分別是15cm和12cm．（1）它們的周長相差24cm，求這兩個多邊形的周長；（2）它們的面積相差270cm2，求這兩個多邊形的面積．【解析】解：（1）設(shè)較大多邊形的周長是xcm．則∵兩個相似多邊形的一組對應(yīng)邊分別是15cm和12cm，∴兩個相似多邊形的相似比是15：12=5：4，又∵相似多邊形的周長的比等于相似比，∴x：（x﹣24）=5：4，解得：x=120，較小多邊形的周長120﹣24=96（cm）；答：兩個多邊形的周長分別為120cm，96cm；（2）設(shè)較大多邊形的面積為acm2，由題意得：a：（a﹣270）=25：16，解得：a=750，則較小多邊形的面積為750﹣270=480（cm2）．答：兩個多邊形的面積分別為750cm2，480cm2．【方法總結(jié)】相似圖形：所謂形狀相同，就是與圖形的大小，位置無關(guān)，與擺放角度，擺放方向也無關(guān).有些圖形之間雖然只有很小的形狀差異，但也不能認為是形狀相同相似多邊形：（1）在相似多邊形中，對應(yīng)變成比例，對應(yīng)角相等，這兩個條件必須同時成立，才能說明這兩個多邊形是相似多邊形；（2）相似多邊形的性質(zhì)可以用來確定兩個相似多邊形中未知的邊的長度或未知的角的度數(shù)；（3）相似比得值與兩個多邊性的前后順序有關(guān)；（4）相似比1:1的兩個相似多邊形是全等多邊形；【隨堂練習】1．A4紙是由國際標準化組織的ISO216定義的，世界上多數(shù)國家所使用的紙張尺寸都是采用這一國際標準．將一張A4紙沿著長邊中點對折后，得到的矩形與原矩形相似，則A4紙長與寬的比值是_____．【解答】解：設(shè)矩形的長為a，寬為b，則AB=CD=b，AD=BC=a，BF=AE=，∵矩形ABCD∽矩形BFEA，∴=，即=，∴a：b=：1．故答案為：：1．2．如圖，四邊形ABCD∽四邊形A′B′C′D′，求邊x、y的長度和角α的大?。窘獯稹拷猓骸咚倪呅蜛BCD∽四邊形A′B′C′D′，∴，∠C=α，∠D=∠D′=140°．∴x=12，y=，α=∠C=360°﹣∠A﹣∠B﹣∠D=360°﹣62°﹣75°﹣140°=83°．知識點2平行線分線段成比例1比例性質(zhì)：2更比性質(zhì)(交換比例的內(nèi)項或外項)：3反比性質(zhì)(把比的前項、后項交換)：7平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所截得的對應(yīng)線段成比例.已知AD∥BE∥CF,注：平行線分線段成比例定理的推論：平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行線所截，如果在其中一條上截得的線段相等，那么在另一條上截得的線段也相等。【典例】1.已知a，b，c，d是四條線段，試判斷的它們是不是成比例線段．（1）a=1mm，b=0.8cm，c=0.02cm，d=4cm；（2）a=1cm，b=0.4cm，c=40cm，d=3cm．【解析】解：（1）∵0.02×4=0.08，1mm=0.1cm，0.1×0.8=0.08，0.08=0.08，∴它們是成比例線段；（2）∵0.4×40=16，1×3=4，16≠4，∴它們不是成比例線段．2.如圖，△ABC∽△ADE，AD=8cm，BD=4cm，BC=15cm，EC=7cm．（1）DE∥BC嗎？為什么？（2）求DE，AE的長．（3）你還能發(fā)現(xiàn)哪些線段成比例？【解析】解：（1）DE∥BC．理由如下：∵△ABC∽△ADE，∴∠B=∠ADE，∴DE∥BC；（2）∵△ABC∽△ADE，∴==，即==，∴DE=10cm，AE=14cm；（3）成比例線段還有：=．3.如圖，l1//l2//l3【解析】解：∵l∵AB=3，AD=2，DE=4，∵l【方法總結(jié)】2.比例的合比性質(zhì)做題時可擴展為：比例式中等號左右兩個比的前項，后項之間發(fā)生同樣和差變化比例仍成立．如：3.等比性質(zhì)①此性質(zhì)的證明運用了“設(shè)K法”（即引入新的參數(shù)k）這樣可以減少未知數(shù)的個數(shù)，這種方法是有關(guān)比例計算變形中一種常用方法．②應(yīng)用等比性質(zhì)時，要考慮到分母是否為零．4.平行線的應(yīng)用：在證明有關(guān)比例線段時，輔助線往往做平行線,但應(yīng)遵循的原則是不要破壞條件中的兩條線段的比及所求的兩條線段的比.【隨堂練習】1．如圖，已知點D、F在△ABC的邊AB上，點E在邊AC上，且DE∥BC，要使得EF∥CD，還需添加一個條件，這個條件可以是（）A． B． C． D．【解答】解：∵DE∥BC，∴，∴當時，，∴EF∥CD，故C選項符合題意；而A，B，D選項不能得出EF∥CD，故選：C．2．如圖，AB與CD相交于點E，AD∥BC，，CD=16，則DE的長為（）A．3 B．6 C． D．10【解答】解：∵AD∥BC，∴△CBE∽△AED，∴BE：AE=CE：ED=3：5，∵CD=16．CE+ED=CD，∴DE=，故選：D．3．如圖，a∥b∥c，BC=1，DE=4.5，EF=1.5，則AC=___．【解答】解：∵a∥b∥c，∴=，即=，解得，AB=3，∴AC=AB+BC=4，故答案為：4．知識點3相似三角形三角分別相等，三邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形.【典例】1.如圖，E是平行四邊形ABCD的邊BA延長線上一點，連接EC，交AD于F．（1）寫出圖中的三對相似三角形（注意：不添加輔助線）；（2）請在你所找出的相似三角形中選一對，說明相似的理由．【解析】解：（1）△EAF∽△EBC，△CDF∽△EBC，△CDF∽△EAF．（2）選△EAF∽△EBC，理由如下：在ABCD中AD∥BC，∴∠EAF=∠B．又∵∠E=∠E，∴△EAF∽△EBC．2.如圖，在平行四邊形ABCD中，E是CD上的一個動點（不運動到點C或D），BE的延長線交AD的延長線于點F，問圖中共有幾對相似三角形？試證明其中的一對三角形相似．【解析】答：圖中共有3對相似三角形，分別是：△DEF∽△CEB；△DEF∽△ABF；△CEB∽△ABF．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴DF∥BC，∴△DFE∽△CBE．【方法總結(jié)】相似三角形是幾何中重要的證明模型之一，是全等三角形的推廣。全等三角形可以被理解為相似比為1的相似三角形。相似三角形其實是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是幾何中兩個三角形中，邊、角的關(guān)系?！倦S堂練習】1．如圖，△ABC中，∠BCD=∠A，DE∥BC，與△ABC相似的三角形（△ABC自身除外）的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】解：∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC，∵∠BCD=∠A，∴∠DBC=∠A，∠ACB=∠ACB，∴△BDC∽△ABC，∴有兩個與△ABC相似的三角形．故選：B．知識點4位似定義：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)點的連線交于一點，對應(yīng)邊互相平行或在一條直線上，那么這兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比。性質(zhì)：位似形的有關(guān)性質(zhì)：(1)兩個位似形一定是相似形；(2)各對對應(yīng)頂點所在的直線都經(jīng)過同一點；(3)各對對應(yīng)頂點到位似中心的距離的比等于相似比；此時，把這個點叫做位似中心.這時的相似比叫做位似比?！镜淅?.利用位似圖形的方法把四邊形ABCD放大到原來的2倍，并使新四邊形A′B′C′D′與原圖形分別在對稱中心的兩旁．【解析】解：如圖2.如圖，在平面直角坐標系中，△OAB的頂點坐標分別為（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）．（1）以原點O為位似中心，在y軸的右側(cè)畫出△OAB的一個位似△OA1B1，使它與△OAB的位似比為2：1，并分別寫出點A、B的對應(yīng)點A1、B1的坐標；（2）畫出將△OAB向左平移2個單位，再向上平移1個單位后得△O2A2B2，并寫出點A、B的對應(yīng)點A2、B2的坐標；（3）判斷△OA1B1和△O2A2B2是位似圖形嗎？若是，請在圖中標出位似中心M，并寫出點M的坐標．【解析】解：（1）如圖，△OA1B1為所作，點A1、B1的坐標分別為（4，2），（2，﹣4）；（2）如圖，△O2A2B2為所作，點A2、B2的坐標分別為（0，2），（﹣1，﹣1）；（3）△OA1B1和△O2A2B2是位似圖形，如圖，點M為所，位似中心M的坐標為（4，2）．【方法總結(jié)】1位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形；2兩個位似圖形的位似中心有一個或兩個（偶數(shù)邊正多邊形時，比如兩個正方形如果位似，則有兩個位似中心）；3兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)；4位似比就是相似比．利用位似圖形的定義可判斷兩個圖形是否位似；5平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形位似6位似圖形滿足的條件：兩圖形相似；每組對應(yīng)點所在直線都經(jīng)過同一點；同時滿足上述兩個條件的兩個圖形才叫做位似圖形.兩條件缺一不可【隨堂練習】1．在平面直角坐標系中，線段AB兩個端點的坐標分別為A（6，8），B（10，2），若以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮短為原來的后得到線段CD，則點A的對應(yīng)點C的坐標為（）A．（5，1） B．（4，3） C．（3，4） D．（1，5）【解答】解：∵以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來的后得到線段CD，∴端點C的橫坐標和縱坐標都變?yōu)锳點的橫坐標和縱坐標的一半，又∵A（6，8），∴端點C的坐標為（3，4）．故選：C．2．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（2，4），B（4，1），以原點O為位似中心，將△OAB縮小為原來的，則點A的對應(yīng)點A的坐標是（）A．（2，） B．（1，2） C．（4，8）或（﹣4，﹣8） D．（1，2）或（﹣1，﹣2）【解答】解：以O(shè)為位似中心，把△OAB縮小為原來的，則點A的對應(yīng)點A′的坐標為（2×，4×）或[2×（﹣），4×（﹣）]，即（1，2）或（﹣1，﹣2），故選：D．3．在平面直角坐標系xOy中，點A、B的坐標分別為（2，﹣1）、（3，0），以原點O為位似中心，把線段AB放大，點B的對應(yīng)點B′的坐標為（6，0），則點A的對應(yīng)點A′的坐標為_____．【解答】解：∵以原點O為位似中心，B（3，0）的對應(yīng)點B′的坐標為（6，0），∴相似比為2，∵A（2，﹣1），∴點A′的對應(yīng)點坐標為：（4，﹣2），故答案為：（4，﹣2）．4．已知，△ABC在直角坐標平面內(nèi)，三個頂點的坐標分別是A（0，3）、B（3，4）、C（2，2），正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長是一個單位長度．（1）畫出△ABC向左平移4個單位長度得到的△A1B1C1，點C1的坐標是____；（2）以點B為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2：1，點C2的坐標是_____；（畫出圖形）（3）△A2B2C2的面積是____平方單位．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求，點C1的坐標是（﹣2，2），故答案為：（﹣2，2）；（2）如圖所示，△A2B2C2即為所求，點C2的坐標是（1，0），故答案為：（1，0）；（3）△A2B2C2的面積×（2+4）×6﹣×2×4﹣×2×4=10，故答案為：10；綜合運用：圖形的相似1.已知a、b、c為△ABC的三邊長，且a+b+c=48，，求△ABC三邊的長．【解析】解：設(shè)=x，得a=4x，b=5x，c=7x．∵a+b+c=48，∴4x+5x+7x=48，解得x=3，∴a=4x=12，b=5x=15，c=7x=21．2.如圖，F(xiàn)為平行四邊形ABCD的邊AD的延長線上的一點，BF分別交CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE．【解析】解：設(shè)BE=x，∵EF=32，GE=8，∴FG=32﹣8=24，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴=，∴則==+1①．∵DG∥AB，∴△DFG∽△CBG，∴==代入①，=+1，解得：x=±16（負數(shù)舍去），故BE=16．3.如圖，已知AD∥BE∥CF，它們以此交直線l1、l2于點A、B、C和D、E、F．若=，AC=14，（1）求AB的長．（2）如果AD=7，CF=14，求BE的長．【解析】解：（1）∵AD∥BE∥CF，∴，∴，∵AC=14，∴AB=4，（2）過點A作AG∥DF交BE于點H，交CF于點G，如圖所示：又∵AD∥BE∥CF，AD=7，∴AD=HE=GF=7，∵CF=14，∴CG=14﹣7=7，∵BE∥CF，∴，∴BH=2，∴BE=2+7=9．4.如圖所示，在平面