專題02不等式目錄目錄學(xué)考要求速覽必備知識梳理高頻考點精講考點一：不等式的性質(zhì)考點二：不等式的解法考點三：利用不等式的解集求參數(shù)考點四：基本不等式實戰(zhàn)能力訓(xùn)練1、通過對比,理解等式和不等式的共性與差異.2、梳理等式的性質(zhì),理解不等式的概念,掌握不等式的性質(zhì)3、結(jié)合具體實例,能用基本不等式解決簡單的最大值或最小值問題4、從函數(shù)觀點看一元二次方程會結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象,判斷一元二次方程實根的存在性及實根的個數(shù),了解函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系.5、從函數(shù)觀點看一元二次不等式(1)經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式的過程,了解一元二次不等式的現(xiàn)實意義.能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.(2)借助一元二次函數(shù)的圖象,了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系.6、通過二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的聯(lián)系,培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).通過一元二次不等式的解集是R或?的含義.1、一元二次不等式的解法:對于一元二次方程ax2+bx+c=0a>0ΔΔΔ=0Δy=aax有兩相異實根x有兩相等實根x無實根axxxRaxx??解一元二次不等式的步驟:(1)整理好不等式,ax2+(2)通過因式分解或求根公式確定方程ax2(3)畫出函數(shù)y=ax2+2、一元二次不等式恒成立常用結(jié)論:(1)ax2+bx+(2)ax2+bx+(3)ax2+bx+(4)ax2+bx+(5)ax2+bx+c(6)ax2+bx+c3、重要不等式a2+b2≥2ab,4、基本不等式a+b2≥aba,b5、基本不等式與重要不等式的異同（1）兩個基本不等式中實數(shù)a,b的取值范圍是不同的,重要不等式a,b為全體實數(shù),（2）兩個基本不等式中等號成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)a=b（3）兩個基本不等式的變形:(和、積、平方和之間的關(guān)系)①ab≤a2+b2④a2+b2≥a+b26、已知x>0,y①如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時,x+②如果和x+y是定值s,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時,“一正(各項均為正),二定(積或和為定值),三相等(等號能否取得)”.7、常用的配湊技巧①mx+nx≥②mx+nx-③xax2+④xn-mx=mxn-若出現(xiàn)ma+b因為a+b≥2ab?ab≤a+b2若出現(xiàn)求ma+nb取值范圍,先將式子ma+b+nab=考點精講講練考點一：不等式的性質(zhì)例題1（2023高三·江蘇·學(xué)業(yè)考試）已知a>b，則（

）A．a(chǎn)+3>b+3 B．3-a>3-bC．3a>3【答案】A【分析】由不等式的基本性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A選項：a>b，則a+3>b+3，故A正確；B選項：a>b，則-a<-b，所以3-a<3-b，故B錯誤；C選項：當(dāng)a>b>0或0>a>b時，1a<1b，則D選項：當(dāng)0>a>b時，a2<b2故選：A．例題2．（2024高二上·江蘇揚州·學(xué)業(yè)考試）已知a<b，c∈R，則下列不等式恒成立的是（

）A．a(chǎn)c<bc B．a(chǎn)-c<b-c C．a(chǎn)2<b【答案】B【分析】ACD可舉出反例；B選項，可利用不等式的性質(zhì)得到.【詳解】A選項，若c=0，則ac=bc，A錯誤；B選項，由不等式的性質(zhì)可得a-c<b-c，B正確；C選項，若a=-2,b=1，滿足a<b，但a2>bD選項，若a=1,b=2，滿足a<b，但1a>1b故選：B例題3．（2023高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）若a>b>0，則以下結(jié)論錯誤的是（

）A．a(chǎn)c2>bC．lga>lgb【答案】A【分析】舉反例可判斷選項A；利用不等式的性質(zhì)可判斷選項B；利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷選項C；作差法可判斷選項D.【詳解】對于選項A：當(dāng)c=0時，若a>b>0，則ac2=bc2對于選項B：因為a>b>0所以由不等式性質(zhì)可得a2>ab，故選項對于選項C：因為a>b>0，函數(shù)y=lgx在所以lga>lgb對于選項D：因為a>b>0，1a所以1a<1b故選：A1．已知a,b,c,d均為實數(shù)，且a>b>0>c>d，則下列結(jié)論正確的是（

）A．c2>cd B．a(chǎn)-c>b-d C．a(chǎn)c>bd D【答案】D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷A,D;舉反例可判斷B,C,即得答案.【詳解】由題意a,b,c,d均為實數(shù)，且a>b>0>c>d，則0>c>d，故c2<cd，取a=2,b=1,c=-1,d=-2，滿足條件，但是a-c=b-d,ac=bd，B，C錯誤；由0>c>d知，-d>-c>0，故-ad>-bc，即bc>ad，D正確，故選：D.2．設(shè)a，b，c∈R，其中正確的是（

）A．若a>b，則a-c>b-c B．若a>b，則ac>bcC．若a>b，則a2>b2 D【答案】A【分析】取特值可否定BCD,利用不等式的基本性質(zhì)可知A正確.【詳解】當(dāng)c=0時，BD都不正確，當(dāng)a=0,b=-1時C錯誤，由不等式的基本性質(zhì)得A正確；故選：A3．若a>b，則下列不等式一定成立的是（

）A．1a>1b B．a(chǎn)2>【答案】D【分析】取特殊值判斷ABC，利用作差法判斷D.【詳解】當(dāng)a=2>b=1時，12<1，即1a當(dāng)a=0>b=-1時，a2=0<b當(dāng)a=1,b=0時，b2=0=ab，故因為3a-2a+b=a-b>0，所以3a>2a+b，故D故選：D考點二：不等式的解法例題1（2024高二上·江蘇·學(xué)業(yè)考試）不等式xx-1<0的解集為（A．x∣x>1 B．{x∣x<0}C．{x∣0<x<1} D．{x∣x<0或x>1}【答案】C【分析】將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，即一元二次不等式求解.【詳解】由xx-1<0等價于xx-1所以不等式的解集為0,1.故選：C.例題2．（2025高二下·北京·學(xué)業(yè)考試）不等式x(x+1)<0的解集為（

）A．{x∣0<x<1} B．{x∣-1<x<0}C．{x∣x<0或x>1} D．{x∣x<-1或x>0}【答案】B【分析】直接求出一元二次不等式的解集即可.【詳解】解不等式x(x+1)<0，得-1<x<0，所以不等式x(x+1)<0的解集為{x∣-1<x<0}.故選：B例題3．（2025高二下·天津南開·學(xué)業(yè)考試）不等式-x2+x+2>0A．x-1<x<2 B．C．{x|x<-1或x>2} D．{x|x<-2或x>1}【答案】A【分析】將二次項系數(shù)為負的一元二次不等式轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為正的一元二次不等式，利用十字相乘法因式分解，再根據(jù)同號為正，異號為負列出不等式組，解不等式組即可得到解集.【詳解】-x2+x+2>0即x-2x+1可得x-2>0x+1<0或x-2<0解得-1<x<2，所以不等式-x2+x+2>0故選：A.1．不等式12-xx-A．x13<x<C．xx<13 D．【答案】A【分析】直接解一元二次不等式即可求解.【詳解】不等式12-xx-13故選：A.2．已知關(guān)于x的不等式ax-b≤0的解集是2,+∞，則關(guān)于x的不等式ax2+A．-∞,-3∪2,+∞ BC．-∞,-2∪3,+∞ D【答案】A【分析】由一元一次不等式求得b=2a，且a<0；由此化簡二次不等式并求出解集.【詳解】由關(guān)于x的不等式ax-b≤0的解集是2,+∞，得b=2a且a<0，則關(guān)于x的不等式ax2+即x+3x-2解得：x<-3或x>2，所求不等式的解集為：-∞,-3∪故選：A.【點睛】本小題主要考查一元一次不等式、一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.3．不等式x2<1的解集是（A．x-1<x<0 B．C．x-1<x<1 D．xx<-1【答案】C【分析】根據(jù)二次不等式的解法求解.【詳解】由x2所以不等式x2<1的解集是故選：C考點三：利用不等式的解集求參數(shù)例題1（2024·江蘇學(xué)考模擬）關(guān)于x的不等式3x+ax-1≤1的解集為-52,1A．-6 B．-72 C．32【答案】D【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法即可求解.【詳解】由3x+ax-1≤1?2x+a+1x-1≤0?由題意得，-a+12=-故選：D.例題2．（2122高一上·江蘇南京·階段練習(xí)）關(guān)于x的不等式x2-4x+4a≥a2在[1，6]內(nèi)有解，則A．-2≤a≤3 B．1≤a≤6 C．-2≤a≤6 D．3≤a≤6【答案】C【分析】由題意只需a2-4a≤x2-4xmax，x∈[1,6]【詳解】依題可得x2-4x≥a2-4a只需a2設(shè)y=x當(dāng)x=6時，ymax所以a2-4a≤12，解得故選：C.例題3．（2024·江蘇學(xué)考模擬）已知不等式ax2+bx+2>0的解集為{x|-1<x<2}，則實數(shù)a+b=A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】由不等式ax2+bx+2>0的解集為{x|-1<x<2}，得到-1,2是方程a【詳解】由題意，-1,2是方程ax∴-1+2=-ba，-1×2=2a，解得∴a+b=0.故選：B．1．若不等式ax2-4x+a-3<0對所有實數(shù)x恒成立，則aA．-∞,-1∪C．-∞,-1∪【答案】B【分析】分a=0和a≠0兩種情況討論，a≠0時，結(jié)合二次函數(shù)圖象得到a的取值范圍.【詳解】a=0時，原不等式化為4x-3<0，解得x<34，不對所有的xa≠0時，原不等式為一元二次不等式，要對所有實數(shù)x恒成立，則二次函數(shù)y=ax2-4x+a-3的圖象開口向下且從而a<0Δ=-4所以，a的取值范圍為-∞故選：B.2．若不等式ax2+bx+2>0的解集為x|-12A．1 B．-12 C．-28 D．-14【答案】D【分析】由題意可得x1=-12，x2=【詳解】由題意知x1=-12，x2則-ba=-所以a+b=-14.故選：D.3．已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為x13A．x-12<x<-13 B．x2<x<3 C【答案】B【分析】根據(jù)不等式ax2+bx+c>0的解集，可得13,12是方程【詳解】不等式ax2+bx+c>0可得13,1所以a<0，且a9+b由不等式cx2+bx+a>0由a<0得c<0，所以x2-5x+6<0，解得則不等式cx2+bx+a>0故選：B.考點四：基本不等式例題1（2024高二上·江蘇揚州·學(xué)業(yè)考試）若x>1，則函數(shù)f(x)=9x+1x-1的最小值為（A．6 B．9 C．12 D．15【答案】D【分析】利用基本不等式分析求解.【詳解】因為x>1，則x-1>0，可得f(x)=9x+1當(dāng)且僅當(dāng)9x-1=1所以函數(shù)f(x)=9x+1x-1故選：D.例題2．（2122高一上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知x>1，則y=3x+4x-1的最小值為（A．43-1 B．43 C．4【答案】D【分析】化簡可得y=3x-3+4x-1【詳解】由題意得：y=3x-3+因為x>1，所以3x-3>0，4x-1所以y=當(dāng)且僅當(dāng)3x-3=4x-1，即故選：D.例題3．（2025高二下·湖南郴州·學(xué)業(yè)考試）已知x<-1，則4x+1x+1的最大值為（A．-4 B．0 C．4 D．-8【答案】D【分析】將原式變形，再結(jié)合基本不等式代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為x<-1，則x+1<0，所以-x+14x+≤-2-4當(dāng)且僅當(dāng)-4x+1=1所以4x+1x+1的最大值為故選：D1．已知x>0，則41+x+x的最小值是（A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用基本不等式即可求解.【詳解】因x>0，則x+1>1，則41+x+x=4故41+x+x的最小值是故選：C2．設(shè)x>0，y>0，且x+y=2，則1x+1A．8 B．6 C．4 D．2【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式“1”的妙用計算即可求解.【詳解】由x+y=2，得12所以1x當(dāng)且僅當(dāng)yx=x所以1x+故選：D3．函數(shù)fx=loga2x-3+1（a>0且a≠1）的圖象恒過定點Am,n，若對任意正數(shù)x、yA．2 B．3922 C．1 D．【答案】D【分析】求出定點A的坐標(biāo)，可得出2x+1+y=6，然后將代數(shù)式162x+1+y【詳解】對于函數(shù)fx=loga2x-3令2x-3=1，可得x=2，且f2=loga1+1=1，所以，A對任意的正數(shù)x、y都有mx+ny=4，即2x+y=4，則2x+1所以，1≥1當(dāng)且僅當(dāng)4x+1y=所以，1x+1+2故選：D.訓(xùn)練1、已知正實數(shù)a，b滿足ab=100，則1a+4A．15 B．25 C．12【答案】B【分析】根據(jù)題意利用基本不等式求最值即可.【詳解】因為正實數(shù)a，b滿足ab=100，則1a當(dāng)且僅當(dāng)1a=4所以1a+4故選：B.2、不等式x-1x-2<0的解集是（A．x4<x<6 B．x-3<x<0 C．x0<x<4【答案】D【分析】利用求一元二次不等式的解集的方法求解.【詳解】解不等式x-1x-2<0，得所以所求的解集為x1<x<2故選：D3、函數(shù)y=x+1x-1+5A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】利用基本不等式求出最小值.【詳解】由x>1，得x-1>0，則y=x-1+1x-1+6≥2所以所求的最小值為8.故選：D4、若正數(shù)x、y滿足x+y=1，則1x+1A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】將代數(shù)式x+y與1x+1y【詳解】因為正數(shù)x、y滿足x+y=1，則1x當(dāng)且僅當(dāng)xy=y因此，1x+1故選：B.5、若a,b,c∈R，a>b，則下列不等式成立的是（

A．1a<1b B．a(chǎn)2<【答案】C【分析】取特殊值，結(jié)合不等式性質(zhì)判斷.【詳解】對于A：取a=1，b=-1，滿足a>b，但不滿足1a<1對于B：取a=1，b=-1，滿足a>b，但不滿足a2<b對于C：因為c2+1≥1>0，則1c2+1>0，又對于D：取c=0，則ac=bc故選：C6、已知a、b、c都是實數(shù)，若a<b，則（

）A．a(chǎn)+c<b+c B．a(chǎn)c<bc C．a(chǎn)c<b【答案】A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)以及特殊值法逐項對選項進行分析即可.【詳解】因為a<b，對于A，根據(jù)不等式的性質(zhì)知a+c<b+c，故A正確；對于B，當(dāng)c>0時，ac<bc；當(dāng)c=0時，ac=bc；當(dāng)c<0時，ac>bc，故B錯誤；對于C，當(dāng)c>0時，1c>0，所以ac<bc；當(dāng)c<0時，對于D，若a=-2,b=1，則a2>b2故選：A.7、不等式x-1x-2<0的解集為（A．x1<x<2 B．C．{xx>2或x<1} D．【答案】A【分析】直接求解一元二次不等式，即可得到結(jié)果.【詳解】解不等式x-1x-2<0，得所以原不等式的解集為x1<x<2故選：A8、已知a>b,c>d，則下面不等式一定成立的是（

）A．a(chǎn)+d>b+c B．a(chǎn)+d<b+cC．a(chǎn)-d>b-c D．a(chǎn)-d<b-c【答案】C【分析】由不等式的性質(zhì)及特例逐項判斷即可.【詳解】對于ABD:取a=4,b=3,c=2,d=1，滿足a>b,c>d，顯然a+d>b+c和a+d<b+c，a-d<b-c都不成立；對于C：由c>d可得-d>-c，故a-d>b-c成立.故選：C9、若a<b<0，c>0，則下列不等式成立的是（

）A．1a<1b B．a(chǎn)+c>b+c C．【答案】D【分析】取特殊值作反例，可判斷A、B、C項；根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷D項.【詳解】對于A，取a=-3，b=-2，則1a=-13，1b=-1對于B，取a=-3，b=-2，c=1，滿足a<b<0，c>0，a+c=-3+1=-2，b+c=-2+1=-1，但a+c<b+c，B項錯誤；對于C，取a=-3，b=-2，但a2=9>b對于D，若a<b<0，c>0，則ac<bc，故D正確.故選：D.10、不等式x2+2x<0的解集是（A．{x∣-2<x<0} B．{x∣x<-2} C．{x∣【答案】A【分析】因式分解，然后由一元二次不等式解法可得.【詳解】不等式x2+2x<0?xx+2所以原不等式的解集為{x|-2<x<0}.故選：A11、不等式xx-6?0的解集為（A．{x∣x<0} B．{x∣x>6} C．{x∣x?0或x?6} D．x∣0?x?6【答案】D【分析】由一元二次不等式求解即可．【詳解】由xx-6≤0，得則不等式的解集為：x|0