專題06二元一次方程組（5大考點，精選31題）考點概覽考點1解二元一次方程組考點2古數(shù)學(xué)問題考點3列二元一次方程組考點4二元一次方程的解與方案問題考點5二元一次方程組的實際問題考點1解二元一次方程組1．（2025·四川涼山·中考真題）若，則的平方根是（

）A．8 B． C． D．【答案】C【分析】本題考查非負(fù)性，解二元一次方程組，求一個數(shù)的平方根，利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，先根據(jù)非負(fù)性，得到關(guān)于的二元一次方程組，兩個方程相減后求出的值，再根據(jù)平方根的定義，進(jìn)行求解即可．熟練掌握非負(fù)性，平方根的定義，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，，得：，∴的平方根是；故選：C．2．（2025·山西·中考真題）解方程組：【答案】【詳解】解：①+②，得，

．

將代入②，得，

．

所以原方程組的解是．3．（2025·新疆·中考真題）（1）解方程組：；【答案】（1）【詳解】解：（1）；得，，解得，，把代入②得，，解得，，∴原方程組的解為；考點2古數(shù)學(xué)問題4．（2025·四川南充·中考真題）我國宋代數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)明的“大衍求一術(shù)”闡述了多元方程的解法，大衍問題源于《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題：“今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三……，問物幾何？”意思是：有一些物體不知個數(shù)，每3個一數(shù)，剩余2個；每5個一數(shù)，剩余3個……．問這些物體共有多少個？設(shè)3個一數(shù)共數(shù)了x次，5個一數(shù)共數(shù)了y次，其中x，y為正整數(shù)，依題意可列方程（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查根據(jù)實際問題列二元一次方程，熟練掌握從實際情境中找出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．根據(jù)題目中“每3個一數(shù)，剩余2個；每5個一數(shù)，剩余3個”這兩個條件，分別找出物體總數(shù)與、的等式關(guān)系，進(jìn)而列出方程．【詳解】解：∵每3個一數(shù)，數(shù)了次，剩余2個，∴物體總數(shù)可表示為．又∵每5個一數(shù)，數(shù)了次，剩余3個，∴物體總數(shù)也可表示為．由于物體總數(shù)是固定的，∴故選：A．5．（2025·四川成都·中考真題）中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一個題目：今有善田一畝，價三百；惡田七畝，價五百．今并買一頃，價錢一萬．問善、惡田各幾何？其大意是：今有良田1畝價值300錢；劣田7畝價值500錢．今合買良、劣田1頃（100畝），價值10000錢．問良田、劣田各有多少畝？設(shè)良田為x畝，劣田為y畝，則可列方程組為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查根據(jù)實際問題列方程組，根據(jù)合買良、劣田1頃（100畝），價值10000錢，列出方程組即可．【詳解】解：設(shè)良田為x畝，劣田為y畝，由題意，得：；故選A．6．（2025·四川達(dá)州·中考真題）《九章算術(shù)》中記載了這樣一道題：牛5頭和羊2只共值10金，牛2頭和羊5只共值8金，問牛和羊各值多少金？設(shè)每頭牛值x金，每只羊值y金，可列方程組為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，正確理解題意、找出相等關(guān)系是關(guān)鍵；設(shè)每頭牛值x金，每只羊值y金，根據(jù)：牛5頭和羊2只共值10金，牛2頭和羊5只共值8金，即可列出方程組.【詳解】解：設(shè)每頭牛值x金，每只羊值y金，可列方程組為：；故選：D.7．（2025·四川宜賓·中考真題）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一道題：“今有牛五、羊二，直金十兩；牛二、羊五、直金八兩，問牛、羊各直金幾何？”意思是：假設(shè)5頭牛、2只羊，共值金10兩：2頭牛、5只羊，共值金8兩，那么每頭牛、每只羊各值金多少兩？若設(shè)每頭牛和每只羊分別值金x兩和y兩，列出方程組應(yīng)為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)“5頭牛、2只羊，值金10兩；2頭牛、5只羊，值金8兩”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組．本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵5頭牛、2只羊，共值金10兩，∴；∵2頭牛、5只羊，共值金8兩，∴．∴根據(jù)題意可列出方程組．故選：A．8．（2025·四川眉山·中考真題）我國古代算書《四元玉鑒》里有這樣一道題：“九百九十九文錢，甜果苦果買一千，甜果九個十一文，苦果七個四文錢，試問甜苦果幾個？”其大意是：用九百九十九文錢共買了一千個甜果和苦果，其中十一文錢可以買甜果九個，四文錢可以買苦果七個，問甜果苦果各買幾個？若設(shè)買甜果x個，苦果y個，根據(jù)題意可列方程組為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查根據(jù)實際問題列方程組，設(shè)買甜果x個，苦果y個，根據(jù)用九百九十九文錢共買了一千個甜果和苦果，其中十一文錢可以買甜果九個，四文錢可以買苦果七個，列出方程組即可．【詳解】解：設(shè)甜果x個，苦果y個，∵用九百九十九文錢共買了一千個甜果和苦果，故可列方程為：∵甜果9個11文，苦果7個4文，∴甜果每個單價為文，苦果每個單價為文，∵總費用為999文，故可列方程為：；故可列方程組：；故選C．9．（2025·山東·中考真題）明代數(shù)學(xué)家吳敬的《九章算法比類大全》中有一個“哪吒夜叉”問題，大意是：有3個頭6只手的哪吒若干，有1個頭8只手的夜叉若干，兩方交戰(zhàn)，共有36個頭，108只手．問哪吒、夜叉各有多少？設(shè)哪吒有個，夜叉有個，則根據(jù)條件所列方程組為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了一元二次方程組的應(yīng)用，審清題意、找準(zhǔn)等量關(guān)系、列出方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)哪吒有個，夜叉有個，然后根據(jù)等量關(guān)系“共有36個頭”和“108只手”列出二元一次方程組即可解答．【詳解】解：設(shè)哪吒有個，夜叉有個，然后根據(jù)題意可得：．故選D．10．（2025·四川廣安·中考真題）《九章算術(shù)》中有一道題，原文是：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問：人數(shù)、物價各幾何？”譯文是：假設(shè)共同買東西，如果每人出8錢，盈余3錢；每人出7錢，不足4錢．問：人數(shù)、物價各多少？設(shè)人數(shù)為x，物價為y，則可列方程組為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查列二元一次方程組解應(yīng)用題，抓住等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．根據(jù)題設(shè)人數(shù)為x，物價為y，抓住等量關(guān)系每人出8錢，盈余3錢；每人出7錢，不足4錢列方程組即可．【詳解】解：設(shè)人數(shù)為x，物價為y，由每人出八錢，會多三錢；總錢數(shù),每人出七錢，又差四錢；總錢數(shù)，∴聯(lián)立方程組為．故選：B．考點3列二元一次方程組11．（2025·浙江·中考真題）手工社團的同學(xué)制作兩種手工藝品A和B，需要用到彩色紙和細(xì)木條，單個手工藝品材料用量如下表．

材料類別彩色紙（張）細(xì)木條（捆）手工藝品A53手工藝品B21如果一共用了17張彩色紙和10捆細(xì)木條，問他們制作的兩種手工藝品各有多少個？設(shè)手工藝品A有x個，手工藝品B有y個，則x和y滿足的方程組是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查根據(jù)實際問題，列二元一次方程，根據(jù)題意，建立關(guān)于彩色紙和細(xì)木條用量的二元一次方程組．【詳解】解：每個手工藝品A用5張，每個B用2張，總用量為17張．因此可列方程為：；每個手工藝品A用3捆，每個B用1捆，總用量為10捆．因此可列方程為：；故方程組為：；故選C．12．（2025·四川自貢·中考真題）某小區(qū)人行道地磚鋪設(shè)圖案如圖所示．用10塊相同的小平行四邊形地磚拼成一個大平行四邊形．若大平行四邊形短邊長．則小地磚短邊長（

）A．7cm B．8 C．9 D．【答案】B【分析】此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．設(shè)每塊小平行四邊形地磚的長為，寬為，由圖示可得等量關(guān)系：①2個長個長4個寬，②一個長一個寬，列出方程組，解方程組即可．【詳解】解：設(shè)每塊小平行四邊形地磚的長為，寬為，由題意得：，解得：，則每塊小平行四邊形地磚的短邊長為，故選：B．考點4二元一次方程的解與方案問題13．（2025·黑龍江·中考真題）為促進(jìn)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展，某校計劃用1200元購買足球和籃球用于課外活動，其中足球80元/個，籃球120元/個，共有多少種購買方案（

）A．6 B．7 C．4 D．5【答案】A【分析】本題考查二元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的二元一次方程，并求出方程的解，注意籃球和足球個數(shù)都是非負(fù)整數(shù)．設(shè)購買足球x個，籃球y個，根據(jù)題意列出方程，找出滿足x、y為非負(fù)整數(shù)的解的組數(shù)．【詳解】解：設(shè)購買足球x個，籃球y個，根據(jù)題意得：，即，則，∵都是非負(fù)整數(shù)，解得：或或或或或，∴共有6種購買方案，故選：A．14．（2025·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）神舟二十號發(fā)射窗口時間恰逢第十個“中國航天日”．為激發(fā)青少年探索浩瀚宇宙的興趣，學(xué)校組織900名師生乘車前往航空科技館參觀，計劃租用45座和60座兩種客車（兩種客車都要租），若每名學(xué)生都有座位且每輛客車都沒有空座位，則租車方案有（

）A．3種 B．4種 C．5種 D．6種【答案】B【分析】本題考查二元一次方程的解，設(shè)租用45座客車x輛，60座客車y輛，根據(jù)題意列出方程并求解正整數(shù)解，確定符合條件的方案種數(shù)，即可．【詳解】解：設(shè)租用45座客車x輛，60座客車y輛，由題意得：，∴，∵x、y均為正整數(shù)，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．∴共4種滿足條件的正整數(shù)解，對應(yīng)4種租車方案．故選B．15．（2025·四川瀘州·中考真題）《九章算術(shù)》是中國古代一部重要的數(shù)學(xué)著作，在“方程”章中記載了求不定方程（組）解的問題．例如方程恰有一個正整數(shù)解．類似地，方程的正整數(shù)解的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查了二元一次方程的解，根據(jù)題意寫出的正整數(shù)解，即可求解．【詳解】解：∵∴正整數(shù)解為：，；，；，共3個，故選：C．考點5二元一次方程組的實際問題16．（2025·湖南長沙·中考真題）為落實科技興農(nóng)政策，某鄉(xiāng)辦食品企業(yè)應(yīng)用新科技推動農(nóng)產(chǎn)品由粗加工向精加工轉(zhuǎn)變．根據(jù)市場需求，該食品企業(yè)將收購的農(nóng)產(chǎn)品加工成A，B兩種等級的農(nóng)產(chǎn)品對外銷售，已知銷售6千克A等級農(nóng)產(chǎn)品和4千克B等級農(nóng)產(chǎn)品共收入元，銷售4千克A等級農(nóng)產(chǎn)品和2千克B等級農(nóng)產(chǎn)品共收入元．（不考慮加工損耗）(1)求每千克A等級農(nóng)產(chǎn)品和每千克B等級農(nóng)產(chǎn)品的銷售單價分別為多少元？(2)若該食品企業(yè)以每千克8元購進(jìn)千克農(nóng)產(chǎn)品，全部加工后對外銷售，要求總利潤不低于元，則至少需加工A等級農(nóng)產(chǎn)品多少千克？【答案】(1)A等級農(nóng)產(chǎn)品每千克銷售單價為元，B等級農(nóng)產(chǎn)品每千克銷售單價為元(2)要求總利潤不低于元，則至少需加工A等級農(nóng)產(chǎn)品千克【分析】本題考查了二元一次方程組、一元一次不等式在實際問題中的應(yīng)用，正確理解題意即可．（1）設(shè)A等級農(nóng)產(chǎn)品每千克銷售單價為元，B等級農(nóng)產(chǎn)品每千克銷售單價為元，由題意得即可求解；（2）設(shè)需加工A等級農(nóng)產(chǎn)品千克，則需加工B等級農(nóng)產(chǎn)品千克，由題意得．即可求解；【詳解】（1）解：設(shè)A等級農(nóng)產(chǎn)品每千克銷售單價為元，B等級農(nóng)產(chǎn)品每千克銷售單價為元，由題意得解得答：A等級農(nóng)產(chǎn)品每千克銷售單價為元，B等級農(nóng)產(chǎn)品每千克銷售單價為元．（2）解：設(shè)需加工A等級農(nóng)產(chǎn)品千克，則需加工B等級農(nóng)產(chǎn)品千克，由題意得．解得，答：要求總利潤不低于元，則至少需加工A等級農(nóng)產(chǎn)品千克．17．（2025·四川遂寧·中考真題）為了建設(shè)美好家園，提高垃圾分類意識，某社區(qū)決定購買兩種型號的新型垃圾桶．現(xiàn)有如下材料：材料一：已知購買個型號的新型垃圾桶和購買個型號的新型垃圾桶共元；購買個型號的新型垃圾桶和購買個型號的新型垃圾桶共元．材料二：據(jù)統(tǒng)計該社區(qū)需購買兩種型號的新型垃圾桶共個，但總費用不超過元，且型號的新型垃圾桶數(shù)量不少于型號的新型垃圾桶數(shù)量的．請根據(jù)以上材料，完成下列任務(wù)：任務(wù)一：求兩種型號的新型垃圾桶的單價？任務(wù)二：有哪幾種購買方案？任務(wù)三：哪種方案更省錢，最低購買費用是多少元？【答案】任務(wù)一：種型號的新型垃圾桶的單價為元，種型號的新型垃圾桶的單價為元；任務(wù)二：有三種購買方案：①購買種型號的新型垃圾桶個，購買種型號的新型垃圾桶個；②購買種型號的新型垃圾桶個，購買種型號的新型垃圾桶個；③購買種型號的新型垃圾桶個，購買種型號的新型垃圾桶個；任務(wù)三：購買種型號的新型垃圾桶個，購買種型號的新型垃圾桶個更省錢，最低購買費用是元．【分析】任務(wù)一：設(shè)種型號的新型垃圾桶的單價為元，種型號的新型垃圾桶的單價為元，根據(jù)題意列出方程組即可求解；任務(wù)二：設(shè)購買種型號的新型垃圾桶個，則購買種型號的新型垃圾桶個，根據(jù)題意列出不等式組，解不等式組求出的取值范圍即可求解；任務(wù)三：由種型號的新型垃圾桶價格更低，可知購買種型號的新型垃圾桶越多，購買費用越低，據(jù)此解答即可求解；本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，有理數(shù)混合運算的實際應(yīng)用，理解題意是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：任務(wù)一：設(shè)種型號的新型垃圾桶的單價為元，種型號的新型垃圾桶的單價為元，由題意得，，解得，答：種型號的新型垃圾桶的單價為元，種型號的新型垃圾桶的單價為元；任務(wù)二：設(shè)購買種型號的新型垃圾桶個，則購買種型號的新型垃圾桶個，由題意得，，解得，∵為整數(shù)，∴或或，∴有三種購買方案：①購買種型號的新型垃圾桶個，購買種型號的新型垃圾桶個；②購買種型號的新型垃圾桶個，購買種型號的新型垃圾桶個；③購買種型號的新型垃圾桶個，購買種型號的新型垃圾桶個；任務(wù)三：∵種型號的新型垃圾桶價格更低，∴購買種型號的新型垃圾桶越多，購買費用越低，即購買種型號的新型垃圾桶個，購買種型號的新型垃圾桶個更省錢，∴最低購買費用為元，答：購買種型號的新型垃圾桶個，購買種型號的新型垃圾桶個更省錢，最低購買費用是元．18．（2025·河南·中考真題）為助力鄉(xiāng)村振興，支持惠農(nóng)富農(nóng)，某合作社銷售我省西部山區(qū)出產(chǎn)的甲、乙兩種蘋果．已知2箱甲種蘋果和3箱乙種蘋果的售價之和為440元；4箱甲種蘋果和5箱乙種蘋果的售價之和為800元．(1)求甲、乙兩種蘋果每箱的售價．(2)某公司計劃從該合作社購買甲、乙兩種蘋果共12箱，且乙種蘋果的箱數(shù)不超過甲種蘋果的箱數(shù)．求該公司最少需花費多少元．【答案】(1)甲、乙兩種蘋果每箱的售價分別為元、元；(2)該公司最少需花費元．【分析】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意正確列式是解題關(guān)鍵．（1）設(shè)甲、乙兩種蘋果每箱的售價分別為元、元，根據(jù)“2箱甲種蘋果和3箱乙種蘋果的售價之和為440元；4箱甲種蘋果和5箱乙種蘋果的售價之和為800元”，列二元一次方程組求解即可；（2）設(shè)購買甲種蘋果箱，根據(jù)“乙種蘋果的箱數(shù)不超過甲種蘋果的箱數(shù)”列不等式，求出的取值范圍，設(shè)該公司需花費元，得到關(guān)于的一次函數(shù)，求出最值即可．【詳解】（1）解：設(shè)甲、乙兩種蘋果每箱的售價分別為元、元，則，解得：，答：甲、乙兩種蘋果每箱的售價分別為元、元；（2）解：設(shè)購買甲種蘋果箱，則購買乙種蘋果箱，則，解得：，設(shè)該公司需花費元，則，，隨的增大而增大，當(dāng)時，有最小值為，即該公司最少需花費元．19．（2025·江蘇連云港·中考真題）如圖，制作甲、乙兩種無蓋的長方體紙盒，需用正方形和長方形兩種硬紙片，且長方形的寬與正方形的邊長相等．(1)現(xiàn)用200張正方形硬紙片和400張長方形硬紙片，恰好能制作甲、乙兩種紙盒各多少個?(2)如果需要制作100個長方體紙盒，要求乙種紙盒數(shù)量不低于甲種紙盒數(shù)量的一半，那么至少需要多少張正方形硬紙片?【答案】(1)恰好能制作甲種紙盒40個，乙種紙盒80個(2)至少需要134張正方形硬紙片【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）先設(shè)恰好能制作甲種紙盒x個，乙種紙盒y個．結(jié)合題意列出方程組，再解得，即可作答．（2）先設(shè)制作乙種紙盒m個，需要w張正方形硬紙片．根據(jù)題意列出，結(jié)合，得，其中最小整數(shù)解為34．運用一次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行分析作答即可．【詳解】（1）解：制作甲、乙兩種無蓋的長方體紙盒，甲種需要1個正方形，4個長方形，乙種需要2個正方形，3個長方形，設(shè)恰好能制作甲種紙盒x個，乙種紙盒y個．根據(jù)題意，得，得，答：恰好能制作甲種紙盒40個，乙種紙盒80個．（2）解：設(shè)制作乙種紙盒m個，需要w張正方形硬紙片．則．由，知w隨m的增大而增大，∴當(dāng)m最小時，w有最小值．根據(jù)題意，得，解得，其中最小整數(shù)解為34．即當(dāng)時，．答：至少需要134張正方形硬紙片．20．（2025·吉林·中考真題）吉林省長白山盛產(chǎn)人參．為促進(jìn)我省特色經(jīng)濟的發(fā)展，某公司現(xiàn)將人參加工成甲、乙兩種盒裝的商品出售，甲、乙兩種商品的售價分別為每盒25元和20元．某游客購買了甲、乙兩種商品共10盒，花費230元．求該游客購買甲種商品和乙種商品的盒數(shù)．【答案】游客購買甲種商品6盒，購買乙種商品4盒【分析】本題考查了二元一次方程組的實際應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．設(shè)游客購買甲種商品x盒，購買乙種商品y盒，根據(jù)“游客購買了甲、乙兩種商品共10盒，花費230元”建立方程組求解即可．【詳解】解：設(shè)游客購買甲種商品x盒，購買乙種商品y盒，由題意得：，解得：，答：游客購買甲種商品6盒，購買乙種商品4盒．21．（2025·黑龍江·中考真題）2024年8月6日，第十二屆世界運動會口號“運動無限，氣象萬千”在京發(fā)布，吉祥物“蜀寶”和“錦仔”亮相．第一中學(xué)為鼓勵學(xué)生積極參加體育活動，準(zhǔn)備購買“蜀寶”和“錦仔”獎勵在活動中表現(xiàn)優(yōu)秀的學(xué)生．已知購買3個“蜀寶”和1個“錦仔”共需花費332元，購買2個“蜀寶”和3個“錦仔”共需380元．(1)購買一個“蜀寶”和一個“錦仔”分別需要多少元？(2)若學(xué)校計劃購買這兩種吉祥物共30個，投入資金不少于2160元又不多于2200元，有哪幾種購買方案？(3)設(shè)學(xué)校投入資金W元，在（2）的條件下，哪種購買方案需要的資金最少？最少資金是多少元？【答案】(1)購買一個“蜀寶”和一個“錦仔”分別需要元和元(2)方案一：購買“蜀寶”個，購買“錦仔”個；方案二：購買“蜀寶”個，購買“錦仔”個；方案三：購買“蜀寶”個，購買“錦仔”個；(3)方案一需要的資金最少，最少資金是2160元【分析】本題考查二元一次方程組的實際應(yīng)用，一元一次不等式組的實際應(yīng)用，一次函數(shù)的實際應(yīng)用，正確的列出方程組，不等式組和一次函數(shù)的解析式，是解題的關(guān)鍵：（1）設(shè)購買一個“蜀寶”和一個“錦仔”分別需要元和元，根據(jù)購買3個“蜀寶”和1個“錦仔”共需花費332元，購買2個“蜀寶”和3個“錦仔”共需380元，列出方程組進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)購買“蜀寶”個，根據(jù)投入資金不少于2160元又不多于2200元，列出不等式組，進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)投入資金等于兩種吉祥物的費用之和，列出函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)購買一個“蜀寶”和一個“錦仔”分別需要元和元，由題意，得：，解得：；答：購買一個“蜀寶”和一個“錦仔”分別需要元和元；（2）解：設(shè)購買“蜀寶”個，則：購買“錦仔”個；∴，解得：，∴，；∴共有3種方案：方案一：購買“蜀寶”個，購買“錦仔”個；方案二：購買“蜀寶”個，購買“錦仔”個；方案三：購買“蜀寶”個，購買“錦仔”個；（3）解：由題意，得：，∴隨著的增大而增大，∴當(dāng)時，即方案一需要的資金最少，最少資金是（元）；答：方案一需要的資金最少，最少資金是2160元．22．（2025·廣西·中考真題）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自駕游廣西的外省籍小客車，可享受高速公路車輛通行費（以下簡稱高速費）優(yōu)惠．小悅一家5月中旬從湖南自駕到廣西探親游玩，此次全程所產(chǎn)生的高速費享受的優(yōu)惠如下：湖南境內(nèi)路段廣西境內(nèi)特定路段廣西境內(nèi)其他路段周一至周四9.5折周五至周日9.5折全免5折(1)周六小悅一家從湖南Z市到廣西A市，所經(jīng)湖南境內(nèi)路段、廣西境內(nèi)特定路段和其他路段的高速費原價分別為a元、b元和c元．求此行程的高速費實付多少元？(2)周日他們從A市到K市（全程在廣西境內(nèi)），高速費實付27.55元；周一從K市原路返回到A市，高速費實付95.95元．求此行程中A市與K市間廣西境內(nèi)特定路段和其他路段的單程高速費原價分別是多少元．【答案】(1)(2)特定路段和其他路段的單程高速費原價分別是元和元【分析】本題考查了代數(shù)式、二元一次方程組：（1）根據(jù)題意列出代數(shù)式即可；（2）根據(jù)題意列出方程組求解即可．【詳解】（1）此次行程高速費原價總共為：元實際支付高速費用：元（2）解：設(shè)特定路段和其他路段的單程高速費原價分別元和元解得：故此行程中市與市間廣西境內(nèi)特定路段和其他路段的單程高速費原價分別是元和元．23．（2025·湖北·中考真題）某商店銷售A，B兩種水果．A水果標(biāo)價14元／千克，B水果標(biāo)價18元／千克．(1)小明陪媽媽在這家商店按標(biāo)價買了A，B兩種水果共3千克，合計付款46元．這兩種水果各買了多少千克？(2)媽媽讓小明再到這家商店買兩種水果，要求B水果比A水果多買1千克，合計付款不超過50元．設(shè)小明買A水果千克．①若這兩種水果按標(biāo)價出售，求的取值范圍；②小明到這家商店后，發(fā)現(xiàn)兩種水果正在進(jìn)行優(yōu)惠活動：A水果打七五折；一次購買B水果不超過1千克不優(yōu)惠，超過1千克后，超過1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按標(biāo)價的出售．）若小明合計付款48元，求的值．【答案】(1)購買A種水果2千克，B種水果1千克(2)①；②【分析】本題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用；（1）設(shè)購買A種水果x千克，B種水果y千克，根據(jù)在這家商店按標(biāo)價買了A，B兩種水果共3千克，合計付款46元．再建立方程組解題即可；（2）①設(shè)小明買A水果千克，則B種水果購買了千克，根據(jù)要求B水果比A水果多買1千克，合計付款不超過50元，再建立不等式求解即可；②設(shè)小明買A水果千克，則B種水果購買了千克，根據(jù)不同的優(yōu)惠方式可得，再解方程即可.【詳解】（1）解：設(shè)購買A種水果x千克，B種水果y千克，依題意得：，解得：．答：購買A種水果2千克，B種水果1千克．（2）解：①設(shè)小明買A水果千克，則B種水果購買了千克，∴，解得：，∴結(jié)合實際可得：；②設(shè)小明買A水果千克，則B種水果購買了千克，∴，解得：.24．（2025·湖南·中考真題）同學(xué)們準(zhǔn)備在勞動課上制作艾草香包，需購買，兩種香料．已知種材料的單價比種材料的單價多3元，且購買4件種材料與購買6件種材料的費用相等．(1)求種材料和種材料的單價；(2)若需購買種材料和種材料共50件，且總費用不超過360元，則最多能購買種材料多少件？【答案】(1)A種材料的單價為9元，B種材料的單價為6元；(2)最多能購買種材料20件．【分析】本題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用．（1）設(shè)A種材料的單價為x元，B種材料的單價為y元，根據(jù)題意列出二元一次方程組求解即可；（2）設(shè)最多可以購買種材料m件，則購買種材料件，根據(jù)題意列出不等式求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)A種材料的單價為x元，B種材料的單價為y元，依題意，解得，答：A種材料的單價為9元，B種材料的單價為6元；（2）解：設(shè)最多可以購買種材料m件，則購買種材料件，依題意得：．解得．∴m的最大值為20．答：最多能購買種材料20件．25．（2025·山東煙臺·中考真題）2025年6月5日是第54個“世界環(huán)境日”，為打造綠色低碳社區(qū)，某社區(qū)決定購買甲、乙兩種太陽能路燈安裝在社區(qū)公共區(qū)域，升級改造現(xiàn)有照明系統(tǒng)．已知購買1盞甲種路燈和2盞乙種路燈共需220元，購買3盞甲種路燈比4盞乙種路燈的費用少140元．(1)求甲、乙兩種路燈的單價；(2)該社區(qū)計劃購買甲、乙兩種路燈共40盞，且甲種路燈的數(shù)量不超過乙種路燈數(shù)量的，請通過計算設(shè)計一種購買方案，使所需費用最少．【答案】(1)甲、乙兩種路燈的單價分別為元，元(2)購買甲種路燈盞，購買乙種路燈盞，費用最少【分析】本題考查了二元一次方程組以及一元一次不等式、一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程組，不等式以及一次函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵；（1）設(shè)甲、乙兩種路燈的單價分別為元，根據(jù)題意列出方程組，即可求解；（2）設(shè)購買甲種路燈盞，則購買乙種路燈盞，列出不等式，求得，設(shè)購買費用為元，得出，進(jìn)而根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)甲、乙兩種路燈的單價分別為元，根據(jù)題意得，解得：答：甲、乙兩種路燈的單價分別為，元（2）解：設(shè)購買甲種路燈盞，則購買乙種路燈盞，根據(jù)題意得，解得：設(shè)購買費用為元，根據(jù)題意得，∵∴當(dāng)取得最大值時，取得最小值，∴時，（盞），即購買甲種路燈盞，購買乙種路燈盞，費用最少，答：購買甲種路燈盞，購買乙種路燈盞，費用最少．26．（2025·四川德陽·中考真題）中江掛面以“細(xì)如發(fā)絲、清如白玉、耐煮不糊、入口綿軟”聞名遐邇，其獨特的空心技藝傳承千年，從揉面、開條、上筷到拉扯成型，需經(jīng)十余道古法工序．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組走進(jìn)某老字號掛面廠進(jìn)行調(diào)研，已知購買2袋A型與2袋B型掛面共需費用100元，購買3袋A型與2袋B型掛面共需費用120元．(1)A型、B型掛面的單價分別是多少元？(2)為進(jìn)一步推廣此非遺美食，興趣小組決定購買A、B兩種型號掛面共40袋．在單價不變，總費用不超過950元，且B型掛面不少于10袋的條件下，共有幾種購買方案？其中最低花費多少元？【答案】(1)A型掛面每袋20元，B型掛面每袋30元(2)共有6種購買方案，最低費用為900元【分析】本題考查了運用二元一次方程組解應(yīng)用題，以及綜合運用一次函數(shù)和一元一次不等式設(shè)計方案問題．根據(jù)題意列出方程組，不等式組以及一次函數(shù)的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)A型掛面每袋x元，B型掛面每袋y元．根據(jù)題意列二元一次方程組求解即可；（2）設(shè)A型掛面每袋x元，B型掛面每袋y元．先根據(jù)題意列不等式組求出a的范圍為，再根據(jù)題意列出w與a的函數(shù)關(guān)系式為，根據(jù)一次函數(shù)的增減性可得時，w有最小值，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)A型掛面每袋x元，B型掛面每袋y元．則，得．答：A型掛面每袋20元，B型掛面每袋30元．（2）解：設(shè)購買B型掛面a袋，則購買A型掛面的數(shù)量為袋，總費用為w元．則，解得，又a為正整數(shù)，，11，12，13，14，15．由題意得．，w隨a的增大而增大，時，w有最小值，最小值為（元）．答：共有6種購買方案，最低費用為900元．27．（2025·四川眉山·中考真題）國家衛(wèi)健委在全民健康調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，近年來的肥胖人群快速增長，為加強對健康飲食的重視，特發(fā)布各地區(qū)四季健康飲食食譜．現(xiàn)有A、B兩種食品，每份食品的質(zhì)量為，其核心營養(yǎng)素如下：食品類別能量（單位：）蛋白質(zhì)（單位：）脂肪（單位：）碳水化合物（單位：）A240127.529.8B28013927.6(1)若要從這兩種食品中攝入能量和蛋白質(zhì)，應(yīng)選用A、B兩種食品各多少份？(2)若每份午餐選用這兩種食品共，從A、B兩種食品中攝入的蛋白質(zhì)總量不低于，且能量最低，應(yīng)選用A、B兩種食品各多少份？【答案】(1)選用A、B兩種食品分別為份和2份；(2)應(yīng)選用A、B兩種食品分別為2份和份；【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）先設(shè)選用A、B兩種食品分別為份和份，結(jié)合選用A、B兩種食品分別為份和份，列出方程組，進(jìn)行計算，即可作答．（2）結(jié)合每份食品的質(zhì)量為，每份午餐選用這兩種食品共，則選用B種食品份，再列出不等式，得，然后設(shè)能量為，則，運用一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行作答即可．【詳解】（1）解：設(shè)選用A、B兩種食品分別為份和份，∵這兩種食品中攝入能量和蛋白質(zhì)，∴，∴，∴選用A、B兩種食品分別為份和2份；（2）解：設(shè)選用A種食品份，依題意，，即選用B種食品份，則，解得，設(shè)能量為，則∵，∴隨的增大而減小，∴當(dāng)時能量最低，即，∴應(yīng)選用A、B兩種食品分別為2份和份．28．（2025·黑龍江綏化·中考真題）自主研發(fā)和創(chuàng)新讓我國的科技快速發(fā)展，“中國智造”正引領(lǐng)世界潮流．某科技公司計劃投入一筆資金用來購買、兩種型號的芯片．已知購買顆型芯片和2顆型芯片共需要元，購買顆型芯片和顆型芯片共得要元．(1)求購買顆型芯片和顆型芯片各需要多少元．(2)若該公司計劃購買、兩種型號的芯片共頻，其中購買型芯片的數(shù)量不少于型芯片數(shù)量的倍．當(dāng)購買型芯片多少顆時，所需資金最少，最少資金是多少元．(3)該公司用甲、乙兩輛芯片運輸車，先后從地出發(fā)，沿著同一條公路勻速行駛，前往目的地，兩車到達(dá)地后均停止行駛．如圖，、分別是甲、乙兩車離地的距離與甲車行駛的時間之間的函數(shù)關(guān)系．請根據(jù)圖象信息解答下列問題：①甲車的速度是________．②當(dāng)甲、乙兩車相距時，直接寫出的值________．【答案】(1)購買顆型芯片和顆型芯片分別需要元和元(2)當(dāng)該公司購買型芯片顆，所需資金最少，最少資金是元(3)①；②或或【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一次函數(shù)最優(yōu)化問題：（1）根據(jù)題意列方程組求解即可；（2）結(jié)合不等式約束條件，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最小值即可；（3）求出解析式代入計算即可；求出甲乙兩車的函數(shù)解析式，分類討論即可．【詳解】（1）設(shè)：購買顆型芯片和顆型芯片分別需要元和元由題意得解得答：購買顆型芯片和顆型芯片分別需要元和元（2）設(shè)購買型芯片顆，則購買型芯片顆，所需資金為元由題意得：隨的增大而減小購買型芯片的數(shù)量不少于型芯片數(shù)量的3倍，解得取正整數(shù)當(dāng)時，取最小值，（元）此時答：當(dāng)該公司購買型芯片顆，所需資金最少，最少資金是元（3）①設(shè)的解析式為將點，代入得解得所以，的解析式為，當(dāng)時，所以，甲車的速度為②的解析式為將點代入得，解得所以的解析式為當(dāng)函數(shù)的圖象在函數(shù)上方時可列方程解得當(dāng)函數(shù)的圖象在函數(shù)下方時可列方程解得當(dāng)甲車到達(dá)地，乙離目的地時，可列方程解得綜上所述，的值為：或或．29．（2025·云南·中考真題）請你根據(jù)下列素材，完成有關(guān)任務(wù)．背景某校計劃購買籃球和排球，供更多學(xué)生參加體育鍛煉，增強身體素質(zhì)．素材一購買個籃球與購買個排球需要的費用相等；素材二購買個籃球和個排球共需元；素材三該校計劃購買籃球和排球共個，籃球和排球均需購買，且購買排球的個數(shù)不超過購買籃球個數(shù)的倍．請完成下列任務(wù)：任務(wù)一每個籃球，每個排球的價格分別是多少元？任務(wù)二給出最節(jié)省費用的購買方案．【答案】任務(wù)一：每個籃球元，每個排球元；任務(wù)二：購買籃球個，排球個，最節(jié)省費用．【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．任務(wù)一：設(shè)每個籃球元，每個排球元，根據(jù)題意得，然后解方程組即可；任務(wù)二：設(shè)購買籃球個，則購買排球個，費用為元，根據(jù)題意得，求出的取值范圍，由，可得隨的增大而增大，則當(dāng)時，有最小值，從而求解．【詳解】解：任務(wù)一：設(shè)每個籃球元，每個排球元，根