河北省阜城中學(xué)2025年數(shù)學(xué)高二第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某高中學(xué)校高二和高三年級共有學(xué)生人，為了解該校學(xué)生的視力情況，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從三個年級中抽取一個容量為的樣本，其中高一年級抽取人，則高一年級學(xué)生人數(shù)為（）A. B.C. D.2．過點(diǎn)且與拋物線只有一個公共點(diǎn)的直線有（）A.1條 B.2條C.3條 D.0條3．已知、、、是直線，、是平面，、、是點(diǎn)（、不重合），下列敘述錯誤的是（）A.若，，，，則B.若，，，則C.若，，則D.若，，則4．已知等差數(shù)列的公差，是與的等比中項，則（）A. B.C. D.5．若復(fù)數(shù)z滿足（其中為虛數(shù)單位），則（）A. B.C. D.6．橢圓的離心率為（）A B.C. D.7．已知函數(shù)，.若存在三個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.8．如圖，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接（相切）.已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)的解析式為（）A.B.C.D.9．圓與圓的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)含 B.相交C.外切 D.外離10．甲乙兩名運(yùn)動員在某項體能測試中的6次成績統(tǒng)計如表：甲9816151514乙7813151722分別表示甲乙兩名運(yùn)動員這項測試成績的平均數(shù)，分別表示甲乙兩名運(yùn)動員這項測試成績的標(biāo)準(zhǔn)差，則有（）A.， B.，C.， D.，11．19世紀(jì)法國著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日，創(chuàng)立了畫法幾何學(xué)，推動了空間幾何學(xué)的獨(dú)立發(fā)展，提出了著名的蒙日圓定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點(diǎn)位于一個與橢圓同心的圓上，稱為蒙日圓，且該圓的半徑等于橢圓長半軸長與短半軸長的平方和的算術(shù)平方根．若圓與橢圓的蒙日圓有且僅有一個公共點(diǎn)，則b的值為（）A. B.C. D.12．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則（）A.3 B.4C.6 D.11二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．為和的等差中項，則_____________.14．若數(shù)列滿足，，則__________15．若點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到定直線的距離小1，則點(diǎn)滿足的方程為_____________16．某班名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)頻率分布直方圖，估計該班本次測試平均分為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知兩點(diǎn)（1）求以線段為直徑的圓C的方程；（2）在（1）中，求過M點(diǎn)的圓C的切線方程18．（12分）已知拋物線C的方程是.（1）求C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（2）直線l過拋物線C的焦點(diǎn)且傾斜角為，與拋物線C的交點(diǎn)為A，B，求的長度.19．（12分）已知函數(shù).（1）若，求的極值；（2）若有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a取值范圍.20．（12分）在等差數(shù)列中，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求.21．（12分）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，.點(diǎn)滿足.（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，求橢圓的方程.22．（10分）已知等差數(shù)列的前項和滿足，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】先得到從高二和高三年級抽取人，再利用分層抽樣進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)高一年級學(xué)生人數(shù)為，因為從三個年級中抽取一個容量為的樣本，且高一年級抽取人，所以從高二和高三年級抽取人，則，解得，即高一年級學(xué)生人數(shù)為.故選：B2、B【解析】過的直線的斜率存在和不存在兩種情況分別討論即可得出答案.【詳解】易知過點(diǎn)，且斜率不存在的直線為，滿足與拋物線只有一個公共點(diǎn).當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，與聯(lián)立得，當(dāng)時，方程有一個解，即直線與擾物線只有一個公共點(diǎn).故滿足題意的直線有2條.故選：B3、D【解析】由公理2可判斷A選項；由公理3可判斷B選項；利用平行線的傳遞性可判斷C選項；直接判斷線線位置關(guān)系，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，由公理2可知，若，，，，則，A對；對于B選項，由公理3可知，若，，，則，B對；對于C選項，由空間中平行線的傳遞性可知，若，，則，C對；對于D選項，若，，則與平行、相交或異面，D錯.故選：D.4、C【解析】由等比中項的性質(zhì)及等差數(shù)列通項公式可得即可求.【詳解】由，則，可得.故選：C.5、B【解析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長公式可求得結(jié)果.【詳解】，因此，.故選：B6、D【解析】根據(jù)橢圓方程先寫出標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程寫出便可得到離心率.【詳解】解：由題意得：，，故選：D7、B【解析】根據(jù)題意，當(dāng)時，有一個零點(diǎn)，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，有兩個實(shí)數(shù)根，再研究函數(shù)即可得答案.【詳解】解：因為存在三個零點(diǎn)，所以方程有三個實(shí)數(shù)根，因為當(dāng)時，由得，解得，有且只有一個實(shí)數(shù)根，所以當(dāng)時，有兩個實(shí)數(shù)根，即有兩個實(shí)數(shù)根，所以令，則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，因為，，，所以的圖象如圖所示，所以有兩個實(shí)數(shù)根，則故選：B8、D【解析】由題設(shè)，“需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接（相切）“可得出此兩點(diǎn)處的切線正是兩條直道所在直線，由此規(guī)律驗證四個選項即可得出答案【詳解】由函數(shù)圖象知，此三次函數(shù)在上處與直線相切，在點(diǎn)處與相切，下研究四個選項中函數(shù)在兩點(diǎn)處的切線A：，將0代入，此時導(dǎo)數(shù)為，與點(diǎn)處切線斜率為矛盾，故A錯誤B：，將0代入，此時導(dǎo)數(shù)為，不為，故B錯誤；C：，將2代入，此時導(dǎo)數(shù)為，與點(diǎn)處切線斜率為3矛盾，故C錯誤；D：，將0，2代入，解得此時切線的斜率分別是，3，符合題意，故D正確；故選：D.9、C【解析】分別求出兩圓的圓心、半徑，再求出兩圓的圓心距即可判斷作答.【詳解】圓的圓心，半徑，圓，即的圓心，半徑，則，即有，所以圓與圓外切.故選：C10、B【解析】根據(jù)給定統(tǒng)計表計算、，再比較、大小判斷作答.【詳解】依題意，，，，，所以，.故選：B11、B【解析】由題意求出蒙日圓方程，再由兩圓只有一個交點(diǎn)可知兩圓相切，從而列方程可求出b的值【詳解】由題意可得橢圓的蒙日圓的半徑，所以蒙日圓方程為，因為圓與橢圓的蒙日圓有且僅有一個公共點(diǎn)，所以兩圓相切，所以，解得，故選：B12、A【解析】利用橢圓的定義可得，再結(jié)合條件即求.【詳解】由橢圓的定義可知，因為，所以，因為點(diǎn)分別是線段，的中點(diǎn)，所以是的中位線，所以.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用等差中項的定義可求得結(jié)果.【詳解】由等差中項的定義可得.故答案為：.14、7【解析】根據(jù)遞推公式，依次求得值.【詳解】依題意，由，可知，故答案為：715、【解析】根據(jù)拋物線的定義可得動點(diǎn)的軌跡方程【詳解】點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離少1，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，所以其軌跡為拋物線，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，所以方程為，故答案為：16、【解析】將每個矩形底邊的中點(diǎn)值乘以對應(yīng)矩形的面積，即可得解.【詳解】由頻率分布直方圖可知，該班本次測試平均分為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）求出圓心和半徑即可得到答案；（2）根據(jù)題意先求出切線的斜率，進(jìn)而通過點(diǎn)斜式求出切線方程.【小問1詳解】由題意，圓心，半徑，則圓C的方程為：.【小問2詳解】由題意，，則切線斜率為-1，所以切線方程為：.18、（1）焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程：（2）【解析】（1）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點(diǎn)在軸上，開口向右，，即可求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（2）現(xiàn)根據(jù)題意給出直線的方程，代入拋物線，求出兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和，然后利用焦半徑公式求解即可【小問1詳解】（1）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，焦點(diǎn)在軸上，開口向右，，∴，∴焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程：.【小問2詳解】∵直線l過拋物線C的焦點(diǎn)且傾斜角為，，∴直線L的方程為，代入拋物線化簡得，設(shè)，則，所以故所求的弦長為1219、（1）極小值為，無極大值（2）【解析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求出，分別令、，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出極值；(2)利用導(dǎo)數(shù)討論、0時函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出函數(shù)的最小值小于0，解不等式即可.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，時，.令，解得，∵在上，，在上，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的極小值為，無極大值.【小問2詳解】，當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，此時不可能有2個零點(diǎn).當(dāng)0時.令，得，∵在上，，在上，），∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的最小值為.∵有兩個零點(diǎn)，∴，即，∴.經(jīng)驗證，若，則，且，又，∴有兩個零點(diǎn).綜上，a的取值范圍是.20、（1）（2）1280【解析】（1）直接利用等差數(shù)列通項公式即可求解；（2）先判斷出數(shù)列單調(diào)性，由，則時，，時，；然后去掉絕對值，利用等差數(shù)列的前項和公式求解即可.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，由，可知，∴;【小問2詳解】由（1）知，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，由，則時，，時，；.21、（1）；（2）【解析】（1）由及兩點(diǎn)間距離公式可建立等式，消去b，即可求解出，主要兩個根的的要舍去;（2）聯(lián)立直線和橢圓的方程，利用弦長公式求得，再利用幾何關(guān)系求得，代入，可解得c，從而得到橢圓的方程.【詳解】（1）設(shè)，，因為，所以，整理得，得（舍），或，所以；（2）由（1）知，，可得橢圓方程為，直線的方程為，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組為，消去y并整理，得，解得：，，得方程組的解和,不妨設(shè)：，，所以，于是，圓心到直線的距離為，