2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)趣味數(shù)學(xué)問題試題（二）一、選擇題（每題5分，共10題）密碼解鎖問題：某智能門鎖的密碼由6位數(shù)字組成，已知前三位是"2025"，后三位滿足以下條件：三個(gè)數(shù)字成等差數(shù)列總和為15公差為正整數(shù)則該密碼可能是（）A.2025159B.2025357C.2025456D.2025258函數(shù)圖像的對(duì)稱性：小明用手機(jī)拍攝了一張二次函數(shù)圖像的照片，不小心旋轉(zhuǎn)了180°，發(fā)現(xiàn)圖像與原圖像完全重合。若該函數(shù)過點(diǎn)(1,2)，則其解析式可能是（）A.(y=x^2-2x+3)B.(y=-x^2+2x-1)C.(y=x^2+2x+1)D.(y=-x^2-2x-3)概率游戲：在一個(gè)不透明的袋子中裝有標(biāo)有數(shù)字1-10的乒乓球各1個(gè)，甲乙兩人輪流摸球（不放回），若摸到質(zhì)數(shù)則甲得1分，摸到合數(shù)則乙得1分，摸到1不分勝負(fù)。則甲獲勝的概率是（）A.(\frac{1}{2})B.(\frac{4}{9})C.(\frac{5}{11})D.(\frac{7}{18})立體幾何展開圖：將一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體表面沿某些棱剪開，展成平面圖形，若展開圖中包含一個(gè)面積為6的長(zhǎng)方形，則這樣的展開圖有（）種A.6B.8C.10D.12三角函數(shù)應(yīng)用：某摩天輪的半徑為30米，旋轉(zhuǎn)一周需12分鐘。若小明從最低點(diǎn)登上摩天輪，經(jīng)過t分鐘后距離地面的高度為h米，則h關(guān)于t的函數(shù)解析式為（）A.(h=30\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)+30)B.(h=30\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right)+30)C.(h=-30\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right)+30)D.(h=-30\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)+30)數(shù)列規(guī)律：觀察以下數(shù)表，第10行第3個(gè)數(shù)是（）第1行：1第2行：23第3行：456第4行：78910...A.48B.53C.58D.63不等式實(shí)際應(yīng)用：某網(wǎng)店銷售A、B兩種文具，A每件利潤(rùn)3元，B每件利潤(rùn)5元。若每天進(jìn)貨總成本不超過200元，A進(jìn)價(jià)4元/件，B進(jìn)價(jià)6元/件，且A銷量至少是B的2倍，則每天最大利潤(rùn)為（）A.130元B.140元C.150元D.160元向量幾何意義：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)P是斜邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，則(\overrightarrow{CP}\cdot\overrightarrow{AB})的取值范圍是（）A.[-5,5]B.[-12,12]C.[-9,16]D.[-16,9]邏輯推理：甲、乙、丙三位同學(xué)分別來自北京、上海、廣州，已知：甲不來自北京乙不來自上海來自上海的同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)最好丙的成績(jī)比來自北京的同學(xué)差則來自廣州的同學(xué)是（）A.甲B.乙C.丙D.無法確定創(chuàng)新題型：定義新運(yùn)算"?"：(a\otimesb=\begin{cases}a^b&(a\leqb)\\log_ab&(a>b)\end{cases})，則((2\otimes3)\otimes(3\otimes2)=)（）A.8B.(\log_89)C.9D.(\log_98)二、填空題（每題6分，共5題）數(shù)字謎題：用1-9這九個(gè)數(shù)字填入下圖空格，使每行、每列及對(duì)角線的和相等（三階幻方），則中心格的數(shù)字是______。函數(shù)圖像變換：將函數(shù)(y=2^x)的圖像向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到新函數(shù)的解析式為______。立體幾何體積：一個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)為(\sqrt{2})，則其內(nèi)切球的體積是______。概率計(jì)算：同時(shí)拋擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)"2正1反"的概率是______。數(shù)列求和：已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=a_n+2n)，則(a_{10}=)______。三、解答題（每題15分，共4題）分段函數(shù)應(yīng)用某快遞公司收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：重量不超過1kg：10元超過1kg部分，每增加0.5kg加收3元（不足0.5kg按0.5kg計(jì)算）（1）寫出快遞費(fèi)用y（元）與物品重量x（kg）的函數(shù)關(guān)系；（2）若某物品運(yùn)費(fèi)22元，求其重量的取值范圍；（3）若小明有A、B兩件物品，重量分別為1.3kg和2.4kg，分開寄與合并寄哪種方式更省錢？省多少錢？三角函數(shù)綜合已知函數(shù)(f(x)=A\sin(\omegax+\varphi))（(A>0,\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2})）的部分圖像如圖所示：（1）求A、ω、φ的值；（2）求(f(x))在([0,\pi])上的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若方程(f(x)=m)在([0,\pi])上有兩個(gè)不同的實(shí)根，求m的取值范圍。立體幾何探究在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A?B?C?D?中，E、F分別是棱BC、C?D?的中點(diǎn)：（1）證明：EF//平面BB?D?D；（2）求三棱錐E-B?FD的體積；（3）在棱AA?上是否存在點(diǎn)P，使得平面PEF⊥平面BB?D?D？若存在，求出AP的長(zhǎng)；若不存在，說明理由。數(shù)列與不等式已知數(shù)列({a_n})的前n項(xiàng)和為(S_n)，且滿足(S_n=2a_n-n)。（1）求(a_1,a_2,a_3)；（2）證明：數(shù)列({a_n+1})是等比數(shù)列；（3）設(shè)(b_n=\frac{a_n+1}{a_na_{n+1}})，數(shù)列({b_n})的前n項(xiàng)和為(T_n)，證明：(T_n<\frac{1}{2})。四、開放創(chuàng)新題（20分）數(shù)學(xué)建模某學(xué)校計(jì)劃在校園內(nèi)修建一個(gè)矩形花壇，要求花壇面積為100平方米，且四周鋪設(shè)寬度為1米的石板路。（1）設(shè)花壇的長(zhǎng)為x米，用含x的代數(shù)式表示石板路的總面積S；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，石板路的總面積最小？最小值是多少？（3）若石板路每平方米造價(jià)120元，花壇每平方米種植成本80元，從節(jié)約總費(fèi)用的角度，提出你的設(shè)計(jì)建議并說明理由。參考答案及解析（此處省略，實(shí)際試題需附詳細(xì)解析）C（提示：等差數(shù)列求和公式(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d)）B（提示：旋轉(zhuǎn)180°后圖像不變即關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱）D（提示：1-10中質(zhì)數(shù)有4個(gè)，合數(shù)有5個(gè)，列表法枚舉所有可能）B（提示：分類討論"3×4"和"2×6"兩種長(zhǎng)方形展開情況）C（提示：以最低點(diǎn)為起點(diǎn)，余弦函數(shù)圖像向下平移后翻轉(zhuǎn)）B（提示：第n行最后一個(gè)數(shù)為(\frac{n(n+1)}{2})）A（提示：設(shè)B銷量為x，則A銷量≥2x，4×2x+6x≤200）D（提示：建立坐標(biāo)系，用參數(shù)t表示P點(diǎn)坐標(biāo)）A（提示：列表排除法推理）C（提示：先計(jì)算2?3=8，3?2=log?2，再計(jì)算8?log?2）5（三階幻方性質(zhì)：中心數(shù)=總和/3）(y=2^{x-1}-2)（提示："左加右減，上加下減"）(\frac{\sqrt{6}}{24}\pi)（提示：正四面體體積公式(V=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3)）(\frac{3}{8})（提示：C?2×(1/2)3）91（提示：累加法(a_n=a_1+2(1+2+...+n-1))）（1）(y=\begin{cases}10&(0<x\leq1)\10+6\lceilx-1\rceil&(x>1)\end{cases})；（2）(2.5,3]kg；（3）合并寄省4元（1）A=2，ω=2，φ=π/6；（2）[0,π/6]和[2π/3,π]；（3）[1,2)（1）構(gòu)造平行四邊形證明線線平行；（2）(\frac{1}{3})；（3）存在，AP=1（1）a?=1，a?=3，a?=7；（2）作差法證明(a_{n+1}+1=2(a_n+1))；（3）裂項(xiàng)相消法(b_n=\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}})（1）(S=4x+\frac{400}{x}+4)；（2）x=1