第06講空間向量及其應(yīng)用TOC\o"13"\h\z\u目錄TOC\o"12"\h\z\u01考情研究 202知識(shí)梳理· 303探究核心考點(diǎn) 4考點(diǎn)一：向量法證明平行、垂直 5考點(diǎn)二：求兩異面直線所成角 9考點(diǎn)三：求直線與平面所成角 12考點(diǎn)四：求平面與平面所成角 18考點(diǎn)五：求點(diǎn)面距、線面距、面面距 25三階段突破訓(xùn)練基礎(chǔ)訓(xùn)練· 30能力提升 42真題感知 59一、5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析考情分析（1）空間向量的線性運(yùn)算（2）空間向量基本定理及其應(yīng)用（3）向量法證明平行、垂直（4）向量法求空間角（5）空間距離2025年I卷第17題，15分2025年II卷第17題，15分2024年I卷第17題，15分2024年II卷第17題，15分2023年I卷第18題，12分2023年II卷第20題，12分2022年I卷第19題，12分2022年II卷第20題，12分立體幾何的空間向量解法通常以解答題的形式出現(xiàn)，屬于每年必考內(nèi)容，分值一般為12分。此類題目以解答題為主，難度適中，考生可靈活選用向量方法或綜合幾何方法，從多個(gè)角度解決立體幾何問題，并通過對比感受向量方法的優(yōu)勢。選擇題和填空題一般不采用空間向量法，但需理解向量基本定理的實(shí)質(zhì)，領(lǐng)會(huì)“基底”的思想，并運(yùn)用其解決立體幾何相關(guān)問題。二、課標(biāo)要求1.理解直線的方向向量及平面的法向量.2.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系；能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面的位置關(guān)系.3.了解利用空間向量求空間距離的方法，會(huì)求點(diǎn)到線、點(diǎn)到面的距離.4.了解利用空間向量求空間角的方法.5.會(huì)求異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及平面與平面的夾角、二面角.三、知識(shí)導(dǎo)圖1.直線的方向向量與平面的法向量（1）直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱向量a為直線l的方向向量.（2）平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a,則向量a為平面（3）方向向量和法向量均是非零向量且不唯一.2．空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為nl1n1//l1n1⊥n2?①____________直線l的方向向量為n，平面α的法向量為ml//n⊥m?②_______l⊥n//m平面α，β的法向量分別為n，mα//n//mα⊥n⊥m?③_______【答案】n1?n23．空間距離名稱概念求法兩點(diǎn)距空間中兩個(gè)點(diǎn)連線的線段長利用向量的模點(diǎn)線距過空間一點(diǎn)作一條直線的垂線段的長設(shè)直線l的單位方向向量為u,A∈l,P?l,設(shè)AP=a,則點(diǎn)P到直線l的距離d=④_______________點(diǎn)面距過平面外一點(diǎn)作平面的垂線段的長已知平面α的法向量為n，A∈α,P?α,則點(diǎn)P到平面α的距離d=⑤__________線面距當(dāng)直線與平面平行時(shí)，直線上任意一點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)面距面面距當(dāng)平面與平面平行時(shí)，一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離【答案】a2?(3．空間角的定義（1）直線與平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的①__所成的角,叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.一條直線垂直于平面，則它們所成的角是②______；一條直線和平面平行,或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°;直線與平面所成的角θ的取值范圍是③____________（2）二面角：從一條直線出發(fā)的④________所組成的圖形叫做二面角.二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作⑤________的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角.（3）平面與平面的夾角：平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，把這四個(gè)二面角中不大于⑥______的二面角稱為平面α與平面β的夾角.【答案】（1）射影；90°；（2）兩個(gè)半平面；垂直于棱（3）90提醒二面角與兩個(gè)平面的夾角的區(qū)別與聯(lián)系：二面角的范圍為[0,π]，兩個(gè)平面的夾角的范圍為4.空間向量與空間角的關(guān)系（1）異面直線所成的角：設(shè)異面直線l1,l2所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，則cosθ（2）直線與平面所成的角：如圖所示，設(shè)l為平面α的斜線,l∩α=A,a為l的方向向量,n為平面α的法向量，θ為l與α所成的角，則（3）平面與平面的夾角：設(shè)平面α，β的法向量分別是n1，n2，平面α與平面β的夾角為θ，則cosθ考點(diǎn)一：利用空間向量證明平行與垂直【答案】(1)證明見詳解.【解析】（1）如圖，取中點(diǎn)，連接，，【答案】(1)證明見解析【方法技巧】利用空間向量證明平行、垂直的一般步驟（1）建立空間直角坐標(biāo)系,建系時(shí),要盡可能地利用已知圖形中的垂直關(guān)系；（2）建立空間圖形與空間向量之間的關(guān)系,用空間向量表示出問題中所涉及的點(diǎn)、直線、平面等要素；（3）通過空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算研究平行、垂直關(guān)系；（4）根據(jù)運(yùn)算結(jié)果證明相關(guān)問題.注意運(yùn)用向量知識(shí)判定空間位置關(guān)系時(shí)，仍然離不開幾何定理.如用直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明線面平行時(shí)，仍需強(qiáng)調(diào)直線在平面外.【答案】(1)證明見解析【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析考點(diǎn)二：求兩異面直線所成角【答案】B設(shè)直線與直線所成角為，故選：BA． B． C． D．【答案】A

所以與所成角的余弦值為.故選：A.【方法技巧】用向量法求異面直線所成的角的一般步驟（1）選擇合適的基底或建立空間直角坐標(biāo)系；（2）求出兩直線的方向向量；（3）利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；（4）兩異面直線所成的角的范圍是(0【答案】D故選：D【答案】A【解析】設(shè)上底面圓心為，下底面圓心為，連接、、，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.考點(diǎn)三：求直線與平面所成角【解析】（1）存在，M點(diǎn)是PB的中點(diǎn)．理由如下：以C為原點(diǎn)，過C作OP的平行線為z軸，以CA，CO所在的直線分別為x，y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，【答案】(1)證明見解析(2)以點(diǎn)O原點(diǎn)，直線OB，OC，OM分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，【方法技巧】利用空間向量求線面角的解題步驟以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，考點(diǎn)四：求平面與平面所成角

【答案】(1)證明見解析(2)（i）證明見解析；（ii）0（ii）解法一：【方法技巧】利用空間向量求平面與平面夾角的解題步驟

【答案】(1)證明見解析(2)

【解析】（1）

考點(diǎn)五：求點(diǎn)面距、線面距、面面距【答案】B故選：B

【解析】（1）

證明：取與中點(diǎn)，.連接，，，，

【方法技巧】用向量法求點(diǎn)面距離的步驟（1）建系：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）求點(diǎn)坐標(biāo)：寫出（求出）相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）求向量：求出相關(guān)向量的坐標(biāo)(AP,平面α的法向量n（4）求距離：d=【答案】A【解析】故選：A【答案】(1)證明見解析(2)以A為原點(diǎn)，，，分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，【答案】B故選：B.C．直線與的距離為【答案】ACD【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，故選：ACD【答案】AC故選：AC【答案】CD【解析】作出示意圖如圖所示：故選：CD.B．異面直線和所成的角為【答案】ACD【解析】對于D，如圖，延長與直線交于點(diǎn)，延長與直線交于點(diǎn)，故選：ACD.【答案】ABD故選：ABD以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)直線與所成角為，【答案】所以故答案為：．(2)求直線MN與平面ACE所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).∵四邊形ABCD為平行四邊形，M為AD的中點(diǎn)，所以直線MN與平面ACE所成角的正弦值為.(1)證明：F是的中點(diǎn)；【解析】（1）（2）【答案】(1)證明見解析(2)如圖，設(shè)AB與OC的交點(diǎn)為，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以DA,DC所在的直線為x,y軸，過點(diǎn)垂直于面ACBO的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，【答案】(1)證明見解析(2).(1)求五面體BCDFPQ的體積；(2)判斷在同一平面中相互平行的兩條直線，在平面經(jīng)過折疊后是否一定依然平行，并結(jié)合平面五邊形ABCDE經(jīng)折疊得到五面體BCDFPQ的變化，證明你的判斷；(3)求PC與平面CDQ所成角的正弦值．如圖，分別取BC，DF的中點(diǎn)M，N，連接MN，QM，QN，（2）否，理由如下：折疊成為五面體BCDFPQ后，AC對應(yīng)PC，DE對應(yīng)DQ，因?yàn)镻，Q，D三點(diǎn)共面，而點(diǎn)C不在平面PQD內(nèi)，故直線PC與DQ不可能平行，故在同一平面中相互平行的兩條直線，在平面經(jīng)過折疊后不一定平行；設(shè)PC與平面CDQ所成的角為，①求的取值范圍；【解析】（1）解法一：如圖所示：（2）解法一：①如圖所示：所以點(diǎn)在線段上．(1)求線段的長；（ⅰ）求；以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

所以，0，，，0，，，2，，，4，，，1，，求直線與直線所成角的余弦值．設(shè)球心，，，半徑，設(shè)直線與直線所成角為，(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)設(shè)AD=m,AC=2,由勾股定理可得CD=4