第25章隨機(jī)事件的概率知識點(diǎn)一確定事件與不確定事件◎確定事件在一定條件下，有些事情我們事先能肯定它一定發(fā)生，這些事情稱為必然事件．有些事情我們事先能肯定它一定不會發(fā)生，這些事情稱為不可能事件．必然事件與不可能事件統(tǒng)稱為確定事件.◎不確定事件也有許多事情我們事先無法肯定它會不會發(fā)生，這些事情稱為不確定事件，也稱為隨機(jī)事件.☆要知道事件發(fā)生的可能性大小首先要確定事件是什么類型.一般地，必然發(fā)生的事件發(fā)生的可能性最大，不可能發(fā)生的事件發(fā)生的可能性最小，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有大有小，不同的隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小可能不同.知識點(diǎn)二事件發(fā)生的可能性的大小◎隨機(jī)事件發(fā)生的可能性是有大小的；◎不同的隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小有可能相同.◎要比較隨機(jī)事件的可能性大小，可以按如下步驟進(jìn)行：☆確定：明確“決定不同隨機(jī)事件發(fā)生的要素”；☆計(jì)算：計(jì)算每一個要素的數(shù)量；☆結(jié)論：比較數(shù)量的多少，判斷可能性的大小.知識點(diǎn)三事件的概率的定義與計(jì)算方法◎概率的定義一般地，對于一個隨機(jī)事件A，我們把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機(jī)事件A發(fā)生的概率，記為P(A)．◎概率的計(jì)算一般地，在一次試驗(yàn)中，如果共有有限個可能發(fā)生的結(jié)果，并且每種結(jié)果發(fā)生的可能性都相等，用m表示一個指定事件A包含的結(jié)果數(shù)，n表示試驗(yàn)可能出現(xiàn)的所有結(jié)果的總數(shù)，那么事件A發(fā)生的概率可利用下面的公式計(jì)算：☆隨機(jī)事件A的概率P（A）＝◎概率的范圍☆當(dāng)事件A是必然事件時，P(A)=1；☆當(dāng)事件A是不可能事件時，P(A)=0；☆當(dāng)事件A隨機(jī)事件時，0＜P(A)＜1（1）任何事件A發(fā)生的概率P(A)都是0和1之間(包括0和1)的數(shù)，即0≤P(A)≤1（2）事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件發(fā)生的可能性越小，它的概率越接近0.◎概率的意義☆一般地，在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么這個常數(shù)p就叫做事件A的概率，記為P（A）＝p．概率是頻率（多個）的波動穩(wěn)定值，是對事件發(fā)生可能性大小的量的表現(xiàn)．◎幾何概率☆所謂幾何概型的概率問題，是指具有下列特征的一些隨機(jī)現(xiàn)象的概率問題：設(shè)在空間上有一區(qū)域G，又區(qū)域g包含在區(qū)域G內(nèi)（如圖），而區(qū)域G與g都是可以度量的（可求面積），現(xiàn)隨機(jī)地向G內(nèi)投擲一點(diǎn)M，假設(shè)點(diǎn)M必落在G中，且點(diǎn)M落在區(qū)域G的任何部分區(qū)域g內(nèi)的概率只與g的度量（長度、面積、體積等）成正比，而與g的位置和形狀無關(guān)．具有這種性質(zhì)的隨機(jī)試驗(yàn)（擲點(diǎn)），稱為幾何概型．關(guān)于幾何概型的隨機(jī)事件“向區(qū)域G中任意投擲一個點(diǎn)M，點(diǎn)M落在G內(nèi)的部分區(qū)域g”的概率P定義為：g的度量與G的度量之比，即P＝g的測度G的測度。簡單來說：求概率時，已知和未知與幾何有關(guān)的就是幾何概率．計(jì)算方法是長度比，面積比，體積比等．知識點(diǎn)四頻率與概率◎頻率的定義☆在n次重復(fù)試驗(yàn)中，不確定事件A發(fā)生了m次，則比值稱為事件A發(fā)生的頻率.無論是擲質(zhì)地均勻的硬幣還是擲圖釘，在試驗(yàn)次數(shù)很大時正面朝上（釘尖朝上）的頻率都會在一個常數(shù)附近擺動，這就是頻率的穩(wěn)定性.◎頻率與概率的關(guān)系☆事件當(dāng)涉及的對象比較單一且出現(xiàn)的等可能結(jié)果數(shù)目比較少時，就可以直接列舉出所有可能的結(jié)果，再利用概率公式求事件發(fā)生的概率.大小波動變小，并逐漸穩(wěn)定在概率附近.可見，概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值.概率是事件在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中頻率逐漸穩(wěn)定到的值，即可以用大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中事件發(fā)生的頻率去估計(jì)得到事件發(fā)生的概率，但二者不能簡單地等同，兩者存在一定的偏差是正常的，也是經(jīng)常的.知識點(diǎn)五列舉所有機(jī)會均等的結(jié)果◎用列舉法求事件的概率當(dāng)涉及的對象比較單一且出現(xiàn)的等可能結(jié)果數(shù)目比較少時，就可以直接列舉出所有可能的結(jié)果，再利用概率公式求事件發(fā)生的概率.◎用列表法求事件的概率當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個因素并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能結(jié)果，通常采用列表法.☆用列表法求概率的基本步驟：☆選擇其中一次操作或一個因素作為橫行，另一個操作或另一個因素作為豎行，列出表格.☆確定所有等可能的結(jié)果數(shù)n和事件A包含的結(jié)果數(shù)m，運(yùn)用公式P(A)=mn（m≤n◎用畫樹狀圖求事件的概率☆當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個或更多的因素(如從3個口袋中取球)時，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果,通常采用畫樹狀圖法.☆畫樹狀圖求概率的基本步驟：①明確一次試驗(yàn)有幾個步驟和順序；②把每一步驟的結(jié)果列為一層，畫樹狀圖；③沿著“樹杈”列出所有可能的結(jié)果，算出n的值；④找出符合條件的結(jié)果個數(shù)m；⑤求概率mn當(dāng)有兩個元素時，可用樹形圖列舉，也可以列表列舉．易錯點(diǎn)一：混淆"可能"、"很可能"、"必然"與"不可能"事件學(xué)生在判斷事件的可能性時，容易混淆這些概念，特別是將"可能"與"很可能"混為一談，或者未能準(zhǔn)確理解概率為0和1的極端情況。例題、判斷下列事件的類型（必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件）：(1)拋擲一枚骰子，出現(xiàn)7點(diǎn)；(2)明天的太陽從東方升起；(3)打開電視，正在播放新聞；(4)從一個只裝有紅球的袋中摸出白球。常見錯誤：將(3)判斷為不可能事件，認(rèn)為"打開電視不一定播放新聞"是不可能的；或?qū)?1)判斷為隨機(jī)事件，認(rèn)為"骰子可能出現(xiàn)7點(diǎn)"。正確解法：(1)骰子只有16點(diǎn)，出現(xiàn)7點(diǎn)是不可能事件；(2)太陽從東方升起是自然規(guī)律，是必然事件；(3)打開電視可能播放新聞，也可能播放其他節(jié)目，是隨機(jī)事件；(4)只裝有紅球的袋中不可能摸出白球，是不可能事件。易錯點(diǎn)二：錯誤計(jì)算簡單事件的概率學(xué)生在計(jì)算簡單隨機(jī)事件的概率時，容易忽略"等可能性"這一前提條件，或者未能準(zhǔn)確確定所有可能的結(jié)果數(shù)和事件發(fā)生的結(jié)果數(shù)。例題、拋擲兩枚均勻的硬幣，求兩枚硬幣都是正面向上的概率。易錯點(diǎn)三：混淆"有放回"與"無放回"的概率計(jì)算在涉及多個對象依次抽取的問題中，學(xué)生容易忽略抽取方式（有放回或無放回）對后續(xù)事件概率的影響。例題、一個袋子中有3個紅球和2個白球，從中依次摸出兩個球，求兩個球都是紅球的概率。正確解法：題目未說明摸球方式，應(yīng)分兩種情況討論：易錯點(diǎn)四：錯誤理解概率的意義學(xué)生容易將概率理解為確定性的預(yù)測，或者對"小概率事件"和"大概率事件"的理解存在偏差。易錯點(diǎn)五：混淆"或"與"且"事件的概率計(jì)算學(xué)生在計(jì)算復(fù)合事件的概率時，容易混淆"或"事件與"且"事件，特別是在事件不互斥的情況下，錯誤使用概率的加法公式。例題、從一副撲克牌（去掉大小王，共52張）中隨機(jī)抽取一張牌，求抽到紅心或K的概率。正確解法：事件"抽到紅心"與"抽到K"不是互斥事件（因?yàn)橛屑t心K），因此需要使用加法公式：P(紅心或K)=P(紅心)+P(K)P(紅心且K)易錯點(diǎn)六：忽略幾何概率中的等可能性前提在計(jì)算幾何概率時，學(xué)生容易忽略等可能性的前提條件，錯誤地使用長度比、面積比或體積比來計(jì)算概率。例題、在長度為1的線段AB上隨機(jī)取一點(diǎn)C，求點(diǎn)C到線段中點(diǎn)O的距離小于的概率?？偨Y(jié)反思通過對以上易錯點(diǎn)的分析，可以看出隨機(jī)事件的概率常見錯誤主要集中在概念理解和實(shí)際應(yīng)用上。為避免這些錯誤：(1)準(zhǔn)確理解必然事件、不可能事件和隨機(jī)事件的概念；(2)計(jì)算概率時確保所有可能結(jié)果具有等可能性；(3)注意區(qū)分有放回和無放回抽取對概率的影響；(4)正確理解概率的統(tǒng)計(jì)意義，避免確定性思維；(5)區(qū)分"或"事件與"且"事件，正確使用概率公式；(6)計(jì)算幾何概率時注意等可能性條件的滿足。重難點(diǎn)1：隨機(jī)事件與概率的基本概念涉及知識點(diǎn)：◎隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件的定義◎概率的定義：P(A)=m?n(m為事件A發(fā)生的可能結(jié)果數(shù)，n為所有可能結(jié)果數(shù))◎概率的取值范圍：0≤P(A)≤1解題技巧：◎先準(zhǔn)確判斷事件的類型（隨機(jī)、必然、不可能）◎理解概率的三種解釋及其適用場景◎掌握概率的基本性質(zhì)◎注意區(qū)分頻率與概率的概念例題精選例題1：從自然數(shù)1，2，3，4，6，7，8，9中任選一個數(shù)，下列事件是必然事件的是（

）A．這個數(shù)能被5整除 B．這個數(shù)既能被2整除，也能被3整除C．這個數(shù)能被3整除 D．這個數(shù)的2倍是偶數(shù)例題2：隨機(jī)事件的概率是（

）A．1 B．0 C．大于0且小于1 D．大于1例題3：下列說法錯誤的是（

）A．20張票中有1張獎票，20人去摸，先摸的人摸到獎票的概率較大B．從1，2，3，4，5中隨機(jī)抽取一個數(shù)，取得奇數(shù)的可能性較大C．小明一次擲出3顆質(zhì)地均勻的骰子，3顆全是6點(diǎn)朝上是隨機(jī)事件D．拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上的概率為12，連續(xù)拋此硬幣2次不一定有1重難點(diǎn)2：概率的計(jì)算涉及知識點(diǎn)：◎古典概型的定義：有限個等可能結(jié)果◎概率計(jì)算公式：P(A)=事件A包含的基本事件數(shù)?基本事件總數(shù)◎等可能性假設(shè)的判斷解題技巧：◎準(zhǔn)確計(jì)算基本事件總數(shù)和事件A包含的基本事件數(shù)◎注意等可能性條件的驗(yàn)證例題精選例題1：在一個袋子里，裝有50個紅色、黃色、綠色三種顏色形狀、大小、質(zhì)地完全相同球，經(jīng)過充分?jǐn)嚢韬?，通過足夠多次的隨機(jī)抽取實(shí)驗(yàn)，得到“任取一球是紅球”的概率為30%，已知黃球比綠球多5個，則這個袋子中綠球有例題2：某校為弘揚(yáng)法治精神，營造校園良好尊法學(xué)法守法環(huán)境，該校學(xué)生會宣傳部決定從《民法典》、《未成年人保護(hù)法》、《刑法》、《義務(wù)教育法》（依次用字母A，B，C，D表示）中隨機(jī)抽取兩本法律并選取部分內(nèi)容作為學(xué)校法治宣傳欄內(nèi)容．(1)抽取《義務(wù)教育法》作為宣傳欄內(nèi)容的概率為；(2)請用列表或畫樹狀圖的方法，求出抽取的兩本法律中有《民法典》的概率．例題3：在一個不透明的小布袋中裝有4個標(biāo)有1，2，3，4的小球，它們的質(zhì)地、大小完全相同，小明從布袋里隨機(jī)摸出一個小球，記下數(shù)字為x，小紅在剩下的3個小球中隨機(jī)摸出一個小球，記下數(shù)字為y，這樣確定了點(diǎn)M的坐標(biāo)x,y(1)畫樹狀圖或列表，寫出點(diǎn)M所有可能的坐標(biāo)．(2)小明和小紅約定做一個游戲，其規(guī)則為：x、y若滿足xy重難點(diǎn)3：幾何概型涉及知識點(diǎn)：◎幾何概型的定義：無限個等可能結(jié)果◎幾何概型概率計(jì)算公式：P(A)=構(gòu)成事件A的區(qū)域長度(面積或體積)?試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度(面積或體積)◎幾何概型的常見類型：長度型、面積型、體積型解題技巧：◎準(zhǔn)確確定試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域◎準(zhǔn)確確定事件A構(gòu)成的區(qū)域◎合理選擇長度、面積或體積作為度量◎注意邊界條件的處理例題精選例題1：如圖，某奶茶店鋪前地面上有以點(diǎn)O為圓心的兩個同心圓投影圖案，大圓的半徑為R，小圓的半徑為r，R:r=5:1例題2：如圖1，在面積為64cm2的正方形內(nèi)部有一不規(guī)則圖案（圖中陰影部分），為測算陰影部分面積，小亮利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬試驗(yàn)，通過計(jì)算機(jī)在正方形區(qū)域隨機(jī)投放一個點(diǎn)，并記錄該點(diǎn)落在陰影上的頻率數(shù)據(jù)，結(jié)果如圖2所示．小亮由此估計(jì)陰影部分面積約為例題3：如圖，點(diǎn)D、E分別位于△ABC邊BC、AB上，AD與CE交于點(diǎn)F．已知AF:FD=1:1，EF:FC=3:10，現(xiàn)隨機(jī)向△ABC內(nèi)投擲一枚小針，則針尖落在△CDF內(nèi)的概率為重難點(diǎn)4：概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用涉及知識點(diǎn)：◎頻率與概率的關(guān)系◎用頻率估計(jì)概率◎概率在統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用◎樣本與總體的關(guān)系解題技巧：◎理解頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系◎掌握用頻率估計(jì)概率的方法◎利用概率解釋統(tǒng)計(jì)現(xiàn)象◎注意樣本的代表性例題精選例題1：盒子里裝有紅球和白球共20個，它們除顏色外其他都相同，每次從盒子里摸出1個球，記下顏色后放回盒中搖勻再摸球，在活動中得到如表中部分?jǐn)?shù)據(jù)．摸球次數(shù)出現(xiàn)紅球的頻數(shù)出現(xiàn)紅球的頻率摸球次數(shù)出現(xiàn)紅球的頻數(shù)出現(xiàn)紅球的頻率1003232400130a2006231500150b300903060018330.5(1)請將表中數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，a=______；b=______；(2)畫出“出現(xiàn)紅球”的頻率折線統(tǒng)計(jì)圖；(3)估計(jì)摸到紅球的概率為______（精確到0.1）．(4)估計(jì)盒子里有紅球______個和白球______個．例題2：某校為加強(qiáng)書法教學(xué)，了解學(xué)生現(xiàn)有的書寫能力，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行測試，測試結(jié)果分為優(yōu)、良好、及格、不及格四個等級，分別用A，B，C，D表示，并將測試結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖：根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息解答以下問題：(1)本次抽取的學(xué)生共有_______人，扇形統(tǒng)計(jì)圖中A所對應(yīng)扇形的圓心角是_______，并把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；(2)若該校共有學(xué)生2800人，請估計(jì)一下，書寫能力等級達(dá)到優(yōu)秀的學(xué)生大約有_______人；(3)A等級的4名學(xué)生中有3名女生和1名男生，現(xiàn)在需要從這4人中隨機(jī)抽取2人參加電視臺舉辦的“中學(xué)生書法比賽”，請用列表或畫樹狀圖的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率．例題3：隨著快遞行業(yè)在農(nóng)村的深入發(fā)展，全國各地的特色農(nóng)產(chǎn)品有了更廣闊的銷售空間．不同的快遞公司在配送、服務(wù)、收費(fèi)和投遞范圍等方面各具優(yōu)勢，某農(nóng)產(chǎn)品種植戶經(jīng)過前期調(diào)研，打算從甲、乙兩家快遞公司中選擇一家合作．為此，該種植戶收集了10家農(nóng)產(chǎn)品種植戶對兩家公司的相關(guān)評價，并整理、描述、分析如下：配送速度和服務(wù)質(zhì)量得分統(tǒng)計(jì)表項(xiàng)目統(tǒng)計(jì)量快遞公司配送速度得分服務(wù)質(zhì)量得分平均數(shù)中位數(shù)平均數(shù)方差甲7.8m7s乙887s(1)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖，扇形統(tǒng)計(jì)圖中圓心角α的度數(shù)是；(2)表格中的m＝；s甲2s乙2（填“(3)如果A，B，C三家農(nóng)產(chǎn)品種植戶分別從甲、乙兩個快遞公司中任選一個公司合作，求三家種植戶選擇同一快遞公司的概率．重難點(diǎn)5：概率的實(shí)際應(yīng)用涉及知識點(diǎn)：◎概率在決策中的應(yīng)用◎概率在游戲中的應(yīng)用◎概率在風(fēng)險評估中的應(yīng)用◎概率在日常生活中的應(yīng)用解題技巧：◎?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化為概率問題◎建立合適的概率模型◎利用概率進(jìn)行決策分析◎注意實(shí)際問題的約束條件例題精選例題1：某商場為了吸引顧客，設(shè)立了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤．并規(guī)定：顧客每購買100元的商品，就能獲得一次轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會，如果轉(zhuǎn)盤停止后，指針正好對準(zhǔn)紅色、黃色或綠色區(qū)域，那么顧客就可以分別獲得100元、50元、20元購物券（轉(zhuǎn)盤被等分成20個扇形），甲顧客購物120元，他獲得購物券的概率是多少？例題2：甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戲，一人為蒙眼人，捉另外兩人，捉到一人，記為捉一次；被捉到的人成為新的蒙眼人，接著捉……一直這樣玩（每次捉到一人）．請用樹狀圖解決下列問題，(1)若甲為開始蒙眼人，捉兩次，求第二次捉到丙的概率；(2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，應(yīng)該誰為開始蒙眼人？例題3：在中國，不僅是購物，而且從共享單車到醫(yī)院掛號再到公共繳費(fèi)，男性、女性日常生活中幾乎全部領(lǐng)域都支持手機(jī)支付．出門不帶現(xiàn)金的人數(shù)正在迅速增加．中國人民大學(xué)和法國調(diào)查公司益普素合作，調(diào)查了騰訊服務(wù)的6000名用戶（男性4000人，女性2000人），從中隨機(jī)抽取了60名（女性20人），統(tǒng)計(jì)他們出門隨身攜帶現(xiàn)金（單位：元），規(guī)定：隨身攜帶的現(xiàn)金在100元以下（不含100元）的為“手機(jī)支付