專題04圓（13知識&17題型&6易錯&5方法清單）【清單01】圓的定義及性質(zhì)圓的定義：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫圓。這個固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑。圓的表示方法：以O(shè)點為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O。圓的特點：在一個平面內(nèi)，所有到一個定點的距離等于定長的點組成的圖形。圓的對稱性：1）圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸；2）圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形?！厩鍐?2】圓的有關(guān)概念弦的概念：連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦(例如：右圖中的AB)。直徑的概念：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑（例如：右圖中的CD）。備注：1）直徑是同一圓中最長的弦。2）直徑長度等于半徑長度的2倍。弧的概念：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。以A、B為端點的弧記作AB，讀作圓弧AB或弧等弧的概念：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。半圓的概念：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。優(yōu)弧的概念：在一個圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧。劣弧的概念：小于半圓的弧叫做劣弧?！厩鍐?3】垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。推論1：1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條??；3）平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。常見輔助線做法（考點）：1）過圓心，作垂線，連半徑，造Rt△，用勾股，求長度；有弧中點，連中點和圓心，得垂直平分【清單04】圓心角的概念圓心角概念：頂點在圓心的角叫做圓心角?；?、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量分別相等?！厩鍐?5】圓角角的概念圓周角概念：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。（即：圓周角=1推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等。在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定相等。推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。【清單06】圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，外角等于它的內(nèi)對角?！厩鍐?7】點和圓的位置關(guān)系已知⊙O的半徑為r，點P到圓心O的距離為d，則：位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定點在圓外點在圓的外部d>r點P在圓外點在圓上點在圓周上d=r點P在圓上點在圓內(nèi)點在圓的內(nèi)部d<r點P在圓內(nèi)【清單08】直線和圓的位置關(guān)系設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則直線和圓的位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系圖形公共點個數(shù)性質(zhì)及判定相離沒有公共點d>r直線l與⊙O相離相切有唯一公共點d=r直線l與⊙O相切相交有兩個公共點d<r直線l與⊙O相交【小技巧】判斷點與圓之間的位置關(guān)系，將該點的圓心距與半徑作比較即可．【清單09】切線的性質(zhì)與判定定義線和圓只有一個公共點時，這條直線叫圓的切線，這個公共點叫做切點．性質(zhì)圓的切線垂直于過切點的半徑．（實際上過切點的半徑也可理解為過切點的直徑或經(jīng)過切點與圓心的直線．）解題方法：當(dāng)題目已知一條直線切圓于某一點時，通常作的輔助線是連接切點與圓心（這是圓中作輔助線的一種方法）．根據(jù)切線的性質(zhì)可得半徑與切線垂直，從而利用垂直關(guān)系進(jìn)行有關(guān)的計算或證明．判定1）定義法：直線和圓只有一個公共點時，我們說這條直線是圓的切線.2）數(shù)量關(guān)系法：圓心到這條直線的距離等于半徑時，直線與圓相切.3)判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.常見輔助線作法：判定一條直線是圓的切線時，1）若已知直線與圓的公共點時，把圓心和這個公共點連接起來，然后證明直線垂直于這條半徑，簡稱“連半徑，證垂直”；3）若直線與圓的公共點沒有明確，可過圓心作直線的垂線段，再證明圓心到直線的距離等于半徑，簡稱“作垂直，證半徑”．【清單10】切線長定理定義在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長．定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角．切線長定理的應(yīng)用問題解題方法：切線長定理經(jīng)常用來證明線段相等，通常要連接圓心與切點構(gòu)造直角三角形來求解．【清單11】三角形內(nèi)切圓與外接圓1.三角形內(nèi)切圓與外接圓的定義三角形外接圓經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形.三角形內(nèi)切圓與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形.2.三角形內(nèi)心與外心圓心的名稱圓心的確定方法圖形圓心的性質(zhì)外心三角形三邊中垂線的交點1)OA=OB=OC2)外心不一定在三角形的內(nèi)部．內(nèi)心三角形三條角平分線的交點1)到三邊的距離相等；

2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；

3)內(nèi)心一定在三角形內(nèi)部．【清單12】正多邊形與圓的有關(guān)概念1.正多邊形的相關(guān)概念正多邊形概念各條邊相等，并且各個內(nèi)角也都相等的多邊形叫做正多邊形.正多邊形的中心正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心.正多邊形的半徑正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.正多邊形的中心角正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角.正多邊形的邊心距中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.【清單13】弧長和扇形面積設(shè)⊙OQUOTE的半徑為R，n°QUOTE圓心角所對弧長為l，n為弧所對的圓心角的度數(shù)，則扇形弧長公式l=nπR180（弧長的長度和圓心角大小和半徑的取值有關(guān)，且n表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和扇形面積公式S扇形=nπR2圓錐側(cè)面積公式S圓錐側(cè)=πrl（其中l(wèi)是圓錐的母線長，r是圓錐的底面半徑）圓錐全面積公式S圓錐全=πrl+πr2（圓錐的表面積=扇形面積+底面圓面積）圓錐的高h(yuǎn)，圓錐的底面半徑rr【題型一】圓的基本性質(zhì)【典例1】如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，∠OCB=45°,∠

【答案】25°/25度【分析】本題考查了圓的基本概念，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，由題意可得OC=OB,OA=OB，推出∠OBC【詳解】解：由題意可得OC=∵∠OCB∴∠OBC∴∠BOC∴∠AOC∵OA=∴∠OAC故答案為：25°．【變式1】下列說法正確的是（

）A．過圓心的直線是圓的直徑 B．直徑是弦，弦是直徑C．半圓是軸對稱圖形 D．長度相等的兩條弧是等弧【答案】C【分析】本題考查了圓的認(rèn)識∶熟練掌握與圓有關(guān)的概念(弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、弧、等圓、等弧等)是解決問題的關(guān)鍵，也考查了軸對稱圖形，根據(jù)直徑、弦的定義對A選項和B選項進(jìn)行判斷∶根據(jù)對稱軸圖形的定義對C選項進(jìn)行判斷；根據(jù)等弧的定義對D選項進(jìn)行判斷．【詳解】解∶A．過圓心的弦是圓的直徑，所以A選項不符合題意；B．直徑是弦，過圓心的弦是直徑，所以B選項不符合題意；C．半圓是軸對稱圖形，所以C選項符合題意；D．在同圓或等圓中，長度相等的兩條弧是等弧，所以D選項不符合題意；故選∶C【變式2】如圖，在半徑為50mm的⊙O中，弦AB長50mm．∠AOB【答案】60°/60度【分析】本題考查了圓的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，得出△AOB根據(jù)半徑為50mm，弦AB長50mm，可以判斷【詳解】解：∵AO=BO=50∴△AOB∴∠AOB故答案為：60°．【變式3【如圖，點E在y軸上，⊙E與x軸交于點A、B，與y軸交于點C、D，若A-4,0，D0,-2，則⊙E【答案】5【分析】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形，根據(jù)點的坐標(biāo)得到OA=4，OD=2，則【詳解】解：如圖所示，連接AE，∵A-4,0，∴OA=4∴OE=在Rt△AOE中，由勾股定理得∴r2解得r=5∴⊙E半徑r為5故答案為：5．【題型二】垂徑定理及應(yīng)用【典例2】如圖，有一座圓弧形拱橋，它的跨度AB為30m，拱高PM為9m，當(dāng)洪水泛濫到跨度只有15m時，就要采取緊急措施，若某次洪水中，拱頂離水面只有2(1)拱橋所在的圓的半徑；(2)通過計算說明是否需要采取緊急措施．【答案】(1)17(2)不需要，見解析【分析】本題主要考查垂徑定理的應(yīng)用以及勾股定理的應(yīng)用，利用勾股定理求得圓弧所在的半徑是解題的關(guān)鍵，注意方程思想的應(yīng)用．（1）由垂徑定理可知AM=BM、A'（2）求出ON=OP-PN=15【詳解】（1）解：設(shè)圓弧所在圓的圓心為O，連接OA、OA'、OM，則O、設(shè)半徑為xm則OA=由垂徑定理可知AM=BM，∵AB∴AM在Rt△AOM中，由勾股定理可得：AO即x2解得：x=17即拱橋所在的圓的半徑為17m（2）解：∵OP∴ON在Rt△A'∴A∴不需要采取緊急措施．【變式1】如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為E．若CD=8，OD=5A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題主要考查了垂徑定理及勾股定理，熟知垂徑定理及勾股定理是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)垂徑定理得出DE的長，再利用勾股定理求出OE的長即可解決問題．【詳解】解∶∵AB是⊙O的直徑，且AB∴DE=在Rt△DOE中，∴BE=5-3=2故選∶B．【變式2】游樂場里有諸多有趣的項目，大擺錘便是其中之一．如圖，大擺錘OB以O(shè)為圓心前后擺動，大擺錘底端前后擺動1次的運動軌跡可以看作AC，連接AC，交OB于點D，已知OB⊥AC，且點B為AC的中點，AC=16m，A．8m B．12m C．10m D【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，由OB⊥AC，且點B為AC的中點，則AD=CD=12【詳解】解：∵OB⊥AC，且點B為∴AD=CD=設(shè)OB=rm∴OA∴r2解得：r=10∴大擺錘的長度為10m故選：C．【變式3】西安的摔碗酒吸引眾多游客體驗，喝完酒摔碎碗，寓意“碎碎”平安，如圖，這是摔碗酒瓷碗正面的形狀示意圖，AB是⊙O的一部分，半徑OD⊥AB，與弦AB交于點C，連接OA、OB，已知AB=18cm【答案】OA的長為39【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理，掌握垂徑定理、勾股定理是正確解答的關(guān)鍵．根據(jù)垂徑定理得出AC=BC=【詳解】解：∵半徑OD⊥∴D是AB的中點，∵AB=18∴AC設(shè)OA=∵CD=6cm，則在Rt△OAC中，由勾股定理得即r-62∴OA的長為39【題型三】點與圓上一點最值問題【典例3】如圖，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A為圓心，1為半徑畫圓A，E是圓A上一動點，P是BC上一動點，則PE+A．25 B．2.5 C．4 D．【答案】C【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對稱﹣最短路線問題，勾股定理的應(yīng)用等，作出對稱圖形是本題的關(guān)鍵．以BC為軸作矩形ABCD的對稱圖形A'BCD'以及對稱圓A'，連接A'D交BC于P，則D【詳解】解：如圖，以BC為軸作矩形ABCD的對稱圖形A'BCD'以及對稱圓A'，連接A'D交BC∵矩形ABCD中，AB=2，BC=3，圓A的半徑為∴A'∴A'∴D∴PE+故選：C．【變式1】如圖，P是矩形ABCD(AB>AD)的邊AB上一動點，F(xiàn)是BC的中點，連接DP，將△DAP沿DP所在直線折疊，點A的對應(yīng)點是點E，連接EF．已知AB=210，當(dāng)線段A．9 B．8 C．7 D．6【答案】D【分析】由矩形的性質(zhì)可得∠PAD=∠C=90°，AD=BC，CD=AB=210，通過折疊性質(zhì)可知：∠PADDE+EF≥DF，從而可知當(dāng)點D、E、F三點共線時，【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠PAD=∠C=90°，由折疊性質(zhì)可知：∠PAD=∠PED∴點E在以點D為圓心，AD為半徑的圓上運動，連接DF，如圖，∵DE+∴當(dāng)點D、E、F三點共線時，∵F是BC的中點，∴CF=設(shè)BC=2x，則CF=由勾股定理得：DF∴2x+12解得：x1=-13∴BC=2故選：D．【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，兩點之間線段最短，解一元二次方程，圓的性質(zhì)的綜合運用，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，Rt△ABC中，AC=BC=8，M為邊BC的中點，長度為2的動線段AN繞點A旋轉(zhuǎn)，連接MN，取MN的中點P，則CP【答案】25+1【分析】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，勾股定理，延長MC至D，使得MC=CD，連接DN，可得CP是△MDN的中位線，即得CP=12DN【詳解】解：延長MC至D，使得MC=CD，連接∵點P是MN的中點，∴CP是△MDN∴CP=∴當(dāng)DN取最大值或最小值時，CP的值最大或最小，如圖，當(dāng)點N在DA的延長線且D、A、∵∠ACB∴∠ACD∵CD=∴AD=∴DN=∴CP=即CP長度的最大值為25如圖，當(dāng)點N在DA之間且D、N、∴DN=∴CP=即CP長度的最小值為25故答案為：25+1，【變式3】如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=8．E為矩形內(nèi)一點，連接CE，DE，且∠ADE=∠DCE，P為AD邊上一動點，連接BP，EP【答案】8【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，圓的有關(guān)性質(zhì)，勾股定理，軸對稱—線段最短，作點B關(guān)于AD的對稱點T，取CD的中點O，連接OT，OE，PT，過點O作OR⊥AB于點R，由四邊形ABCD是矩形，則AD=BC=8，AD∥BC，∠ADC=90°，又OD=OC，AD∥OR∥BC，故有AR【詳解】解：如圖，作點B關(guān)于AD的對稱點T，取CD的中點O，連接OT，OE，PT，過點O作OR⊥AB于點∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC=8，AD∵OD=OC，∴AR=∵AB=∴RT=6∴OT=∵∠ADE=∠DCE∴∠DCE∴∠CED∴OE=∴點E在⊙O∵PT+∴PT+∵PT=∴PB+∴PB+PE的最小值為故答案為：8．【題型四】圓周角定理【典例4】如圖，AB是⊙O的直徑，∠CDB=26°，則∠A．60° B．52° C．50° D．40°【答案】B【分析】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．直接利用圓周角定理求解．【詳解】解：∵∠CDB和∠BOC∴故選：B．【變式1】如圖，A、B、C三點在⊙O上，∠BOC=40°，則∠A．40° B．30° C．20° D．10°【答案】C【分析】本題考查了圓周角定理，掌握此定理是解題的關(guān)鍵，由同弧所對的圓周角等于圓心角的一半即可求得結(jié)果．【詳解】解：∵BC=BC，∴∠CAB故選：C．【變式2】如圖，AB是⊙O的直徑，C,D是圓上的點，若∠AOC=A．50° B．40° C．30°【答案】B【分析】本題考查圓周角定理，根據(jù)圓周角定理即可求解．【詳解】解：∵∠AOC∴∠BOC∴∠D故選：B．【變式3】如圖，A，B，C三點在⊙O上，且∠BOC=100°A．40° B．50° C．80° D【答案】B【分析】在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半，由此可得出答案．本題考查了圓周角定理，屬于基礎(chǔ)題，掌握圓周角定理的內(nèi)容是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得∠A故選：B．【題型五】圓內(nèi)接四邊形【典例5】如圖所示，等邊△ABC的頂點A在⊙O上，邊AB、AC與⊙O分別交于點D、E，點F是劣弧DE上一點，且與D、E不重合，連接DF、EF，則∠A．115° B．118° C．120° D．125°【答案】C【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形的對角互補等知識點，解決此題的關(guān)鍵是運用圓內(nèi)接四邊形的對角互補；根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補得到兩角之和為180°，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到其中一個角是60°，即可得到答案；【詳解】解：∵四邊形EFDA是⊙O∴∠EFD∵等邊△ABC的頂點A在⊙∴∠A∴∠EFD故選：C．【變式1】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠A=110°，連接OB、OD，則∠【答案】140【分析】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟記圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠BCD，再根據(jù)圓周角定理求出∠【詳解】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O∴∠A∴∠BCD由圓周角定理得：∠BOD故答案為：140．【變式2】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠ADC=116°，點E在【答案】26°【分析】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，連接AC，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠ABC，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠【詳解】解：如圖，連接AC，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠∴∠ABC∵AB是⊙O∴∠ACB∴∠BAC由圓周角定理得：∠BEC故答案為：26°．【變式3】如圖，點P是⊙O上一點，若∠AOB=70°，則∠【答案】145【分析】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．根據(jù)同圓中，等弧所對的圓周角是圓心角的一半得出∠ACB【詳解】解：延長AO交⊙O于點C，連接BC∵AB=AB，∴∠ACB∵四邊形ACBP是⊙O∴∠APB故答案為：145．【題型六】點與圓的位置關(guān)系的判定【典例6】若⊙O的直徑為8cm，點A到圓心O的距離為4cm，那么點A與⊙A．點A在圓外 B．點A在圓上C．點A在圓內(nèi) D．不能確定【答案】B【分析】本題考查的是點與圓的位置關(guān)系，熟知點與圓的三種位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．先求出⊙O【詳解】解：∵⊙O的直徑為8∴⊙O的半徑為4∵點A到圓心O的距離為4cm∴點A在⊙O故選：B．【變式1】已知⊙O的直徑為5cm，若點A到圓心O的距離為3cmA．在⊙O內(nèi) B．在⊙O上 C．在⊙O【答案】C【分析】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是比較點到圓心的距離與圓的半徑的大?。雀鶕?jù)圓的直徑求出半徑；再比較點到圓心的距離與半徑的大??；最后根據(jù)點與圓的位置關(guān)系判定點的位置．【詳解】解：已知⊙O的直徑為5cm，則半徑為點A到圓心O的距離為3cm，因為3cm>2.5cm，所以點故選：C．【題型七】三角形的外接圓【典例7】如圖，已知△ABC

(1)用直尺和圓規(guī)作△ABC的外接圓⊙(2)在（1）的條件下，若⊙O的半徑為5，點O到BC的距離為3，求BC【答案】(1)見解析(2)8【分析】本題考查尺規(guī)作圖，垂徑定理，勾股定理三角形的外接圓與外心等知識，（1）作線段AB，AC的垂直平分線交點為O，點O即為△ABC（2）作OE⊥BC于E.利用勾股定理求出BE，再利用垂徑定理可得BE【詳解】（1）解：如圖，作線段AB，AC的垂直平分線交點為O，點O即為△ABC的外接

（2）解：作OE⊥BC于在Rt△OBE中，∵OB∴BE∵OE∴BE∴BC【變式1】三角形的外心就是三角形外接圓圓心，是三角形（

）A．三邊上的高線的交點 B．三邊中線的交點C．三邊垂直平分線的交點 D．三個內(nèi)角平分線的交點【答案】C【分析】本題考查了三角形的外心，三角形的外心就是三角形外接圓的圓心，就是三角形的三邊的垂直平分線的交點．【詳解】解：∵三角形的外心就是三角形外接圓圓心，∴角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等，∵到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上，∴三角形的外心就是三角形的三邊的垂直平分線的交點．故選：C．【變式2】如圖，直角坐標(biāo)系中A0,4,B4,4,C6,2，經(jīng)過A，BA．1,-1 B．1,0 C．2,0 D．2,1【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理、坐標(biāo)與圖形．由網(wǎng)絡(luò)可得出線段AB和BC的垂直平分線的交點，這個交點即為圓心M，進(jìn)而可得點M的坐標(biāo)．【詳解】解：如圖，作線段AB和BC的垂直平分線，它們的交點為圓心M，則點M坐標(biāo)為2,0，故選：C【題型八】直線與圓的位置關(guān)系的判定【典例8】如圖是記錄的日出美景，圖中太陽與海天交界處可看成圓與直線，它們的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【答案】A【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系即可得到結(jié)論．【詳解】解：圖中太陽與海天交界處可看成圓與直線，它們的位置關(guān)系是相交，故選：A．【變式1】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以點C為圓心，【答案】相交【分析】此題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系解答．根據(jù)勾股定理可知AB=5cm．作CD⊥AB于D點，則CD的長表示圓心C到【詳解】解：如圖，作CD⊥AB于∵∠C=90°，AC=3∴AB=BC2∴CD∵2.4cm∴⊙C與AB故答案為：相交．【變式2】如圖，點A，B，D在⊙O上，∠A=29°，OD的延長線與直線BC相交于點C，且∠C=32°，則直線BC【答案】相切【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，圓周角定理,解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握切線的判定定理．連接OB,利用圓周角定理求出∠BOC的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠OBC的度數(shù)，再根據(jù)切線的判定定理判斷直線BC與【詳解】解：連接OB∵∠∵∠∴∠∴∵OB是⊙∴BC與⊙故答案為：相切．【題型九】切線判定與性質(zhì)綜合【典例9】如圖，P是⊙O外一點，PA是⊙O的切線，A是切點，B是⊙O上一點，且PA=PB，延長BO分別與⊙O、切線(1)求證：PB是⊙O(2)QD為PB邊上的中線，若AQ=4，CQ【答案】(1)見解析；(2)73．【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定與性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）連接OA，先證明△OBP≌△OAP（SSS），則∠OBP（2）設(shè)OA=r，得到r2+42=（r+2）2，求出r=3【詳解】（1）證明：連接OA，在△OBP和△PA=∴△OBP∴∠OBP∵PA是⊙O的切線，A∴∠OAP∴∠OBP∵OB是半徑，∴PB是⊙O（2）∵AQ=4,CQ=2,∴∠設(shè)⊙O的半徑為r則OA=r，∴OA∴r2解得r=3∴OA=3,∴BQ=設(shè)BP=x，則∴PQ=∵∠OBP∴BP∴x2解得x=6∴BP∵QD為PB邊上的中線，∴BD∴QD=即QD的值是73．【變式1】如圖，AB是⊙O的弦，C為過點B的切線上一點，且BC=AC，D,?E,(1)求證：AC是⊙O(2)若∠C=50°，求【答案】(1)見解析(2)65°【分析】本題考查切線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．（1）連接OA,?OB，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠（2）證明△ADF≌△BEDSAS得到∠ADF【詳解】（1）證明：連接OA,?∵AC=∴∠CAB∵OA=∴∠OAB∴∠CAO∵BC是⊙O∴∠CBO∴∠CAO∵OA是⊙O∴AC是⊙O（2）解：在△ADF與△AD∴△ADF∴∠ADF∵AC=BC，∴∠CAB∵∠ADF+∠FDE∴∠EDF【變式2】如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BAC=75°,∠ABC=45°，連接AO并延長，交⊙O于點D，過C作(1)求證：CE與⊙O(2)若BD=6，求線段EC【答案】(1)見詳解(2)6+6【分析】（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理得∠AOC＝90°，再根據(jù)AD（2）過點A作AF⊥CE于點F，可知AD的長，再證明四邊形AOCF是正方形，得CF=AO=6，再證∠【詳解】（1）證明：連接OC，∵∠ABC∴∠AOC=90°∴∠AOC+∠∴∠OCE則OC⊥∵OC為半徑，∴CE與⊙O（2）如圖，作AF⊥CE于點∵AD為直徑，∴∠ABD∵AF⊥∴四邊形OAFC是矩形，又∵OA＝∴四邊形OAFC是正方形，∵∠BAC∵AB=∴∠ACB∴∠BAD=90°-∠又∵AD∥∴∠E∴AD=2∴OA=OC=AF∴EC=【點睛】本題主要考查了圓周角定理，切線的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識，作輔助線構(gòu)造特殊的直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式3】如圖，點D是△ABC的邊BC上一點，以CD為直徑的⊙O切AB于點E，BF⊥AO交AO延長線于點

(1)求證：AC是⊙O(2)若AC=6①求⊙O②連接CF，求BF的長．【答案】(1)證明見解析(2)①3；②2【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)，只要證明∠ACO（2）根據(jù)題意，由勾股定理可得AB，連接OE，由切線長定理及切線性質(zhì)，結(jié)合勾股定理列方程求解即可得到答案；（3）根據(jù)切線性質(zhì)，利用三角形全等的性質(zhì)得到△AFG【詳解】（1）證明：∵BF⊥∴∠BFO∵∠FBC∴∠ACO∴OC⊥∴AC是⊙O（2）解：①∵AC=6∴AB=連接OE，如圖所示：

∵AC與AE都為⊙O∴AC=∴BE=在Rt△BOE中，設(shè)OC=OE=r，則有OB=8-②延長AC、BF相交于點

∵AF⊥∴∠AFG∵AC與AE都為⊙O∴OC∴∠CAO在△AFG和△∠CAO∴△AFG∴AG=∴CG=在Rt△BCG中，∠BCG∴BF=【點睛】本題考查圓綜合，涉及切線的證明、勾股定理、切線性質(zhì)、切線長定理、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握圓的相關(guān)性質(zhì)，靈活運用性質(zhì)證明圓的相關(guān)綜合問題是解決問題的關(guān)鍵．【題型十】切線長定理的應(yīng)用【典例10】如圖，PA，PB分別與⊙O相切于點A、B，⊙O的切線EF分別交PA、PB于點E、F，切點C在弧AB上，PA=8，則△A．12 B．18 C．24 D．16【答案】D【分析】本題主要考查了切線長定理的應(yīng)用．由切線長定理知，AE=CE，F(xiàn)B=CF，【詳解】解：∵PA、PB、EF分別與∴AE=CE，BF=∴△PEF的周長==PA故選：D．【變式1】如圖，直線AB、BC、CD分別與⊙O相切于點E、F、G且ABA．7cm B．8cm C．9cm【答案】D【分析】此題主要是考查了切線長定理，平行線的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及切線長定理，即可證明∠BOC=90°，再根據(jù)勾股定理即可求得【詳解】解：連接OF，根據(jù)切線長定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF∵AB∥∴∠ABC∴∠OBF∴∠BOC∵OB=6cm，∴BC=∵OF⊥∴BE=BF∴BE+故選：D．【變式2】如圖，PA、PB、CD是⊙O的切線，點A、B、E是切點，CD分別交PAA．60° B．45° C．70° D．90°【答案】A【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，切線長定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)切線性質(zhì)和切線長定理可得∠OAC=∠OEC=∠OED=∠OBD=90°，DB=DE，CA=CE，進(jìn)而可得△AOC【詳解】解：如圖，連接OA、∵PA、PB、CD是∴OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD∴∠OAC又∵AO=∴△AOC≌△EOC∴∠AOC=∠EOC∴∠COD∵∠APB=60°∴∠AOB=3∴∠COD故選：A．【變式3】如圖，正方形ABCD邊長為4cm，以正方形的一邊BC為直徑在正方形ABCD內(nèi)作半圓，過A作半圓的切線，與半圓相切于F點，與DC相交于E點，則△ADE的面積（

A．12 B．24 C．8 D．6【答案】D【分析】此題主要考查圓的切線長定理，正方形的性質(zhì)和勾股定理等知識，解答本題關(guān)鍵是運用切線長定理得出AB=AF，EF=EC．由于AE與圓O切于點F，根據(jù)切線長定理有AF=AB=4cm，EF=EC；設(shè)EF=【詳解】解：∵AE與圓O切于點F顯然根據(jù)切線長定理有AF=AB=4設(shè)EF=則DE=(4-x)在三角形ADE中由勾股定理得：(4-x∴x∴CE∴DE∴S故選：D【題型十一】三角形的內(nèi)切圓【典例11】如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，分別切BC,AB,AC于點D，E，F(xiàn)．若△ABC的周長為24cmA．4cm B．3cm C．2cm D．1cm【答案】C【分析】本題考查了三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)切圓的性質(zhì),再結(jié)合三角形周長求出AE的長度.根據(jù)⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，得到切線長相等，再根據(jù)三角形△ABC的周長，以及BC的長度，求出【詳解】∵⊙O是△∴AE∴BE∵△ABC的周長為24cm∴AE∴2AE∴AE的長為故選：C.【變式1】如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點D，E，F(xiàn)，且CD=2，ABA．18 B．16 C．14 D．12【答案】A【分析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓，切線長定理，熟練掌握切線長定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)切線長定理得到CE=CD=2，AE=AF，BF【詳解】解：∵△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點D，E，∴CE=CD=2，AE∵AF+∴AE+∴△ABC的周長=2+2+7+7=18故選：A．【變式2】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=17，⊙O與△ABC三邊分別相切于點D，E，F(xiàn)，且A．80 B．70 C．60 D．50【答案】C【分析】此題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、切線的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、三角形的面積公式等知識，正確地添加輔助線是解題的關(guān)鍵．連接OE、OF、AO、BO，由⊙O與△ABC三邊分別相切于點D,E,F，得AB⊥OD，AC⊥OE，BC⊥OF，OE=OF=OD=3【詳解】解：連接OE、OF、AO、BO，∵⊙O與△ABC三邊分別相切于點D,E,F，且∴AB⊥OD，AC⊥OE，BC⊥OF，OE=∴AE+∴S△∵∠OEC∴四邊形OECF是矩形，∵OE=∴四邊形OECF是正方形，∴S四邊形∴S△ABC故選：C．【變式3】如圖，已知⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，∠C=90°，⊙O與BC，AC，AB的切點分別為D，E，A．1.5 B．2 C．2.5 D．3【答案】B【分析】連接OD，OE，由∠C=90°，AC=8，BC=6，求得AB=10，由⊙O與AC，BC，AB的切點分別為E，D，F(xiàn)，得AE=AF，BD=BF，CD=【詳解】解：連接OD，OE，∵∠C=90°，AC=8，∴AB∵⊙O與BC，AC，AB的切點分別為D∴BC⊥OD，AC⊥OE，AE∴AE∴CD∴CD∵∠ODC=∠C∴四邊形ODCE是正方形，∴OD∴⊙O的半徑長為2故選：B．【點睛】此題重點考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、切線長定理、勾股定理、正方形的判定與性質(zhì)等知識，求得CD=2，并且證明四邊形ODCE【題型十二】正多邊形與圓的綜合【典例12】如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點P是CD上一點（不與點C，D重合），連接CP，DP，則∠CPD的度數(shù)為（A．165° B．150° C．120° D．108°【答案】B【分析】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形，連接OC、OD，在AB上任意取一點Q，連接QC，QD，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求出∠COD=360°6=60°，根據(jù)圓周角定理得出【詳解】解：連接OC、OD，在AB上任意取一點Q，連接QC，∵多邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠COD∴∠CQD∵四邊形CPDQ為圓內(nèi)接四邊形，∴∠CPD∴∠CPD故選：B．【變式1】劉徽在《九章算術(shù)注》中首創(chuàng)“割圓術(shù)”，某同學(xué)在學(xué)習(xí)“割圓術(shù)”的過程中，作了一個如圖所示的圓內(nèi)接正十二邊形．若⊙O的半徑為1，則這個圓內(nèi)接正十二邊形的面積為（

A．1 B．3 C．π D．2【答案】B【分析】本題考查了正多邊形與圓，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識點，解決此題的關(guān)鍵是熟練運用這些知識點．如圖，過點A作AC⊥OB于C，得到圓的內(nèi)接正十二邊的圓心角為【詳解】解：由題意可作圖如下，過點A作AC⊥OB于

∵圓的內(nèi)接正十二邊形的圓心角為360°12∴AC=∴S△即這個圓的內(nèi)接正十二邊形的面積為12×1故選：B【變式2】如圖，已知⊙O的半徑為4，則它的內(nèi)接正方形ABCDA．1 B．2 C．42 D．【答案】C【分析】本題主要考查了正多邊形和圓、勾股定理；正確掌握正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．利用正方形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理即可得出正方形ABCD的邊長．【詳解】解：如圖所示：連OA，OB，∵⊙O的半徑為4，四邊形ABCD是正方形，∴OA=OB∴AB故選：C．【變式3】如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若四邊形AOCB的面積為83，則⊙OA．2 B．22 C．23 D【答案】D【分析】本題考查了圓內(nèi)接正多邊形、菱形的判定與性質(zhì)、一元二次方程的應(yīng)用等知識，熟練掌握圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．連接AC,OB于點G，設(shè)⊙O的半徑為2r，則OA=【詳解】解：如圖，連接AC,OB于點設(shè)⊙O的半徑為2r，則∵正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O∴∠AOB∴△AOB∴OA=同理可得：OC=∴OA=∴四邊形AOCB是菱形，∴OG=12OB=∴AG=∵四邊形AOCB的面積為83∴S△AOG=解得r=2或r∴⊙O的半徑為2故選：D．【題型十三】弧長的計算【典例13】已知⊙O半徑為18cm，在⊙O中60°A．3πcm B．4.5πcm C．6πcm【答案】C【分析】本題考查了弧長的計算，解題的關(guān)鍵是記住弧長公式．直接利用弧長公式計算即可．【詳解】解：60°圓心角所對的弧長=60故選：C．【變式1】如圖，直線l1∥l2，直線m分別交l1、l2于點A、B，以A為圓心，AB長為半徑畫弧，分別交l2、lA．5π B．4π C．72【答案】C【分析】本題主要考查了弧長計算，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．連接AC，先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠CBD=∠ADB=35°，∠ADB【詳解】解：連接AC，如圖所示：∵l1∴∠CBD根據(jù)作圖可知：AB=∴∠ADB=∠ABD∴∠ACB∵l1∴∠DAC∴CD的長為70π故選：C．【變式2】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC=60°，∠ACD=42°．若⊙O的半徑為A．133π B．35π C．【答案】C【分析】本題主要考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、弧長計算、三角形內(nèi)角和定理等知識點，熟練掌握圓周角定理及弧長計算是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得：∠ADC=120°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠CAD【詳解】解：如圖：連接OD，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠∴∠ADC∵∠ACD∴∠CAD∴∠COD∵⊙O的半徑為6∴DC?的長為36×故選：C．【題型十四】扇形面積的計算【典例14】如圖，正五邊形ABCDE的邊長為6，以頂點A為圓心，AB的長為半徑畫圓，則圖中陰影部分的面積為（

）A．12π B．6π C．108π【答案】D【分析】本題考查正多邊形的內(nèi)角和，扇形的面積．由多邊形的內(nèi)角和可得∠BAE【詳解】解：∵正五邊形ABCDE，∴∠BAE∵AB=∴陰影部分的面積為S=6×6故選：D．【變式1】一個扇形的半徑是3，面積為6π，那么這個扇形的圓心角是（

A．260° B．240° C．140° D．120°【答案】B【分析】本題考查了扇形面積公式，根據(jù)扇形面積公式S扇形=nπ【詳解】解：設(shè)扇形的圓心角為n°∵一個扇形的半徑是3，面積為6π∴6π解得n=6×40=240故選：B．【變式2】如圖，在矩形ABCD中，點O在BC邊上，BO=2CO=2，以O(shè)為圓心，OB的長為半徑畫弧，這條弧恰好經(jīng)過點D，且交AD于點EA．π3 B．π2 C．2π【答案】C【分析】本題考查的是扇形的面積計算，掌握矩形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和扇形的面積公式S=根據(jù)矩形的性質(zhì)得到△ODE【詳解】如答圖，連接OD，由題意得，OB=OE=∴OD∴sin∴∠ODC則∠ODE=∴△ODE∴∠BOE=180°-60°∴陰影部分的面積為60π故選：C．【變式3】中華美食講究色香味美，優(yōu)雅的擺盤能讓美食錦上添花．圖①外圍的每一個拼盤的形狀都是扇形的一部分，圖②是其中一個的示意圖（陰影部分為拼盤）．測量得到AO=13cm，CO=3cm，∠AOBA．1825πcm2 B．915πcm2【答案】D【分析】本題主要考查了扇形的面積計算，根據(jù)S拼盤【詳解】解：S拼盤==32π(cm故選：D．【題型十五】圓錐的側(cè)面積【典例15】將如圖所示的圖形繞虛線所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的側(cè)面積是（）A．12cm2 B．15cm2 C．12【答案】D【分析】本題主要考查了圓錐體，扇形的面積，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握扇形和弧長關(guān)系的面積公式．利用勾股定理求出圓錐體的母線，利用扇形面積和弧長關(guān)系的公式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：該圖形旋轉(zhuǎn)一周得到的是圓錐體，∴由勾股定理得出圓錐體的母線長為32∴圓錐體的側(cè)面積為12故選：D．【變式1】把一個圓心角為120°，半徑為9cm的扇形紙片，通過用膠水粘貼制作成了一個底面周長為4πcmA．8πcm2 B．9πcm2【答案】B【分析】本題考查圓錐的計算和扇形面積的計算，先求出圍成圓錐的扇形弧長為4πcm，已知扇形的弧長為6π【詳解】解：∵圓錐的底面周長為4π∴圍成圓錐的扇形弧長為4π∵已知扇形的弧長為120π∴粘貼部分的弧長為6π∴圓錐上粘貼部分的面積是12故選：B．【變式2】如圖，是用綢布所制作的清代官員夏日官帽，要制作一個底面半徑為16cm，高為12cm的圓錐形官帽，則所需扇形綢布的面積為（

A．240πcm2 B．280πcm2 C．320πcm2 D【答案】C【分析】本題主要考查圓錐的側(cè)面積，已知底面半徑和高，根據(jù)勾股定理可計算出母線長為20cm，同時計算出展開后扇形弧長為32π，所以側(cè)面積為【詳解】解：如圖，根據(jù)題意：BD=∴圓錐形官帽的母線長為：AB=∵圓錐形官帽展開后扇形弧長為：l=2×∴側(cè)面積為S=故選：C．【題型十六】不規(guī)則圖形的陰影面積【典例16】如圖，C是以AB為直徑的半圓上一點，過B，C兩點作BC與弦AC相切．已知AB=4，∠ABC=30°A．23-12π B．54【答案】D【分析】設(shè)BC與AB交于點D，BC的圓心為O，連接OD，CD，利用圓周角定理和圓的切線的性質(zhì)得到BC經(jīng)過圓心O，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求得OC,本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，圓的切線的性質(zhì)定理，扇形與三角形的面積，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，連接直徑所對的圓周角是解決此類問題常添加的輔助線．【詳解】解：設(shè)BC與AB交于點D，BC的圓心為O，連接OD，∵AB為半圓的直徑，∴∠ACB∴AC∵過B，C兩點作BC與弦AC相切，∴BC經(jīng)過圓心O即BC為直徑，∴∠CDB∵∠ABC∴AC=12AB∵BC∴OC∴AD∴BD∵OB∴S∴陰影部分的面積===故選：D【變式1】如圖，⊙O是正方形ABCD的外接圓，以點C為圓心，CB的長為半徑在⊙O內(nèi)畫弧．若AB=A．π2 B．π4 C．1 D【答案】C【分析】先證明∠BCD=90°，△ABD，△BCD為等腰直角三角形，求出【詳解】解：如圖，連接BD，∵⊙O是正方形ABCD∴∠BCD=90°，△ABD∴BD是直徑．∴BD=∴OB∴==π故選C．【點睛】本題考查了扇形面積公式，圓周角定理，正方形的性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握圓的知識是解答本題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，在矩形ABCD中，AB=5，AD=8，分別以點A，D為圓心，AB的長為半徑畫弧，交AD于點E，A．10-25π4 B．20-25π2【答案】C【分析】將陰影部分Ⅱ與陰影部分Ⅰ的面積差，轉(zhuǎn)化為求矩形面積和扇形面積的差，通過對圖形進(jìn)行合理的組合與拆分來找到面積關(guān)系即可得解．本題主要考查矩形面積公式、扇形面積公式以及圖形面積的轉(zhuǎn)化思想．解題的關(guān)鍵在于通過設(shè)空白部分面積為輔助量，將陰影部分面積差轉(zhuǎn)化為矩形面積與兩個扇形面積的差，靈活運用面積公式進(jìn)行計算．【詳解】解：設(shè)矩形中除陰影部分Ⅱ外的部分面積為S．∵AB=5，AD∴S矩形∵以A、D為圓心，AB長為半徑畫弧，AB=5，且∠∴一個扇形面積S扇形=90π陰影部分Ⅱ與陰影部分Ⅰ的面積差可轉(zhuǎn)化為SⅡ+S∵S矩形=40，∴S矩形故選：C．【題型十七】圓錐側(cè)面最短路徑問題【典例17】如圖是一個圓錐與其側(cè)面展開圖，已知圓錐的底面半徑是1，母線長是4．（1）求這個圓錐的側(cè)面展開圖中∠ABC的度數(shù)．（2）如果A是底面圓周上一點，一只螞蟻從點A出發(fā)，繞圓錐側(cè)面一圈再回到A點，求這只螞蟻爬過的最短距離．【答案】（1）90°；（2）42【分析】（1）利用側(cè)面展開圖是以4為半徑，2π為弧長的扇形，由弧長公式求圓心角，進(jìn)而即可求解；（2）在側(cè)面展開圖中，由兩點之間線段最短得螞蟻爬行的最短距離為AC的距離，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：（1）設(shè)∠ABC的度數(shù)為n，底面圓的周長等于2π×1＝nπ×4180，解得n＝（2）連接AC，過B作BD⊥AC于D，則∠ABD＝45°．∴△ABC∵AB＝4，∴AD＝BD＝4÷2=22，∴AC＝2AD＝42，即這只螞蟻爬過的最短距離42．【點睛】此題考查了圓錐的側(cè)面展開圖弧長的計算；得到圓錐的底面圓的周長和扇形弧長相等是解決本題的關(guān)鍵．【變式1】如圖，AB是圓錐底面的直徑，AB=6cm，母線PB=9cm．點C為PB的中點，若一只螞蟻從A點處出發(fā)，沿圓錐的側(cè)面爬行到【答案】932【分析】先畫出圓錐側(cè)面展開圖（見解析），再利用弧長公式求出圓心角∠APA'【詳解】畫出圓錐側(cè)面展開圖如下：如圖，連接AB、AC，設(shè)圓錐側(cè)面展開圖的圓心角∠APA'因為圓錐側(cè)面展開圖是一個扇形，扇形的弧長等于底面圓的周長，扇形的半徑等于母線長，所以nπ解得n=120則∠APB又∵AP∴△ABP∵點C為PB的中點，∴AC⊥BP在Rt△ACP中，由兩點之間線段最短可知，螞蟻爬行的最短路程為AC=故答案為：93【點睛】本題考查了圓錐側(cè)面展開圖、弧長公式、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握圓錐側(cè)面展開圖是解題關(guān)鍵．【變式2】如圖，圓錐母線的長l等于底面半徑r的4倍，（1）求它的側(cè)面展開圖的圓心角．（2）當(dāng)圓錐的底面半徑r＝4cm時，求從B點出發(fā)沿圓錐側(cè)面繞一圈回到B點的最短路徑的長【答案】（1）它的側(cè)面展開圖的圓心角為90°；（2）BB′＝82．【分析】（1）設(shè)它的側(cè)面展開圖的圓心角為n°，利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和弧長公式得到2πr＝nπl(wèi)180，然后求出n（2）連接BB′，如圖，根據(jù)兩點之間線段對短得到BB′為從B點出發(fā)沿圓錐側(cè)面繞一圈回到B點的最短路徑，然后利用△ABB′為等腰直角三角形得到BB′的長．【詳解】解：（1）設(shè)它的側(cè)面展開圖的圓心角為n°，根據(jù)題意得2πr＝nπl(wèi)180而l＝2r，所以2πr＝nπ?2r180，解得所以它的側(cè)面展開圖的圓心角為90°；（2）連接BB′，如圖，此時BB′為從B點出發(fā)沿圓錐側(cè)面繞一圈回到B點的最短路徑，∵r＝4，∴l(xiāng)＝2r＝8，∵∠BAB′＝90°，∴△ABB′為等腰直角三角形，∴BB′＝2AB＝82．【點睛】本題考查了求圓錐側(cè)面展開圖的圓心角和在圓錐側(cè)面求最短路徑問題，解答關(guān)鍵是根據(jù)公式計算求出圓心角和將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題加以解決．【題型01：垂徑定理及應(yīng)用】1．閱讀材料，回答問題．材料背景遇龍橋（如圖①）為虹式單拱石橋，是廣西歷史上的名橋．若某一時刻，將主橋拱抽象成如圖②所示的圖形，且測得水面寬度AB為24m，拱高CD（孤的中點到水面的距離）為8m．問題解決(1)確定主橋拱半徑。求主橋拱所在圓的半徑．(2)確定水面寬度。若大雨過后，橋下水面上升2m，求此時水面的寬度．【答案】(1)主橋拱所在圓的半徑為13m(2)此時水面的寬度為4【分析】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用、勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握以上兩個應(yīng)用是關(guān)鍵.（1）連接OA,OC，設(shè)半徑OA=OD（2）先求OG，再利用勾股定理求GF，最后利用垂徑定理求EF.【詳解】（1）解：如圖①，設(shè)主橋拱所在圓的圓心為O，連接OA,∵D是AB?的中點，DC∴O∴AC設(shè)OA=OD=在Rt△AOC中，由勾股定理，得即(r-8)故主橋拱所在圓的半徑為13m．（2）解：如圖②，記橋下水面上升2m所在水面為EF，EF交CD于點G，連接OF,由題意，得CG∴DG∴OG在Rt△得GF=∴EF故此時水面的寬度為430【題型02：點與圓上一點最值問題】2．如圖，MN為⊙O的直徑，A、B是⊙O上的兩點，過A作AC⊥MN于點C，過B作BD⊥MN于點D，P為DC上的任意一點，若A．152 B．172 C．173【答案】B【分析】連接OA、OB，根據(jù)AC⊥MN，BD⊥MN，用勾股定理計算得到OC、OD；延長BD與⊙O相交于點G，推導(dǎo)得當(dāng)點P在直線AG上時，PA+GP取最小值；過【詳解】解：如圖，連接OA、∵過A作AC⊥MN于點C，過B作BD⊥∴OB2=∵M(jìn)N=26，A、B是⊙∴OA=OB∴169=25+OD2∴OD=12，OC∴CD=OD延長BD與⊙O相交于點G，∵M(jìn)N為⊙O的直徑，BD∴BP=GP，∴PA+P當(dāng)點P在直線AG上時，PA+GP取最小值，且最小值過G作GH⊥AC于點又∵AC⊥∴CD∥GH，DG∥CH∴四邊形CDGH是矩形，∴GH=CD=17，∴AH=AC∴AG=A∴PA+PB的最小值是：故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理、垂徑定理、矩形、兩點之間線段最短的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理、垂徑定理、矩形、兩點之間線段最短的性質(zhì)，從而完成求解．【題型03：直線與圓的位置關(guān)系的判定】3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的半徑是1，直線AB與x軸交于點P(x，0)，且與x軸的正半軸夾角為45°，若直線AB與⊙O有公共點，則x值的范圍是()A．-1≤x≤1 B．-2≤x【答案】B【分析】設(shè)直線AB的解析式為y=x+b，當(dāng)直線與圓相切時切點為C，連接OC，則OC=1，由于直線AB與x軸正方向夾角為45°，所以△AOC是等腰直角三角形，故OC=PC=1再根據(jù)勾股定理求出OA的長即可．【詳解】∵直線AB與x軸正方向夾角為45°，∴設(shè)直線AB的解析式為y=x+b，切點為C，連接OC，∴OC⊥∵⊙O的半徑為1，∴△AOC是等腰直角三角形，∴OC=PC=1，∴OA=12+1∴P