人教版2019高一數(shù)學(xué)（必修一）第五章三角函數(shù)5.1任意角和弧度制5.1.1任意角0203050604

典型例題（含課本例題）

知識點(diǎn)講解

情景導(dǎo)入

課堂小結(jié)

課堂練習(xí)（含課本練習(xí)）01學(xué)習(xí)目標(biāo)目錄/CONTENTS學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解任意角的概念．2．掌握終邊相同角的含義及其表示．3．掌握軸線角、象限角及區(qū)間角的表示方法．情景導(dǎo)入圓周運(yùn)動(dòng)是一種常見的周期性變化現(xiàn)象.如圖5.1-1，圓O上的點(diǎn)P以A為起點(diǎn)做逆時(shí)針方向的旋轉(zhuǎn).如何刻畫點(diǎn)P的位置變化呢?

由初中知識可知，射線OA繞端點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周回到起始位置，在這個(gè)過程中可以得到0°~360°范圍內(nèi)的角.如果繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，那么所得到的角就超出這個(gè)范圍了。所以，為了借助角的大小變化刻畫圓周運(yùn)動(dòng)，需要先擴(kuò)大角的范圍.新知探究現(xiàn)實(shí)生活中隨處可見超出0°~360°范圍的角.例如，體操中有“前空翻轉(zhuǎn)體540度”“后空翻轉(zhuǎn)體720度”這樣的動(dòng)作名稱，這里不僅有超出0°~360°范圍的角，而且旋轉(zhuǎn)的方向也不相同;又如，圖5.1-2是兩個(gè)齒輪旋轉(zhuǎn)的示意圖，被動(dòng)輪隨著主動(dòng)輪的旋轉(zhuǎn)而旋轉(zhuǎn)，而且被動(dòng)輪與主動(dòng)輪有相反的旋轉(zhuǎn)方向。這樣，OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)所成的角與O'B繞點(diǎn)O'旋轉(zhuǎn)所成的角就會(huì)有不同的方向.因此，要準(zhǔn)確地描述這些現(xiàn)象，不僅要知道旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，還要知道旋轉(zhuǎn)的方向，這就需要對角的概念進(jìn)行推廣.

這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角，包括正角、負(fù)角和零角.設(shè)角α由射線OA繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)而成，角β由射線O'A'繞端點(diǎn)O'旋轉(zhuǎn)而成.如果它們的旋轉(zhuǎn)方向相同且旋轉(zhuǎn)量相等，那么就稱α=β.設(shè)α，β是任意兩個(gè)角。我們規(guī)定，把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β，這時(shí)終邊所對應(yīng)的角是α十β.類似于實(shí)數(shù)α的相反數(shù)是一α，我們引入任意角α的相反角的概念.如圖5.1-4，我們把射線OA繞端點(diǎn)O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角叫做互為相反角.角α的相反角記為一α.于是，像實(shí)數(shù)減法的“減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)”一樣，我們有α-β=α+(-β).這樣，角的減法可以轉(zhuǎn)化為角的加法.我們通常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角.為了方便，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.那么，角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角.例如，圖5.1-5中的30°角、-120°角分別是第一象限角和第三象限角。如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.你能說說在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角的好處嗎?探究將角按照上述方法放在直角坐標(biāo)系中后，給定一個(gè)角，就有唯一的一條終邊與之對應(yīng)．反之，對于直角坐標(biāo)系內(nèi)任意一條射線OB（圖5.1-6），以它為終邊的角是否唯一？如果不唯一，那么終邊相同的角有什么關(guān)系？不難發(fā)現(xiàn)，在圖5.1-6中，如果-32°角的終邊是OB，那么328°，-392°，…角的終邊都是OB，并且與-32°角終邊相同的這些角都可以表示成-32°的角與k個(gè)(k∈Z)周角的和，如328°=-32°+360°(這里k=__)，

-392°=-32°-360°(這里k=__).設(shè)S={β|β=-32°+k·360°，k∈Z}，則328°，-392°角都是S的元素，-32°角也是S的元素(此時(shí)k=_).因此，所有與-32°角終邊相同的角，連同-32°角在內(nèi)，都是集合S的元素;反過來，集合S的任一元素顯然與-32°角的終邊相同.1-10一般地，我們有:所有與角α終邊相同的角，連同角。在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S={β|β=

α+k·360°，k∈Z},即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和.在直角坐標(biāo)系中，角的終邊繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)360°后回到原來的位置。因此，在直角坐標(biāo)系中討論角可以很好地表現(xiàn)角的“周而復(fù)始”的變化規(guī)律。課本例題

課本練習(xí)2.今天是星期三,則7k(k∈Z)天后的那一天是星期幾?7k(k∈Z)天前的那一天是星期幾?100天后的那一天是星期幾?解：7k(k∈Z)天后和7k天前的那一天都是星期三

∵100=14×7+2∴100天后的那一天是星期五1.什么是銳角?它是幾象限角，反過來成立嗎?鈍角呢？直角呢？

3.已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,請作出下列各角，并指出它們各是哪個(gè)象限的角？

(1)420o,(2)－75o,(3)855o,(4)－510o第一象限角420o-75o第四象限角855o第二象限角-510o第三象限角解:課本練習(xí)

課本練習(xí)

課本練習(xí)

題型分類講解1.［重慶萬州三中等校2025高一聯(lián)考］將鐘表的分針撥快20分鐘，則時(shí)針轉(zhuǎn)過了(

)B

題型1角的概念的理解

B

BA.1

B.2

C.3

D.4

特別注意當(dāng)兩個(gè)角的頂點(diǎn)和始邊相同時(shí),若角相等,則終邊相同,但終邊相同,角卻不一定相等.

D

題型2終邊相同的角的公式的應(yīng)用

5.（多選）［吉林四平一中2024高一月考］下列四個(gè)結(jié)論中，正確的是(

)ACD

B

CA.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限題型3角所在象限的判斷

AA.③⑦

B.④⑧

C.②⑤⑧

D.①③⑤⑦

CA.

B.

C.

D.

易錯(cuò)點(diǎn)應(yīng)用終邊相同的角的公式時(shí)不能合并化簡

課堂小結(jié)角的概念1.請說說角的概念是怎樣擴(kuò)展的？3.如何將角放在平面直角坐標(biāo)系中？什么是象限角，軸線角？(0°～360°)不限制旋轉(zhuǎn)量對不同旋轉(zhuǎn)方向作出區(qū)分(任意角)2.任意角怎樣進(jìn)行加減運(yùn)算？其幾何意義是怎樣的？0°～360°的角不夠用