專題05一元二次方程考點概覽考點1一元二次方程的解考點2解一元二次方程考點3根的判別式考點4根與系數(shù)的關(guān)系考點5一元二次方程的應(yīng)用考點1一元二次方程的解1．（2025·青?！ぶ锌颊骖}）若是一元二次方程的一個根，則的值為．【答案】【分析】此題考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟練掌握一元二次方程的解是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：將代入原方程得：，解得：，故答案為：．2．（2025·四川達(dá)州·中考真題）已知關(guān)于的方程的一個根是，則的值為．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的解，根據(jù)題意將代入原方程，得出關(guān)于的一元一次方程，解方程，即可求解．【詳解】解：∵關(guān)于的方程的一個根是，∴解得：，故答案為：．考點2解一元二次方程3．（2025·貴州·中考真題）一元二次方程的根是．【答案】，【分析】本題考查一元二次方程的解法，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵；根據(jù)題意，先移項，然后利用直接開平方法即可求解．【詳解】解：，，故答案為：，．4．（2025·江蘇無錫·中考真題）（1）解方程：；（2）解不等式組：．【答案】（1），；（2）【分析】本題考查的是一元二次方程的解法，一元一次不等式組的解法．（1）把方程化為，再進(jìn)一步解方程即可．（2）分別解不等式組中的兩個不等式，再確定解集的公共部分即可．【詳解】解：（1），方程移項得：，配方得：，即，開方得：，解得：，．（2），由①得：，由②得：，則不等式組的解集為．考點3根的判別式5．（2025·山東濰坊·中考真題）若一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了根的判別式，根據(jù)根的情況確定參數(shù)的范圍，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根的判別式，當(dāng)方程有兩個不相等的實數(shù)根時，；當(dāng)方程有兩個相等的實數(shù)根時，；當(dāng)方程沒有實數(shù)根時，．【詳解】解：∵一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，解得：，故選：．6．（2025·廣東廣州·中考真題）關(guān)于x的方程根的情況為（

）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根C．無實數(shù)根 D．只有一個實數(shù)根【答案】C【分析】本題考查一元二次方程根的判別式．通過計算判別式并分析其符號即可確定根的情況．【詳解】解：對于方程，其判別式為：由于，則，因此．故判別式恒為負(fù)數(shù)，方程無實數(shù)根，故選：C．7．（2025·甘肅蘭州·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則a的值可以是（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式，當(dāng)判別式大于0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根．將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式后，計算判別式并解不等式即可確定a的取值范圍．熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：對于方程，其判別式為，∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，即，解得．故選：D．8．（2025·四川巴中·中考真題）關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實根，則．【答案】4【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，根據(jù)一元二次方程有兩個相等的實根，可得，即可解答，熟知根的判別式與一元二次方程根的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實根，，解得，故答案為：4．9．（2025·西藏·中考真題）關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則．【答案】/【分析】本題考查了根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握根的判別式．根據(jù)一元二次方程根的判別式和題意得出，進(jìn)行計算即可．【詳解】解：∵方程有兩個相等的實數(shù)根，，，解得：．故答案為：．10．（2025·四川廣元·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則．【答案】【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程的定義，根據(jù)判別式可得，根據(jù)一元二次方程的定義可得，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，∴，故答案為：．11．（2025·青海西寧·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，請寫出一個滿足條件的k的值．【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，得到，結(jié)合一元二次方程的二次項的系數(shù)不為0，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴且，∴且，∴k的值可以為（答案不唯一）；故答案為：（答案不唯一）．12．（2025·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則．【答案】【分析】本題考查一元二次方程根的情況，掌握相關(guān)知識是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，一元二次方程的，據(jù)此計算解答即可．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，即，解得：．故答案為：．13．（2025·江蘇常州·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)．【答案】1【分析】本題考查了一元二次方程的，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)，方程沒有實數(shù)根．根據(jù)一元二次方程根的判別式的意義，方程有兩個相等的實數(shù)根，則有，得到關(guān)于的方程，解方程即可．【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，，即，解得．故答案為：1．14．（2025·四川樂山·中考真題）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，到原點的距離等于1的點叫做“單位圓點”．（1）下列三個函數(shù)的圖象上存在“單位圓點”的是（填番號）；①；②；③．（2）若一次函數(shù)的圖象上存在“單位圓點”，則的取值范圍為．【答案】③【分析】本題考查新定義問題，理解“單位圓點”的定義．是解題的關(guān)鍵．“單位圓點”∶若點滿足，則稱點P為“單位圓點”．（1）對于函數(shù)圖象上是否存在“單位圓點”，可聯(lián)立函數(shù)解析式與單位圓方程，根據(jù)方程是否有解來判斷．（2）對于一次函數(shù)，同樣聯(lián)立方程，根據(jù)方程有解的條件求出m的取值范圍．【詳解】解：（1）①聯(lián)立，整理得：，則，則此方程無實數(shù)解，即函數(shù)的圖象上不存在“單位圓點”．②聯(lián)立，整理得：，令，則方程變?yōu)?，即，則，則此方程無實數(shù)解，即函數(shù)的圖象上不存在“單位圓點”．③聯(lián)立，整理得：，則，∵恒成立，∴，解得：，當(dāng)時，，則點滿足，即函數(shù)的圖象上存在“單位圓點”．故答案為：③（2）聯(lián)立，整理得：，則，解得：，故答案為：考點4根與系數(shù)的關(guān)系15．（2025·四川樂山·中考真題）若方程的兩個根是和，則的值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解即可，解題的關(guān)鍵是熟記：一元二次方程的兩個根為和，則，．【詳解】解：∵和是方程的兩個根，∴，，∴，故選：C16．（2025·四川攀枝花·中考真題）已知a、b是方程的兩根，則的值為．【答案】【分析】本題主要考查解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，得到a、b的值為1，，代入計算即可．【詳解】解：，，，∴a、b的值為1，，∴，故答案為：．17．（2025·江蘇宿遷·中考真題）方程的兩個根分別是，則【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系，代數(shù)式求值，熟練掌握：如果一元二次方程的兩根為，，則．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和方程的解得到，，，代入，并再將原式化簡為，即可求解．【詳解】解：∵方程的兩個根分別是，∴，，∴，，∴，故答案為：．考點5一元二次方程的應(yīng)用18．（2025·四川巴中·中考真題）如圖，計劃用長為的繩子圍一個矩形圍欄，其中一邊靠墻（墻長）．(1)矩形圍欄的面積為時，三邊分別長多少？(2)矩形圍欄的面積最大時，三邊分別長多少？【答案】(1)三邊長分別為(2)三邊長分別為【分析】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用和二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意正確列出方程和函數(shù)解析式是關(guān)鍵．（1）設(shè)垂直于墻的一邊長，根據(jù)矩形圍欄的面積為列出方程，解方程并選取合適的解即可；（2）設(shè)矩形圍欄的面積為．根據(jù)矩形圍欄的面積列出二次函數(shù)解析式，并根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）解：設(shè)垂直于墻的一邊長，則解得：，當(dāng)時，（不符合題意，舍去）當(dāng)時，（符合題意）三邊長分別為：．（2）解：設(shè)矩形圍欄的面積為．則有當(dāng)時．有最大值當(dāng)時，（符合題意）三邊長分別為：．19．（2025·江蘇南通·中考真題）綜合與實踐：學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組圍繞“校園花圃方案設(shè)計”開展主題學(xué)習(xí)活動，已知花圃一邊靠墻（墻的長度不限），其余部分用總長為的柵欄圍成，興趣小組設(shè)計了以下兩種方案：方案一方案二如圖1，圍成一個面積為的矩形花圃．如圖2，圍成矩形花圃，有柵欄（柵欄寬度忽略不計）將該花圃分隔為兩個不同矩形區(qū)域，用來種植不同花卉，并在花圃兩側(cè)各留一個寬為的進(jìn)出口（此處不用柵欄）．(1)求方案一中與墻垂直的邊的長度；(2)要使方案二中花圃的面積最大，與墻平行的邊的長度為多少米？【答案】(1)15米；(2)當(dāng)與墻平行的邊的長度為33米時，花圃的面積最大．【分析】考查了一元二次方程的應(yīng)用以及二次函數(shù)的實際應(yīng)用，熟練掌握矩形的周長、面積公式，以及二次函數(shù)的性質(zhì)（如頂點式求最值）是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)與墻垂直的邊為，根據(jù)矩形周長（柵欄總長）表示出與墻平行的邊，再結(jié)合面積公式列方程求解．（2）設(shè)與墻平行的邊為，根據(jù)柵欄總長和出口情況表示出與墻垂直的邊，從而得出面積函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)求最大值時的值．【詳解】（1）解：設(shè)與墻垂直的邊的長度為，則與墻平行的邊的長度為，根據(jù)題意得，解得答：與墻垂直的邊的長度為15米；（2）解：設(shè)與墻平行的長度為，花圃的面積為，根據(jù)題意得∴∵，∴當(dāng)時，有最大值363，答：當(dāng)與墻平行的邊的長度為33米時，花圃的面積最大．20．（2025·山東威?！ぶ锌颊骖}）如圖，某校有一塊長、寬的矩形種植園．為了方便耕作管理，在種植園的四周和內(nèi)部修建安度相同的小路（圖中陰影部分）．小路把種植園分成面積均為的9個矩形地塊，請你求出小路的寬度．【答案】【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應(yīng)用，設(shè)小路的寬度為，根據(jù)題意可知種植園的面積等于一個長為，寬為的矩形面積，據(jù)此建立方程求解即可．【詳解】解：設(shè)小路的寬度為，由題意得，，整理得，解得或（舍去），答：小路的寬度為．21．（2025·四川達(dá)州·中考真題）為弘揚達(dá)州地方文化，讓更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文創(chuàng)產(chǎn)品．已知某款巴小虎吉祥物的成本價是30元，當(dāng)售價為40元時，每天可以售出60件，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，售價每降價1元，每天可以多售出10件．(1)設(shè)該款巴小虎吉祥物降價x元，則每天售出的數(shù)量是_______件；(2)為讓利于游客，該款巴小虎吉祥物應(yīng)該降價多少元，文旅公司每天的利潤是630元；(3)文旅公司每天售賣該款巴小虎吉祥物的利潤為W元，當(dāng)售價為多少元時，每天的利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)(2)3元(3)售價為38元時，每天的利潤最大，最大利潤是640元【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用和二次函數(shù)的應(yīng)用，正確理解題意、列出方程與函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)原來每天售出的60件，再加上多售出的件數(shù)即可得到答案；（2）設(shè)該款巴小虎吉祥物降價x元，根據(jù)每件的利潤×銷售數(shù)量=銷售利潤即可列出方程，解方程即可得解；（3）設(shè)該款巴