2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)每日一練（Day22）一、單選題（共8小題，每小題5分，共40分）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|log?(x-1)=0}，則A∩B=（）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.?函數(shù)f(x)=√(x-1)+log?(3-x)的定義域是（）A.[1,3)B.(1,3]C.[1,3]D.(1,3)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是（）A.f(x)=-x2+2xB.f(x)=log?/?xC.f(x)=2?D.f(x)=1/x已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，則cosα的值是（）A.4/5B.-4/5C.3/4D.-3/4等比數(shù)列{an}中，a?=2，公比q=2，則a?=（）A.8B.16C.32D.64不等式x2-2x-3<0的解集是（）A.(-1,3)B.(-∞,-1)∪(3,+∞)C.[-1,3]D.(-∞,-1]∪[3,+∞)已知向量a=(2,3)，b=(m,4)，若a⊥b，則m=（）A.-6B.6C.-8/3D.8/3函數(shù)f(x)=2sin(2x+π/3)的最小正周期是（）A.π/2B.πC.2πD.4π二、多選題（共4小題，每小題6分，共24分）下列命題中正確的是（）A.?x∈R，x2≥0B.?x∈R，x2+2x+3=0C.若a>b，則ac2>bc2D.若x2=1，則x=±1已知函數(shù)f(x)=x3，則下列說法正確的是（）A.f(x)是奇函數(shù)B.f(x)在R上單調(diào)遞增C.f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D.f(x)的值域是[0,+∞)關(guān)于三角函數(shù)y=tanx，下列說法正確的是（）A.定義域是{x|x≠kπ+π/2,k∈Z}B.最小正周期是πC.在區(qū)間(-π/2,π/2)上單調(diào)遞增D.圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱已知直線l?:ax+2y+6=0和l?:x+(a-1)y+a2-1=0，則下列說法正確的是（）A.若l?⊥l?，則a=2/3B.若l?∥l?，則a=-1C.當(dāng)a=1時(shí)，l?與l?相交D.當(dāng)a=2時(shí)，l?與l?重合三、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）函數(shù)f(x)=x2-4x+3在區(qū)間[0,4]上的最大值是______。已知tanα=2，則sin2α=______。等差數(shù)列{an}中，a?=1，公差d=2，則前10項(xiàng)和S??=______。圓x2+y2-4x+6y-3=0的圓心坐標(biāo)是______，半徑是______。四、解答題（共6小題，共66分）（10分）已知集合A={x|x2-5x+6=0}，B={x|mx+1=0}，且A∪B=A，求實(shí)數(shù)m的值。（10分）已知函數(shù)f(x)=2x3-3x2-12x+5，求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值。（10分）已知sinα=1/2，cosβ=√3/2，且α、β都是銳角，求sin(α+β)的值。（12分）已知數(shù)列{an}滿足a?=1，an??=2an+1(n∈N*)。（1）證明：數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。（12分）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(2,1)，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4，求直線l的方程。（12分）已知函數(shù)f(x)=log?(x+1)，g(x)=log?(3x+1)。（1）解不等式f(x)≤g(x)；（2）求函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)的定義域和值域。五、附加題（共2小題，每小題10分，共20分）已知函數(shù)f(x)=x|x-a|+2x-3，其中a∈R。（1）當(dāng)a=4時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn=2an-n(n∈N*)。（1）求a?，a?的值；（2）證明：數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；（3）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和Sn。參考答案與解析一、單選題B解析：A={1,2}，B={2}，所以A∩B={2}。A解析：要使函數(shù)有意義，需滿足x-1≥0且3-x>0，解得1≤x<3。C解析：f(x)=2?是指數(shù)函數(shù)，底數(shù)2>1，所以在(0,+∞)上單調(diào)遞增。B解析：因?yàn)棣痢?π/2,π)，所以cosα<0，根據(jù)sin2α+cos2α=1，可得cosα=-4/5。C解析：a?=a?q?=2×2?=32。A解析：x2-2x-3=(x-3)(x+1)<0，解得-1<x<3。A解析：a⊥b等價(jià)于a·b=0，即2m+12=0，解得m=-6。B解析：T=2π/|ω|=2π/2=π。二、多選題AD解析：B選項(xiàng)中Δ=4-12=-8<0，方程無實(shí)根；C選項(xiàng)當(dāng)c=0時(shí)不成立。ABC解析：f(x)=x3是奇函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，值域是R。ABCD解析：正切函數(shù)的定義域是{x|x≠kπ+π/2,k∈Z}，周期是π，在(-π/2,π/2)上單調(diào)遞增，是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。ABC解析：當(dāng)a=2時(shí)，l?:2x+2y+6=0即x+y+3=0，l?:x+y+3=0，兩直線重合，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤。三、填空題3解析：f(x)=(x-2)2-1，在[0,2]上遞減，在[2,4]上遞增，f(0)=3，f(4)=3，所以最大值是3。4/5解析：sin2α=2sinαcosα=2tanα/(1+tan2α)=4/5。100解析：S??=10a?+45d=10×1+45×2=100。(2,-3)，4解析：將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程：(x-2)2+(y+3)2=16，所以圓心坐標(biāo)是(2,-3)，半徑是4。四、解答題解：A={2,3}，因?yàn)锳∪B=A，所以B?A。當(dāng)m=0時(shí)，B=?，滿足條件；當(dāng)m≠0時(shí)，B={-1/m}，則-1/m=2或-1/m=3，解得m=-1/2或m=-1/3。綜上，m的值為0，-1/2或-1/3。解：f'(x)=6x2-6x-12=6(x2-x-2)=6(x-2)(x+1)令f'(x)=0，得x=-1或x=2。當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(-1,2)時(shí)，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增。所以f(x)的極大值為f(-1)=12，極小值為f(2)=-15。解：因?yàn)棣?、β都是銳角，所以cosα=√3/2，sinβ=1/2。sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=1/2×√3/2+√3/2×1/2=√3/2。（1）證明：因?yàn)閍n??=2an+1，所以an??+1=2(an+1)。又a?+1=2≠0，所以數(shù)列{an+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。（2）解：由（1）知an+1=2×2??1=2?，所以an=2?-1。解：設(shè)直線l的方程為y-1=k(x-2)，則與x軸交點(diǎn)為(2-1/k,0)，與y軸交點(diǎn)為(0,1-2k)。由題意得1/2|(2-1/k)(1-2k)|=4，即|(2k-1)(1-2k)/k|=8。解得k=-1/2或k=3/2+√2或k=3/2-√2。所以直線l的方程為y=-1/2x+2或y=(3/2+√2)x-2-2√2或y=(3/2-√2)x-2+2√2。（1）解：由f(x)≤g(x)得log?(x+1)≤log?(3x+1)，所以x+1≤3x+1且x+1>0且3x+1>0，解得x≥0。（2）解：h(x)=log?(x+1)+log?(3x+1)=log?[(x+1)(3x+1)]，定義域?yàn)閤>-1/3。令t=(x+1)(3x+1)=3x2+4x+1，x>-1/3，則t≥-1/3，所以h(x)≥log?(-1/3)，但對(duì)數(shù)函數(shù)定義域要求真數(shù)大于0，所以t>0，當(dāng)x=-1/3時(shí)，t=0；當(dāng)x=-1時(shí)，t=0。所以t>0時(shí)，x>-1/3且x≠-1，所以h(x)的值域是R。五、附加題（1）解：當(dāng)a=4時(shí)，f(x)=x|x-4|+2x-3。當(dāng)x≥4時(shí)，f(x)=x2-4x+2x-3=x2-2x-3，f'(x)=2x-2≥6>0，單調(diào)遞增；當(dāng)x<4時(shí)，f(x)=-x2+4x+2x-3=-x2+6x-3，f'(x)=-2x+6，令f'(x)=0得x=3，所以當(dāng)x<3時(shí)，f'(x)>0，單調(diào)遞增；當(dāng)3≤x<4時(shí)，f'(x)≤0，單調(diào)遞減。綜上，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,3)和[4,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是[3,4)。（2）解：f(x)=x|x-a|+2x-3，當(dāng)x≥a時(shí)，f(x)=x2-ax+2x-3=x2-(a-2)x-3，f'(x)=2x-(a-2)；當(dāng)x<a時(shí)，f(x)=-x2+ax+2x-3=-x2+(a+2)x-3，f'(x)=-2x+(a+2)。要使f(x)在R上是增函數(shù)，需滿足：當(dāng)x≥a時(shí)，f'(x)≥0恒成立，即2a-(a-2)≥0，解得a≥-2；當(dāng)x<a時(shí)，f'(x)≥0恒成立，即-2a+(a+2)≥0，解得a≤2；且在x=a處，左導(dǎo)數(shù)≥右導(dǎo)數(shù)，即-2a+(a+2)≥2a-(a-2)，解得a≤0。綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-2,0]。（1）解：當(dāng)n=1時(shí)，S?=2a?-1，即a?=2a?-1，解得a?=1；當(dāng)n=2時(shí)，S?=2a?-2，即