專題2.1~2.2實際問題的函數(shù)刻畫，用函數(shù)模型解決實際問題教學(xué)目標(biāo)理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語言和工具.2.結(jié)合具體問題,利用計算工具,比較對數(shù)函數(shù)、線性函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長速度的差異.3.在實際情境中,會選擇合適的數(shù)學(xué)模型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律.教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)、難點(diǎn)：結(jié)合具體問題,利用計算工具,比較對數(shù)函數(shù)、線性函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長速度的差異.在實際情境中,會選擇合適的數(shù)學(xué)模型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律.知識點(diǎn)01基本初等函數(shù)模型（基礎(chǔ)核心）1.一次函數(shù)模型：y=kx+b（k≠0，k為斜率，b為截距）應(yīng)用場景：勻速變化問題（如行程、成本計算）二次函數(shù)模型：y=ax2+bx+c（a≠0）應(yīng)用場景：最值問題（如利潤最大化、面積最值）指數(shù)函數(shù)模型：y=ax（a>0且a≠1）應(yīng)用場景：增長減問題（如人口增長、復(fù)利計算、半衰期）4.對數(shù)函數(shù)模型：y=logax（a>0且a≠1）應(yīng)用場景：數(shù)據(jù)處理（如pH值計算、地震震級）5.冪函數(shù)模型：y=xa知識點(diǎn)02分段函數(shù)模型（實際問題高頻）定義：不同區(qū)間對應(yīng)不同解析式應(yīng)用場景：階梯收費(fèi)（水電費(fèi)、稅費(fèi)）、分段計價（行程費(fèi)用）知識點(diǎn)03擬合函數(shù)模型（數(shù)據(jù)建模）定義：根據(jù)實際數(shù)據(jù)，選擇合適函數(shù)類型擬合趨勢（如線性擬合、指數(shù)擬合）核心步驟：1.收集數(shù)據(jù)；2.繪制散點(diǎn)圖；3.選擇函數(shù)模型；4.求參數(shù)（待定系數(shù)法）；5.檢驗擬合度常見類型：線性擬合（一次函數(shù)）、指數(shù)擬合（增長減）、二次擬合（拋物線趨勢）【即學(xué)即練】1．（24-25高二·全國·課堂例題）判斷：解決應(yīng)用問題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．()【答案】正確【知識點(diǎn)】建立擬合函數(shù)模型解決實際問題2．（25-26高一上·全國·隨堂練習(xí)）判斷：利用已知模型計算所得數(shù)據(jù)與實際問題完全一致.()【答案】錯誤【知識點(diǎn)】利用給定函數(shù)模型解決實際問題【分析】由模型只是近似模擬，即可判斷.【詳解】模型只是近似擬合，與實際數(shù)據(jù)不一定完全一致，錯誤.故答案為：錯誤3.(2024-2025·北京高一檢測)假設(shè)你有一筆資金用于投資,現(xiàn)有三種投資方案供你選擇,這三種方案的回報如圖所示:橫軸為投資時間(單位:天),縱軸為回報,根據(jù)以上信息,若使回報最多,下列說法正確的是;①投資3天以內(nèi)(含3天),采用方案一;②投資4天,不采用方案三;③投資6天,采用方案二;④投資10天,采用方案二.【解析】觀察圖象,從每天回報看,在第一天到第三天,方案一最多,①正確;在第四天,方案一、方案二一樣多,方案三最少,②正確;在第五到第八天,方案二最多,③正確;從第九天開始,方案三比其他兩個方案所得回報都多,④不正確.答案:①②③【知識剖析】函數(shù)擬合與預(yù)測的一般方法(1)若已知的數(shù)據(jù)較多,可以繪出散點(diǎn)圖,觀察圖象的增長(下降)的趨勢特征,選擇函數(shù)模型,再通過具體數(shù)據(jù)驗證;(2)若已知函數(shù)模型的解析式含有未知參數(shù),可以利用已知的部分?jǐn)?shù)據(jù)求出函數(shù)的解析式,再代入其他數(shù)據(jù),通過分析所得數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)的關(guān)系選擇函數(shù)模型.題型01已知函數(shù)模型解決實際問題【典例1-1】（浙江省91高中聯(lián)盟2025-2026學(xué)年高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題）年8月日，我國新疆、西藏等地發(fā)生多次至級地震，一般來說，震級在3級以上時，我們稱該地震為有感地震（即人們能感覺到此次地震）.里氏震級R與地震釋放能量E的關(guān)系為.已知6級地震釋放的能量為，則下列說法正確的是（

）A．震級越大，地震釋放的能量越大B．C．8級地震釋放的能量為6級地震釋放能量的1000倍D．某次地震釋放的能量為，則該地震為有感地震【答案】ACD【知識點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用（2）、利用給定函數(shù)模型解決實際問題【分析】根據(jù)題中所給的里式震級R與地震釋放能量E的關(guān)系進(jìn)行分析判斷可得.【詳解】由6級地震釋放的能量為，所以，解得，所以B錯誤；，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，R越大，則E就越大，所以A正確；當(dāng)R=8時，，當(dāng)R=6時，，所以.所以C正確；當(dāng)時，，地震釋放的能量為，則該地震超過了3級，所以有震感，所以D正確.故選：ACD.【典例1-2】（25-26高三上·甘肅嘉峪關(guān)·期中）某建材商場國慶期間搞促銷活動，規(guī)定：顧客購物總金額不超過800元時，不享受任何折扣；如果顧客購物總金額超過800元時，那么超過800元部分享受一定的折扣優(yōu)惠，按下表折扣分別累計計算可以享受折扣優(yōu)惠金額折扣率不超過500元的部分超過500元的部分某人在此商場購物總金額為x元，可以獲得的折扣金額為y元，則y關(guān)于x的解析式為，若元，則他購物實際所付金額為元.【答案】1320【知識點(diǎn)】利用給定函數(shù)模型解決實際問題【分析】首先判斷，再代入相關(guān)函數(shù)得到方程，解出即可.【詳解】若，則，因此.由，得（元），所以實際所付金額為元.故答案為：1320【典例1-3】（24-25高一上·廣東佛山·階段練習(xí)）學(xué)校和學(xué)校相距20km，現(xiàn)計劃在學(xué)校外以為直徑的半圓弧（不含，兩點(diǎn)）上選擇一點(diǎn)建造一家污水處理廠.其對學(xué)校的影響度與所選地點(diǎn)到學(xué)校的距離有關(guān)，對學(xué)校的影響度與所選地點(diǎn)到學(xué)校的距離的平方成反比，比例系數(shù)為1；對學(xué)校的影響度與所選地點(diǎn)到學(xué)校的距離的平方成反比，比例系數(shù)為.對學(xué)校和學(xué)校的總影響度為學(xué)校和學(xué)校的影響度之和.記點(diǎn)到學(xué)校的距離為km，建在處的污水處理廠對學(xué)校和學(xué)校的總影響度為.統(tǒng)計調(diào)查表明：當(dāng)在的中點(diǎn)時，對學(xué)校和學(xué)校的總影響度為0.085.(1)將表示成的函數(shù)；(2)判斷半圓弧（不含，兩點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)，使得建在此處的污水處理廠對學(xué)校和學(xué)校的總影響度最?。咳舸嬖?，求出該點(diǎn)到學(xué)校的距離，以及總影響度的最小值；若不存在，說明理由.【知識點(diǎn)】基本（均值）不等式的應(yīng)用、建立擬合函數(shù)模型解決實際問題、分式型函數(shù)模型的應(yīng)用【分析】（1）根據(jù)垂直關(guān)系可知，，再根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，再代入數(shù)據(jù)，即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，利用換元法，基本不等式求函數(shù)的最值.【詳解】（1）由為直徑，得，所以，由已知得，又當(dāng)垃圾處理廠是的中點(diǎn)時，對城和城的總影響度為，即時，，代入上式得，解得，所以表示成的函數(shù)為：；（2），令，，則，又，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以，當(dāng)時，等號成立，所以弧上存在一點(diǎn)，該點(diǎn)到城的距離為km時，建在此處的垃圾處理廠對城市和城的總影響度最小為.利用函數(shù)模型解決實際問題函數(shù)的解析式中往往含有未知系數(shù),可以通過初始值等條件求出系數(shù),再利用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)對數(shù)運(yùn)算解決實際問題．【變式1-1】（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知火箭的最大速度v（單位：km/s）與燃料質(zhì)量M（單位：kg）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量m（單位：kg）的函數(shù)關(guān)系為．若已知火箭的質(zhì)量為3100kg，火箭的最大速度為11km/s，則火箭需要加注的燃料質(zhì)量約為（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果精確到0.01t，）（

）A．890.23t B．755.44t C．244.69t D．243.69t【答案】B【知識點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用、利用給定函數(shù)模型解決實際問題【分析】根據(jù)解析式代入的值，求解方程可得答案.【詳解】根據(jù)題意時，則，所以，則，即，所以．故選：B．【變式1-2】（25-26高三上·上?！て谥校┰谫Y源有限的情況下，種群數(shù)量隨時間（單位：天）的變化滿足邏輯斯蒂模型：，其中常數(shù)為環(huán)境容納量，為種群初始數(shù)量，為比增長率生態(tài)學(xué)家高斯（）曾經(jīng)做過單獨(dú)培養(yǎng)大草履蟲的實驗：初始時，在培養(yǎng)液中放入個草履蟲，觀察到時，種群數(shù)量為；時，種群數(shù)量為.根據(jù)邏輯斯蒂模型，可估算大草履蟲種群的比增長率為．（保留兩位有效數(shù)字）參考數(shù)235711131719230.6931.0991.6091.9452.3982.5652.8332.9443.135【答案】【知識點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用（2）、利用給定函數(shù)模型解決實際問題【分析】將已知數(shù)據(jù)代入函數(shù)模型，求出的值，再利用指對互化以及對數(shù)運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意，，，則，因此，整理得，解得或（舍），因此，解得.所以大草履蟲種群的比增長率約為.故答案為：【變式1-3】（25-26高一上·黑龍江哈爾濱·月考）某公司出售一款網(wǎng)紅玩偶，假設(shè)購進(jìn)該款產(chǎn)品能夠全部售出.采購此玩偶有兩種渠道，渠道一：若采購數(shù)量不超過25萬件，只能從經(jīng)銷商處按每件成本60元購買，且另需投入400萬元固定費(fèi)用，此時銷售定價也與購進(jìn)數(shù)量有關(guān)，若購進(jìn)產(chǎn)品數(shù)量不超過15萬件，定價160元/件即可；若購進(jìn)該產(chǎn)品數(shù)量多于15萬件且不超過25萬件，需降低定價銷售，且銷量每增加5000件，單價降低2元（例：若購進(jìn)16萬件，則定價為156元/件）；渠道二：若購進(jìn)數(shù)量在25萬件以上，則直接與玩具公司合作，以全新方式進(jìn)行采購和銷售，此時利潤（萬元）與采購量x（萬件）的關(guān)系為.(1)當(dāng)購進(jìn)產(chǎn)品數(shù)量為12萬件時，利潤是多少?（利潤=銷售收入-成本）(2)寫出利潤（萬元）關(guān)于采購（萬件）的函數(shù)解析式；(3)購進(jìn)并銷售產(chǎn)品多少萬件時，利潤最大?此時利潤是多少?【知識點(diǎn)】基本（均值）不等式的應(yīng)用、建立擬合函數(shù)模型解決實際問題、利用給定函數(shù)模型解決實際問題【分析】（1）根據(jù)題意和已知條件代入求解即可；（2）對進(jìn)行分類討論寫出的解析式；（3）對分類討論寫出各段函數(shù)的最大值進(jìn)行比較.【詳解】（1）（萬元）.所以當(dāng)購進(jìn)產(chǎn)品數(shù)量為12萬件時，利潤是800萬元.（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，單價為：，所以，當(dāng)時，，所以．（3）由（2）知，當(dāng)時，，當(dāng)（萬件），利潤最大，此時利潤是1100（萬元），當(dāng)時，，當(dāng)（萬件），利潤最大，此時利潤是1200（萬元），當(dāng)時，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，當(dāng)（萬件），利潤最大，此時利潤是1590（萬元），因為，所以當(dāng)（萬件）時，利潤最大，此時利潤是1590（萬元）．題型02建立函數(shù)模型解決實際問題【典例2-1】（25-26高一上·全國·單元測試）某網(wǎng)店新年禮盒促銷，其中四款禮盒的價格分別為40元/盒、45元/盒、60元/盒、70元/盒．為增加銷量，一次購買禮盒的總價達(dá)到80元，顧客就少付元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，店家會得到支付款的80%．在促銷活動中，為保證每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則的最大值為（

）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】D【知識點(diǎn)】建立擬合函數(shù)模型解決實際問題【分析】根據(jù)題意，設(shè)訂單總價為元，當(dāng)時，且，求解即可.【詳解】設(shè)訂單總價為元，當(dāng)時，實際支付元，該筆訂單店家得到的金額為，根據(jù)題意，恒成立，即即的最大值為10．故選：D【典例2-2】（24-25高一上·江蘇南京·期中）某廠因技術(shù)改革，今年上半年兩個季度生產(chǎn)總值持續(xù)增加.第一季度的增長率為，第二季度的增長率為，則該廠這兩個季度生產(chǎn)總值的平均增長率為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】建立擬合函數(shù)模型解決實際問題【分析】設(shè)該廠這兩個季度生產(chǎn)總值的平均增長率為，由題意列方程求解即可；【詳解】設(shè)該廠這兩個季度生產(chǎn)總值的平均增長率為，則，解得或（舍去），所以該廠這兩個季度生產(chǎn)總值的平均增長率為，故選：D.【典例2-3】（24-25高一上·江蘇鹽城·期末）酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為，為了保障交通安全，根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：100mL血液中酒精含量達(dá)到20~79mg的駕駛員即為酒后駕車，80mg及以上認(rèn)定為醉酒駕車．假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.9mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時20%的速度減少，那么他至少經(jīng)過幾個小時才能駕駛？（

）（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【知識點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用（1）、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用、利用給定函數(shù)模型解決實際問題【分析】設(shè)經(jīng)過個小時才能駕駛，則，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計算可得.【詳解】設(shè)經(jīng)過個小時才能駕駛，則，即，由于函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，所以，故他至少經(jīng)過7小時才能駕駛.故選：D.【典例2-4】（24-25高一上·貴州貴陽·期中）隨著清鎮(zhèn)市城市規(guī)模的擴(kuò)大、城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平的不斷提高，為了清鎮(zhèn)市巡游出租車市場健康發(fā)展、提高巡游出租車駕駛員的服務(wù)質(zhì)量、保障人民群眾合法利益，結(jié)合清鎮(zhèn)實際，在充分聽取各方面意見和建議的基礎(chǔ)上，經(jīng)市人民政府同意，現(xiàn)建立市區(qū)巡游出租汽車油價——運(yùn)價聯(lián)動機(jī)制及對運(yùn)價結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整，于2023年8月2日起施行．現(xiàn)將相關(guān)事宜告知如下：（1）起步價：白天（06:30—22:00下同）7元、夜間（22:00—06:30下同）10元（白天、夜間所示時間下同），起租里程：3公里；（2）車公里單價：白天3公里以上5公里以內(nèi)每行駛500米跳表0.80元，5公里以上每行駛500米跳表1.20元；夜間行車3公里以上5公里以內(nèi)每行駛500米跳表1.00元；5公里以上每行駛500米跳表1.50元．小華同學(xué)在周日下午14:00—15:00乘坐出租車返校，已知他家離學(xué)校打車距離剛好8公里，則返校時按計價表支付，他需要給出租車司機(jī)（

）元．【1公里1000米】A．13.6 B．15 C．17.4 D．19【答案】C【知識點(diǎn)】建立擬合函數(shù)模型解決實際問題【分析】由題意，結(jié)合題設(shè)求解即可.【詳解】由題意，他需要給出租車司機(jī)：元．故選：C.關(guān)于建立函數(shù)模型解決實際問題(1)熟練應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型y=a(1±x)n,a>0,0<x<1,解題時特別注意增長(衰減)次數(shù),審清如年初、年底等字眼.對于比較復(fù)雜的問題,可以寫出前若干次的表達(dá)式,找出規(guī)律后再寫第n次的.【變式2-1】（24-25高一下·湖南長沙·階段練習(xí)）在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指每名感染者平均可傳染的人數(shù)．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)為個感染者在每個傳染期會接觸到個新人，這個人中有個人接種過疫苗（稱為接種率），那么1個感染者傳染人數(shù)為．已知某種傳染病在某地的基本傳染數(shù)，為了使1個感染者傳染人數(shù)不超過1，則該地疫苗的接種率至少為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】建立擬合函數(shù)模型解決實際問題【分析】根據(jù)題意1個感染者傳染人數(shù)為，解出不等式即可.【詳解】因為，所以1個感染者傳染人數(shù)為，又1個感染者傳染人數(shù)不超過1，所以，解得，即該地疫苗的接種率至少為，故選：D.【變式2-2】（2025高一上·全國·專題練習(xí)）某企業(yè)員工小李的住處與他的辦公室相距，某天下班后，小李發(fā)現(xiàn)有份重要材料丟在辦公室，于是他從住處出發(fā)，先勻速跑步來到辦公室，停留，然后勻速步行返回住處．在這個過程中，小李行進(jìn)的速度和行走的路程都是時間的函數(shù)，則速度函數(shù)和路程函數(shù)的示意圖分別是下面四個圖像中的（

）A．①④ B．②③ C．④① D．③②【答案】A【知識點(diǎn)】函數(shù)圖像的識別、利用給定函數(shù)模型解決實際問題【分析】設(shè)行進(jìn)的速度為，行走的路程為，得出關(guān)于的函數(shù)，關(guān)于的函數(shù)解析式，進(jìn)而判斷函數(shù)圖像．【詳解】設(shè)行進(jìn)的速度為，行走的路程為，則，．根據(jù)速度函數(shù)及路程函數(shù)的解析式，其示意圖像分別為①和④．故選：A．【變式2-3】（2024高三·全國·專題練習(xí)）裝裱，是裝飾書畫、碑帖等的一門特殊技藝，即以各種綾錦紙絹對古今紙絹質(zhì)地的書畫作品進(jìn)行裝裱美化或保護(hù)修復(fù)，其中“立軸”是中國傳統(tǒng)書畫中最常見的裝裱形式．如圖，以“立軸”裝裱后，中間部分稱為畫心，上、下空白處分別稱為天頭和地頭，左、右空白處統(tǒng)稱為邊，且一般天頭長與地頭長的比例為六比四，若畫心長、寬分別為，的作品裝裱后長是寬的4倍，且左、右邊寬均為天頭長與地頭長之和的，則地頭長為cm．【答案】16【知識點(diǎn)】建立擬合函數(shù)模型解決實際問題【分析】設(shè)裝裱后天頭長為，則地頭長為，邊寬為，由題意構(gòu)建函數(shù)關(guān)系求解即可；【詳解】設(shè)裝裱后天頭長為，則地頭長為，邊寬為，則由題意得，解得，故地頭長為16cm．故答案為：16.【變式2-4】（25-26高一上·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場所，它的主體造型平面圖是由兩個相同的矩形和構(gòu)成的面積為（四個陰影部分加中間小正方形）的十字形地域.計劃在正方形上建一座花壇，造價為元；在四個相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪花崗巖地坪，造價為元；再在四個空角（圖中四個三角形）上鋪草坪，造價為元.設(shè)總造價為（單位：元），長為（單位：m）(1)請用表示的長；(2)請寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出的取值范圍；(3)若總造價不超過138000元，求的取值范圍；(4)當(dāng)為何值時，最小?并求出這個最小值.【知識點(diǎn)】利用給定函數(shù)模型解決實際問題、解不含參數(shù)的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值【分析】（1）設(shè)，根據(jù)十字形地域的面積得出的關(guān)系式，即可求解；（2）由（1）可求得，從而可求出各個圖形的面積，將花壇、地坪、草坪的各個區(qū)域造價相加，求得總造價，即可求解；.（3）根據(jù)不等式求解可求得的取值范圍.（4）利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】（1）設(shè)，由兩個相同的矩形和構(gòu)成的面積為，得，解得，由，得，所以.（2）由（1）知，則，矩形的面積為，正方形為，所以，由及，得，所以.（3）由（2）知，若總造價不超過138000元，即，化簡得，即，則，解得，所以的取值范圍.（4）由（2）知當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以當(dāng)時，取得最小值118000元.題型03選擇函數(shù)模型解決實際問題【典例3-1】（25-26高三上·貴州銅仁·階段練習(xí)）某條公共汽車路線收支差額收支差額車票收入支出費(fèi)用與乘客量的圖象如圖所示．由于目前本條路線存在虧損情況，公司有關(guān)人員提出了兩條建議：（1）不改變車票價格，減少支出費(fèi)用；（2）不改變支出費(fèi)用，提高車票價格．圖中虛線表示調(diào)整前的狀態(tài)，實線表示調(diào)整后的狀態(tài)．下列說法正確的是（

）．A．①反映了建議（2），③反映了建議（1） B．①反映了建議（1），③反映了建議（2）C．②反映了建議（1），④反映了建議（2） D．④反映了建議（1），②反映了建議（2）【答案】B【知識點(diǎn)】函數(shù)圖像的識別、函數(shù)圖象的應(yīng)用、利用給定函數(shù)模型解決實際問題【分析】根據(jù)題意即可結(jié)合函數(shù)圖象求解.【詳解】建議（1）是不改變車票價格，減少支出費(fèi)用，也就是增大，車票價格不變，即平行于原圖象，故①反映了建議（1），建議（2）是不改變支出費(fèi)用，提高車票價格，即圖形增大傾斜度，提高價格，故③反映了建議（2）故選：B．【典例3-2】（2025·云南昆明·模擬預(yù)測）根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)可將某池塘里浮萍的面積單位：與時間單位：月的關(guān)系近似表示為如圖所示函數(shù)關(guān)系，已知第1個月時，浮萍面積為，第5個月時，浮萍面積就會超過，下列函數(shù)模型：①，②，③，④中，最符合浮萍面積y與時間t關(guān)系的模型是填寫序號，若浮萍蔓延到，所經(jīng)過的時間.【答案】③【知識點(diǎn)】建立擬合函數(shù)模型解決實際問題、對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用（2）【分析】由已知結(jié)合基本初等函數(shù)的圖象判斷函數(shù)模型，求出函數(shù)解析式，即可求解【詳解】為線性增長，的增長速度會逐漸變慢，由圖象可知，模型①④不符合，將，代入模型②③，得，，即模型②，模型③，當(dāng)時，模型②，不符合，當(dāng)時，模型③，，選模型③；由，解得故答案為：③；【典例3-3】（25-26高一上·全國·課堂例題）網(wǎng)購女鞋時，常常會看到一張女鞋尺碼對照表(如下表)，第一行是腳長（新鞋碼，單位：mm），第二行是我們習(xí)慣稱呼的“鞋號（舊鞋碼，單位:號）”.腳長/mm220225230235240245250255260鞋碼/號343536373839404142(1)求鞋號關(guān)于腳長的函數(shù)模型.(2)如果看到一款“30號”的女童鞋，知道對應(yīng)的腳長是多少嗎?(3)一名腳長為262mm的女籃球運(yùn)動員，又該穿多大號的鞋呢?【知識點(diǎn)】建立擬合函數(shù)模型解決實際問題、利用給定函數(shù)模型解決實際問題【分析】（1）從表格可以得到鞋號是關(guān)于腳長的一次函數(shù)，設(shè)腳長為，鞋號為，待定系數(shù)法進(jìn)行求解；（2）在中，令得，故對應(yīng)的腳長是mm；（3）在中，令得，故該穿43號的鞋.【詳解】（1）從表格可以看出腳長每增加5mm，鞋號則增加1，故鞋號是關(guān)于腳長的一次函數(shù)，設(shè)腳長為，鞋號為，滿足，將代入可得，解得，故；（2）中，令得，解得，故對應(yīng)的腳長是mm；（3）中，令得，因?qū)嶋H鞋碼取整數(shù)，且42.4>42，故向上取整為43號，即一名腳長為262mm的女籃球運(yùn)動員，該穿43號的鞋.【典例3-4】（25-26高一上·上海浦東新·期中）上海市某非遺剪紙傳承人傳承海派剪紙技藝，主打款“傳統(tǒng)福字剪紙”和款“外灘建筑剪紙”．已知制作1幅款剪紙的材料成本為12元，制作1幅款剪紙的材料成本為18元，每天用于兩款剪紙的材料總成本固定為144元，且制作每款剪紙的數(shù)量均為正整數(shù)．(1)設(shè)每天制作款剪紙幅、款剪紙幅，求的最大值，并說明此時，的取值；(2)若款剪紙每幅可獲利潤20元，款剪紙每幅可獲利潤28元，在（1）的成本約束下，每天如何安排制作數(shù)量，才能使總利潤最大？最大總利潤是多少元？【知識點(diǎn)】利用給定函數(shù)模型解決實際問題、基本（均值）不等式的應(yīng)用【分析】（1）根據(jù)題意得，即，再根據(jù)基本不等式求解即可；（2）根據(jù)題意，結(jié)合分情況討論求解即可．【詳解】（1）根據(jù)題意，即，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，所以的最大值為，此時；（2）設(shè)利潤為，則，又，則，此時；，此時；，此時；所以每天制作款9幅，款2幅時總利潤最大，最大總利潤為236元．【典例3-5】（25-26高一上·江蘇無錫·期中）某公司為了提高生產(chǎn)效率，決定投入200萬元購進(jìn)一套生產(chǎn)設(shè)備，預(yù)計使用該設(shè)備后，前）年的支出成本為萬元，每年的銷售收入112萬元，設(shè)前年的總盈利額為萬元．(1)寫出與的函數(shù)關(guān)系式，并求出從第幾年開始盈利；(2)使用若干年后，對該設(shè)備處理的方案有兩種：方案一：當(dāng)總盈利額達(dá)到最大值時，以10萬元價格處理該設(shè)備；方案二：當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時，以50萬元價格處理該設(shè)備．你認(rèn)為哪種方案較為合理？請說明理由．（注：年平均盈利額為）【知識點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值、利用二次函數(shù)模型解決實際問題、利用給定函數(shù)模型解決實際問題、基本（均值）不等式的應(yīng)用【分析】（1）根據(jù)題意，得到總收入為萬元，總成本為萬元，求得總盈利額為，其中，令，求得不等式的解集，即可得到答案.（2）方案一：由函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得方案一的總盈利；再由，結(jié)合基本不等式，求得時，平均利潤取得最大值，求得方案二的總盈利，通過比較分析，得出答案.【詳解】（1）解：由題意知，前的總收入為萬元，總成本為萬元，所以總盈利額為，其中，令，即，即，解得，且，所以第3年該公司可以盈利.（2）解：由（1）知，其中，方案一：由函數(shù)為二次函數(shù)，其圖象開口向下，對稱軸為，當(dāng)時，可得；當(dāng)時，可得，所以當(dāng)時，方案一的總獲利取得最大值，最大值為萬元；方案二：前年的平均利潤為，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以，即時，平均利潤取得最大值，當(dāng)時，可得萬元，所以方案二的總盈利為萬元，綜上，可得方案一與方案二的總盈利都是萬元，當(dāng)方案二更早實現(xiàn)收益，所以方案二更為合理，因為資金回收更早，提高了資金使用效率，降低風(fēng)險.函數(shù)擬合與預(yù)測的一般方法(1)若已知的數(shù)據(jù)較多,可以繪出散點(diǎn)圖,觀察圖象的增長(下降)的趨勢特征,選擇函數(shù)模型,再通過具體數(shù)據(jù)驗證;(2)若已知函數(shù)模型的解析式含有未知參數(shù),可以利用已知的部分?jǐn)?shù)據(jù)求出函數(shù)的解析式,再代入其他數(shù)據(jù),通過分析所得數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)的關(guān)系選擇函數(shù)模型.【變式3-1】（24-25高一上·北京·期中）長江流域水庫群的修建和聯(lián)合調(diào)度，極大地降低了洪澇災(zāi)害風(fēng)險，發(fā)揮了重要的防洪減災(zāi)效益.每年洪水來臨之際，為保證防洪需要、降低防洪風(fēng)險，水利部門需要在原有蓄水量的基礎(chǔ)上聯(lián)合調(diào)度，統(tǒng)一蓄水，用蓄滿指數(shù)（蓄滿指數(shù)）來衡量每座水庫的水位情況.假設(shè)某次聯(lián)合調(diào)度要求如下：（?。┱{(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)仍屬于區(qū)間；（ⅱ）調(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)都不能降低；（ⅲ）調(diào)度前后，各水庫之間的蓄滿指數(shù)排名不變.記為調(diào)度前該水庫的蓄滿指數(shù)，為調(diào)度后該水庫的蓄滿指數(shù)，給出下面四個關(guān)于的函數(shù)解析式：①；②；③；④.則滿足此次聯(lián)合調(diào)度要求的函數(shù)解析式的序號是（

）A．②④ B．①④ C．②③ D．③④【答案】A【知識點(diǎn)】建立擬合函數(shù)模型解決實際問題【分析】需滿足四個條件：（1）自變量的取值范圍是；（2）函數(shù)值域為的子集；（3）該函數(shù)在上恒有；（4）該函數(shù)在上為增函數(shù).逐一對照分析即可求解.【詳解】函數(shù)的對稱軸為，所以，超出了范圍，不符合題意；，時，，且在上單調(diào)遞增，，即，符合題意；函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故不符合題意；函數(shù)為增函數(shù)，且時，，，則，即，符合題意.故滿足此次聯(lián)合調(diào)度要求的函數(shù)解析式的序號是②④.故選：.【變式3-2】（24-25高一上·山東菏澤·階段練習(xí)）某商場在銷售空調(diào)旺季的4天內(nèi)的利潤如下表所示：時間（天）1234利潤（萬元）23.988.0115.99則下列函數(shù)中不符合銷售這種空調(diào)的函數(shù)模型的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【知識點(diǎn)】建立擬合函數(shù)模型解決實際問題【分析】把代入每一個選項，逐一與題目中的數(shù)據(jù)對比，可得答案.【詳解】對于A，把代入，可得下表：對于B，把代入，可得下表：對于C，把代入，可得下表：對于D，把代入，可得下表：顯然只有的值最接近表格中的對應(yīng)的值，故A，C，D符合題意．故選：ACD.【變式3-3】（25-26高一上·上?！て谥校閹椭瑢W(xué)們更合理地安排課余時間，高二的學(xué)長針對“各類課余活動對學(xué)習(xí)效率的影響”開展了專項調(diào)研.調(diào)研中，學(xué)長們通過小游戲測試學(xué)生注意力的恢復(fù)情況，以此量化學(xué)習(xí)效率的變化情況.研究發(fā)現(xiàn)，運(yùn)動對注意力提升的效果存在明顯規(guī)律：初始階段，注意力恢復(fù)速度較快；但隨著運(yùn)動時長增加，恢復(fù)效果的提升速率會逐漸變緩.若設(shè)運(yùn)動時長為（單位：分鐘，），相對“未運(yùn)動狀態(tài)”的注意力恢復(fù)效果為，則當(dāng)運(yùn)動時長（即未運(yùn)動）時，（表示恢復(fù)效果與未運(yùn)動時一致）.以下是調(diào)研收集到的部分?jǐn)?shù)據(jù)：0103011.51.7(1)請從以下三個函數(shù)模型中，選擇最符合上述規(guī)律的模型，并求出關(guān)于的具體函數(shù)解析式（參數(shù)精確到0.1）：①；②；③.(2)某個籃球場開放時間：18：00-19：00，曹同學(xué)和張同學(xué)小組都想通過運(yùn)動恢復(fù)學(xué)習(xí)效率，所以他們商量輪流使用籃球場，請用（1）的函數(shù)模型解釋，若兩個小組都希望學(xué)習(xí)效率恢復(fù)效果（即注意力恢復(fù)對應(yīng)的值）提升到1.6以上，則曹同學(xué)小組使用籃球場的時長范圍是多少？（結(jié)果精確到1分鐘）【知識點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算、指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用（2）、對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用（2）、利用給定函數(shù)模型解決實際問題【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)的規(guī)律結(jié)合單調(diào)性及相鄰數(shù)據(jù)差不為同一常數(shù)排除①②,代入數(shù)據(jù)③中求參數(shù)得函數(shù)解析式；（2）由題意建立方程，化為對數(shù)式，根據(jù)對數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】（1）模型①:假設(shè)；，當(dāng)時，不是，故①不符合題意；模型②:假設(shè)；時，當(dāng)時，不是，故②不符合題意；模型③:假設(shè)；時符合，當(dāng)時，得，當(dāng)時，，故③符合題意；最符合上述規(guī)律的是模型③，.（2）由題意，所以分鐘，因為單調(diào)遞增，故，當(dāng)且僅當(dāng).設(shè)曹同學(xué)小組使用籃球場的時長為，張同學(xué)小組使用籃球場的時長為，則且，故分鐘，又所以曹同學(xué)小組使用籃球場的時長范圍是分鐘到分鐘.【變式3-4】（25-26高一上·江西南昌·階段練習(xí)）在當(dāng)下中國足球的版圖中，省內(nèi)城市聯(lián)賽宛如一股熾熱的新興力量，以燎原之勢迅速蔓延，蘇超、贛超等聯(lián)賽的火爆場景，成為了各地體育文化生活中一道最為亮麗的風(fēng)景線，如同一幅絢麗多彩的畫卷，生動地展現(xiàn)著足球運(yùn)動的無限魅力與城市發(fā)展的蓬勃生機(jī).某奧體中心計劃在場內(nèi)建造一個高為3米，寬度為（單位：米），地面面積為81平方米的長方體形狀的媒體采訪區(qū)，經(jīng)過談判，工程施工單位給出兩種報價方案：方案一：媒體采訪區(qū)的墻面報價為每平方米200元，屋頂和地面報價共計7200元，總計報價記為；方案二：其給出的整體報價為元，.(1)當(dāng)寬度為8米時，方案二的報價為29700元，求的值；(2)求的函數(shù)解析式，并求報價的最小值；(3)若對任意的時，方案二都比方案一省錢，求的取值范圍.【知識點(diǎn)】利用給定函數(shù)模型解決實際問題、基本不等式的實際應(yīng)用、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】（1）將代入解析式直接計算即可求解；（2）設(shè)地面長為，則，從而有，然后利用基本不等式求解最小值即可；（3）由題意時，恒成立，分離參數(shù)得，結(jié)合換元法，利用對勾函數(shù)的單調(diào)性求解最值即可得解.【詳解】（1）寬度為8米時，方案二的報價為29700元，所以，解得，所以的值為18.（2）設(shè)地面長為，，所以墻面面積為，所以，因為，當(dāng)時取等，所以，最小值為.（3）對任意的時，方案二都比方案一省錢，即時，恒成立，整理得，因為，，設(shè)，則，又由對勾函數(shù)性質(zhì)可得在上單調(diào)遞增，，又，所以，所以方案二都比方案一省錢，的取值范圍為.【變式3-5】（25-26高一上·廣西百色·階段練習(xí)）某糕點(diǎn)連鎖店現(xiàn)有五家分店，出售兩款糕點(diǎn)，A為特價糕點(diǎn)，為吸引顧客按進(jìn)價銷售.已知用16000元購進(jìn)A糕點(diǎn)與用22000元購進(jìn)B糕點(diǎn)的重量相同，且B糕點(diǎn)每斤的進(jìn)價比A糕點(diǎn)每斤的進(jìn)價多6元.(1)求兩種糕點(diǎn)每斤的進(jìn)價；(2)因為使用進(jìn)價銷售的A糕點(diǎn)物美價廉，所以深受顧客青睞，五個分店每月的總銷量為10000斤.今年年初該連鎖店用50萬購進(jìn)一批設(shè)備，用于生產(chǎn)A糕點(diǎn)，已知每斤糕點(diǎn)的原材料價格為8元，若生產(chǎn)A糕點(diǎn)個月（）所用的原材料之外的各種費(fèi)用總計為萬元，若只考慮A糕點(diǎn)，記該連鎖店前個月的月平均利潤為萬元，求的最大值.【知識點(diǎn)】分式型函數(shù)模型的應(yīng)用、利用給定函數(shù)模型解決實際問題、基本不等式求和的最小值【分析】（1）由A、B兩款糕點(diǎn)重量相同列等式求解；（2）總利潤=前n個月原材料總利潤設(shè)備成本其他費(fèi)用，利用基本不等式求最值.【詳解】（1）設(shè)A糕點(diǎn)每斤的進(jìn)價為元，則B糕點(diǎn)每斤的進(jìn)價為元，則，解得，所以A糕點(diǎn)每斤的進(jìn)價為元，B糕點(diǎn)每斤的進(jìn)價為元.（2）設(shè)前n個月的總利潤為元，因為A糕點(diǎn)每斤售價為16元，每月可售出10000斤，故每月可收入16萬元，其中原材料為8萬元，則所以月平均利潤為當(dāng)且僅當(dāng)時即時等號成立，此時有最大值為萬元．【變式3-6】（25-26高一上·江蘇南通·階段練習(xí)）某工廠計劃建造一個高為3米，寬度為（單位：米），地面面積為81平方米的長方體形狀的儲物室，經(jīng)過談判，工程施工單位給出兩種報價方案：方案一：墻面報價每平方米200元，屋頂和地面報價共7200元，總報價記為；方案二：其給出的整體報價為元，（）.(1)當(dāng)寬度為8米時，方案二的報價為29700元，求的值；(2)試用表示方案一的總報價，并求的最小值；(3)若對任意的時，方案二都比方案一省錢，求的取值范圍.【知識點(diǎn)】利用給定函數(shù)模型解決實際問題、基本（均值）不等式的應(yīng)用【分析】（1）根據(jù)函數(shù)定義直接代入可計算；（2）根據(jù)題意求出長方體側(cè)面積，然后可求函數(shù)，再利用基本不等式求最值；（3）代入進(jìn)行參變分離，接著求函數(shù)最值即可.【詳解】（1）寬度為8米時，方案二的報價為29700元，，所以的值為18.（2）設(shè)底面長為，，所以墻面面積為，，，當(dāng)時取等，所以，最小值為.（3）對任意的時，方案二都比方案一省錢，即時，恒成立，整理得，因為，，設(shè)，則，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，即時取等號.所以，又，所以，所以方案二都比方案一省錢，的取值范圍為.練基礎(chǔ)1．（25-26高一上·遼寧·期中）設(shè)表示不大于的最大整數(shù).已知某店開張的第天進(jìn)店消費(fèi)的人數(shù)與成正比，且開張首日進(jìn)店消費(fèi)的人數(shù)為8，則該店開張的第6天進(jìn)店消費(fèi)的人數(shù)為（

）A．16 B．24 C．18 D．20【答案】D【知識點(diǎn)】利用給定函數(shù)模型解決實際問題【分析】建立起消費(fèi)的人數(shù)與的函數(shù)關(guān)系式，代入即得答案.【詳解】設(shè)該店開張的第天進(jìn)店消費(fèi)的人數(shù)，依題意得，解得，則.故選：D2．（25-26高三上·甘肅·階段練習(xí)）中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn)（GB11533-2011）中的《標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力表》采用的是五分視力記錄方式（繆氏記錄法）：，其中為被測試眼睛的視力值，為該眼睛能分辨清楚的標(biāo)準(zhǔn)視力表最低一行“E”形視標(biāo)的筆畫寬度（單位：毫米），為被測試人到標(biāo)準(zhǔn)視力表的距離（單位：米），是與，無關(guān)的常量.由于場地大小受限，小華在距離標(biāo)準(zhǔn)視力表4米處檢測右眼的視力值，若此時，不考慮其他因素的影響，則小華右眼的視力值為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．4.8 B．4.9 C．5.0 D．5.1【答案】B【知識點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用、利用給定函數(shù)模型解決實際問題【分析】直接代入數(shù)據(jù)求值即可.【詳解】由題意，得，小華在距離標(biāo)準(zhǔn)視力表4米處檢測右眼的視力值，即，代入，得.故選：B.3．（25-26高一上·全國·單元測試）長江流域水庫群的修建和聯(lián)合調(diào)度，極大地降低了洪澇災(zāi)害風(fēng)險，發(fā)揮了重要的防洪減災(zāi)效益．每年洪水來臨之際，為保證防洪需要、降低防洪風(fēng)險，水利部門需要在原有蓄水量的基礎(chǔ)上聯(lián)合調(diào)度，統(tǒng)一蓄水，用蓄滿指數(shù)（蓄滿指數(shù)）來衡量每座水庫的水位情況．假設(shè)某次聯(lián)合調(diào)度要求如下：（ⅰ）調(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)仍屬于區(qū)間；（ⅱ）調(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)都不能降低；（ⅲ）調(diào)度前后，各水庫之間的蓄滿指數(shù)排名不變．記為調(diào)度前該水庫的蓄滿指數(shù)，為調(diào)度后該水庫的蓄滿指數(shù)，給出下面四個關(guān)于的函數(shù)解析式：①；②；③；④．則滿足此次聯(lián)合調(diào)度要求的函數(shù)解析式有（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】BD【知識點(diǎn)】建立擬合函數(shù)模型解決實際問題【分析】依次判斷函數(shù)是否滿足條件.【詳解】函數(shù)①圖象的對稱軸為，所以，超出了值域范圍，A不符合題意．函數(shù)時，，且在上單調(diào)遞增，，即，B合題意．函數(shù)③在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，C不符合題意．函數(shù)④為增函數(shù)，且時，，，又，所以，則，即，D符合題意．故選：BD4．（25-26高一上·上海閔行·期中）某地火力發(fā)電廠大氣污染物排放標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：排放廢氣中二氧化硫最高允許濃度為.為滿足此要求，該地一火力發(fā)電廠通過某種工藝對排放廢氣進(jìn)行過濾處理，處理后廢氣中剩余二氧化硫的濃度（單位：）與處理時間（單位：分鐘）滿足關(guān)系式：，其中為二氧化硫的初始濃度.若該火力發(fā)電廠排放廢氣中二氧化硫的初始濃度為，那么從現(xiàn)在起至少經(jīng)過分鐘才能達(dá)到排放標(biāo)準(zhǔn).（結(jié)果精確到整數(shù),）【答案】【知識點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用、利用給定函數(shù)模型解決實際問題【分析】根據(jù)題干給出的關(guān)系式，結(jié)合排放標(biāo)準(zhǔn)列出不等式，再通過對數(shù)運(yùn)算求解不等式即可.【詳解】由題意得，，其中為二氧化硫的初始濃度，又二氧化硫的初始濃度為，，又排放廢氣中二氧化硫最高允許濃度為，，兩邊同時取對數(shù)，得，即，，又，解得，又結(jié)果精確到整數(shù)，從現(xiàn)在起至少經(jīng)過分鐘才能達(dá)到排放標(biāo)準(zhǔn).故答案為：.5．（24-25高一上·陜西西安·期末）已知某零件原來的售價為15元，可售出50萬件，據(jù)市場調(diào)查，該零件的單價每提高1元，銷售量就減少2萬件，現(xiàn)該零件的銷售商計劃對該零件進(jìn)行提價銷售，設(shè)提價后的零件售價為元．(1)求提價后該零件的銷售總收入（單位：萬元）的最大值；(2)若提價后該零件的銷售總收入（單位：萬元）不低于原來的銷售總收入，求的取值集合．【知識點(diǎn)】利用二次函數(shù)模型解決實際問題、建立擬合函數(shù)模型解決實際問題【分析】（1）先求出提價后該零件的銷售總收入與的關(guān)系，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解；（2）根據(jù)題意列出不等式，解之即可.【詳解】（1）由題意可得提價后該零件的銷售總收入，因為，所以當(dāng)時，取得最大值800萬元，即該零件的售價為20元時，該零件的銷售總收入取得最大值800萬元；（2）由題意可得，整理得，即，解得，又，所以的取值集合為．6．（24-25高一上·安徽亳州·期末）某高校為了方便冬季體育活動，計劃建造一間室內(nèi)面積為900的體育館，在館內(nèi)劃出三塊相同的矩形區(qū)域供三個班級同時使用，相鄰區(qū)域之間間隔3米，其余部分離墻1米（如圖）．設(shè)體育館室內(nèi)長為x米，三塊區(qū)域的總面積為S平方米．(1)求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)體育館室內(nèi)長為多少米時，三塊區(qū)域的總面積最大？并求其最大值．【知識點(diǎn)】建立擬合函數(shù)模型解決實際問題、基本不等式求和的最小值【分析】（1）由長方形面積公式即可求解；（2）由基本不等式即可求解；【詳解】（1）由題設(shè)，得，由已知得故．所以，．（2）因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，從而．故當(dāng)矩形溫室的室內(nèi)長為60m時，S最大，最大為676．7．（24-25高一上·天津西青·期末）依法納稅是每個公民應(yīng)盡的義務(wù)，個人取得的所得應(yīng)依照《中華人民共和國個人所得稅法》向國家繳納個人所得稅（簡稱個稅）.2019年1月1日起，個稅稅額根據(jù)應(yīng)納稅所得額，稅率和速算扣除數(shù)確定，計算公式為：個稅稅額應(yīng)納稅所得額稅率-速算扣除數(shù).①應(yīng)納稅所得額的計算公式為：應(yīng)納稅所得額=綜合所得收入額-基本減除費(fèi)用-專項扣除-專項附加扣除-依法確定的其它扣除.②其中，“基本減除費(fèi)用”（免征頒）為每年60000元，稅率與速算扣除數(shù)見下表：級數(shù)全年應(yīng)納稅所得額所在區(qū)間稅率（%）速算扣除數(shù)130210252032016920已知小華繳納的專項扣除：基本養(yǎng)老保險，基本醫(yī)療保險費(fèi)，失業(yè)保險等社會保險費(fèi)和住房公積金占綜合所得收入額的比例分別是，專項附加扣除是52800元，依法確定的其它扣除是4560元.設(shè)小華全年應(yīng)納稅所得額為（不超過300000元）元，應(yīng)繳納個稅稅額為元，則；如果小華全年綜合所得收入額為220000元，那么他全年應(yīng)繳納個稅元.【知識點(diǎn)】建立擬合函數(shù)模型解決實際問題、分段函數(shù)模型的應(yīng)用、利用給定函數(shù)模型解決實際問題【分析】根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，得到函數(shù)表達(dá)式，并得到小華全年綜合所得收入額為220000元時，應(yīng)納稅所得額，代入表達(dá)式，求出答案.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故；小華全年綜合所得收入額為220000元時，應(yīng)納稅所得額，，故，故他全年應(yīng)繳納個稅3344元.故答案為：；33448．（25-26高一上·上?！るA段練習(xí)）2025年上海奇跡花園國際藝術(shù)花展于9月20日正式啟幕，本次花展首次實現(xiàn)沉浸IP展、花卉景觀、跨界藝術(shù)、光影夜花園四展合一，為市民游客打造一個可游、可賞、可感的秋季治愈系童話世界．某公園受此啟發(fā)打算設(shè)計一個八邊形活動區(qū)域，該區(qū)域的主體造型平面圖是由兩個相同的矩形和構(gòu)成的十字形地域，十字形的面積為．計劃在正方形上建一座花壇，造價為2100元：在四個相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪地磚，造價為105元；再在四個空角（圖中四個三角形）上鋪草坪，造價為40元．設(shè)長為，總造價為元，求：(1)設(shè)長為，用表示，并求出的取值范圍；(2)如何設(shè)計可使總造價最低，并求出最低造價；(3)若總造價不超過69000元，求長的取值范圍．【知識點(diǎn)】利用給定函數(shù)模型解決實際問題、解不含參數(shù)的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值【分析】（1）設(shè)，根據(jù)十字形地域的面積得出的關(guān)系式，即可求解；（2）由（1）可求得，從而可求出各個圖形的面積，將花壇、地坪、草坪的各個區(qū)域造價相加，求得總造價，利用基本不等式即可求解最低造價；（3）根據(jù)不等式求解可求得的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)，因為兩個相同的矩形和構(gòu)成的面積為，所以可得，解之可得，由得，解得；（2）由（1）知，所以矩形的面積為正方形為，所以.，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號；故時，元；（3）由（2）知，若總造價不超過69000元，即化簡可得，即，解之可得，所以的取值范圍.9．（25-26高一上·湖南長沙·期中）某科技公司為提高研發(fā)速度，計劃建造一個高為3米，寬度為米，地面面積為80平方米的長方體形狀的實驗室，經(jīng)過談判，工程施工單位給出兩種報價方案．方案一：實驗室的墻面報價為每平方米200元，屋頂和地面報價共計9600元，總報價記為P；方案二：其給出的整體報價為元（）．(1)若當(dāng)寬度為6米時，方案二的報價為28000元，求實數(shù)m的值；(2)求P的函數(shù)解析式，并求總報價P的最小值；(3)若對任意的時，方案二都比方案一省錢，求實數(shù)m的取值范圍．【知識點(diǎn)】利用給定函數(shù)模型解決實際問題、建立擬合函數(shù)模型解決實際問題、基本（均值）不等式的應(yīng)用【分析】（1）根據(jù)給定函數(shù)代入計算即得；（2）根據(jù)題意求出實驗室墻面面積，然后可求的解析式，再利用基本不等式求最值；（3）依題列出不等式，再參變分離，將問題轉(zhuǎn)化為，接著利用基本不等式求函數(shù)的最小值即得.【詳解】（1）因?qū)挾葹?米時，方案二的報價為28000元，且則，解得所以的值為20.（2）設(shè)底面長為，由題意易得，故墻面面積為，則，因，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，即總報價P的最小值為.（3）對任意的時，方案二都比方案一省錢，即時，恒成立，整理得，設(shè)，，因，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最小值，故，又，則，所以若對任意的時，方案二比方案一省錢，則的取值范圍為.10．（25-26高一上·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）某蛋糕店推出兩款新品蛋糕，分別為薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕單價為元，朱古力蜂果蛋糕單價為元，現(xiàn)有兩種購買方案：方案一：薄脆百香果蛋糕購買數(shù)量為個，朱古力蜂果蛋糕購買數(shù)量為個，花費(fèi)記為；方案二：薄脆百香果蛋糕購買數(shù)量為個，朱古力蜂果蛋糕購買數(shù)量為個，花費(fèi)記為.（其中，，且）(1)試問哪種購買方案花費(fèi)更少？請說明理由；(2)若同時滿足，求這兩種購買方案花費(fèi)的差值最小值（注：差值花費(fèi)較大值花費(fèi)較小值）.【知識點(diǎn)】建立擬合函數(shù)模型解決實際問題、基本不等式的實際應(yīng)用、作差法比較代數(shù)式的大小【分析】（1）根據(jù)可得結(jié)論；（2）由（1）可得，結(jié)合基本不等式可求得最小值.【詳解】（1）由題意知：，，，，，，，，即，購買方案二花費(fèi)更少.（2）由（1）得：；，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號）；，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號）；差值的最小值為（當(dāng)且僅當(dāng)，，，時取最小值）.11．（25-26高一上·浙江溫州·期中）2024蘇州足球邀請賽組委會為保障賽事后勤服務(wù)，購進(jìn)一套移動餐飲服務(wù)車，用于為賽場觀眾和工作人員提供餐飲.該服務(wù)車初始購置費(fèi)用為36萬元，預(yù)計從第1年到第年（），花在該服務(wù)車上的維護(hù)費(fèi)用總計為萬元（為使用年數(shù)）.該服務(wù)車每年可為賽事提供餐飲服務(wù)，穩(wěn)定獲得收入24萬元.(1)該服務(wù)車使用幾年后開始盈利？（即總收入減去初始購置費(fèi)用及維護(hù)費(fèi)用之差為正值）(2)若該服務(wù)車使用若干年后，組委會計劃處理該設(shè)備，有兩種方案：①當(dāng)年平均盈利達(dá)到最大值時，以17萬元的價格賣出；②當(dāng)盈利總額達(dá)到最大值時，以8萬元的價格賣出.哪一種方案較為合算？請說明理由.【知識點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值、利用給定函數(shù)模型解決實際問題、解不含參數(shù)的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值【分析】（1）根據(jù)盈利列不等式，由此求得開始盈利的年份.（2）①利用基本不等式進(jìn)行求解，并求得最后的利潤；②利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，并求得最后的利潤.比較兩個方案最后的利潤，從而選擇合算的方案.【詳解】（1）由題意可得，即，解得，，該車運(yùn)輸3年后開始盈利；（2）該車運(yùn)輸若干年后，處理方案有兩種：①當(dāng)年平均盈利達(dá)到最大值時，以17萬元的價格賣出，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，方案①最后的利潤為：（萬）②當(dāng)盈利總額達(dá)到最大值時，以8萬元的價格賣出，，時，利潤最大為，方案②最后的利潤為（萬），兩個方案的利潤都是53萬，按照時間成本來看，第一個方案更好，因為用時更短，方案①較為合算.12．（24-25高一上·江西·期末）近幾年，直播平臺逐漸被越來越多的人們關(guān)注和喜愛．某平臺從2021年初建立開始，得到了很多網(wǎng)民的關(guān)注，會員人數(shù)逐年增加．已知從2021到2024年，該平臺會員每年年．末的人數(shù)如下表所示：（注：第4年數(shù)據(jù)為截止至2024年10月底的數(shù)據(jù)）建立平臺第年1234會員人數(shù)（千人）16285286(1)請根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，從下列三個模型中選擇一個恰當(dāng)?shù)哪Ｐ凸浪憬⒃撈脚_年后平臺會員人數(shù)（千人），求出你所選擇模型的解析式，并預(yù)測2024年年末會員人數(shù)：①，②且，③且；(2)為了更好的維護(hù)管理平臺，該平臺規(guī)定會員人數(shù)不能超過千人，請根據(jù)（1）中你選擇的函數(shù)模型求的最小值．【知識點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、建立擬合函數(shù)模型解決實際問題、指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用（2）【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可選擇模型③，將表格中的數(shù)據(jù)代入函數(shù)模型解析式，求出三個參數(shù)的值，即可得出函數(shù)模型解析式，再將代入函數(shù)模型解析式，即可得解；（2）由已知可得出，令，則，令，求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值，即可得實數(shù)k的最小值.【詳解】（1）由表格中的數(shù)據(jù)可知，函數(shù)是一個增函數(shù)，且函數(shù)增長得越來越快，故選擇模型③較為合適，由表格中的數(shù)據(jù)可得，解得所以，函數(shù)模型的解析式為，令，預(yù)測2024年年末的會員人數(shù)為100千人．（2）由題意可得，令，則，令，，則函數(shù)的定義域上單調(diào)遞增，又關(guān)于在定義域上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，，即．所以的最小值為4．練提升13．（24-25高一下·湖南衡陽·期中）某動力電池生產(chǎn)企業(yè)為提高產(chǎn)能，計劃投入7200萬元購買一批智能工業(yè)機(jī)器人，使用該批智能機(jī)器人后前年的維護(hù)成本為萬元，每年電池銷售收入為7600萬元，設(shè)使用該批智能機(jī)器人后前x年的總盈利額為y萬元(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求該電池生產(chǎn)企業(yè)從第幾年開始盈利；(2)使用若干年后對該批智能機(jī)器人處理方案有兩種方案一：當(dāng)總盈利額達(dá)到最大值時，將該批智能機(jī)器人以2000萬價格處理；方案二：當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時，將該批智能機(jī)器人以5200萬元的價格處理問哪種方案更合理？并說明理由.【知識點(diǎn)】建立擬合函數(shù)模型解決實際問題、求二次函數(shù)的值域或最值、基本不等式求和的最小值【分析】（1）先寫出相應(yīng)的解析式，再解不等式，求出該企業(yè)從第2年開始盈利；（2）方案一：配方得到時y取到最大值12800，進(jìn)而得到總利潤為萬元；方案二：年平均盈利額為，由基本不等式求出最大值，此時處理掉智能機(jī)器人，總利潤為萬元，得到結(jié)論.【詳解】（1）由題意可得，由得且，該企業(yè)從第2年開始盈利；（2）方案二更合理，理由如下：方案一：，當(dāng)時y取到最大值12800，若此時處理掉智能機(jī)器人，總利潤為萬元，方案二：年平均盈利額萬元，當(dāng)且僅當(dāng)時，年平均盈利額最大，若此時處理掉智能機(jī)器人，總利潤為萬元，綜上，兩種方案總利潤都是14800萬元，但方案一需要五年，方案二僅需三年即可，故方案二更合理.14．（24-25高一上·江西景德鎮(zhèn)·期末）現(xiàn)代研究成果顯示，茶水的口感與水的溫度有關(guān).經(jīng)實驗表明，用100°C的水泡制，待茶水溫度降至60°C時，飲用口感最佳.某中學(xué)學(xué)生利用課余時間探究室溫下剛泡好的茶水達(dá)到最佳飲用口感的放置時間，