2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)每日一練（Day12）一、選擇題（共8題，每題5分，共40分）1.已知集合(A={x|x^2-3x+2=0})，(B={x|ax-2=0})，若(B\subseteqA)，則實(shí)數(shù)(a)的取值集合為（）A.({0,1,2})B.({1,2})C.({0,2})D.({0,1})解析：解方程(x^2-3x+2=0)，得(x=1)或(x=2)，故(A={1,2})。當(dāng)(B=\varnothing)時(shí)，方程(ax-2=0)無解，此時(shí)(a=0)，滿足(B\subseteqA)。當(dāng)(B\neq\varnothing)時(shí)，(B=\left{\frac{2}{a}\right})，由(B\subseteqA)得(\frac{2}{a}=1)或(\frac{2}{a}=2)，解得(a=2)或(a=1)。綜上，(a)的取值集合為({0,1,2})，選A。2.函數(shù)(f(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x-1})的定義域是（）A.([-1,+\infty))B.((-1,1)\cup(1,+\infty))C.([-1,1)\cup(1,+\infty))D.((-1,+\infty))解析：要使函數(shù)有意義，需滿足：根號(hào)內(nèi)非負(fù)：(x+1\geq0\Rightarrowx\geq-1)；分母不為0：(x-1\neq0\Rightarrowx\neq1)。綜上，定義域?yàn)?[-1,1)\cup(1,+\infty))，選C。3.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A.(f(x)=x^3)B.(f(x)=\sinx)C.(f(x)=\frac{1}{x})D.(f(x)=x^2)解析：A選項(xiàng)：(f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x))，為奇函數(shù)；且(f(x)=x^3)在(\mathbb{R})上單調(diào)遞增，符合題意。B選項(xiàng)：(f(x)=\sinx)是奇函數(shù)，但在(\mathbb{R})上不單調(diào)（如在([0,\frac{\pi}{2}])遞增，在([\frac{\pi}{2},\pi])遞減）。C選項(xiàng)：(f(x)=\frac{1}{x})是奇函數(shù)，但在((-\infty,0))和((0,+\infty))上分別遞減，不是增函數(shù)。D選項(xiàng)：(f(x)=x^2)是偶函數(shù)，排除。選A。4.已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}2x-1,&x\geq0\x^2+1,&x<0\end{cases})，則(f(f(-1))=（）A.2B.3C.4D.5解析：先求(f(-1))：(x=-1<0)，代入(f(x)=x^2+1)，得(f(-1)=(-1)^2+1=2)。再求(f(f(-1))=f(2))：(x=2\geq0)，代入(f(x)=2x-1)，得(f(2)=2\times2-1=3)。選B。5.函數(shù)(f(x)=x^2-2x+3)在區(qū)間([0,3])上的最大值和最小值分別為（）A.6，2B.6，3C.8，2D.8，3解析：函數(shù)(f(x)=x^2-2x+3)的對稱軸為(x=-\frac{2a}=1)，開口向上。在區(qū)間([0,3])上，最小值在對稱軸(x=1)處取得：(f(1)=1-2+3=2)。比較區(qū)間端點(diǎn)值：(f(0)=0-0+3=3)，(f(3)=9-6+3=6)，故最大值為6。選A。6.已知(\log_23=a)，(\log_37=b)，則(\log_{14}56=（）)（用(a,b)表示）A.(\frac{ab+a+1}{ab+1})B.(\frac{ab+a+1}{ab})C.(\frac{a+b+1}{ab+1})D.(\frac{ab+b+1}{ab+1})解析：由換底公式得：(\log_{14}56=\frac{\log_256}{\log_214}=\frac{\log_2(7\times8)}{\log_2(2\times7)}=\frac{\log_27+3}{\log_22+\log_27})。已知(\log_23=a\Rightarrow\log_32=\frac{1}{a})，則(\log_27=\log_2(3^b)=b\log_23=ab)（由(\log_37=b\Rightarrow7=3^b)）。代入得：(\log_{14}56=\frac{ab+3}{1+ab})？？？（此處需修正）正確步驟：(\log_27=\log_2(3^{\log_37})=\log_37\cdot\log_23=ab)，(\log_256=\log_2(8\times7)=3+\log_27=3+ab)，(\log_214=\log_2(2\times7)=1+\log_27=1+ab)，故(\log_{14}56=\frac{ab+3}{ab+1})，但選項(xiàng)中無此答案，說明題目可能存在印刷錯(cuò)誤，若將56改為28，則(\log_228=2+ab)，結(jié)果為(\frac{ab+2}{ab+1})，仍不匹配。若原題正確，可能需重新推導(dǎo)：由(\log_37=b\Rightarrow\log_27=\log_23\cdot\log_37=ab)，(\log_{14}56=\frac{\log_356}{\log_314}=\frac{\log_3(7\times8)}{\log_3(2\times7)}=\frac{\log_37+3\log_32}{\log_32+\log_37}=\frac{b+\frac{3}{a}}{\frac{1}{a}+b}=\frac{ab+3}{ab+1})。選項(xiàng)中無正確答案，可能題目應(yīng)為(\log_{14}28)，此時(shí)結(jié)果為(\frac{ab+2}{ab+1})，仍不匹配。按原題選項(xiàng)，最接近的是A選項(xiàng)，可能題目中56應(yīng)為28，且分子中“3”誤寫為“1”，此處暫選A（需注意題目可能存在錯(cuò)誤）。7.函數(shù)(f(x)=e^x-e^{-x})的圖像大致為（）A.關(guān)于原點(diǎn)對稱的增函數(shù)B.關(guān)于y軸對稱的增函數(shù)C.關(guān)于原點(diǎn)對稱的減函數(shù)D.關(guān)于y軸對稱的減函數(shù)解析：奇偶性：(f(-x)=e^{-x}-e^x=-f(x))，故為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除B、D。單調(diào)性：(f'(x)=e^x+e^{-x}>0)恒成立，故(f(x))在(\mathbb{R})上單調(diào)遞增，排除C。選A。8.已知函數(shù)(f(x)=\log_a(x+1)+\log_a(3-x))（(a>0)且(a\neq1)）的最大值為2，則(a=（）)A.2或(\frac{1}{2})B.2C.(\frac{1}{2})D.4解析：定義域：(x+1>0)且(3-x>0\Rightarrow-1<x<3)。化簡(f(x)=\log_a[(x+1)(3-x)]=\log_a(-x^2+2x+3))。令(t=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4)，則(t\in(0,4])。當(dāng)(a>1)時(shí)，(f(x)_{\text{max}}=\log_a4=2\Rightarrowa^2=4\Rightarrowa=2)；當(dāng)(0<a<1)時(shí)，(f(x)_{\text{max}}=\log_a4=2\Rightarrowa^2=4\Rightarrowa=-2)（舍去）。綜上，(a=2)，選B。二、填空題（共4題，每題5分，共20分）9.函數(shù)(f(x)=2^x+\frac{1}{2^x})的最小值為________。解析：令(t=2^x)，則(t>0)，(f(x)=t+\frac{1}{t})。由基本不等式(t+\frac{1}{t}\geq2\sqrt{t\cdot\frac{1}{t}}=2)，當(dāng)且僅當(dāng)(t=1)（即(x=0)）時(shí)取等號(hào)。答案：210.已知函數(shù)(f(x)=x^3+ax^2+bx+c)，若(f(1)=0)，(f(2)=0)，(f(3)=4)，則(c=)________。解析：由(f(1)=0)，(f(2)=0)，可設(shè)(f(x)=(x-1)(x-2)(x-m)+d)，但因三次函數(shù)最高次項(xiàng)系數(shù)為1，故(f(x)=(x-1)(x-2)(x-m))。代入(f(3)=4)：((3-1)(3-2)(3-m)=4\Rightarrow2\times1\times(3-m)=4\Rightarrow3-m=2\Rightarrowm=1)。故(f(x)=(x-1)^2(x-2)=(x^2-2x+1)(x-2)=x^3-4x^2+5x-2)，對比系數(shù)得(c=-2)。答案：-211.若函數(shù)(f(x)=\frac{2x+1}{x-a})的圖像關(guān)于點(diǎn)((1,2))對稱，則實(shí)數(shù)(a=)________。解析：函數(shù)(f(x)=\frac{2x+1}{x-a}=2+\frac{2a+1}{x-a})，其圖像可由(y=\frac{2a+1}{x})向右平移(a)個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位得到。反比例函數(shù)(y=\frac{k}{x})的對稱中心為((0,0))，故(f(x))的對稱中心為((a,2))。已知對稱中心為((1,2))，則(a=1)。答案：112.已知定義在(\mathbb{R})上的奇函數(shù)(f(x))滿足(f(x+4)=f(x))，且當(dāng)(x\in[0,2])時(shí)，(f(x)=x^2)，則(f(7)=)________。解析：由(f(x+4)=f(x))知函數(shù)周期為4，故(f(7)=f(7-2\times4)=f(-1))。因(f(x))是奇函數(shù)，(f(-1)=-f(1))。當(dāng)(x=1\in[0,2])時(shí)，(f(1)=1^2=1)，故(f(7)=-1)。答案：-1三、解答題（共4題，共70分）13.（15分）已知函數(shù)(f(x)=\frac{1}{2}x^2-ax+(a-1)\lnx)（(a>1)）。（1）求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）若對任意(x_1,x_2\in(0,+\infty))，(x_1\neqx_2)，都有(\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0)，求(a)的取值范圍。解析：（1）函數(shù)定義域?yàn)?(0,+\infty))，求導(dǎo)得：(f'(x)=x-a+\frac{a-1}{x}=\frac{x^2-ax+(a-1)}{x}=\frac{(x-1)(x-(a-1))}{x})。令(f'(x)=0)，得(x=1)或(x=a-1)（(a>1\Rightarrowa-1>0)）。當(dāng)(a-1>1)（即(a>2)）時(shí)：(x\in(0,1)\cup(a-1,+\infty))時(shí)，(f'(x)>0)，(f(x))單調(diào)遞增；(x\in(1,a-1))時(shí)，(f'(x)<0)，(f(x))單調(diào)遞減。當(dāng)(a-1=1)（即(a=2)）時(shí)，(f'(x)=\frac{(x-1)^2}{x}\geq0)，(f(x))在((0,+\infty))上單調(diào)遞增。當(dāng)(0<a-1<1)（即(1<a<2)）時(shí)：(x\in(0,a-1)\cup(1,+\infty))時(shí)，(f'(x)>0)，(f(x))單調(diào)遞增；(x\in(a-1,1))時(shí)，(f'(x)<0)，(f(x))單調(diào)遞減。（2）由題意知(f(x))在((0,+\infty))上單調(diào)遞增，故(f'(x)\geq0)在((0,+\infty))上恒成立。結(jié)合（1），當(dāng)(a=2)時(shí)，(f'(x)\geq0)恒成立；當(dāng)(a>2)或(1<a<2)時(shí)，(f(x))存在遞減區(qū)間，不滿足題意。綜上，(a=2)，即(a)的取值范圍為({2})。14.（15分）已知函數(shù)(f(x)=|x-1|+|2x+m|)（(m\in\mathbb{R})）。（1）當(dāng)(m=2)時(shí)，解不等式(f(x)\leq5)；（2）若存在(x_0\in\mathbb{R})，使得(f(x_0)\leq2)成立，求(m)的取值范圍。解析：（1）當(dāng)(m=2)時(shí)，(f(x)=|x-1|+|2x+2|=|x-1|+2|x+1|)。分段討論：當(dāng)(x\geq1)時(shí)，(f(x)=(x-1)+2(x+1)=3x+1\leq5\Rightarrowx\leq\frac{4}{3})，故(1\leqx\leq\frac{4}{3})；當(dāng)(-1<x<1)時(shí)，(f(x)=(1-x)+2(x+1)=x+3\leq5\Rightarrowx\leq2)，故(-1<x<1)；當(dāng)(x\leq-1)時(shí)，(f(x)=(1-x)+2(-x-1)=-3x-1\leq5\Rightarrowx\geq-2)，故(-2\leqx\leq-1)。綜上，不等式解集為([-2,\frac{4}{3}])。（2）(f(x)=|x-1|+|2x+m|=|x-1|+2|x+\frac{m}{2}|)，其最小值在分段點(diǎn)處取得。令(x-1=0\Rightarrowx=1)，(x+\frac{m}{2}=0\Rightarrowx=-\frac{m}{2})。當(dāng)(-\frac{m}{2}\leq1)（即(m\geq-2)）時(shí)，(f(x))在(x=-\frac{m}{2})處取得最小值：(f(-\frac{m}{2})=|-\frac{m}{2}-1|+0=|\frac{m}{2}+1|\leq2\Rightarrow-2\leq\frac{m}{2}+1\leq2\Rightarrow-6\leqm\leq2)，結(jié)合(m\geq-2)，得(-2\leqm\leq2)。當(dāng)(-\frac{m}{2}>1)（即(m<-2)）時(shí)，(f(x))在(x=1)處取得最小值：(f(1)=0+|2+m|\leq2\Rightarrow-2\leqm+2\leq2\Rightarrow-4\leqm\leq0)，結(jié)合(m<-2)，得(-4\leqm<-2)。綜上，(m)的取值范圍為([-4,2])。15.（20分）已知函數(shù)(f(x)=a^x-k\cdota^{-x})（(a>0)且(a\neq1)）是定義域?yàn)?\mathbb{R})的奇函數(shù)，且(f(1)=\frac{3}{2})。（1）求(k)和(a)的值；（2）判斷(f(x))的單調(diào)性，并證明；（3）若(f(x^2+tx)+f(4-x)>0)對任意(x\in[1,2])恒成立，求實(shí)數(shù)(t)的取值范圍。解析：（1）因(f(x))是奇函數(shù)，故(f(0)=0\Rightarrowa^0-k\cdota^0=1-k=0\Rightarrowk=1)。又(f(1)=a-\frac{1}{a}=\frac{3}{2}\Rightarrow2a^2-3a-2=0\Rightarrow(2a+1)(a-2)=0)，解得(a=2)（(a>0)）。（2）(f(x)=2^x-2^{-x})，在(\mathbb{R})上單調(diào)遞增，證明如下：任取(x_1<x_2)，則(f(x_1)-f(x_2)=(2^{x_1}-2^{-x_1})-(2^{x_2}-2^{-x_2})=(2^{x_1}-2^{x_2})+(2^{-x_2}-2^{-x_1}))。因(x_1<x_2)，(2^{x_1}<2^{x_2}\Rightarrow2^{x_1}-2^{x_2}<0)；(-x_2<-x_1\Rightarrow2^{-x_2}<2^{-x_1}\Rightarrow2^{-x_2}-2^{-x_1}<0)；故(f(x_1)-f(x_2)<0\Rightarrowf(x_1)<f(x_2))，即(f(x))在(\mathbb{R})上遞增。（3）由(f(x))是奇函數(shù)且遞增，得：(f(x^2+tx)+f(4-x)>0\Rightarrowf(x^2+tx)>-f(4-x)=f(x-4)\Rightarrowx^2+tx>x-4)對(x\in[1,2])恒成立。整理得：(x^2+(t-1)x+4>0)，令(g(x)=x^2+(t-1)x+4)，(x\in[1,2])。對稱軸為(x=\frac{1-t}{2})，需分情況討論：當(dāng)(\frac{1-t}{2}\leq1)（即(t\geq-1)）時(shí)，(g(x)_{\text{min}}=g(1)=1+t-1+4=t+4>0\Rightarrowt>-4)，故(t\geq-1)；當(dāng)(1<\frac{1-t}{2}<2)（即(-3<t<-1)）時(shí)，(g(x)_{\text{min}}=g\left(\frac{1-t}{2}\right)=4-\frac{(t-1)^2}{4}>0\Rightarrow(t-1)^2<16\Rightarrow-3<t<5)，故(-3<t<-1)；當(dāng)(\frac{1-t}{2}\geq2)（即(t\leq-3)）時(shí)，(g(x)_{\text{min}}=g(2)=4+2(t-1)+4=2t+6>0\Rightarrowt>-3)，此時(shí)無解。綜上，(t>-3)，即(t)的取值范圍為((-3,+\infty))。16.（20分）已知函數(shù)(f(x)=\log_a(1-x)+\log_a(x+3))（(a>0)且(a\neq1)）。（1）求函數(shù)(f(x))的定義域和值域；（2）若函數(shù)(f(x))的最小值為(-2)，求(a)的值。解析：（1）定義域：由(\begin{cases}1-x>0\x+3>0\end{cases}\