對數(shù)運(yùn)算與對數(shù)函數(shù)全章復(fù)習(xí)教學(xué)目標(biāo)1.通過復(fù)習(xí)理順本章重點(diǎn)知識，掌握本章重要知識點(diǎn)及常見題型.2.能綜合應(yīng)用本章知識解決綜合性強(qiáng)的問題.教學(xué)重難點(diǎn)1.重點(diǎn)：重點(diǎn)是對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)應(yīng)用、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)及圖像；2.難點(diǎn)：對數(shù)概念理解，運(yùn)算性質(zhì)推導(dǎo)，對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)關(guān)系及綜合應(yīng)用。一、構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)回顧重點(diǎn)知識知識點(diǎn)01對數(shù)的基本概念1.對數(shù)的定義一般地，如果ax＝Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>0，且a≠1))，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).2.幾種特殊的對數(shù)(1)常用對數(shù)：以10為底，記作lg_N；(2)自然對數(shù)：以e為底，記作ln_N．3.指數(shù)與對數(shù)的互化當(dāng)a>0，a≠1時，ax＝N?logaN＝x．用圖表示為：【知識剖析】為什么規(guī)定底數(shù)a>0,且a≠1?(1)當(dāng)a＝0時，ax恒等于0，沒有研究的必要．(2)當(dāng)a<0時，對于某些取值，ax無意義，即不利于定義的擴(kuò)充．(3)當(dāng)a＝1時，則無論x取何值，ax恒等于1，沒有研究的必要．知識點(diǎn)02對數(shù)的性質(zhì)(1)零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)；(2)1的對數(shù)為零，即loga1＝0(a>0且a≠1)；(3)底數(shù)的對數(shù)為1，即logaa＝1(a>0且a≠1).(4)對數(shù)恒等式:＝N＝x.(a>0，且a≠1，N>0).知識點(diǎn)03對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，n∈R，那么運(yùn)算數(shù)學(xué)表達(dá)式自然語言描述積的對數(shù)正因數(shù)積的對數(shù)等于同一底數(shù)的各因數(shù)的對數(shù)的和商的對數(shù)兩個正數(shù)的商的對數(shù)等于同一底數(shù)的被除數(shù)的對數(shù)減去除數(shù)的對數(shù)冪的對數(shù)(n∈R)正數(shù)冪的對數(shù)等于冪指數(shù)乘同一底數(shù)的冪的底數(shù)的對數(shù)【記憶口訣】(1)積的對數(shù)等于對數(shù)的和．【記憶口訣】(1)積的對數(shù)等于對數(shù)的和．(2)商的對數(shù)等于對數(shù)的差．(3)(n∈R)真數(shù)的冪指數(shù)可變積1.換底公式(1)一般形式：＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)；(2)常用形式：logab＝eq\f(lgb,lga)，logab＝eq\f(lnb,lna).2.換底公式的推論：①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)；

②(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)；

③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R).知識點(diǎn)05對數(shù)函數(shù)的概念1.函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)．其中是自變量，函數(shù)的定義域是，值域?yàn)椋?.特別說明：判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)是形如特別說明：判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)是形如的形式，即必須滿足以下條件：（1）系數(shù)為1；（2）底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)；（3）對數(shù)的真數(shù)僅有自變量．（1）常用對數(shù)函數(shù)：以10為底的對數(shù)函數(shù).（2）自然對數(shù)函數(shù)：以無理數(shù)e為底的對數(shù)函數(shù).知識點(diǎn)06反函數(shù)定義一般地，指數(shù)函數(shù)y=(a>0且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y=(a>0且a≠1)互為性質(zhì)函數(shù)y=f(x)的定義域、值域分別為它的反函數(shù)y=的值域、定義域互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對稱知識點(diǎn)07對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)列表如下：y＝logax(a>0，且a≠1)底數(shù)a>10<a<1圖象定義域(0，＋∞)值域R單調(diào)性在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)共點(diǎn)性圖象過定點(diǎn)(1,0)，即x＝1時，y＝0函數(shù)值特點(diǎn)x∈(0,1)時，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)時，y∈[0，＋∞)x∈(0,1)時，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)時，y∈(－∞，0]對稱性函數(shù)y＝logax與y＝的圖象關(guān)于x軸對稱注意：掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其關(guān)鍵是理解圖象的特征，利用幾何直觀掌握函數(shù)的性質(zhì).知識點(diǎn)08底數(shù)a對對數(shù)函數(shù)圖象的影響1.底數(shù)a與1的大小關(guān)系決定了對數(shù)函數(shù)圖象的“升降”.

當(dāng)a>1時，對數(shù)函數(shù)的圖象“上升”;

當(dāng)0<a<1時,對數(shù)函數(shù)的圖象“下降”.

2.函數(shù)y=與y=(a>0,且a≠1)的圖象關(guān)于x軸對稱.

3.底數(shù)的大小決定了圖象相對位置的高低：

無論是a>1還是0<a<1,在第一象限內(nèi),自左向右,圖象對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大.

①上下比較：在直線x=1的右側(cè),a>1時,a越大,圖象越靠近x軸;0<a<1時,a越小,圖象越靠近x軸;

②左右比較：比較圖象與直線y=1的交點(diǎn),交點(diǎn)的橫坐標(biāo)越大,對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大.提示：在第一象限內(nèi)，底數(shù)從小到大，圖象從左往右．知識點(diǎn)09y＝logaf(x)型函數(shù)性質(zhì)1.定義域：由f(x)>0解得x的取值范圍，即為函數(shù)的定義域.2.值域：在函數(shù)y＝logaf(x)的定義域中確定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的單調(diào)性確定函數(shù)的值域.3.單調(diào)性：在定義域內(nèi)考慮t＝f(x)與y＝logat的單調(diào)性，根據(jù)同增異減法則判定.(或運(yùn)用單調(diào)性定義判定)4.奇偶性：根據(jù)奇偶函數(shù)的定義判定.5.最值：在f(x)>0的條件下，確定t＝f(x)的值域，再根據(jù)a確定函數(shù)y＝logat的單調(diào)性，最后確定最值.知識點(diǎn)10對數(shù)及對數(shù)型函數(shù)解不等式1.形如logaf(x)<logag(x)的不等式.①當(dāng)0<a<1時，可轉(zhuǎn)化為f(x)>g(x)>0；②當(dāng)a>1時，可轉(zhuǎn)化為0<f(x)<g(x).2.形如logaf(x)<b的不等式可變形為logaf(x)<b＝logaab.①當(dāng)0<a<1時，可轉(zhuǎn)化為f(x)>ab；②當(dāng)a>1時，可轉(zhuǎn)化為0<f(x)<ab.知識點(diǎn)11三種函數(shù)的性質(zhì)及增長速度比較指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)一次函數(shù)解析式y(tǒng)＝axeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>1))y＝logaxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>1))y＝kxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k>0))單調(diào)性在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞))是增函數(shù)圖象(隨x的增大)趨向于和x軸垂直趨向于和x軸平行呈直線上升增長速度(隨x的增大)y的增長速度越來越快y的增長速度越來越慢y的增長速度不變歸納總結(jié)總會存在一個x0，當(dāng)x>x0時，ax>kx>logax題型01對數(shù)概念的理解【典例1-1】對數(shù)中實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對數(shù)真數(shù)和底數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閷?shù)式的底數(shù)為大于零不等于1的實(shí)數(shù)，真數(shù)為正實(shí)數(shù)，所以有，故選：C【典例1-2】（24-25高一上·山東淄博·隨堂練習(xí)）通常我們將的對數(shù)叫做常用對數(shù)，并把記為.【答案】以10為底對數(shù)式成立的條件在對數(shù)式中，必須注意：真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不等于1．【變式1-1】（24-25高一上·江蘇南通·課后作業(yè)）（多選）下列選項(xiàng)中，使有意義的a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用對數(shù)函數(shù)的定義列出關(guān)于a的不等式組，求解即可.【解析】要使有意義，則，解得或，所以a的取值范圍是.故選：BC.【變式1-2】（24-25高一上·江蘇無錫·課堂作業(yè)）在對數(shù)式中，實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】且【解析】由對數(shù)式可知：,解之得：且.題型02指數(shù)式與對數(shù)式的互化【典例2-1】已知2x=3，則x=（A．log23 B．log32 C．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的互化公式求解即可.【詳解】解：因?yàn)?x=3，所以故選：A【典例2-2】將下列指數(shù)式與對數(shù)式進(jìn)行轉(zhuǎn)換：(1)；(2)；(3)；(4).【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化可依次將其轉(zhuǎn)化.【詳解】（1）根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，可知可化為.（2）根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，可知可化為.（3）根據(jù)指數(shù)式和對數(shù)式的關(guān)系，可化為（4）根據(jù)指數(shù)式和對數(shù)式的關(guān)系，可化為指數(shù)式、對數(shù)式互化的技巧指數(shù)式ab＝N與對數(shù)式logaN＝b的互化規(guī)則是“底數(shù)不變，左右交換”，即：①兩式均以a為底；②b，N兩個字母在等號左右互換其位置．冪值相等的指數(shù)式問題，求解時一般設(shè)相等的指數(shù)式為同一個常數(shù)，然后取對數(shù)求解.【典例2-3】（24-25高一上·江蘇徐州·期中）若，則的值為.【答案】2【分析】由指對數(shù)的互換及對數(shù)運(yùn)算即可求解.【詳解】由，可得：，所以，所以，故答案為：2利用指數(shù)、對數(shù)式互化求值利用指數(shù)、對數(shù)式互化求值時，要注意方程思想的應(yīng)用，即通過解方程及指對互化的策略，求得相應(yīng)未知量的值.【變式2-1】（多選）下列指數(shù)式與對數(shù)式互化正確的一組是（

）A．100=1與lg1=0 B．C．27?13=13與【答案】ACD【分析】根據(jù)對數(shù)的概念，逐項(xiàng)判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】由對數(shù)的概念可知：100=1可轉(zhuǎn)化為由對數(shù)的概念可知：912=3由對數(shù)的概念可知：27?13由對數(shù)的概念可知：51=5可轉(zhuǎn)化為故選：ACD.【變式2-2】求下列各式中x的值．(1)；(2)；(3)；(4)．【分析】（1）（2）將對數(shù)化為指數(shù)，結(jié)合指數(shù)運(yùn)算求解；（3）（4）根據(jù)對數(shù)的定義逐步去對數(shù)，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)椋?（2）因?yàn)?，可得，又因?yàn)榍?，得．?）因?yàn)椋?，則，所以．（4）因?yàn)?，可得，則，所以．【變式2-3】（24-25高一上·江蘇鹽城·期中）已知，，則.（用數(shù)字作答）【分析】利用指對數(shù)互化和指數(shù)冪的運(yùn)算法則計算即得.【詳解】由，可得，又，則.故答案為：45.題型03利用指數(shù)、對數(shù)式互化與求值【典例3-1】若，則（）A．3 B．4 C．9 D．16【答案】D【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡給定式子求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，故得，化簡得，所以，故，故D正確.故選：D.【典例3-2】已知，，則．【分析】利用對數(shù)運(yùn)算法則計算可得結(jié)果.【詳解】易知；故答案為：用已知對數(shù)表示其他對數(shù)式或指數(shù)式此類題型主要是已知一些指數(shù)值、對數(shù)值或其等量關(guān)系，利用這些條件來表示所要求的式子，解此類問題要能熟練掌握所學(xué)的有關(guān)對數(shù)及其運(yùn)算性質(zhì)的知識，有時還會用到整體思想．【變式3-1】已知，，則用，表示【分析】化簡，，結(jié)合對數(shù)的換底公式，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】由，，可得，又由.故答案為：.【變式3-2】（24-25高一上·福建廈門·期中）若，，則.【分析】利用對數(shù)與指數(shù)的互化以及指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】因?yàn)?，，則，，因此，.故答案為：.題型04利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及換底公式進(jìn)行運(yùn)算【典例4-1】（多選）（24-25高一上·山東泰安·期中）已知，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】由，得，然后逐個分析判斷即可.【詳解】由，得，對于A，因?yàn)椋?，所以A正確，對于B，因?yàn)?，所以，所以B錯誤，對于C，因?yàn)?，所以，所以C正確，對于D，因?yàn)椋?，所以D正確.故選：ACD利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行對數(shù)運(yùn)算即利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)對底數(shù)相同的對數(shù)式的化簡和求值，具體策略有兩種：(1)“收”，將同底的兩數(shù)的和(差)收成積(商)的對數(shù),即逆用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解；(2)“拆”，將積(商)的對數(shù)拆成同底的兩對數(shù)的和(差)，即正用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解.【典例4-2】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）計算：(1)；(2)；(3)已知，，求（用表示）.【分析】利用換底公式以及對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計算出結(jié)果.【詳解】（1）原式.（2）原式.（3）法一

因?yàn)?，所以，于?法二

因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，又，所?利用換底公式進(jìn)行化簡求值的原則和技巧(1)原則：化異底為同底；(2)技巧：①技巧一：先利用對數(shù)運(yùn)算法則及性質(zhì)進(jìn)行部分運(yùn)算，最后再換成同底；②技巧二：借助換底公式一次性統(tǒng)一換為常用對數(shù)（自然對數(shù)），再化簡、通分、求值.【變式4-1】若利用換底公式進(jìn)行化簡求值的原則和技巧(1)原則：化異底為同底；(2)技巧：①技巧一：先利用對數(shù)運(yùn)算法則及性質(zhì)進(jìn)行部分運(yùn)算，最后再換成同底；②技巧二：借助換底公式一次性統(tǒng)一換為常用對數(shù)（自然對數(shù)），再化簡、通分、求值.A． B． C． D．【答案】A【分析】由對數(shù)的運(yùn)算求出，再結(jié)合對數(shù)和指數(shù)的運(yùn)算化簡即可.【詳解】由題得，所以.故選：A.【變式4-2】（24-25高一上·山東泰安·期中）化簡求值：(1)(2)．【分析】（1）根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的性質(zhì)和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解；（2）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算求解即可.【詳解】（1）原式．（2）原式．【變式4-3】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）計算下列各式的值：(1)；(2)；(3).【分析】利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)和換底公式即可求得所給各對數(shù)式的值.【詳解】（1）原式；（2）原式；（3）原式.題型05利用換底公式證明【典例5-1】（24-25高一·全國·課后作業(yè)）設(shè)a，b，c均為不等于1的正實(shí)數(shù)，則下列等式中恒成立的是（

）A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcbC．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac【答案】B【分析】根據(jù)換底公式可判斷A、B的正誤，根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可判斷C、D的正誤．【詳解】由logab·logcb＝·≠logca，故A錯；由logab·logca＝·＝＝logcb，故B正確；對選項(xiàng)C，D，由對數(shù)的運(yùn)算法則，容易知，其顯然不成立.故選：B.【典例5-2】設(shè)a，b，c都是正數(shù)，且，那么下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)指對互化，利用對數(shù)表示，再結(jié)合對數(shù)運(yùn)算判斷選項(xiàng).【詳解】由，得，，，，，，則，根據(jù)可知，.故選：C換底公式之用已知量表示此類題型主要是已知一些指數(shù)值、對數(shù)值或其等量關(guān)系，利用這些條件來表示所要求的式子，求解過程中注意用換底公式將所求式的底數(shù)轉(zhuǎn)化為已知式的底數(shù)，再借助對數(shù)運(yùn)算加以解決.【變式5-1】設(shè)，且，利用對數(shù)的換底公式證明：(1)；(2)；(3)計算：若，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）直接利用換底公式即可證明結(jié)果；（2）直接利用換底公式即可證明結(jié)果；（3）根據(jù)條件，利用換底公式得到，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)椋悦}得證.（2）因?yàn)?，所以命題得證.（3）因?yàn)?，所以，故，即的值?【變式5-2】已知a，b，c滿足.（1）當(dāng)時，試討論a?b?c三個數(shù)的大小關(guān)系；（2）當(dāng)a，b，c均為正數(shù)，求證：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)，得到，在同一坐標(biāo)系中，分別作出和的圖象，結(jié)合圖象，即可求解；（2）由（1）得到，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算公式和換底公式，即可求解.【詳解】（1）設(shè)，可得，其中，在同一坐標(biāo)系中，分別作出和的圖象，當(dāng)時，如圖圖（1）所示，可得；當(dāng)時，如圖圖（2）所示，可得；當(dāng)時，如圖圖（3）所示，可得.（2）設(shè)，可得，其中，可得，，所以.題型06對數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用【典例6-1】（24-25高一上·湖南懷化·期中）我們已經(jīng)知道物質(zhì)的原子個數(shù)為，你知道整個宇宙可觀測原子個數(shù)是多少嗎？據(jù)估計，整個宇宙可觀測原子個數(shù)大約為.下列各數(shù)中與最接近的是（

）（參考數(shù)據(jù)）A． B． C． D．【答案】C【分析】取對數(shù)后，根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算化簡，再轉(zhuǎn)化為指數(shù)式得解.【詳解】因?yàn)樗?，與最接近的是，故選：C【典例6-2】“學(xué)如逆水行舟，不進(jìn)則退：心似平原跑馬，易放難收”（明：《增廣賢文》）是勉勵人們專心學(xué)習(xí)的．假設(shè)初始值為1，如果每天的“進(jìn)步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是一年后“進(jìn)步者”是“退步者”的倍．照此計算，大約經(jīng)過（

）天“進(jìn)步者”是“退步者”的2倍（參考數(shù)據(jù)：，，）A．35 B．37 C．38 D．39【答案】A【分析】根據(jù)題意列出不等式，利用指數(shù)和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可．【詳解】假設(shè)經(jīng)過天，“進(jìn)步者”是“退步者”的2倍，列方程得，解得，即經(jīng)過約35天，“進(jìn)步者”是“退步者”的2倍．故選：A．對數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用求解策略在日常實(shí)際生活中，經(jīng)常會遇到一些指數(shù)或?qū)?shù)運(yùn)算的問題.求解對數(shù)實(shí)際應(yīng)用題時，一是要合理建立數(shù)學(xué)模型，尋找量與量之間的關(guān)系；二是要充分利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及兩邊取對數(shù)的方法計算求解.【變式6-1】地震震級是根據(jù)地震儀記錄的地震波振幅來測定的，一般采用里氏震級標(biāo)準(zhǔn)，里氏震級的計算公式為，其中A是被測地震的最大振幅，是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅（使用標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測震儀距實(shí)際震中的距離造成的偏差）．根據(jù)該公式可知，7.5級地震的最大振幅是6級地震的最大振幅的（

）倍．A． B． C． D．【答案】B【分析】通過里氏震級的計算公式求出不同震級對應(yīng)的最大振幅，然后計算兩者的倍數(shù)關(guān)系.計算時運(yùn)用對數(shù)的性質(zhì)和公式即可【詳解】由里氏震級的計算公式，可得，進(jìn)一步變形得到，從而得出.當(dāng)時，根據(jù)，可得地震的最大振幅為.當(dāng)時，同樣根據(jù)，可得地震的最大振幅為..故選：B【變式6-2】深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的.在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，表示衰減系數(shù)，表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度.已知某個指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為0.5，衰減速度為18，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為18時，學(xué)習(xí)率為0.4，則學(xué)習(xí)率衰減到0.2以下（不含0.2）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．72 B．73 C．74 D．75【答案】B【分析】由題意先得，接著由和得，再結(jié)合對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)解不等式即可得解.【詳解】由題，，所以，又由題當(dāng)時，，即，所以，令即即，解得，故，所以學(xué)習(xí)率衰減到0.2以下（不含0.2）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為73.故選：B.題型07對數(shù)函數(shù)的判斷【典例7-1】下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是（

）A．（且） B．C． D．（且）【答案】B【分析】利用對數(shù)函數(shù)的定義求解．【詳解】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義且,分析A,B,C,D函數(shù)形式，函數(shù)為對數(shù)函數(shù).故選：B.【典例7-2】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）若函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，則．【答案】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義求解即可.【詳解】由對數(shù)函數(shù)的定義可知，解得.故答案為：.【變式7-1】判斷一個函數(shù)是否為對數(shù)函數(shù)的方法判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)必須是形如y＝log判斷一個函數(shù)是否為對數(shù)函數(shù)的方法判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)必須是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必須滿足以下條件：(1)系數(shù)為1.(2)底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)．(3)對數(shù)的真數(shù)僅有自變量x.A．（且） B．C． D．（且）【答案】B【分析】利用對數(shù)函數(shù)的定義求解．【詳解】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義且,分析A,B,C,D函數(shù)形式，函數(shù)為對數(shù)函數(shù).故選：B.【變式7-2】函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝.【分析】利用對數(shù)函數(shù)的定義知，，解出的值，驗(yàn)證底數(shù)即可.【詳解】由題意得，解得或1，又且，所以故答案為：1題型08求對數(shù)函數(shù)解析式【典例8】已知對數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則此對數(shù)函數(shù)的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)對數(shù)函數(shù)解析式求參即可.【詳解】設(shè)對數(shù)函數(shù)為,代入可得,所以,則對數(shù)函數(shù)的解析式為.故選：C.【變式8-1】下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)(且)為對數(shù)函數(shù)，所以ABC均為對數(shù)型復(fù)合函數(shù)，而D是底數(shù)為自然常數(shù)的對數(shù)函數(shù).故選：D.【變式8-2】已知函數(shù)，若圖象過點(diǎn)，則的值為（

）A．－2 B．2 C． D．【答案】B【分析】首先代入點(diǎn)求函數(shù)的解析式，再求函數(shù)值.【詳解】由條件可知，，得，所以.故選：B【變式8-3】已知對數(shù)函數(shù)（且）的圖象過點(diǎn)，則（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】代入點(diǎn)的坐標(biāo)求出的值，再根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計算可得.【詳解】因?yàn)閷?shù)函數(shù)（且）的圖象過點(diǎn)，所以，即，所以，則.故選：C【變式8-4】函數(shù)（，且）是對數(shù)函數(shù)，且過點(diǎn)，則．【分析】根據(jù)函數(shù)為對數(shù)函數(shù)及所過的點(diǎn)列方程求參數(shù)，進(jìn)而求對應(yīng)函數(shù)值.【詳解】由題設(shè)，可得，故，所以.故答案為：1【變式8-5】已知函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過點(diǎn)和.(1)求的解析式；(2)若，求實(shí)數(shù)的值.【分析】（1）代入圖象上的兩個點(diǎn)，求a，b，即可求解函數(shù)的解析式；（2）首先求解，再代入（1）的結(jié)果，解對數(shù)方程.【詳解】（1）由題知，解得，；故.（2）由，.解得或3，所以或，所以或16.題型09反函數(shù)的理解與簡單應(yīng)用【典例9-1】函數(shù)的反函數(shù)為，它們的圖象關(guān)于直線對稱．【解析】函數(shù)和函數(shù)互為反函數(shù)，和圖象關(guān)于對稱，故答案為：；【典例9-2】已知函數(shù)和函數(shù)（且）互為反函數(shù)，則恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)為.【解析】因?yàn)椋ㄇ遥┻^定點(diǎn)且函數(shù)和函數(shù)（且）互為反函數(shù)，所以恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.反函數(shù)的求法：（1）由y＝ax或y＝logax，解得x＝loga反函數(shù)的求法：（1）由y＝ax或y＝logax，解得x＝logay或x＝ay；（2）將x＝logay或x＝ay中的x與y互換位置，得y＝logax或y＝ax；（3）由y＝ax或y＝logax的值域，寫出y＝logax或y＝ax的定義域。A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)與經(jīng)過的點(diǎn)，求出表達(dá)式，再求【詳解】設(shè)，于是，即反函數(shù)表達(dá)式為：，由，解得，于是.故選：B【變式9-2】（24-25高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）函數(shù)的反函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【分析】計算函數(shù)的值域，可求出原函數(shù)的反函數(shù)的定義域.【詳解】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得：函數(shù)的值域?yàn)?，則反函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D.【變式9-3】（多選）（24-25高三上·安徽六安·階段練習(xí)）已知函數(shù)和的圖象與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用函數(shù)和互為反函數(shù)，確定關(guān)系，可判斷AB，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)判斷CD．【詳解】函數(shù)和互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對稱，作出它們的圖象及直線，由直線與直線垂直，且交點(diǎn)為知，，因此，所以有：，，正確的ABD，錯誤的是C，故選：ABD．題型10對數(shù)型函數(shù)定義域問題【典例10-1】（24-25高三上·江蘇淮安·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?【分析】求使式子有意義的實(shí)數(shù)的集合即可.【詳解】要使函數(shù)解析式有意義，則有，即，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.【典例10-2】（24-25高三上·甘肅白銀·階段練習(xí)）已知函數(shù)的值域是，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性計算即可得.【詳解】因?yàn)榈闹涤蚴?,+∞，所以，解得．故選：A.求對數(shù)型函數(shù)的定義域時應(yīng)遵循的原則(1)分母不能為0.(2)根指數(shù)為偶數(shù)時，被開方數(shù)非負(fù)．(3)對數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不為1.【變式10-1】已知函數(shù)的定義域?yàn)榍髮?shù)型函數(shù)的定義域時應(yīng)遵循的原則(1)分母不能為0.(2)根指數(shù)為偶數(shù)時，被開方數(shù)非負(fù)．(3)對數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不為1.A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域的求法及分式和對數(shù)有意義，列出不等式，即可求解.【詳解】由題意可知，要使Fx只需要，解得，所以，所以函數(shù)Fx的定義域?yàn)?故選：D.【變式10-2】已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)?【分析】根據(jù)抽象函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的定義域求法以及分母不等于零求得結(jié)果.【詳解】已知函數(shù)的定義域?yàn)?，所以，，所以函?shù)的定義域?yàn)椋?，且，解得，且，所以定義域?yàn)?故答案為：.【變式10-3】若函數(shù)f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【分析】根據(jù)定義域?yàn)镽得到在R上恒成立，然后列不等式求解即可.【詳解】由題意得在R上恒成立，所以，解得.故答案為：.【變式10-4】（24-25高三上·北京·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椤痉治觥扛鶕?jù)對數(shù)的真數(shù)為正和二次根號下非負(fù)可求定義域.【詳解】由題設(shè)有，故，故函數(shù)的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋?【變式10-5】（24-25高三上·河南·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及分式的意義求解．【詳解】由題意，解得且，所以定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋海}型11對數(shù)型函數(shù)過定點(diǎn)問題【典例11-1】函數(shù)(且)的圖象經(jīng)過定點(diǎn).【解析】因?yàn)椋?，即，則，所以的圖象經(jīng)過定點(diǎn).故答案為：.【典例11-2】（24-25高二上·山西·開學(xué)考試）函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，其中，則的最小值為（

）A．4B．C．D．8【答案】D【分析】先求出對數(shù)函數(shù)的定點(diǎn),再結(jié)合點(diǎn)在線上得出1,最后應(yīng)用基本不等式常值代換計算求解.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時，所以函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，即，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以即因?yàn)樗援?dāng)且僅當(dāng)即時取等號.故選：D.關(guān)于定點(diǎn)問題求函數(shù)y＝m＋logaf(x)(a>0，關(guān)于定點(diǎn)問題求函數(shù)y＝m＋logaf(x)(a>0，且a≠1)的圖象過定點(diǎn)時，只需令f(x)＝1求出x，即得定點(diǎn)為(x，m).A． B． C． D．【答案】A【分析】利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)（且），令，解得，則，所以的圖象所過的定點(diǎn)為.故選：A.【變式11-2】函數(shù)且的圖象恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，其中，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出函數(shù)經(jīng)過的定點(diǎn)，再帶入直線可得，再利用基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)且的圖象恒過定點(diǎn)，所以，即，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時取等號.故選：B.【變式11-3】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）設(shè)且，函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．【分析】利用對數(shù)函數(shù)恒過定點(diǎn)1,0，即可求得這個對數(shù)型函數(shù)的恒過定點(diǎn).【詳解】因?yàn)榈膱D象恒過定點(diǎn)1,0,所以函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn).故答案為：.題型12對數(shù)型函數(shù)單調(diào)性問題【典例12】函數(shù)的遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點(diǎn)】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性【分析】根據(jù)題意，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法，列出不等式組，即可求解.【詳解】由函數(shù)，則函數(shù)的遞增區(qū)間滿足，解得，所以函數(shù)的遞增區(qū)間為.求復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的具體步驟(1)求定義域；(2)拆分函數(shù)；(3)分別求y＝f(u)，u求復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的具體步驟(1)求定義域；(2)拆分函數(shù)；(3)分別求y＝f(u)，u＝φ(x)的單調(diào)性；(4)按“同增異減”得出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)則來解答.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上單調(diào)遞減，故函數(shù)的減區(qū)間即為函數(shù)的增區(qū)間，所以，解得，即函數(shù)的減區(qū)間是.故選：D.【變式12-2】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．【解析】令，解得，令，對稱軸為，則在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，而在0,+∞上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減.故答案為：.【變式12-3】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【分析】分別判斷函數(shù)和的單調(diào)性，結(jié)合“同增異減”原則判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性．【詳解】令，，則在上遞減.在上遞減，在上遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”原則，當(dāng)時，由，得，可得其減區(qū)間，當(dāng)時，由，得，可得其增區(qū)間，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.題型13利用對數(shù)型函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍【典例13-1】（24-25高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)，由題意可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，函數(shù)的對稱軸為，所以，解得.故選：.與對數(shù)相關(guān)的復(fù)合函數(shù)單調(diào)性(1)首先求出函數(shù)的定義域，再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的復(fù)合法則“同增異減”求單調(diào)區(qū)間；(2)若已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性，則該區(qū)間為函數(shù)相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子區(qū)間，從而求參數(shù)的范圍．【典例13-2】（24-25高三上·上?！るA段練習(xí)）已知函數(shù)為，在R上單調(diào)遞增，則取值的范圍與對數(shù)相關(guān)的復(fù)合函數(shù)單調(diào)性(1)首先求出函數(shù)的定義域，再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的復(fù)合法則“同增異減”求單調(diào)區(qū)間；(2)若已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性，則該區(qū)間為函數(shù)相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子區(qū)間，從而求參數(shù)的范圍．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點(diǎn)的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.【詳解】因?yàn)閒x在上單調(diào)遞增，且時，單調(diào)遞增，則需滿足，解得，則取值的范圍為.故答案為：.利用對數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍(1)本質(zhì)還是復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問題，需要注意幀數(shù)大于0，轉(zhuǎn)化成內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性問題.(2)若底數(shù)中含有字母，需要對字母分大于1，小于1大于0兩種情況討論．【變式13-1】（24-25高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）利用對數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍(1)本質(zhì)還是復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問題，需要注意幀數(shù)大于0，轉(zhuǎn)化成內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性問題.(2)若底數(shù)中含有字母，需要對字母分大于1，小于1大于0兩種情況討論．A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)，由題意可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，函數(shù)的對稱軸為，所以，解得.故選：.【變式13-2】（24-25高三上·四川德陽·開學(xué)考試）已知，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.【分析】由題意結(jié)合函數(shù)是定義在0,+∞上的增函數(shù)得在上單調(diào)遞增且gx>0在上恒成立，從而根據(jù)一元二次函數(shù)性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，而函數(shù)是定義在0,+∞上的增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，且gx>0在上恒成立，所以，所以a的取值范圍是.故答案為：.【變式13-3】已知函數(shù)，，其中且，在上為減函數(shù)，則的取值范圍為.【分析】要使對數(shù)函數(shù)有意義，只要當(dāng)時，的最小值，又函數(shù)在上為減函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得，綜合可得答案．【詳解】因?yàn)榍?，所以?dāng)時，，即.這說明，當(dāng)時，的最小值為，要使對數(shù)函數(shù)有意義，只要，可得且.又函數(shù)在上為減函數(shù)，函數(shù)在上為減函數(shù)，所以.綜上得的取值范圍是.故答案為：.【變式13-4】若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求a的取值范圍．【分析】該題需分兩步分析：首先確定復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的條件，其次保證對數(shù)函數(shù)的定義域成立.復(fù)合函數(shù)外層為對數(shù)函數(shù)，內(nèi)層為二次函數(shù)，根據(jù)“同增異減”原則，分析外層的數(shù)函數(shù)和內(nèi)層的二次函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，并確保內(nèi)層函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恒正.【詳解】由題可知在區(qū)間上恒成立.令，，則原函數(shù)可寫為，且.當(dāng)時，在區(qū)間上為增函數(shù)，則在區(qū)間上為減函數(shù)，則有，解得；當(dāng)時，在區(qū)間上為減函數(shù)，則需滿足在區(qū)間上為增函數(shù)，又二次函數(shù)的圖象開口向上，在區(qū)間上不可能單調(diào)遞增，故滿足題意.綜上所述，的取值范圍為.題型14對數(shù)型函數(shù)比較大小問題【典例14】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞減，所以，，所以.故選：B.比較對數(shù)值大小時常用的四種方法比較對數(shù)值大小時常用的四種方法(1)同底數(shù)的利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．(2)同真數(shù)的利用對數(shù)函數(shù)的圖象或用換底公式轉(zhuǎn)化．(3)底數(shù)和真數(shù)都不同，找中間量．(4)若底數(shù)為同一參數(shù)，則根據(jù)底數(shù)對對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響，對底數(shù)進(jìn)行分類討論．【變式14-1】已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)建函數(shù)，，利用兩函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較.【詳解】由是減函數(shù)，所以有，則；函數(shù)為上的減函數(shù)，所以有，所以，故.故選：D【變式14-2】已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用中間值法，根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得答案.【詳解】由題意可得，，，所以，即.故選：D.【變式14-3】（多選）（24-25高一上·浙江寧波·期中）下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷A，由的單調(diào)性即可判斷B，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及換底公式代入計算，即可判斷C，由作商法代入計算，即可判斷D.【詳解】對于A，因?yàn)?，且在上單調(diào)遞增，則，故A正確；對于B，由在單調(diào)遞減可得，故B錯誤；對于C，由在上單調(diào)遞增，則，所以，即，故C正確；對于D，由可得，由可得，故D正確；故選：ACD【變式14-4】比較大小：(1)與；(2)與．【分析】（1）引入中間量或，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小.（2）引入中間量，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小.【詳解】（1）因?yàn)楹驮谏蠁握{(diào)遞增，所以，或，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以或，所以．（2）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以，所以．題型15解對數(shù)不等式【典例15-1】求不等式的解集．【分析】利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性和一元二次不等式的解法求解不等式.【解析】因?yàn)樵诙x域上是減函數(shù)，所以，原不等式等價于，解之得：或，所以，原不等式的解集為．【典例15-2】已知函數(shù)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】由題設(shè)，定義域?yàn)?，，即為偶函?shù)，在上，令，且，則，由，故，即函數(shù)在上遞增，而在定義域上遞增，故在上遞增，所以，可得，故，可得.兩類對數(shù)不等式的解法(1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式.①當(dāng)0<a<1時，可轉(zhuǎn)化為兩類對數(shù)不等式的解法(1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式.①當(dāng)0<a<1時，可轉(zhuǎn)化為f(x)>g(x)>0；②當(dāng)a>1時，可轉(zhuǎn)化為0<f(x)<g(x).(2)形如logaf(x)<b的不等式可變形為logaf(x)<b＝logaab.①當(dāng)0<a<1時，可轉(zhuǎn)化為f(x)>ab；②當(dāng)a>1時，可轉(zhuǎn)化為0<f(x)<ab.A． B． C． D．【答案】C【分析】解對數(shù)不等式和分?jǐn)?shù)不等式，得出集合，再根據(jù)交集和補(bǔ)集的定義即可得出答案.【詳解】，所以，或，所以，.故選：C【變式15-2】設(shè)集合，.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先解對數(shù)不等式和分式不等式得到集合和，再分、和對含參一元二次不等式的解集進(jìn)行討論可得結(jié)果.【詳解】，．當(dāng)時，，由得；當(dāng)時，，由得；當(dāng)時，，與不符．綜上，.故選：D．【變式15-3】若時，不等式恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，由已知中當(dāng)時，通過討論的范圍，結(jié)合函數(shù)的取值情況，可求解出參數(shù).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，①當(dāng)時，函數(shù)為增函數(shù)，要使不等式在恒成立，則須滿足，即，解得；②當(dāng)時，函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時值域?yàn)樨?fù)數(shù)，不滿足題意，綜上，的取值范圍是.故選：C．【變式15-4】已知，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】由題意得，由不等式性質(zhì)判斷A，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷BD，由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷C.【詳解】因?yàn)椋?，所以，故A錯誤；，故B正確；，故D正確；對于C，當(dāng)時，此時，故C錯誤.故選：BD.【變式15-5】若，則的取值范圍為．【分析】先將不等式左式分解因式，可得，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得答案.【詳解】由可得，則，所以，即.故答案為：.【變式15-6】解不等式．【解析】因?yàn)?，所以，又因?yàn)樵?,+∞上單調(diào)遞減，所以，所以的取值范圍為.【變式15-7】若恒存在解集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【分析】將問題化為在恒成立，研究右側(cè)的區(qū)間單調(diào)性并求最小值，即可得參數(shù)范圍.【詳解】由題設(shè),，原不等式化為，從而，即，令，在上單調(diào)遞減，故，所以，從而得a的取值范圍為.【變式15-8】若，求的取值范圍．【分析】不等式可化為，分類討論即可求解.【詳解】.解法1：當(dāng)時，，則，所以；當(dāng)時，，則，所以．綜上，或.解法2：因?yàn)?，故，則，所以或．題型16對數(shù)型函數(shù)圖像問題【典例16-1】已知函數(shù)（且）的圖像如圖所示，則以下說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由圖象可知在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以，令，即，所以函數(shù)的零點(diǎn)為，結(jié)合函數(shù)圖象可知，所以，因此，故A錯誤；，又因?yàn)?，所以，因此不一定成立，故B錯誤；因?yàn)?，即，且，所以，故C正確；因?yàn)?，所以，即，故D錯誤，故選：C.【典例16-2】（24-25高三上·廣西貴港·開學(xué)考試）已知函數(shù)，且的圖象不經(jīng)過第一象限，則函數(shù)的圖象不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可得，再由對數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可判斷出結(jié)論.【詳解】當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，圖象經(jīng)過第一象限，不合題意；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，圖象不經(jīng)過第一象限，合題意；顯然此時，則函數(shù)為單調(diào)遞增，又恒過點(diǎn)，因此函數(shù)的圖象不過第四象限.故選：D對數(shù)函數(shù)底數(shù)對圖象的影響其中對數(shù)函數(shù)底數(shù)對圖象的影響其中a，b，c，d是圖象對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)，根據(jù)圖象，其大小關(guān)系為0<c<d<1<a<b.【變式16-1】（多選）函數(shù)的大致圖象不可能為（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)椋院瘮?shù)為偶函數(shù)，當(dāng)x∈0,+∞時，為減函數(shù)，且過定點(diǎn)，故函數(shù)的大致圖象不可能為BCD選項(xiàng).故選：BCD.【變式16-2】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知，滿足，試畫出函數(shù)的圖象．【分析】先根據(jù)得到，作出的圖象，利用左加右減進(jìn)行平移得到的圖象.【詳解】由題意得，解得，故，將函數(shù)的圖象向左平移1個單位，即可得函數(shù)的圖象，如圖所示．

題型17對數(shù)型函數(shù)的值域【典例17-1】函數(shù)在上的值域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】B【分析】判斷出在上單調(diào)遞增即可求解．【詳解】，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上的值域?yàn)?，故選：B．【典例17-2】函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】對于，有，解得，對于，其圖象開口向下，對稱軸為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，即，又在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以，則，則的值域?yàn)?故選：D.關(guān)于值域問題1.與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)值域：關(guān)于值域問題1.與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)值域：一方面，要抓住對數(shù)函數(shù)的值域；另一方面，要抓住中間變量的取值范圍，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來求其值域(多采用換元法)．對于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的復(fù)合函數(shù)的值域的求法的步驟：①分解成y＝logau，u＝f(x)兩個函數(shù)；②求f(x)的定義域；③求u的取值范圍；④利用y＝logau的單調(diào)性求解．【典例17-3】（24-25高一上·天津南開·階段練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求解的值域，結(jié)合的值域?yàn)?，分析的單調(diào)性、值域即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，故，又因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，則的值域包含，所以，解得.故選：D.關(guān)于利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求值域首先確定對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性確定取得最值時的自變量的值，分別代入后求出最值，進(jìn)而得到值域．【變式17-1】（24-25高三上·四川成都·階段練習(xí)）“函數(shù)的值域?yàn)椤钡囊粋€充分不必要條件是（

）關(guān)于利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求值域首先確定對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性確定取得最值時的自變量的值，分別代入后求出最值，進(jìn)而得到值域．A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，先分析出對數(shù)的真數(shù)部分能取得所有的正數(shù)，然后根據(jù)二次函數(shù)與其對應(yīng)二次方程的關(guān)系，求出的范圍即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)镽，設(shè)，則二次函數(shù)需要取到一切正數(shù)，對應(yīng)于方程中，，即，解得或，從而是“函數(shù)的值域?yàn)镽”的充分不必要條件.故選：D【變式17-2】（24-25高一上·甘肅蘭州·階段練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分段函數(shù)值域，以及對數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的值域，確定一次函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性及其值域與關(guān)系，列出關(guān)于的不等式求解即可.【詳解】當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，在區(qū)間上的值域?yàn)?∵函數(shù)的值域?yàn)椋窃趨^(qū)間上的值域的子集.當(dāng)時，，當(dāng)時，，顯然不滿足題意；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，故在區(qū)間上的值域?yàn)?，不滿足題意；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，故在區(qū)間上的值域?yàn)椋?，解得，即?shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.【變式17-3】（2025·河北秦皇島·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的值為.【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得的最大值為4，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)確定參數(shù)的值并驗(yàn)證即得.【詳解】因的值域?yàn)?，即，又在定義域內(nèi)為增函數(shù)，故的最大值為4，則，由，可得時，，解得，此時的定義域?yàn)?，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則得，符合題意.故答案為：1.【變式17-4】已知函數(shù)且，若函數(shù)的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【分析】求出當(dāng)時，函數(shù)的值域是，再討論當(dāng)時，函數(shù)的值域，對分兩種情況討論分析即可.【詳解】當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即；若函數(shù)的值域是，則時，．當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，此時，不合題意；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，此時，即，則，所以，顯然，解得，又，所以．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：.【變式17-5】已知函數(shù)，，則函數(shù)的值域?yàn)椋痉治觥肯惹蟪龊瘮?shù)的定義域，由對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】，，的定義域?yàn)?，解得，所以函?shù)的定義域?yàn)?，，又，又，，即函?shù)的值域?yàn)?故答案為：.【變式17-6】（24-25高三上·山西晉城·階段練習(xí)）已知函數(shù)滿足．(1)求的解析式；(2)若，求的值域；(3)討論的定義域．【分析】（1）換元法求函數(shù)解析式即可；（2）換元后求出真數(shù)的取值范圍，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求值域；（3）分類討論m的取值范圍，再得出函數(shù)的定義域.【詳解】（1）令，得，則，所以．（2）若，則，令，當(dāng)且僅當(dāng)時，u取得最小值，且最小值為4．因?yàn)闉闇p函數(shù)，所以，故的值域?yàn)椋?）．當(dāng)時，，則的定義域?yàn)?；?dāng)時，，則的定義域?yàn)?；?dāng)時，由，得或，則的定義域?yàn)椋C上，當(dāng)時，的定義域?yàn)椋划?dāng)時，的定義域?yàn)椋}型18對數(shù)函數(shù)模型在實(shí)際問題中的應(yīng)用【典例18-1】已知某種鉛蓄電池由于硫酸濃度的降低，每隔一個月其性能指數(shù)都要損失10%，且一般認(rèn)為當(dāng)該種類型的電池的性能指數(shù)降低到原來的以下時就需要更換其中的硫酸來達(dá)到持久續(xù)航，則最多使用（

）個月就需要更換純硫酸（參考數(shù)據(jù)，）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【分析】依題意建立通過月后性能指數(shù)y與之間的函數(shù)關(guān)系式，得到不等式，通過兩邊取對數(shù)，整理化簡即得.【詳解】設(shè)最初該種電池的性能指數(shù)為k，通過月后性能指數(shù)變?yōu)椋瑒t．由題意得，即，兩邊取常用對數(shù)，可得．∵，∴．又，故最多使用13個月就需要更換純硫酸．故選：C.對數(shù)函數(shù)模型在實(shí)際問題中的應(yīng)用解題步驟：(1)列出指數(shù)關(guān)系式對數(shù)函數(shù)模型在實(shí)際問題中的應(yīng)用解題步驟：(1)列出指數(shù)關(guān)系式x＝ay，并根據(jù)實(shí)際問題確定變量的范圍；(2)利用指對互化轉(zhuǎn)化為對數(shù)函數(shù)y＝logax；(3)代入自變量的值后，利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、換底公式計算．【典例18-2】（24-25高三上·江蘇揚(yáng)州·期末）年月日，阿貝爾獎和菲爾茲獎雙料得主，英國歲高齡的著名數(shù)學(xué)家阿蒂亞爵士宣布自己證明了黎曼猜想，這一事件引起了數(shù)學(xué)界的震動.在年，德國數(shù)學(xué)家黎曼向科學(xué)院提交了題目為《論小于某值的素數(shù)個數(shù)》的論文并提出了一個命題，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的數(shù)學(xué)家歐拉也曾研究過這個何題，并得到小于數(shù)字的素數(shù)個數(shù)大約可以表示為的結(jié)論.若根據(jù)歐拉得出的結(jié)論，估計以內(nèi)的素數(shù)個數(shù)為（

）（素數(shù)即質(zhì)數(shù)，，計算結(jié)果取整數(shù)）A． B． C． D．【答案】B【分析】計算的值，即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，估計以?nèi)的素數(shù)個數(shù)為.故選：B.解題錦囊解題錦囊(1)在實(shí)際問題中,有關(guān)人口增長、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長率問題常用指數(shù)函數(shù)模型表示,通?？梢员硎緸閥=N(1+p)x(其中N為基礎(chǔ)數(shù),p為增長率,x為時間)的形式.解題時,往往用到對數(shù)運(yùn)算,要注意與已知表格中給定的值對應(yīng)求解.(2)有關(guān)對數(shù)型函數(shù)的應(yīng)用題,一般都會給出函數(shù)解析式,要求根據(jù)實(shí)際情況求出函數(shù)解析式中的參數(shù)或給出具體情境,從中提煉出數(shù)據(jù),代入解析式求值,然后根據(jù)值回答其實(shí)際意義.【變式18-1】（24-25高二下·浙江紹興·階段練習(xí)）現(xiàn)測得某放射性元素的半衰期為1500年（每經(jīng)過1500年，該元素的存品為原來的一半），某生物標(biāo)本中該放射性元素面初始存量為m，經(jīng)檢測現(xiàn)在的存量，據(jù)此推測該生物距今約為（

）（參考數(shù)據(jù)：)A．2700年 B．3100年C．3500年 D．3900年【答案】C【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意得，兩邊取對數(shù)得.故選：C【變式18-2】（24-25高一上·四川涼山·期末）涼山州地處川西南橫斷山系東北緣，地質(zhì)構(gòu)造復(fù)雜，時常發(fā)生有一定危害程度的地震，盡管目前我們還無法準(zhǔn)確預(yù)報地震，但科學(xué)家通過多年研究，已經(jīng)對地震有了越來越清晰的認(rèn)識與了解．例如：地震時釋放出的能量（單位：）與地震里氏震級之間的關(guān)系為，年月日，我州會理市發(fā)生里氏級地震，它所釋放出來的能量是年年初云南省麗江市寧蒗縣發(fā)生的里氏級地震所釋放能量的約多少倍（

）A．倍 B．0.56倍 C．倍 D．0.83倍【答案】A【分析】設(shè)里氏級、級地震所釋放的能量分別為、，利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合指數(shù)與對數(shù)的互化可求得的值.【詳解】設(shè)里氏級、級地震所釋放的能量分別為、，則，上述兩個等式作差可得，則，故.故選：A.題型19對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【典例19-1】若方程的實(shí)根在區(qū)間上，則（

）A． B．2 C．或2 D．1【答案】C【分析】根據(jù)方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)來求解，畫出函數(shù)圖象觀察交點(diǎn)范圍，再用零點(diǎn)存在性定理證明即可.【詳解】方程化為，分別做出方程左右兩邊的圖象，從圖象可知，方程，方程有兩個分別在和2,3之間的根，下面證明：方程在和2,3之間各有一個實(shí)根，設(shè)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)得在區(qū)間2,3上是增函數(shù)，又，，則，由零點(diǎn)存在性定理知，在區(qū)間2,3上僅有一個零點(diǎn)，即方程區(qū)間2,3上僅有一個實(shí)根，同理可得方程區(qū)間上僅有一個實(shí)根，結(jié)合題意可知，或，故選：C.【典例19-2】（24-25高三上·內(nèi)蒙古赤峰·期中）已知函數(shù).(1)求不等式的解集；(2)若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，求的最大值.【分析】(1)根據(jù)題意求出，解對數(shù)不等式即可；(2)代入，計算得出，即，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解最大值.【詳解】（1）由，得，由，得，即，所以不等式的解集為.（2）由題意得，由，得，即，因?yàn)?，函?shù)是增函數(shù)，所以，即的最大值為(或).解決綜合性問題的關(guān)注點(diǎn)解決綜合性問題的關(guān)注點(diǎn)(1)增強(qiáng)定義域意識：無論是求單調(diào)區(qū)間、證奇偶性、解不等式都要先求定義域，符合定義域是滿足性質(zhì)的前提；(2)增強(qiáng)性質(zhì)的應(yīng)用意識：解對數(shù)不等式的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為常見的不等式，轉(zhuǎn)化工具就是對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．【變式19-1】已知函數(shù)，在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【分析】分和進(jìn)行討論求解.【詳解】令，由，得，當(dāng)時，由，得，由，得，即，得，而，得，得，得，當(dāng)時，由，得，由，得，即-，得，而，得，得，得，綜上知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為:【變式19-2】（24-25高一上·浙江紹興·期中）函數(shù).(1)當(dāng)時，求該函數(shù)的值域；(2)若對于恒成立，求的取值范圍.【分析】（1）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合換元法、對數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，通過常變量分離，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)、結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1），，，令，則，易知單調(diào)遞減，該函數(shù)值域?yàn)榧矗唬?）令，則在上恒成立，當(dāng)時，恒成立，；當(dāng)時，等價于恒成立，令.當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，.綜上，.【變式19-3】（2025·江蘇南通·一模）已知函數(shù)．(1)判斷并證明的奇偶性；(2)若對任意，，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【分析】（1）利用奇偶性定義證明判斷即可；（2）根據(jù)對數(shù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性確定在上最小值，把問題化為在上恒成立，即可求結(jié)果.【詳解】（1）為奇函數(shù)，證明如下：由解析式易知，函數(shù)定義域?yàn)椋?，故為奇函?shù).（2）由在上為減函數(shù)，而在定義域上為增函數(shù)，所以在上為減函數(shù)，故，要使任意，，不等式恒成立，只需在上恒成立，即在上恒成立，由開口向上，則，綜上，.【變式19-4】已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的值域；(2)若的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍；(3)若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【分析】（1）代入，由，利用對數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求值域；（2）將條件轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用計算即可；（3）根據(jù)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷計算.【詳解】（1）當(dāng)時，，令，則,對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以函數(shù)的值域?yàn)?（2）若的定義域?yàn)椋瑒t在上恒成立，所以.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）二次函數(shù)開口向上，對稱軸為，對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，若在上單調(diào)遞增，則.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式19-5】已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)解方程．【分析】（1）在等式中，用替代，可得出，聯(lián)立這兩個等式，即可得出函數(shù)的解析式；（2）求出的值，然后直接解方程即可.【詳解】（1）由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)椋诘仁街?，用替代可得，所以，解得，?）因?yàn)?，由可得，整理得，可得或，解得?【變式19-6】已知函數(shù)（且）的圖象過點(diǎn)．(1)求a的值；(2)若（i）求的定義域并判斷其奇偶性；（ii）求的單調(diào)遞減區(qū)間．【分析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)式即可求得；（2）（i）求出的表達(dá)式，根據(jù)真數(shù)大于零可求得定義域，根據(jù)與之間的關(guān)系得到奇偶性；（ii）復(fù)合函數(shù)根據(jù)“同增異減”原則可得到單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)（且）的圖象過點(diǎn)，所以，所以；（2）（i）根據(jù)（1）可得，所以，，則，，解得，所以的定義域?yàn)椋@然定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，又，所以為偶函數(shù)；（ii）因，的定義域?yàn)?，令，則，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則，可得的單調(diào)遞減區(qū)間為.題型20三種函數(shù)的性質(zhì)及增長速度比較【典例20-1】下列函數(shù)中，隨著x的增大，函數(shù)值的增長速度最快的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及一次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.【詳解】根據(jù)題意，四個函數(shù)分別對應(yīng)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)和一次函數(shù)，且都是增函數(shù)，由于指數(shù)函數(shù)的增長是爆炸式增長，則隨著x越來越大，函數(shù)的函數(shù)值的增長速度最快．故選：A．常見的函數(shù)模型及增長特點(diǎn)(1)線性函數(shù)模型：線性函數(shù)模型y＝kx＋b(k>0)的增長特點(diǎn)是直線上升，其增長速度不變．(2)指數(shù)函數(shù)模型：指數(shù)函數(shù)模型y＝ax(a>1)的增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快，即增長速度急劇，形象地稱為“指數(shù)爆炸”．常見的函數(shù)模型及增長特點(diǎn)(1)線性函數(shù)模型：線性函數(shù)模型y＝kx＋b(k>0)的增長特點(diǎn)是直線上升，其增長速度不變．(2)指數(shù)函數(shù)模型：指數(shù)函數(shù)模型y＝ax(a>1)的增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快，即增長速度急劇，形象地稱為“指數(shù)爆炸”．(3)對數(shù)函數(shù)模型：對數(shù)函數(shù)模型y＝logax(a>1)的增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越慢，即增長速度平緩．(4)冪函數(shù)模型：冪函數(shù)y＝xn(n>0)的增長速度介于指數(shù)增長和對數(shù)增長之間．A．當(dāng)時，總走在最前面B．當(dāng)時，總走在最前面C．不可能走在最前面，也不可能走在最后面D．如果它們一直運(yùn)動下去，最終走在最前面的是【答案】C【分析】畫出三函數(shù)的圖象，結(jié)合三種類型函數(shù)的增長速度，數(shù)形結(jié)合得到結(jié)論.【詳解】在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出，，的圖象，如圖所示，當(dāng)時，，，，且時，指數(shù)型函數(shù)增長速度最快，對于A，D，當(dāng)時，總走在最前面，A，D正確；對于B，當(dāng)時，由圖象可知總走在最前面，B正確；對于C，當(dāng)時，，，此時走在最后面，故C錯誤．故選：C.

由圖象判斷指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的方法根據(jù)圖象判斷增長型的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)時，通常是觀察函數(shù)圖象上升的快慢，即隨著自變量的增長，圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，圖象趨于平緩的函數(shù)是對數(shù)函數(shù)．【變式20-1】下列函數(shù)中，增長速度最慢的是（

由圖象判斷指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的方法根據(jù)圖象判斷增長型的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)時，通常是觀察函數(shù)圖象上升的快慢，即隨著自變量的增長，圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，圖象趨于平緩的函數(shù)是對數(shù)函數(shù)．A． B．C． D．【答案】B【分析】運(yùn)用各個函數(shù)的增長規(guī)律特點(diǎn)判定.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、一次函數(shù)的增長差異，可知對數(shù)函數(shù)增長速度最慢．故選：B.【變式20-2】衛(wèi)生部年月發(fā)布的《中國歲以下兒童生長發(fā)育參照標(biāo)準(zhǔn)》指出，我國歲以下女童身高的中位數(shù)與年齡之間的關(guān)系如圖所示，從圖中可以看出，我國歲以下女童身高增長速度越來越慢．下列最能反映這種變化趨勢的函數(shù)模型是（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的增長速度可得合適的函數(shù)模型.【詳解】由圖可知，隨著的增長，的增長速度越來越慢，C選項(xiàng)中的函數(shù)模型較為合適.故選：C.【變式20-3】對于任意，不等式都成立，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的增長速度，結(jié)合特殊函數(shù)值及函數(shù)圖象進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時，令，解得，結(jié)合函數(shù)和的增長速度可知：當(dāng)時，恒成立；又的圖象恒在圖象的上方，即恒成立，則的最小值為1．故選：A.【變式20-4】（多選）下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則的最小值為2B．若，則C．不存在實(shí)數(shù)，使得冪函數(shù)的圖象經(jīng)過第四象限D(zhuǎn)．下列函數(shù)是三種投資方案預(yù)期收益關(guān)于時間的函數(shù)：①；②；③，從足夠長遠(yuǎn)的角度看，更有前途的投資方案是③【答案】BC【分析】賦特殊值可判斷A，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷B，由冪函數(shù)的圖象特征可判斷C，由指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)圖象的增長趨勢可判斷D.【詳解】當(dāng)時，則，故A錯誤；由，得，所以，故B正確；當(dāng)時，得，故C正確；由冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)足夠大時，指數(shù)函數(shù)的增長速度最快，所以更有前途的投資方案是①，故D錯誤．故選：BC．【變式20-5】（多選）對于函數(shù)與的圖象，下列說法錯誤的是（

）A．與有三個交點(diǎn)B．與有兩個交點(diǎn)C．，當(dāng)時，恒在的下方D．，當(dāng)時，恒在的上方【答案】BC【分析】在同一坐標(biāo)系中作出兩個函數(shù)的圖象，可得兩函數(shù)交點(diǎn)個數(shù)，即可判斷選項(xiàng)A，B；由指數(shù)函數(shù)的增長速度大于冪函數(shù)的增長速度，即可判斷選項(xiàng)C，D.【詳解】由，，，，可在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出兩函數(shù)圖象如下圖所示：顯然兩函數(shù)有三個交點(diǎn)，故A正確，B錯誤；由于指數(shù)函數(shù)的增長速度大于冪函數(shù)的增長速度，所以當(dāng)時，恒在的上方，故C錯誤，D正確.故選：BC.【變式20-6】（多選）設(shè)，，，當(dāng)時，對這三個函數(shù)的增長速度進(jìn)行比較，下列結(jié)論中，錯誤的是（

）A．的增長速度最快，的增長速度最慢B．的增長速度最快，的增長速度最慢C．的增長速度最快，的增長速度最慢D．的增長速度最快，的增長速度最慢【答案】ACD【分析】做出三個函數(shù)，，的圖象，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】做出三個函數(shù)，，的圖象，如圖所示：

通過圖象可知三個函數(shù)，，中，當(dāng)時，增長速度最快，的增長速度最慢，故B正確，ACD錯誤.故選：ACD.【變式20-7】某學(xué)校鼓勵學(xué)生利用課余時間積極參加體育鍛煉，學(xué)生每天能用于鍛煉的課余時間有60分鐘，現(xiàn)需要制定一個課余鍛煉考核評分標(biāo)準(zhǔn)，建立一個學(xué)生每天得分（單位：分）與當(dāng)天鍛煉時間（單位：分鐘）的函數(shù)關(guān)系.滿足的條件如下：①函數(shù)是區(qū)間上的增函數(shù)；②每天運(yùn)動時間為0分鐘時，當(dāng)天得分為0分；③每天運(yùn)動時間為10分鐘時，當(dāng)天得分為2分；④每天運(yùn)動時間為30分鐘時，當(dāng)天得分不超過5分.現(xiàn)有以下三個函數(shù)模型供選擇：①②③(1)請你根據(jù)條件從中選擇一個合適的函數(shù)模型（不必說明理由），并求出函數(shù)的解析式；(2)若每位學(xué)生每天得分不少于5分，求該學(xué)生每天至少需要鍛煉的時間.（注：，結(jié)果保留整數(shù)）.【分析】（1）選擇模型①②③，利用函數(shù)圖象過的點(diǎn)求出，再驗(yàn)證即可得解.（2）由（1）所得解析式，建立不等式并求解即得.【詳解】（1）選擇模型①，由函數(shù)過點(diǎn)，得，則，當(dāng)時，，不符合題意；選擇模型③，由函數(shù)過點(diǎn)，得，則，當(dāng)時，，不符合題意；選擇模型②，由函數(shù)過點(diǎn)，得，解得，此時函數(shù)的解析式為，當(dāng)時，，符合題意，所以函數(shù)的解析式為.（2）由（1）知，由每位學(xué)生每天得分不少于5分，得，即，則，解得，所以若每位學(xué)生每天得分不少于5分，該學(xué)生每天至少篅要鍛煉47分鐘.強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1．（24-25高一上·全國·隨堂練習(xí)）對數(shù)中實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對數(shù)真數(shù)和底數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閷?shù)式的底數(shù)為大于零不等于1的實(shí)數(shù)，真數(shù)為正實(shí)數(shù)，所以有，故選：C函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)中真數(shù)大于0與零次冪中底數(shù)不等于0列式求解即可.【詳解】由題意知，且，故函數(shù)的定義域?yàn)?故選：B.3．（24-25高一上·河北保定·階段練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)分段函數(shù)值域，以及對數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的值域，夾逼出一次函數(shù)在區(qū)間上的值域與的關(guān)系，列出關(guān)于的不等式求解即可.【詳解】當(dāng)時，單調(diào)遞增，又，故在上的值域?yàn)?，又在上的值域?yàn)椋适窃谏系闹涤虻淖蛹?；又?dāng)時，；當(dāng)時，顯然不滿足題意；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，故在上的值域?yàn)椴粷M足題意；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，故在上的值域?yàn)?，若滿足題意，則，即，故.綜上所述，的取值范圍為.故選：B.4．（2025·福建廈門·一模）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用特殊值結(jié)合對稱性求出a的值，可得函數(shù)解析式，再利用基本不等式，即可求得答案.【詳解】依題意，，其圖象關(guān)于直線對稱，則，所以，所以，解得，所以，此時，滿足題意；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，故選：B．5．已知，且，則函數(shù)的圖象一定經(jīng)過（

）A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限【答案】D【分析】由函數(shù)過點(diǎn)，分類可解.【詳解】當(dāng)時，，則當(dāng)時，函數(shù)圖象過二、三、四象限；則當(dāng)時，函數(shù)圖象過一、三、四象限；所以函數(shù)的圖象一定經(jīng)過三、四象限.故選：D設(shè)函數(shù)，則f(x)（

）A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減【答案】D【分析】根據(jù)奇偶性的定義可判斷出為奇函數(shù)，排除AC；當(dāng)時，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可判斷出單調(diào)遞增，排除B；當(dāng)時，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷出單調(diào)遞減，從而得到結(jié)果.【詳解】由得定義域?yàn)?，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，又，為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，排除B；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，D正確.故選：D.定義在R上的奇函數(shù)滿足：任意，都有，設(shè)，，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得在R上單調(diào)遞增，，利用對數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，從而即可得答案.【詳解】因?yàn)槭窃赗上的奇函數(shù)，且任意，都有，所以在R上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，所以，所以?故選：C.8．已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值或最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)開口向上，故需在區(qū)間上有最小值，且，從而得到不等式，求出答案.【詳解】要使函數(shù)在區(qū)間上有最大值或最小值，由于開口向上，故需函數(shù)在區(qū)間上有最小值，且．該函數(shù)圖像的對稱軸為直線，所以，解得，所以，且，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：