2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)每日一練（Day26）一、選擇題（每題5分，共60分）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+a-1=0}，若A∪B=A，則實數(shù)a的值為（）A.2B.3C.2或3D.1或2函數(shù)f(x)=√(x-1)+log?(3-x)的定義域是（）A.[1,3)B.(1,3]C.[1,3]D.(1,3)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A.f(x)=x3B.f(x)=sinxC.f(x)=x+1D.f(x)=lnx已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，則cos(α-π/4)的值為（）A.-√2/10B.√2/10C.-7√2/10D.7√2/10已知向量a=(1,2)，b=(m,1)，若a⊥b，則m的值為（）A.-2B.2C.-1/2D.1/2已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1=1，a3+a5=14，則公差d=（）A.1B.2C.3D.4函數(shù)f(x)=2sin(2x+π/3)的最小正周期和最大值分別是（）A.π,2B.2π,2C.π,1D.2π,1已知直線l1:2x-y+1=0，l2:x+my-1=0，若l1⊥l2，則m的值為（）A.-2B.2C.-1/2D.1/2若x,y滿足約束條件{x+y≥1,x-y≥-1,2x-y≤2}，則z=x+2y的最大值為（）A.1B.2C.3D.4已知函數(shù)f(x)=x3-3x+1，則函數(shù)f(x)的極值點個數(shù)是（）A.0B.1C.2D.3從5名男生和3名女生中選出3人參加某項活動，其中至少有1名女生的選法種數(shù)是（）A.45B.56C.60D.70已知函數(shù)f(x)=log?(x+1)，若f(a)=2，則a的值為（）A.3B.4C.5D.6二、填空題（每題5分，共20分）計算：log?8+2?-√4=______。已知tanα=2，則sin2α=______。已知圓C:x2+y2-4x+6y+9=0，則圓心坐標(biāo)為______，半徑為______。已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3，則f(x)在區(qū)間[0,3]上的最小值為______。三、解答題（共70分）（10分）已知函數(shù)f(x)=x2-4x+3。（1）求函數(shù)f(x)的對稱軸方程和頂點坐標(biāo)；（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,4]上的最大值和最小值。（12分）已知在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且滿足a=2，b=3，cosC=1/4。（1）求邊c的值；（2）求sinA的值。（12分）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1。（1）證明：數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項公式。（12分）已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2，且過點(1,√3/2)。（1）求橢圓C的標(biāo)準方程；（2）設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓C交于A,B兩點，O為坐標(biāo)原點，若OA⊥OB，求m2的取值范圍。（12分）已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x+1。（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上的最大值和最小值。（12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，BC=2√2，PA=2。（1）求證：AB⊥平面PAC；（2）求三棱錐P-ABC的體積。參考答案與詳細解析一、選擇題C解析：A={1,2}，B={x|(x-1)(x-a+1)=0}={1,a-1}。由A∪B=A得B?A，所以a-1=1或a-1=2，解得a=2或a=3。A解析：要使函數(shù)有意義，需滿足{x-1≥0,3-x>0}，解得1≤x<3，所以定義域為[1,3)。A解析：f(x)=x3是奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增；f(x)=sinx是奇函數(shù)，但不是增函數(shù)；f(x)=x+1是非奇非偶函數(shù)；f(x)=lnx的定義域不關(guān)于原點對稱，是非奇非偶函數(shù)。A解析：因為α∈(π/2,π)，所以cosα=-4/5，cos(α-π/4)=cosαcosπ/4+sinαsinπ/4=(-4/5)(√2/2)+(3/5)(√2/2)=-√2/10。A解析：由a⊥b得a·b=0，即1×m+2×1=0，解得m=-2。B解析：a3+a5=2a1+6d=2+6d=14，解得d=2。A解析：最小正周期T=2π/2=π，最大值為2。B解析：由l1⊥l2得2×1+(-1)×m=0，解得m=2。D解析：畫出可行域，當(dāng)直線z=x+2y經(jīng)過點(1,2)時，z取得最大值4。C解析：f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)，令f'(x)=0得x=-1或x=1，所以函數(shù)f(x)有兩個極值點。B解析：至少有1名女生的選法種數(shù)為C83-C53=56-10=46，選項中沒有46，可能題目有誤，正確答案應(yīng)為46。A解析：由f(a)=log?(a+1)=2得a+1=4，解得a=3。二、填空題2解析：log?8=3，2?=1，√4=2，所以原式=3+1-2=2。4/5解析：sin2α=2sinαcosα=2tanα/(1+tan2α)=4/5。(2,-3)，2解析：將圓的方程化為標(biāo)準方程：(x-2)2+(y+3)2=4，所以圓心坐標(biāo)為(2,-3)，半徑為2。2解析：f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2，在區(qū)間[0,3]上，當(dāng)x=1時，f(x)取得最小值2。三、解答題解：（1）f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1，所以對稱軸方程為x=2，頂點坐標(biāo)為(2,-1)。（2）因為函數(shù)開口向上，對稱軸為x=2，所以在區(qū)間[0,4]上，當(dāng)x=2時，f(x)取得最小值-1；當(dāng)x=0或x=4時，f(x)取得最大值3。解：（1）由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=4+9-2×2×3×1/4=10，所以c=√10。（2）由cosC=1/4得sinC=√(1-1/16)=√15/4，由正弦定理得a/sinA=c/sinC，所以sinA=asinC/c=2×(√15/4)/√10=√6/4。（1）證明：因為an+1=2an+1，所以an+1+1=2(an+1)，又a1+1=2≠0，所以數(shù)列{an+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列。（2）解：由（1）得an+1=2×2??1=2?，所以an=2?-1。解：（1）由題意得{e=c/a=√3/2,1/a2+3/4b2=1,a2=b2+c2}，解得a2=4，b2=1，所以橢圓C的標(biāo)準方程為x2/4+y2=1。（2）設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，聯(lián)立{y=kx+m,x2/4+y2=1}得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0，所以x1+x2=-8km/(1+4k2)，x1x2=(4m2-4)/(1+4k2)。因為OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，即x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0，整理得(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，代入得(1+k2)(4m2-4)/(1+4k2)-8k2m2/(1+4k2)+m2=0，化簡得5m2=4k2+4，所以m2=(4k2+4)/5≥4/5，即m2的取值范圍為[4/5,+∞)。解：（1）f'(x)=3x2-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√3/3。當(dāng)x<1-√3/3或x>1+√3/3時，f'(x)>0；當(dāng)1-√3/3<x<1+√3/3時，f'(x)<0。所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,1-√3/3)和(1+√3/3,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1-√3/3,1+√3/3)。（2）計算函數(shù)在區(qū)間[-1,2]端點及極值點處的函數(shù)值：f(-1)=-1-3-2+1=-5，f(1-√3/3)=(1-√3/3)3-3(1-√3/3)2+2(1-√3/3)+1≈3.079，f(1+√3/3)≈-0.079，f(2)=8-12+4+1=1。所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上