5.2一次函數(shù)的概念（第1課時(shí)一次函數(shù)的概念）教學(xué)設(shè)計(jì)1.教學(xué)內(nèi)容本節(jié)為新教材蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第5章第2節(jié)“一次函數(shù)的概念”，圍繞一次函數(shù)及正比例函數(shù)的定義和特征展開(kāi)，讓學(xué)生在真實(shí)情境中初步體會(huì)一次函數(shù)的應(yīng)用價(jià)值，掌握一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)及其特殊形式y(tǒng)=kx的概念與結(jié)構(gòu)。結(jié)合典型實(shí)際問(wèn)題，如加油計(jì)價(jià)、行駛路程與油量關(guān)系、出租車費(fèi)用等，讓學(xué)生深刻理解“自變量一次”“k≠0”“b2.內(nèi)容解析通過(guò)加油情境，引導(dǎo)學(xué)生辨別常量與變量，進(jìn)而建立函數(shù)關(guān)系式；比較y=7.49x與Q=40t+6等表達(dá)式，把握一次函數(shù)需滿足“自變量呈一次形式、k≠0”的要點(diǎn)；再?gòu)牡淅办柟填}中辨析哪些函數(shù)是一次函數(shù)，哪些是正比例函數(shù)，引出“正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例”；最后結(jié)合生活實(shí)例強(qiáng)化對(duì)k、b1.教學(xué)目標(biāo)（1）能根據(jù)簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題中的已知條件確定函數(shù)的表達(dá)式，并對(duì)函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行分類，歸納一類函數(shù)表達(dá)式的共性特征，形成一次函數(shù)概念，體會(huì)一次函數(shù)的意義。（2）認(rèn)識(shí)正比例函數(shù)中兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律，會(huì)結(jié)合實(shí)例說(shuō)明正比例函數(shù)的意義及變量之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律，認(rèn)識(shí)到正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)。（3）能舉出一次函數(shù)（包括正比例函數(shù)）的實(shí)例，初步體會(huì)其中k、b的實(shí)際意義。2.目標(biāo)解析（1）通過(guò)設(shè)置實(shí)際場(chǎng)景，引導(dǎo)學(xué)生由現(xiàn)象到表達(dá)式，再到一般規(guī)律，幫助學(xué)生形成一次函數(shù)概念，發(fā)展抽象能力。（2）借助正比例函數(shù)的直觀實(shí)例，讓學(xué)生清楚其變量變化呈線性對(duì)應(yīng)，進(jìn)一步類比、拓展到一般一次函數(shù)，加深對(duì)特例與一般的認(rèn)知。（3）結(jié)合生活常用的定價(jià)模式、交通費(fèi)用等實(shí)例，突出k表示單位變化率、b代表起始值或初始費(fèi)用，讓學(xué)生更好地聯(lián)結(jié)數(shù)學(xué)與日常。3.重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：一次函數(shù)概念的形成及正比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系。難點(diǎn)：靈活運(yùn)用一次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，對(duì)k、b的現(xiàn)實(shí)意義作出恰當(dāng)解釋。學(xué)生已具備一元一次方程、多項(xiàng)式及函數(shù)基礎(chǔ)，對(duì)“變量隨自變量變化而變化”的概念已熟悉，能理解自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系。但由于抽象思維尚在發(fā)展，對(duì)y=kx+b與非一次函數(shù)的區(qū)分可能模糊，特別是如何有效地從實(shí)際問(wèn)題中提煉“k”與“b”更具挑戰(zhàn)，需要通過(guò)豐富實(shí)例和有針對(duì)性的引導(dǎo)來(lái)突破。創(chuàng)設(shè)情景，引入新課師：同學(xué)們，請(qǐng)看下面情景：某人給汽車加油時(shí)，加油槍的流量是每分鐘40升，加油前油箱中已有6升汽油。加油時(shí)的花費(fèi)金額與加油量之間有什么關(guān)系？加油時(shí)間與油箱中的油量又有什么關(guān)系？學(xué)生觀察、討論： 常量：汽油單價(jià)、加油槍流量、加油前油箱中的油量、油箱總?cè)萘俊?變量：加油時(shí)間t、加油油量x、油箱中油量Q、花費(fèi)金額y。 關(guān)系：o 花費(fèi)金額y與加油量x滿足函數(shù)關(guān)系y=7.49x；o 油箱中油量Q與加油時(shí)間t滿足函數(shù)關(guān)系Q=40t+6。師：這是一個(gè)現(xiàn)實(shí)中的函數(shù)問(wèn)題。仔細(xì)觀察，這些函數(shù)表達(dá)式結(jié)構(gòu)相似、有系數(shù)也有常數(shù)項(xiàng)，讓我們一起走進(jìn)“一次函數(shù)的概念”新課的學(xué)習(xí)。【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)典型生活情境（加油計(jì)價(jià)），讓學(xué)生感受函數(shù)在生活中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，并自然引出一次函數(shù)和正比例函數(shù)的探究方向。探究點(diǎn)1感知一次函數(shù)與正比例函數(shù)的概念?問(wèn)題引入師：在上面情境中，我們得到了兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式：y=7.49x它們有什么相同點(diǎn)？有什么不同點(diǎn)？能將它們進(jìn)行分類嗎？觀察各自的自變量、次數(shù)、常數(shù)項(xiàng)等特征。?學(xué)生活動(dòng)1. 小組討論：y=7.49x只有一個(gè)常數(shù)系數(shù)7.49，Q=40t+6多了一個(gè)“+6”的常數(shù)項(xiàng)。2. 歸納：二者均可用“kx+b”形式表示，但y=7.49x的常數(shù)項(xiàng)b=0，是正比例函數(shù)；Q=40t+6則是一次函數(shù)但不是正比例函數(shù)。?教師總結(jié)一般地，形如y＝kx＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)的函數(shù)叫作一次函數(shù)，其中x是自變量，y是x的函數(shù)．特別地，當(dāng)b＝0時(shí)，y＝kx(k為常數(shù)，k≠0)叫作x的正比例函數(shù)．注意：(1) 一次函數(shù)有三個(gè)特征：①k≠0;②自變量x的次數(shù)是1;③常數(shù)b可以是任意實(shí)數(shù)(2)正比例函數(shù)一定是一次函數(shù),但一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù)．?典例講解例1下列函數(shù)中哪些是一次函數(shù)，哪些是正比例函數(shù)？(1)y＝－8x；(2)y＝8x；(3)y＝5x2＋6；(4)y＝1－x(5)y＝－x2；(6)y＝2＋2(x－1)；(7)y＝ax＋b；(8)y＝x解：(1)(4)(5)(6)(8)是一次函數(shù)，(1)(5)(6)是正比例函數(shù).【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)現(xiàn)實(shí)生活中的具體函數(shù)表達(dá)式，讓學(xué)生初步區(qū)分“正比例函數(shù)”和“一次函數(shù)”之間的關(guān)系，并建立“kx+b”的結(jié)構(gòu)表征，為抽象概念鋪墊。探究點(diǎn)2正比例函數(shù)與一次函數(shù)表達(dá)式的書寫以及變量間的規(guī)律?問(wèn)題引入師：根據(jù)剛才的講解，我們一起來(lái)做一下這道試題.（教師給出例題）例2寫出下列各個(gè)變化過(guò)程中兩個(gè)變量之間的函數(shù)表達(dá)式，并指出其中的一次函數(shù)、正比例函數(shù)．(1) 正方形花圃的周長(zhǎng)Cm隨邊長(zhǎng)xm的變化而變化．解：(1)C＝4x，C是x的正比例函數(shù)．(2)正方形花圃的面積Sm2隨邊長(zhǎng)xm的變化而變化．解：(2)S＝x2，S不是x的一次函數(shù)．(3)如圖，A，B兩站相距200km．若火車從B站出發(fā)以320km/h的速度勻速駛向C站，火車與A站的距離ykm隨行駛時(shí)間th的變化而變化．解：(3)y＝200＋320t，y是t的一次函數(shù)．(4)如圖，搭1條“小魚”需要8根火柴棒，每多搭1條“小魚”就要增加6根火柴棒．所需火柴棒的根數(shù)S隨著所搭“小魚”條數(shù)n的變化而變化．解：(4)S＝8＋6(n－1)，即S＝6n＋2，S是n的一次函數(shù)．?討論交流1. 在章頭活動(dòng)中，量筒水面的高度(h)是量筒中玻璃球總體積(V)的一次函數(shù)嗎？解：設(shè)量筒底面半徑為R．h＝10＋V量筒水面的高度(h)是量筒中玻璃球總體積(V)的一次函數(shù)．2.請(qǐng)舉出一些生活中正比例函數(shù)、一次函數(shù)的實(shí)際例子．嘗試說(shuō)明其中“k”“b”的實(shí)際意義．正比例函數(shù)關(guān)系：蘋果的單價(jià)為5元/kg，總價(jià)y(元)和重量x(kg)的關(guān)系為y＝5x．“k”的實(shí)際意義是每斤蘋果的價(jià)格，即蘋果的單價(jià)．一次函數(shù)關(guān)系：出租車起步價(jià)是10元，之后每千米收費(fèi)2元，總費(fèi)用y(元)和行駛距離x(km)之間的關(guān)系為y＝2x＋10．“k”的實(shí)際意義是每千米增加的費(fèi)用，“b”的實(shí)際意義是當(dāng)行駛路程為0時(shí)(剛上車)的費(fèi)用，即需要支付的初始的費(fèi)用．1.下列說(shuō)法正確的是（C）A.y＝2x是正比例函數(shù)，但不是一次函數(shù)B.y＝x-1C.y＝－19xD.y＝10(x＋3)是正比例函數(shù)2.已知函數(shù)y＝(k＋1)x＋k－1，當(dāng)k

≠－1時(shí)，它是關(guān)于x的一次函數(shù)；當(dāng)k＝

1時(shí)，它是關(guān)于x的正比例函數(shù).3.當(dāng)m＝___2___時(shí)，函數(shù)y＝(m＋2)xm2-3－14.若y＝(m2－1)x2＋(1－m)x是y關(guān)于x的正比例函數(shù)，則m的值為－1.5.水池中有水465m3，每小時(shí)排水15m3，排水th時(shí)，水池中還有水ym3．寫出y關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式．解：y＝465－15t．6.長(zhǎng)方形草坪的長(zhǎng)為15m，寬為10m.將草坪的長(zhǎng)減少xm，寬保持不變.(1)寫出長(zhǎng)方形草坪的面積ym2關(guān)于xm的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍.(2)y是x的一次函數(shù)嗎？如果是，寫出k，b的值.解：(1)y＝10(15－x)，即y＝－10x＋150(0＜x＜15)．(2)y是x的一次函數(shù)，k＝－10，b＝150．思維提升例3（2023·山西）一種彈簧秤最大能稱不超過(guò)10kg的物體，不掛物體時(shí)彈簧的長(zhǎng)為12cm，每掛重1kg的物體，彈簧伸長(zhǎng)0.5cm。在彈性限度內(nèi)，掛重后彈簧的長(zhǎng)度y（cm）與所掛物體的質(zhì)量x（之間的函數(shù)表達(dá)式為1.下列各組變量的關(guān)系中，成正比例關(guān)系的是（C）A.圓的面積S隨半徑r的變化而變化B.用10m長(zhǎng)的繩子圍成一個(gè)長(zhǎng)方形，其中一邊長(zhǎng)y(m)隨它鄰邊x(m)的變化而變化C.鐵的密度為7.8g/cm3，鐵塊的質(zhì)量m(g)隨它的體積V(cm3)的變化而變化D.汽車油箱中有汽油50L，行駛過(guò)程中油箱中的油量Q(L)隨行駛路程s(km)的變化而變化2.某學(xué)校要建一塊長(zhǎng)方形菜地供學(xué)生勞動(dòng)實(shí)踐，菜地的一邊靠墻(墻足夠長(zhǎng))，另外三邊用木欄圍成，木欄總長(zhǎng)40m.如圖，設(shè)長(zhǎng)方形一邊的長(zhǎng)為xm，與之相鄰的另一邊的長(zhǎng)為ym，當(dāng)x在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，y隨x的變化而變化，則y與x之間滿足

一次函數(shù)關(guān)系（填“正比例函數(shù)關(guān)系”或“一次函數(shù)關(guān)系”）.3.已知h是t的一次函數(shù)，小明發(fā)現(xiàn)下表中有一個(gè)h的值是錯(cuò)誤的：請(qǐng)排除后利用正確的數(shù)據(jù)確定當(dāng)h＝8時(shí)，t＝

15.4.（2023·上海）某加油站推出促銷活動(dòng)，一張加油卡的面值是1000元，打九折出售，使用這張加油卡加油，油價(jià)降低0.3元/升．假設(shè)這張加油卡的面值能夠一次性全部用完．(1)他實(shí)際花了__900____元購(gòu)買這張加油卡；(2)優(yōu)惠后的油價(jià)為y元/升，原價(jià)為x元/升，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(3)若原價(jià)為7.3元/升，則優(yōu)惠后的油價(jià)比原價(jià)便宜多少？解：(2)根據(jù)題意，得y＝0.9(x－0.3)＝0.9x－0.27，所以y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y＝0.9x－0.27．(3)當(dāng)x＝7.3時(shí)，y＝0.9×7.3－0.27＝6.3，所以優(yōu)惠后的油價(jià)比原價(jià)便宜7.3－6.3＝1(元/升)．1. 一次函數(shù)的概念1形式：y=kx+b，k2特征：①k≠0；②x的次數(shù)為1；③b可任意2. 特殊情況：正比例函數(shù)1形式：y=kx，b=02特征：仍滿足一次函數(shù)，b=03. 典型示例4. “k”與“b”的意義：1. 完成教材配套練習(xí)：本節(jié)課相關(guān)的同步練習(xí)題2. 拓展探究：根據(jù)實(shí)際生活場(chǎng)景自編一道包括“起步費(fèi)”b和“單位成本”k的應(yīng)用問(wèn)題，并寫出一次函數(shù)表達(dá)式；本節(jié)課圍繞“從實(shí)際情境中抽象