2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)每日一練（Day8）一、選擇題（每題5分，共60分）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|log?(x+1)=1}，則A∩B=（）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.?函數(shù)f(x)=√(x-1)+log?(3-x)的定義域是（）A.[1,3)B.(1,3]C.[1,3]D.(1,3)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上為增函數(shù)的是（）A.f(x)=-x+1B.f(x)=x2-2xC.f(x)=log?/?xD.f(x)=2?已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，則cosα的值為（）A.4/5B.-4/5C.3/4D.-3/4函數(shù)y=sin(2x+π/3)的最小正周期是（）A.π/2B.πC.2πD.4π已知等差數(shù)列{an}中，a?=2，d=3，則a?的值是（）A.14B.15C.16D.17在等比數(shù)列{an}中，a?=4，a?=32，則公比q的值是（）A.2B.-2C.4D.-4函數(shù)f(x)=x2-4x+3的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.(-∞,2]B.[2,+∞)C.(-∞,1]D.[3,+∞)已知tanα=2，則sin2α的值為（）A.1/5B.2/5C.3/5D.4/5函數(shù)f(x)=2sinx+cosx的最大值是（）A.1B.√5C.3D.5數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+2n，則a?的值是（）A.9B.10C.11D.12已知函數(shù)f(x)=2?+1，則f?1(5)的值是（）A.2B.log?5C.log?4D.log?(5-1)二、填空題（每題5分，共30分）函數(shù)f(x)=x3-3x+1在x=1處的導(dǎo)數(shù)f'(1)=______。已知向量a=(2,3)，b=(m,4)，若a⊥b，則m=______。函數(shù)y=cos2x-sin2x的最小正周期是______。已知等比數(shù)列{an}的前n項和Sn=2?-1，則a?=______。函數(shù)f(x)=x2-2x+3在區(qū)間[0,3]上的最大值是______。已知sinα+cosα=1/5，α∈(0,π)，則sinα-cosα=______。三、解答題（共60分）（10分）已知函數(shù)f(x)=x2-4x+5，求：（1）函數(shù)f(x)的頂點坐標(biāo)；（2）函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,5]上的最大值和最小值。（12分）已知函數(shù)f(x)=sinx+cosx，x∈R。（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（2）求函數(shù)f(x)的最大值和最小值；（3）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π/2]上的單調(diào)遞增區(qū)間。（12分）已知等差數(shù)列{an}中，a?=1，a?+a?=14，求：（1）數(shù)列{an}的通項公式；（2）數(shù)列{an}的前n項和Sn；（3）若Sn=100，求n的值。（13分）已知函數(shù)f(x)=log?(x+1)，g(x)=log?(3x+1)。（1）求函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)的定義域；（2）解不等式f(x)≤g(x)；（3）求函數(shù)h(x)在區(qū)間[0,1]上的最大值。（13分）已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π/2)的圖像經(jīng)過點(0,1)，且在x=π/12處取得最大值2。（1）求函數(shù)f(x)的解析式；（2）求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）若f(α)=√3，α∈(0,π/2)，求α的值。參考答案與詳細(xì)解析一、選擇題A解析：解方程x2-3x+2=0得x=1或x=2，所以A={1,2}。由log?(x+1)=1得x+1=2，即x=1，所以B={1}。因此A∩B={1}，選A。A解析：要使函數(shù)有意義，需滿足x-1≥0且3-x>0，解得1≤x<3，即定義域為[1,3)，選A。D解析：A是一次函數(shù)，斜率為-1，在R上單調(diào)遞減；B是二次函數(shù)，對稱軸為x=1，在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增；C是對數(shù)函數(shù)，底數(shù)1/2<1，在(0,+∞)上單調(diào)遞減；D是指數(shù)函數(shù)，底數(shù)2>1，在R上單調(diào)遞增，選D。B解析：因為α∈(π/2,π)，所以cosα<0。根據(jù)sin2α+cos2α=1，得cosα=-√(1-sin2α)=-√(1-9/25)=-4/5，選B。B解析：函數(shù)y=sin(ωx+φ)的最小正周期T=2π/|ω|，這里ω=2，所以T=2π/2=π，選B。A解析：等差數(shù)列通項公式an=a?+(n-1)d，所以a?=2+(5-1)×3=2+12=14，選A。A解析：等比數(shù)列中，a?=a?·q3，即32=4·q3，解得q3=8，所以q=2，選A。A解析：函數(shù)f(x)=x2-4x+3的對稱軸為x=2，開口向上，所以單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,2]，選A。D解析：sin2α=2sinαcosα=2tanα/(1+tan2α)=2×2/(1+4)=4/5，選D。B解析：f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)，最大值為√2，選B。（注：原題選項設(shè)置有誤，正確答案應(yīng)為√2，最接近的選項為B）C解析：a?=S?-S?=(52+2×5)-(42+2×4)=(25+10)-(16+8)=35-24=11，選C。A解析：令f(x)=5，即2?+1=5，得2?=4，解得x=2，所以f?1(5)=2，選A。二、填空題0解析：f'(x)=3x2-3，所以f'(1)=3×12-3=0。-6解析：因為a⊥b，所以a·b=0，即2m+3×4=0，解得m=-6。π解析：y=cos2x-sin2x=cos2x，最小正周期T=2π/2=π。4解析：a?=S?-S?=(23-1)-(22-1)=8-1-4+1=4。6解析：f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2，對稱軸為x=1，在[0,1]上單調(diào)遞減，在[1,3]上單調(diào)遞增。f(0)=3，f(3)=6，所以最大值為6。7/5解析：由sinα+cosα=1/5平方得sin2α+2sinαcosα+cos2α=1/25，即1+2sinαcosα=1/25，所以2sinαcosα=-24/25<0。因為α∈(0,π)，所以sinα>0，cosα<0，因此sinα-cosα>0。(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1+24/25=49/25，所以sinα-cosα=7/5。三、解答題解：（1）f(x)=x2-4x+5=(x-2)2+1，所以頂點坐標(biāo)為(2,1)。（2）因為函數(shù)開口向上，對稱軸為x=2，所以在[0,2]上單調(diào)遞減，在[2,5]上單調(diào)遞增。f(0)=5，f(2)=1，f(5)=10，所以最大值為10，最小值為1。解：（1）f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)，所以最小正周期T=2π。（2）最大值為√2，最小值為-√2。（3）令-π/2+2kπ≤x+π/4≤π/2+2kπ，得-3π/4+2kπ≤x≤π/4+2kπ。當(dāng)k=0時，得-3π/4≤x≤π/4。因為x∈[0,π/2]，所以單調(diào)遞增區(qū)間為[0,π/4]。解：（1）設(shè)等差數(shù)列公差為d，則a?=a?+2d=1+2d，a?=a?+4d=1+4d。由a?+a?=14得(1+2d)+(1+4d)=14，解得d=2。所以an=a?+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1。（2）Sn=n(a?+an)/2=n(1+2n-1)/2=n2。（3）由Sn=n2=100得n=10（n=-10舍去）。解：（1）h(x)=log?(x+1)+log?(3x+1)，要使函數(shù)有意義，需x+1>0且3x+1>0，解得x>-1/3，所以定義域為(-1/3,+∞)。（2）由f(x)≤g(x)得log?(x+1)≤log?(3x+1)，因為對數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，所以x+1≤3x+1，解得x≥0。又因為定義域為x>-1/3，所以不等式解集為[0,+∞)。（3）h(x)=log?[(x+1)(3x+1)]=log?(3x2+4x+1)。令t=3x2+4x+1，在[0,1]上單調(diào)遞增，所以t∈[1,8]，h(x)=log?t∈[0,3]，最大值為3。解：（1）因為函數(shù)最大值為2，所以A=2。圖像過點(0,1)，所以2sinφ=1，即sinφ=1/2。因為|φ|<π/2，所以φ=π/6。又在x=π/12處取得最大值，所以ω·π/12+π/6=π/2+2kπ，解得ω=12k+4。因為ω>0，取k=0得ω=4，所以f(x)=2sin(4x+π/6)。（2）令π/2+2kπ