第09講函數的對稱性和周期性的綜合應用【基礎回顧】知識點1．奇函數、偶函數的對稱性（1）奇函數關于原點對稱，偶函數關于y軸對稱．（2）若f(x＋a)是偶函數，則函數f(x)圖象的對稱軸為x＝a；（3）若f(x＋a)是奇函數，則函數f(x)圖象的對稱中心為(a,0)．知識點2．任意函數的對稱若函數y＝f(x)滿足f(－x)＝f(2a＋x)，則函數的圖象關于直線x＝a對稱；若函數y＝f(x)滿足f(2a－x)+f(x)=2b，則函數的圖象關于點(a,b)對稱．知識點3．兩個函數圖象的對稱(1)函數y＝f(x)與y＝f(－x)的圖象關于y軸對稱；(2)函數y＝f(x)與y＝－f(x)的圖象關于x軸對稱；(3)函數y＝f(x)與y＝－f(－x)的圖象關于原點對稱．(4)函數y＝f(x)與y＝2b－f(2a－x)的圖象關于點(a,b)對稱．知識點4.函數的周期性(1)周期函數：一般地，設函數f(x)的定義域為D，如果存在一個非零常數T，使得對每一個x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函數y＝f(x)就叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期．(3)常見周期：f(x＋A)＝f(x)，T=2|A|f(x＋A)+f(x)=B，T=2|A|f(x＋A)f(x)=B，T=2|A|f(x＋1)=f(x)+f(x+2)，則T=6知識點5.函數的周期性和對稱性的關系題型一函數的對稱性及應用一．對稱性的表述1.軸對稱：2.中心對稱：特別的對稱：二．對稱性的證明：1.利用對稱性建立等式：2.對稱變換法：【例題精講】答案：故答案為：6答案：故答案為：答案：8090故答案為：8090.答案：答案：D同理可得故選：D.題型二函數的周期性的應用【例題精講】1．若函數f（x）滿足f（x+1）＝﹣f（x）．且當0＜x≤2，f(x)=log12A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1【答案】C【解答】解：因為f（x+1）＝﹣f（x），所以f（x+1）+f（x）＝0，所以f（x+2）+f（x+1）＝0，所以f（x+2）＝f（x），所以f（x）的一個周期為2，所以f（4）＝f（2），又0＜x≤2，f(x)=log所以f(2)=log12故選：C．2．已知偶函數f（x）的定義域為R，f（x）+f（3﹣x）＝0，且當x∈[0，32]時，f(x)=A．?94 B．﹣1 C．1 【答案】D【解答】解：已知偶函數f（x）的定義域為R，f（x）+f（3﹣x）＝0，則f（3﹣x）＝﹣f（x）＝﹣f（﹣x），所以f（3+x）＝﹣f（x），所以f（6+x）＝﹣f（3+x）＝f（x），所以f（x）是周期為6的周期函數，當x∈[0，32]所以f（2025）＝f（337×6+3）＝f（3）＝﹣f（0）=9故選：D．3．設f（x）是定義在R上且周期為2的函數，當2≤x≤3時，f（x）＝5﹣2x，則f(19A．?12 B．?14 C．【答案】A【解答】解：根據題意，當2≤x≤3時，f（x）＝5﹣2x，又由函數f（x）是定義在R上且周期為2的函數，故f(19故選：A．（多選）4．已知函數f（x）定義域為R，其導函數為g（x），且f（2﹣x）+f（x）＝2，g（3﹣2x）+g（1+2x）＝1，則下列說法正確的是（）A．f（x）一個對稱中心為（1，1） B．g（x）的一個周期為2 C．g（x）的圖象關于x＝5對稱 D．n=1【答案】ACD【解答】解：對于A，由f（x）滿足f（2﹣x）+f（x）＝2，則f（x）關于（1，1）中心對稱，故A正確；對于B，由f（2﹣x）+f（x）＝2，兩邊求導可得﹣f′（2﹣x）+f′（x）＝0，即g（x）＝g（2﹣x），所以g（x）的圖象關于x＝1對稱，又g（3﹣2x）+g（1+2x）＝1，即為g（3﹣x）+g（1+x）＝1，用x+1替換其中的x，得g（2﹣x）+g（x+2）＝1，又g（x）＝g（2﹣x），所以g（x）+g（x+2）＝1，用x+2替換其中的x，所以g（x+4）+g（x+2）＝1，所以g（x+4）＝g（x），即g（x）的一個周期為4，故B錯誤；對于C，因為g（x）的圖象關于x＝1對稱，周期為4，所以g（x）的圖象關于x＝5對稱，故C正確；對于D，將x＝0代入g（3﹣2x）+g（1+2x）＝1，可得g（3）+g（1）＝1，將x＝0代入g（x）＝g（2﹣x），得g（4）＝g（0）＝g（2），又g（x）+g（x+2）＝1，所以g(2)=g(4)=1所以g（2）+g（4）＝1，所以g（1）+g（2）+g（3）+g（4）＝2，又2031＝4×507+3，所以n=12031g(n)=507[g（1）+g（2）+g（3）+g（4）]+g（1）+g＝507×2+g（1）+g（2）+g（3）=1014+1+1=20312，故故選：ACD．（多選）5．已知非常數函數f（x）是定義在R上的偶函數，且f（0）＝0，f（2x﹣1）＝f（x），則（）A．f（1）＝0 B．2是f（x）的一個周期 C．當且僅當x∈Z時，f（x）＝0 D．f（x）不存在最小正周期【答案】ABD【解答】解：對于A，由f（2x﹣1）＝f（x），令x＝0，得f（﹣1）＝f（0），又f（x）是定義在R上的偶函數，且f（0）＝0，則f（1）＝f（﹣1）＝f（0）＝0，故A正確；對于B，由f（2x﹣1）＝f（x），令2x＝t，有f(t?1)=f(t由f（2x﹣1）＝f（x），令2x＝﹣t，有f(?t?1)=f(?t又f（x）是定義在R上的偶函數，f(t則有f（t﹣1）＝f（﹣t﹣1），所以函數f（x）的圖象關于直線x＝﹣1對稱，即有f（﹣x）＝f（x﹣2），又f（x）是定義在R上的偶函數，則f（﹣x）＝f（x）＝f（x﹣2），故f（x+2）＝f（x），所以2是f（x）的一個周期，故B正確；對于C，由f（2x﹣1）＝f（x），令x=12，得f(0)=f(1對于D，若T是f（x）的一個周期，則f（x+T）＝f（x），又因為f（x）＝f（2x﹣1），所以f（x+T）=f(x)=f(2x?1)=f(2x?1+T)=f[2(x+T則T2也是f（x結合B選項可知，2，1，12，14所以f（x）不存在最小正周期，故D正確．故選：ABD．題型三對稱性與奇偶性、周期性的綜合應用知識點1.對稱性與周期性的關系：知識點2.奇偶性與對稱性的結合：【例題精講】1．已知f（x）是定義域為（﹣∞，+∞）的奇函數，滿足f（x）＝f（2﹣x），若f（1）＝1，則f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2025）＝（）A．1 B．0 C．1013 D．2025【答案】A【解答】解：因為f（x）是定義域為（﹣∞，+∞）的奇函數，且滿足f（x）＝f（2﹣x），所以f（x）＝f（2﹣x）＝﹣f（x+2），所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函數的最小正周期為4，又f（1）＝1，f（0）＝0，所以f（2）＝f（2﹣2）＝f（0）＝0，f（4）＝f（0）＝0，f（3）＝f（2﹣（﹣1））＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2025）＝506[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（2025）＝f（2025）＝f（506×4+1）＝f（1）＝1．故選：A．2．設定義在R上的奇函數f（x）的導函數為f′（x），且對任意的x∈R，f′（x+4）＝﹣f′（x），f（1）＝2，則f（2027）的值為（）A．﹣2 B．0 C．2 D．2026【答案】C【解答】解：令函數h（x）＝f（x+4）+f（x）（x∈R），可得導函數h′（x）＝f′（x+4）+f′（x），由于f′（x+4）＝﹣f′（x），因此h′（x）＝0，因此h（x）＝c（c∈R），當x＝﹣2時，可得h（﹣2）＝f（﹣2）+f（2）＝0，因此c＝0，因此f（x+4）＝﹣f（x），因此f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），即函數f（x）的一個周期為8，所以f（2027）＝f（225×3+3）＝f（3），又由于f（x）為奇函數，可得f（x+4）＝﹣f（x）＝f（﹣x），因此函數f（x）的圖象關于x＝2軸對稱，因此f（3）＝f（1）＝2．故選：C．3．已知函數f（x）的定義域為R，其圖象關于直線x＝﹣3對稱且f（x+3）＝f（x﹣3），當x∈[0，3]時，f（x）＝2x+2x﹣11，則下列說法不正確的是（）A．函數f（x）為偶函數 B．函數f（x）在[﹣6，﹣3]上單調遞增 C．函數f（x）的圖象關于直線x＝3對稱 D．f（2026）＝﹣7【答案】D【解答】解：根據題意，依次分析選項：對于A，因為函數f（x）的定義域為R，其函數圖象關于直線x＝﹣3對稱，所以f（x﹣3）＝f（﹣x﹣3），又f（x+3）＝f（x﹣3），所以f（x+3）＝f（﹣x﹣3），變形可得f（x）＝f（﹣x），即該函數為偶函數，故A正確；對于B，因為f（x+3）＝f（x﹣3），變形可得f（x+6）＝f（x），所以函數f（x）是以6為一個周期的函數，當x∈[﹣6，﹣3]時，x+6∈[0，3]，因為當x∈[0，3]時，f（x）＝2x+2x﹣11，易得此時函數f（x）在[0，3]上單調遞增，因6是函數f（x）的一個周期，故函數f（x）在[﹣6，﹣3]上也單調遞增，故B正確；對于C，因為函數f（x）的圖象關于直線x＝﹣3對稱，所以f（x﹣3）＝f（﹣x﹣3），又函數f（x）是偶函數，所以f（x）＝f（﹣x），則f（x﹣3）＝f[﹣（x﹣3）]＝f（3﹣x），而f（﹣x﹣3）＝f[﹣（﹣x﹣3）]＝f（x+3），故f（x+3）＝f（﹣x+3），即函數f（x）的圖象關于直線x＝3對稱，故C正確；對于D，f（2026）＝f（337×6+4）＝f（4）＝f（﹣4）＝f（﹣4+6）＝f（2），又x∈[0，3]時，f（x）＝2x+2x﹣11，故f（2026）＝f（2）＝22+2×2﹣11＝﹣3，故D錯誤．故選：D．（多選）4．已知定義在R上的函數f（x），g（x）滿足f（x+4）＝﹣f（x），g（x）＝f（3x+2），g（﹣x）＝g（x），g(?1A．f（﹣x）＝﹣f（x） B．f（2024）＝2 C．f（2﹣x）＝f（x） D．k=1【答案】AD【解答】解：因為定義在R上的函數f（x），g（x）滿足f（x+4）＝﹣f（x），g（x）＝f（3x+2），g（﹣x）＝g（x），g(?1所以f（﹣3x+2）＝f（3x+2），所以f（﹣x+2）＝f（x+2），所以f（﹣x）＝f（x+4），又f（x+4）＝﹣f（x），所以f（﹣x）＝﹣f（x），所以A選項正確，C選項錯誤；由f（x+4）＝﹣f（x），得f（x+8）＝﹣f（x+4）＝﹣[﹣f（x）]＝f（x），所以8為f（x）的一個周期，所以f（2024）＝f（253×8+0）＝f（0），在f（﹣x）＝﹣f（x）中，令x＝0，得f（0）＝0，所以f（2024）＝0，所以B選項錯誤；由g（﹣x）＝g（x），得g(?13)=g(13)=2，又g（x）＝f（3由f（x+4）＝﹣f（x），得f（5）＝﹣2，f（7）＝﹣2，因為f（x+8）＝f（x），所以f（1）＝f（9）＝f（17）＝f（25）＝…＝f（193）＝2，f（3）＝f（11）＝f（19）＝f（27）＝…＝f（195）＝2，f（5）＝f（13）＝f（21）＝f（29）＝…＝f（197）＝﹣2，f（7）＝f（15）＝f（23）＝f（31）＝…＝f（199）＝﹣2，所以﹣f（1）﹣2f（3）﹣3f（5）﹣4f（7）＝8，﹣5f（9）﹣6f（11）﹣7f（13）﹣8f（15）＝8，……，所以﹣97f（193）﹣98f（195）﹣99f（197）﹣100f（199）＝8，所以k=1100(?k)f(2k?1)=25×8=200故選：AD．（多選）5．已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，f（x+1）是偶函數，當x∈（0，1]時，f(x)=xA．x∈[1，2）時，f(x)=2?xB．函數f（x）的最小正周期是4 C．i=12025D．方程f（x）＝lg|x|恰有10個不同的實數根【答案】BCD【解答】解：因為f（x）為R上的奇函數，故f（﹣x）＝﹣f（x），而f（x+1）是偶函數，故f（x+1）＝f（﹣x+1）＝﹣f（x﹣1），所以f（x+2）＝﹣f（x），故f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），故f（x）的周期為4，故B正確；由f（x+1）＝f（﹣x+1），可得f（x）＝f（2﹣x），當x∈[1，2）時，2﹣x∈（0，1]，故f（x）＝f（2﹣x）=2?xe1?x因為f（x）為R上的奇函數，故f（0）＝0，而f（1）=1由f（x+2）＝﹣f（x），可得f（2）＝﹣f（0）＝0，f（3）＝﹣f（1）＝﹣1，f（4）＝f（0）＝0，故f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0，故i=12025f（i）＝506×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）＝1，故當x∈（0，1]，f′（x）=1?x故f（x）在（0，1]為單調遞增函數，結合f（x）的周期性和對稱性可得函數的圖象，如圖所示：而f（x）＝lg|x|的解的個數可以看成y＝f（x），y＝lg|x|兩個圖象交點的個數，而lg10＝1，結合圖象可得y＝f（x），y＝lg|x|兩個圖象在y軸右側交點的個數為5個，因lg|﹣10|＝1，由圖可得兩個函數在y軸左側交點的個數為5個，故共10個交點，故f（x）＝lg|x|恰有10個不同的解，故D正確．故選：BCD．課時精練一．選擇題（共8小題）1．已知函數f（x）滿足f（x+2）關于直線x＝﹣2對稱，且f（x+2）=1f(x)，當2≤x≤3時，f（x）＝log2（x+112），則A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【解答】解：根據題意，函數f（x）滿足f（x+2）關于直線x＝﹣2對稱，則f（x）為偶函數，函數f（x）滿足f（x+2）=1f(x)，則有f（x+4）=1f(x+2)即函數f（x）是周期為4的周期函數，則f（2192）＝（28×4?52）＝f（?52又由當2≤x≤3時，f（x）＝log2（x+112），則f（52）＝log2故f（2192故選：B．2．已知函數f（x）的定義域為R，f（x+1）為奇函數，且對?x∈R，f（x+4）＝f（﹣x）恒成立．則以下結論：①f（x）為奇函數；②f（3）＝0；③f(1④f（2023）＝0．其中正確的為（）A．①②④ B．②③ C．②③④ D．①③④【答案】C【解答】解：因為函數f（x+1）為奇函數，所以f（x）的圖象關于點（1，0）對稱，即f（1﹣x）＝﹣f（1+x），令x＝x﹣1，可得f（2﹣x）＝﹣f（x），令x＝﹣x﹣1，可得f（2+x）＝﹣f（﹣x），因為對?x∈R，f（x+4）＝f（﹣x）恒成立，所以f（2+x）＝f（2﹣x），又因為f（2﹣x）＝﹣f（x），f（2+x）＝﹣f（﹣x），所以﹣f（x）＝﹣f（﹣x），即f（x）＝f（﹣x），所以函數f（x）為偶函數，故①錯誤；因為函數f（x+1）為奇函數，所以f（1）＝0，因為f（2+x）＝f（2﹣x），令x＝1，得f（3）＝f（1）＝0，故②正確；因為f（2+x）＝f（2﹣x），令x=12，得因為f（x）的圖象關于點（1，0）對稱，所以f(3因為f(52)=f(32又因為f（x+4）＝f（﹣x）＝f（x），所以函數f（x）為周期函數，周期為4，所以f（2023）＝f（505×4+3）＝f（3）＝0，故④正確；綜上可知，正確的有：②③④．故選：C．3．已知定義在R上的函數f（x）滿足f（x﹣1）+f（x+1）＝0，且當x∈[0，2）時，f（x）＝log2（x+1），則3f（2023）﹣2f（2022）的值為（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3【答案】D【解答】解：∵f（x﹣1）+f（x+1）＝0，∴f（﹣1）+f（1）＝0，且f（1）＝log2（1+1）＝1，∴f（﹣1）＝﹣1，∴f（0）+f（2）＝0，且f（0）＝log2（0+1）＝0，∴f（2）＝0，又可得f（x）+f（x+2）＝0，∴f（x+4）＝f（x），∴f（x）是周期T＝4的周期函數，∴f（2023）＝f（﹣1）＝﹣1，f（2022）＝f（2）＝0，∴3f（2023）﹣2f（2022）＝3×（﹣1）﹣2×0＝﹣3．故選：D．4．已知函數f（x）滿足：?x∈R，f（x﹣1）+6≥f（x+5），f（x+1）﹣3≥f（x﹣2），若f（3）＝1，則f（2025）＝（）A．2026 B．2025 C．2024 D．2023【答案】D【解答】解：依題意，得f（x）+6≥f（x+6），令x＝﹣3，則f（﹣3）+6≥f（3）＝1?f（﹣3）≥﹣5，又因為f（x+1）﹣3≥f（x﹣2）?f（x）﹣3≥f（x﹣3）?f（x）≥f（x﹣3）+3，在f（x）≥f（x﹣3）+3中令x＝0，則f（0）≥f（﹣3）+3?f（0）≥﹣2，在f（x）≥f（x﹣3）+3中令x＝3，則f（3）≥f（0）+3?f（0）≤﹣2，故得f（0）＝﹣2；又f（2025）＝f（2019+6）≤f....9）+6≤....≤f（3）+337×6＝2023；又f（2025）≥f（2025﹣3）+3＝f（2022）+3≥?≥f（0）+675×3＝﹣2+2025＝2023，所以2023≤f（2025）≤2023，即f（2025）＝2023．故選：D．5．已知函數f（x）的定義域為R，且f（x+y）+f（x﹣y）＝f（x）f（y），f（1）＝1，則k=122f（A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1【答案】A【解答】解：令y＝1，則f（x+1）+f（x﹣1）＝f（x），即f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），∴f（x+2）＝f（x+1）﹣f（x），f（x+3）＝f（x+2）﹣f（x+1），∴f（x+3）＝﹣f（x），則f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x），∴f（x）的周期為6，令x＝1，y＝0得f（1）+f（1）＝f（1）×f（0），解得f（0）＝2，又f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），∴f（2）＝f（1）﹣f（0）＝﹣1，f（3）＝f（2）﹣f（1）＝﹣2，f（4）＝f（3）﹣f（2）＝﹣1，f（5）＝f（4）﹣f（3）＝1，f（6）＝f（5）﹣f（4）＝2，∴k=16∴k=122f(k)=3×0+f(19)+f(20)+f(21)+f(22)=f（1）+f（2）+f故選：A．6．已知函數f（x）滿足f（x﹣1）+f（x+1）＝2，且f（﹣1）＝1，則f（1）+f（2）+f（3）+?+f（9）的值為（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【解答】解：根據f（x﹣1）+f（x+1）＝2，得f（x﹣3）+f（x﹣1）＝2，相減得f（x+1）＝f（x﹣3），即f（x+4）＝f（x），因此f（x）的周期為4，又因為f（﹣1）＝1，f（﹣1）+f（1）＝2，因此f（1）＝1，因為f（2）+f（4）＝2，f（1）+f（3）＝2，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝4，所以f（1）+f（2）+?+f（9）＝2（f（1）+f（2）+f（3）+f（4））+f（1）＝4×2+1＝9．故選：B．7．已知函數f（x），g（x）的定義域均為R，且f（x）+g（2﹣x）＝5，g（x）﹣f（x﹣4）＝7．若y＝g（x）的圖像關于直線x＝2對稱，g（2）＝4，則k=122f（A．﹣21 B．﹣22 C．﹣23 D．﹣24【答案】D【解答】解：∵y＝g（x）的圖像關于直線x＝2對稱，則g（2﹣x）＝g（2+x），∵f（x）+g（2﹣x）＝5，∴f（﹣x）+g（2+x）＝5，∴f（﹣x）＝f（x），故f（x）為偶函數，∵g（2）＝4，f（0）+g（2）＝5，得f（0）＝1．由g（x）﹣f（x﹣4）＝7，得g（2﹣x）＝f（﹣x﹣2）+7，代入f（x）+g（2﹣x）＝5，得f（x）+f（﹣x﹣2）＝﹣2，故f（x）關于點（﹣1，﹣1）中心對稱，∴f（1）＝f（﹣1）＝﹣1，由f（x）+f（﹣x﹣2）＝﹣2，f（﹣x）＝f（x），得f（x）+f（x+2）＝﹣2，∴f（x+2）+f（x+4）＝﹣2，故f（x+4）＝f（x），f（x）周期為4，由f（0）+f（2）＝﹣2，得f（2）＝﹣3，又f（3）＝f（﹣1）＝f（1）＝﹣1，所以k=122f（k）＝6f（1）+6f（2）+5f（3）+5故選：D．8．已知定義域均為R的函數f（x），g（x）滿足f（2﹣x）+f（x）＝2，g（4﹣x）＝g（x），g（2）＝3，若f（x）＝g（2+x）+4，則下列說法錯誤的是（）A．f（x）的圖象關于y軸對稱 B．﹣8為f（x）的一個周期 C．f（2023）＝﹣1 D．k=122f（【答案】C【解答】解：因為g（4﹣x）＝g（x），g（2）＝3，又f（x）＝g（2+x）+4，所以f（2﹣x）＝g（4﹣x）+4，f（x﹣2）＝g（x）+4，兩式相減可得：f（2﹣x）﹣f（x﹣2）＝0，所以f（2﹣x）＝f（x﹣2），所以f（﹣x）＝f（x），所以f（x）的圖象關于y軸對稱，所以A選項正確；又f（2﹣x）+f（x）＝2，所以f（2﹣x）+f（﹣x）＝2，所以f（x+2）+f（x）＝2，所以f（x+4）+f（x+2）＝2，所以f（x+4）＝f（x），所以f（x）的周期為4，所以﹣8為f（x）的一個周期，所以B選項正確；因為g（2）＝3，f（x）＝g（2+x）+4，所以f（0）＝g（2）+4＝7，又f（2﹣x）+f（x）＝2，所以2f（1）＝2，所以f（1）＝1，所以f（2）＝2﹣f（0）＝2﹣7＝﹣5，f（3）＝f（﹣1）＝f（1）＝1，f（4）＝f（0）＝7，所以f（2023）＝f（4×505+3）＝f（3）＝1，所以C選項錯誤；所以f（x）的一個周期的和為f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝1﹣5+1+7＝4，所以k=122f（k）＝5×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）＝5×4+1﹣5＝16，所以故選：C．二．多選題（共3小題）（多選）9．已知定義域為R的偶函數f（x）滿足f（x+2）＝﹣f（﹣x），當x∈（1，2]時f（x）＝2x﹣2，則下列結論正確的有（）A．f（﹣1）＝0 B．f（x）的圖象關于點（3，0）成中心對稱 C．f（2024）＞f（2025） D．f(【答案】ABD【解答】解：對A，∵f（x）滿足f（x+2）＝﹣f（﹣x），令x＝﹣1，則f（1）＝﹣f（1），即f（1）＝0，又∵f（x）為偶函數，∴f（﹣1）＝f（1）＝0，故A對；對B，∵f（x+2）＝﹣f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），故f（x）的周期T＝4，再根據f（x+2）＝﹣f（﹣x），即f（x+6）＝﹣f（﹣x），∴f（x）的圖象關于點（3，0）成中心對稱，故B對；對C，由B知：f（x）的周期T＝4，故f（2024）＝f（506×4）＝f（0），∵f（x+2）＝﹣f（﹣x），令x＝0，則f（2）＝﹣f（0），又∵當x∈（1，2]時f（x）＝2x﹣2，∴f（2）＝22﹣2＝2，即f（0）＝﹣f（2）＝﹣2，即f（2024）＝f（0）＝﹣2，f（2025）＝f（506×4+1）＝f（1）＝0，故f（2024）＜f（2025），故C錯誤；對D，f（x）滿足f（x+2）＝﹣f（﹣x），∴f（x）關于（1，0）中心對稱，又∵當x∈（1，2]時f（x）＝2x﹣2，∴f（x）在[0，2]上單調遞增；當x＝0時，f(0)=?2＜f(1當x≠0時，∵f（x）為偶函數，∴f(x∵0＜1當且僅當|x|=1|x|時，即∴f(xx2故選：ABD．（多選）10．已知函數f（x）與g（x）及其導函數f′（x）與g′（x）的定義域均為R．若f（x）為奇函數，f（x）+g（2﹣x）＝2，f′（x）+g′（x+1）＝2，則（）A．g（﹣2）+g（6）＝4 B．f′（0）＝0 C．曲線y＝f′（x）關于點(12D．k=1【答案】ACD【解答】解：對于選項A，令x＝﹣4，則f（﹣4）+g（6）＝2，令x＝4，則f（4）+g（﹣2）＝2，所以g（6）+g（﹣2）＝4，所以選項A正確；對于選項B，因為f（x）為奇函數，所以f′（x）為偶函數，所以無法得出f′（0）＝0，所以選項B錯誤；對于選項C，因為f（x）+g（2﹣x）＝2?f′（x）﹣g′（2﹣x）＝0，又因為f′（x）+g′（x+1）＝2，所以g′（x+1）+g′（2﹣x）＝2，所以g′（x）關于(3因為f′（x）＝2﹣g′（x+1），結合函數圖象平移，所以f′（x）關于(12，1)對于選項D，由于f′（x）為偶函數，結合C選項所得對稱中心，可知f′（x）周期為2，所以f′（x）+f′（1﹣x）＝2，f′（?12）＝f′（又因為g′（x+1）＝2﹣f′（x），所以g′（x）＝2﹣f′（x﹣1），且k=12025因為k=14所以i=12025所以k=120025f′(故選：ACD．（多選）11．定義在區(qū)間[0，2]上的函數f（x）滿足下列條件：（i）f（1）＝2，對于任意的x∈[0，2]，有f（x）≥1，且f（x）＝f（2﹣x）；（ii）對于任意的x∈[1，2]，當x+y≥3時，f（x）+f（y）≤f（x+y﹣2）+1成立．則下列說法正確的是（）A．f（2）≥5 B．x∈[﹣2，0]時，恒有f（x+2）＝f（﹣x） C．f（x）在[0，1]上非減且f(1D．當x∈[1，2]，f（x）≤5﹣2x【答案】BCD【解答】解：∵（i）f（1）＝2，對于任意的x∈[0，2]，有f（x）≥1，且f（x）＝f（2﹣x）；（ii）對于任意的x∈[1，2]，當x+y≥3時，f（x）+f（y）≤f（x+y﹣2）+1成立，對于選項A，∵f（1）＝2，取x＝1時，由（ii）式得2f（1）≤f（0）+1，于是f（0）≥3，再令x＝2得，f（2）＝f（2﹣2）＝f（0）≥3，但無法確定f（2）≥5，于是選項A錯誤；對于選項B，∵x∈[﹣2，0]，則﹣x∈[0，2]，0≤x+2≤2，根據（i）有f（x+2）＝f[2﹣（x+2）]＝f（﹣x），即f（x+2）＝f（﹣x）成立，于是選項B正確；對于選項C，對于任意的x，y∈[0，1]∈[0，2]，有2﹣x，2﹣y∈[1，2]，若x+y≤1，則4﹣（x+y）≥3，由條件（ii）有f（2﹣x）+f（2﹣y）≤f（4﹣x﹣y﹣2）+1＝f（2﹣x﹣y）+1＝f[2﹣（x+y）]+1，即f[2﹣（x+y）]≥f（2﹣x）+f（2﹣y）﹣1．……①由x∈[0，2]，f（x）＝f（2﹣x），f（2﹣y）＝f（y）∴f[2﹣（x+y）]＝f（x+y），故由①變?yōu)閒（x+y）≥f（x）+f（y）﹣1…………②對于任意的x1，x2∈[0，1]，設x1＜x2，則0＜x2﹣x1＜1．即x2﹣x1∈（0，1），不難想到x2＝[（x2﹣x1）+x1]，據②有f（x2）＝f[（x2﹣x1）+x1]≥f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1，∴f（x2）﹣f（x1）≥f（x2﹣x1）﹣1，而x∈[0，2]，有f（x）≥1，進而f（x2﹣x1）≥1，于是f（x2）﹣f（x1）≥0，顯然x∈[0，1]上f（x）非減；對于任意n∈N*有12即f(1即f(1下面以此式作為遞推式得：f(1≤?≤(=2×(12)n+故選項C正確；對于選項D，若對于任意x∈（0，1]和n∈N*，使得12由選項C，知x∈[0，1]上f（x）非減，則f(1而12n?1=∴f(12n)≤f(x)≤f(12n?1)≤2x+1，此時x當且僅當x∈[1，2）時，1＜x≤2，則﹣2≤﹣x＜﹣1，0≤2﹣x＜1，f（x）＝f（2﹣x）≤2（2﹣x）+1＝5﹣2x，另外，x∈[1，2]，當x+y≥3時，根據（ii），f（x）+f（y）≤f（x+y﹣2）+1，特取x＝y(tǒng)＝2，此時f（2）+f（2）≤f（2）+1，f（2）≤1，即f（2）≤5﹣4＝1，綜上所述，當x∈[1，2]，f（x）≤5﹣2x恒成立．即選項D成立．故選：BCD．三．填空題（共3小題）12．已知定義在R上的函數f（x）滿足f（2x+3）為偶函數，同時f（x+3）+f（5﹣x）＝0，且f（3）＝1，則i=12025f（i【答案】﹣1．【解答】解：因為f（2x+3）為偶函數，所以f（﹣2x+3）＝f（2x+3），所以f（5﹣x）＝f（x+1），又f（x+3）+f（5﹣x）＝0，所以f（x+3）+f（x+1）＝0，且f（4）＝0，所以f（x+2）+f（x）＝0，所以f（x+4）+f（x+2）＝0，所以f（x+4）＝f（x），所以f（x）的周期為4，又f（1）+f（3）＝f（2）+f（4）＝0，又f（3）＝1，所以f（1）＝﹣f（3）＝﹣1，所以i=12025f（i）＝[f（1）+f（2）+f（3）+f故答案為：﹣1．13．偶函數f（x）滿足f（x+2）＝f（x），且x∈[﹣1，1]時，f(x)=log2(2x+1)+(x+a)【答案】1716【解答】解：因為f（x）為偶函數，且x∈[﹣1，1]時，f(x)=log所以f(?x)=log解得a=?14，所以因為f（x+2）＝f（x），所以函數f（x）的周期為2，所以f(2022)=f(0)=log故答案為：171614．已知函數f（x）滿足：f（a+b）＝f（a）?f（b），f（1）＝2，則f2(1)+f(2)【答案】見試題解答內容【解答】解：運用條件知：f(n+1)f(n)且f=2f(2)故答案為：16四．解答題（共5小題）15．定義在（﹣2，2）上的函數f（x）滿足對任意的x，y∈（﹣2，2），都有f（x）+f（y）＝f（x+y），且當x∈（0，2）時，f（x）＞0．（1）證明：函數f（x）是奇函數；（2）證明：f（x）在（﹣2，2）上是增函數；（3）若f（﹣1）＝﹣2，f（x）≤t2+at﹣1對任意x∈[﹣1，1]，a∈[﹣2，2]恒成立，求實數t的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）實數t的取值范圍為（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．【解答】解：（1）證明：∵x，y∈（﹣2，2），都有f（x）+f（y）＝f（x+y），∴令x＝y(tǒng)＝0，則f（0）+f（0）＝f（0），解得f（0）＝0，令y＝﹣x，則f（x）+f（﹣x）＝f（0）＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x），∴函數f（x）是奇函數；（2）證明：任取x1，x2∈（0，2）且x1＞x2，則f（x1）﹣f（x2）＝f（x1）+f（﹣x2）＝f（x1﹣x2），∵x1，x2∈（0，2）且x1＞x2時，f（x）＞0，∴0＜x1﹣x2＜2，f（x1﹣x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，2）上單調遞增，由（1）得函數f（x）是奇函數，∴f（x）在（﹣2，0）上單調遞增，故f（x）在（﹣2，2）上是增函數；（3）由（1）（2）得函數f（x）是奇函數，f（x）在[﹣1，1]上是增函數，f（﹣1）＝﹣2，f（x）≤t2+at﹣1對任意x∈[﹣1，1]，a∈[﹣2，2]恒成立，轉化為t2+at﹣1≥f（x）max，∵f（﹣1）＝﹣2，∴f（x）max＝f（1）＝﹣f（﹣1）＝2，∴t2+at﹣1≥2對任意a∈[﹣2，2]恒成立，即t2+at﹣3≥0對任意a∈[﹣2，2]恒成立，令g（a）＝ta+t2﹣3，a∈[﹣2，2]，∴g(?2)≥0g(2)≥0，即?2t+t2?3≥02t+故實數t的取值范圍為（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．16．已知定義域為I＝（﹣∞，0）∪（0，+∞）的函數f（x）滿足對任意x1，x2∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），都有f（x1x2）＝x1f（x2）+x2f（x1）．（1）求證：f（x）是奇函數；（2）設g（x）=f(x)x，且x＞1時g（①求證：g（x）在（0，+∞）上是減函數；②求不等式g（2x﹣1）＞g（3x）的解集．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）取x1＝x2＝1，可得f（1）＝0，取x1＝x2＝﹣1，可得f（﹣1）=?12取x1＝x，x2＝﹣1，可得f（﹣x）＝﹣f（x）+xf（﹣1）＝﹣f（x）．∴f（x）是奇函數．（2）①∵f（x）是奇函數，g（x）=f(x)由f（x1x2）＝x1f（x2）+x2f（x1）．可得有g（x1x2）＝g（x2）+g（x1）．設x1＞x2＞0，則x1x2＞1，x＞1時g（∴g（x1）＝g（x1x2?x2）＝g（x2）+g（x∴g（x）在（0，+∞）上是減函數；②∵g（x）是偶函數且在（0，+∞）上是減函數，∴不等式g（2x﹣1）＞g（3x）的解集?2x?1≠03x≠0?x≠12x≠0x＞15∴不等式g（2x﹣1）＞g（3x）的解集為（﹣∞，﹣1）∪(117．函數f（x）滿足對任意x∈R，都有f（x+2）＝f（﹣x+2），且f（x）的圖象關于直線x＝1對稱，當x∈[2，3）時，f（x）＝2（x﹣2）3，且函數y＝f（x）﹣|logax|恰有2025個零點．（1）證明：函數f（x）為周期函數；（2）求整數a的值．【答案】（1）因為f（x）的圖象關于直線x＝1對稱，所以f（﹣x）＝f（x+2），又因為f（x+2）＝f（﹣x+2），所以f（﹣x）＝f（﹣x+