2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)章節(jié)小測(cè)（第八章）一、章節(jié)核心知識(shí)點(diǎn)梳理1.1基本概念向量的定義：既有大小又有方向的量稱為向量，記作$\vec{a}$或$\overrightarrow{AB}$。向量的大小稱為模，記作$|\vec{a}|$或$|\overrightarrow{AB}|$。特殊向量：零向量：模為0的向量，方向任意，記作$\vec{0}$。單位向量：模為1的向量，若$\vec{a}\neq\vec{0}$，則與$\vec{a}$同向的單位向量為$\vec{e}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$。平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量，規(guī)定零向量與任意向量平行。相等向量：模相等且方向相同的向量，與起點(diǎn)無(wú)關(guān)。1.2向量的線性運(yùn)算向量加法：三角形法則：$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$；平行四邊形法則：以$\vec{a}$，$\vec$為鄰邊的平行四邊形中，對(duì)角線向量$\vec{a}+\vec$。運(yùn)算律：交換律$\vec{a}+\vec=\vec+\vec{a}$；結(jié)合律$(\vec{a}+\vec)+\vec{c}=\vec{a}+(\vec+\vec{c})$。向量減法：$\vec{a}-\vec=\vec{a}+(-\vec)$，幾何意義為$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$。數(shù)乘運(yùn)算：定義：實(shí)數(shù)$\lambda$與向量$\vec{a}$的乘積$\lambda\vec{a}$是向量，模為$|\lambda||\vec{a}|$，方向由$\lambda$符號(hào)決定（$\lambda>0$同向，$\lambda<0$反向，$\lambda=0$為零向量）。運(yùn)算律：$\lambda(\mu\vec{a})=(\lambda\mu)\vec{a}$，$(\lambda+\mu)\vec{a}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{a}$，$\lambda(\vec{a}+\vec)=\lambda\vec{a}+\lambda\vec$。1.3向量的坐標(biāo)表示平面向量基本定理：若$\vec{e_1}$，$\vec{e_2}$是同一平面內(nèi)不共線的向量，則對(duì)該平面內(nèi)任意向量$\vec{a}$，存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)$\lambda_1$，$\lambda_2$，使得$\vec{a}=\lambda_1\vec{e_1}+\lambda_2\vec{e_2}$。其中${\vec{e_1},\vec{e_2}}$稱為基底。坐標(biāo)運(yùn)算：若$\vec{a}=(x_1,y_1)$，$\vec=(x_2,y_2)$，則：$\vec{a}+\vec=(x_1+x_2,y_1+y_2)$；$\vec{a}-\vec=(x_1-x_2,y_1-y_2)$；$\lambda\vec{a}=(\lambdax_1,\lambday_1)$；$|\vec{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$。1.4向量的數(shù)量積定義：$\vec{a}\cdot\vec=|\vec{a}||\vec|\cos\theta$，其中$\theta$為$\vec{a}$與$\vec$的夾角（$0\leq\theta\leq\pi$）。幾何意義：$\vec{a}\cdot\vec$等于$|\vec{a}|$與$\vec$在$\vec{a}$方向上的投影$|\vec|\cos\theta$的乘積。坐標(biāo)運(yùn)算：若$\vec{a}=(x_1,y_1)$，$\vec=(x_2,y_2)$，則$\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2$。性質(zhì)：$\vec{a}\perp\vec\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec=0$（$\vec{a}$，$\vec$為非零向量）；$\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2$，即$|\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}$；$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}||\vec|}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$。二、典型例題及解析例1：向量的線性運(yùn)算與共線定理題目：已知$\vec{a}$，$\vec$不共線，且$\vec{c}=2\vec{a}-\vec$，$\vec6ugowqk=3\vec{a}-2\vec$，若$\vec{c}$與$\vecu6qugmi$共線，求實(shí)數(shù)$\lambda$的值（注：原題中“$\lambda$”應(yīng)為筆誤，修正為判斷$\vec{c}$與$\vecaui8osc$是否共線并說(shuō)明理由）。解析：假設(shè)$\vec{c}$與$\vecwmsqomo$共線，則存在實(shí)數(shù)$k$，使得$\vec{c}=k\vecyikyc0s$，即：$2\vec{a}-\vec=k(3\vec{a}-2\vec)\Rightarrow(2-3k)\vec{a}+(2k-1)\vec=\vec{0}$。由于$\vec{a}$，$\vec$不共線，故系數(shù)需同時(shí)為0：$\begin{cases}2-3k=0\2k-1=0\end{cases}\Rightarrowk=\frac{2}{3}$且$k=\frac{1}{2}$，矛盾。因此$\vec{c}$與$\vecgukiiai$不共線。例2：向量的坐標(biāo)運(yùn)算與模長(zhǎng)計(jì)算題目：已知$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(-3,4)$，求：（1）$2\vec{a}-3\vec$；（2）$|\vec{a}+\vec|$；（3）$\vec{a}$與$\vec$的夾角$\theta$。解析：（1）$2\vec{a}=(2,4)$，$3\vec=(-9,12)$，故$2\vec{a}-3\vec=(2-(-9),4-12)=(11,-8)$。（2）$\vec{a}+\vec=(1-3,2+4)=(-2,6)$，則$|\vec{a}+\vec|=\sqrt{(-2)^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。（3）$\vec{a}\cdot\vec=1\times(-3)+2\times4=-3+8=5$，$|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$|\vec|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=5$，故$\cos\theta=\frac{5}{\sqrt{5}\times5}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，因此$\theta=\arccos\frac{\sqrt{5}}{5}$。例3：數(shù)量積的應(yīng)用——垂直與投影題目：已知$\vec{a}=(m,1)$，$\vec=(1,m)$，且$\vec{a}$與$\vec$的夾角為鈍角，求$m$的取值范圍。解析：夾角為鈍角的條件是$\vec{a}\cdot\vec<0$且$\vec{a}$與$\vec$不共線。$\vec{a}\cdot\vec=m\times1+1\timesm=2m<0\Rightarrowm<0$；若$\vec{a}$與$\vec$共線，則$m\timesm-1\times1=0\Rightarrowm^2=1\Rightarrowm=\pm1$。當(dāng)$m=-1$時(shí)，$\vec{a}=(-1,1)$，$\vec=(1,-1)$，此時(shí)$\vec{a}=-\vec$，夾角為$\pi$（平角），不符合鈍角定義，需排除。綜上，$m$的取值范圍是$(-\infty,-1)\cup(-1,0)$。三、練習(xí)題3.1基礎(chǔ)題（共60分）一、選擇題（每題5分，共20分）下列命題正確的是（）A.若$|\vec{a}|=|\vec|$，則$\vec{a}=\vec$或$\vec{a}=-\vec$B.若$\vec{a}\cdot\vec=0$，則$\vec{a}=\vec{0}$或$\vec=\vec{0}$C.若$\vec{a}\parallel\vec$，$\vec\parallel\vec{c}$，則$\vec{a}\parallel\vec{c}$D.若$\vec{a}=\vec$，則$|\vec{a}|=|\vec|$且方向相同已知$\vec{a}=(2,-1)$，$\vec=(x,2)$，若$\vec{a}\perp\vec$，則$x=$（）A.$-1$B.$1$C.$-4$D.$4$向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(3,4)$，則$2\vec{a}-\frac{1}{2}\vec=$（）A.$(-\frac{1}{2},0)$B.$(\frac{1}{2},0)$C.$(-\frac{1}{2},2)$D.$(\frac{1}{2},2)$若$\vec{a}=(1,m)$，$\vec=(m,4)$，且$\vec{a}$與$\vec$的夾角為銳角，則$m$的取值范圍是（）A.$(0,+\infty)$B.$(2,+\infty)$C.$(0,2)\cup(2,+\infty)$D.$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$二、填空題（每題5分，共20分）5.已知$\vec{a}=(3,-4)$，則$|\vec{a}|=$，與$\vec{a}$同向的單位向量是。6.若$\vec{a}+\vec=(2,-8)$，$\vec{a}-\vec=(-8,16)$，則$\vec{a}=$，$\vec=$。7.已知$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(2,k)$，且$\vec{a}$與$\vec$的夾角為$45^\circ$，則$k=$。8.在$\triangleABC$中，$\overrightarrow{AB}=(2,3)$，$\overrightarrow{AC}=(1,k)$，若$\angleA=90^\circ$，則$k=$。三、解答題（每題10分，共20分）9.已知$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(-3,2)$，（1）求$|\vec{a}+\vec|$和$|\vec{a}-\vec|$；（2）當(dāng)$k$為何值時(shí)，$(k\vec{a}+\vec)$與$(\vec{a}-3\vec)$垂直？已知點(diǎn)$A(1,2)$，$B(3,4)$，$C(5,0)$，（1）求$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$；（2）求$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$及$\triangleABC$的面積。3.2提高題（共40分）一、解答題（每題10分，共20分）11.已知$\vec{a}$，$\vec$是單位向量，且$\vec{a}+\vec=(1,0)$，求$\vec{a}$與$\vec$的夾角。12.在四邊形$ABCD$中，$\overrightarrow{AB}=(1,2)$，$\overrightarrow{BC}=(-4,-1)$，$\overrightarrow{CD}=(-5,-3)$，證明四邊形$ABCD$是梯形。二、綜合題（20分）13.已知$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(-2,1)$，$\vec{c}=(3,-4)$，（1）求$\vec{a}+2\vec-\vec{c}$；（2）若$\vec{c}=\lambda\vec{a}+\mu\vec$，求$\lambda$，$\mu$的值；（3）求$\vec{c}$在$\vec{a}$方向上的投影。四、知識(shí)點(diǎn)拓展與易錯(cuò)點(diǎn)提示4.1拓展：向量在幾何中的應(yīng)用證明平行：利用向量共線定理，即$\vec{a}=\lambda\vec$（$\vec\neq