專(zhuān)題4.8線(xiàn)段與角中的八大經(jīng)典模型【滬科版2024】TOC\o"1-3"\h\u【模型1單中點(diǎn)模型】 1【模型2相鄰雙中點(diǎn)模型】 3【模型3相間雙中點(diǎn)模型】 8【模型4半角模型】 14【模型5角疊角模型】 21【模型6角夾角模型】 26【模型7單角平分線(xiàn)模型】 32【模型8雙角平分線(xiàn)模型】 35模型1：?jiǎn)沃悬c(diǎn)模型條件:C為AB的中點(diǎn)．結(jié)論:AC=BC=12AB，AB=2AC=2BC條件:C為AB上一點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)．結(jié)論:AD=12(AC+AB)，【模型1單中點(diǎn)模型】【例1】（23-24七年級(jí)·安徽合肥·階段練習(xí)）如圖，已知B，C兩點(diǎn)把線(xiàn)段AD分成2:5:3三部分，M為AD的中點(diǎn)，BM=6cm，求【答案】4【分析】本題主要考查了線(xiàn)段的和差，中點(diǎn)的定義，先根據(jù)題意設(shè)可設(shè)AB=2x?cm，BC=5x?cm，CD=3x?【詳解】解：由B，C兩點(diǎn)把線(xiàn)段AD分成2:5:3三部分，可設(shè)AB=2x?cm，所以AD=因?yàn)镸是AD的中點(diǎn)，所以AM=所以BM=因?yàn)锽M=6所以3x解得x=2所以CM=【變式1-1】（23-24七年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，如果CD=4cm，AB=13

【答案】5【分析】本題考查了中點(diǎn)的性質(zhì)及線(xiàn)段的和差，根據(jù)圖形得出線(xiàn)段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)線(xiàn)段中點(diǎn)的性質(zhì)，可求出AC，再根據(jù)線(xiàn)段的和差即可得出答案．【詳解】解：∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，CD=4∴AC=2∵AB=13∴BC=【變式1-2】（2024七年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，點(diǎn)B，D都在線(xiàn)段AC上，AB=18，點(diǎn)D是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，BD=3BC【答案】21【分析】本題考查了與線(xiàn)段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算、線(xiàn)段的和差，先求出BD=9，再結(jié)合BD=3BC【詳解】解：因?yàn)锳B=18，點(diǎn)D是線(xiàn)段AB所以BD=18÷2=9因?yàn)锽D=3所以BC=9÷3=3所以AC=【變式1-3】（2024七年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，AB=10，點(diǎn)C是線(xiàn)段AB延長(zhǎng)線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，在線(xiàn)段BC上取一點(diǎn)N使得BN=2CN，點(diǎn)M為線(xiàn)段AC

【答案】是定值，5【分析】此題考查了線(xiàn)段的和差運(yùn)算，線(xiàn)段的中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線(xiàn)段的和差關(guān)系．根據(jù)題意設(shè)CN=x，則BN=2CN=2x，由點(diǎn)M為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，表示出【詳解】解：是定值．理由：設(shè)CN=x，則所以BC=3x，所以因?yàn)辄c(diǎn)M為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)．所以MC=所以MN=所以MN-模型2：相鄰雙中點(diǎn)模型條件：C為AB上一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點(diǎn)．結(jié)論：EF=12條件：C為AB上一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為AB,BC的中點(diǎn)．結(jié)論：EF=12【模型2相鄰雙中點(diǎn)模型】【例2】（23-24七年級(jí)·廣東廣州·期末）如圖，點(diǎn)C是線(xiàn)段AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)．(1)如果AB=12cm，AM=5(2)如果MN=8cm，求【答案】(1)2(2)16【分析】本題考查了線(xiàn)段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算．（1）先求出AC，再求出BC，根據(jù)線(xiàn)段的中點(diǎn)求出BC的長(zhǎng)即可；（2）求出BC=2CN，AC=2【詳解】（1）解：∵點(diǎn)M是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，∴AC=2∵AM=5∴AC=10∵AB=12∴BC=（2）解：∵點(diǎn)M是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，∴BC=2NC，∵M(jìn)N=∴AB=【變式2-1】（24-25七年級(jí)·河北衡水·期中）如圖，已知數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別為-2和8(1)若點(diǎn)A，B分別以每秒1和3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左移動(dòng)，直接寫(xiě)出移動(dòng)多少秒時(shí)，A，B兩點(diǎn)的距離恰好為8？(2)若P為射線(xiàn)BA上的一點(diǎn)（點(diǎn)P不與A，B兩點(diǎn)重合），M為PA的中點(diǎn)，N為PB的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在射線(xiàn)BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度是否發(fā)生改變？若不變，請(qǐng)你畫(huà)出圖形，并求出線(xiàn)段MN的長(zhǎng)；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)在第（2）問(wèn)的條件下，點(diǎn)P所表示的數(shù)是多少時(shí)，PN=3【答案】(1)當(dāng)移動(dòng)1秒或9秒時(shí)，A，B兩點(diǎn)的距離恰好為8(2)線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度不發(fā)生變化，其值為5，理由見(jiàn)詳解(3)點(diǎn)P所表示的數(shù)為12或-7【分析】（1）設(shè)A、B兩點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為ts，然后根據(jù)題意可分當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A（2）此題可分兩種情況討論，即分MN=MP+NP和（3）分當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)和點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)運(yùn)動(dòng)兩種情況求得AP的長(zhǎng)，從而求得點(diǎn)P所表示的數(shù)．【詳解】（1）解：設(shè)A、B兩點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為ts，由題意可知ts后點(diǎn)A、B在數(shù)軸上所表示的數(shù)分別為當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，則有8-3t--當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，則有-2-t-綜上所述：當(dāng)移動(dòng)1秒或9秒時(shí)，A，B兩點(diǎn)的距離恰好為8；（2）解：線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度不發(fā)生變化，其值為5．∵M(jìn)為PA的中點(diǎn)，N為PB的中點(diǎn)，∴MP=分下面兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖）．MN====5；②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖）．MN====5．綜上所述，線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度不發(fā)生變化，其值為5．（3）解：當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)PN=3∵M(jìn)P=∴AP=又∵AP解得：AP=14AB=當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)PN=3同理得：AP=∵BP解得：AP=此時(shí)點(diǎn)P所表示的數(shù)為-7【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用及數(shù)軸的知識(shí)，由于引進(jìn)了數(shù)軸，我們把數(shù)和點(diǎn)對(duì)應(yīng)起來(lái)，也就是把“數(shù)”和“形”結(jié)合起來(lái)，二者互相補(bǔ)充，相輔相成，把很多復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，在學(xué)習(xí)中要注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．【變式2-2】（2024七年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）（1）如圖，已知AB=12cm，點(diǎn)C為線(xiàn)段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，D、E分別是AC、①若點(diǎn)C恰為AB的中點(diǎn)，則DE=②若AC=4cm，則（2）如圖，點(diǎn)C為線(xiàn)段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)；若AB=a，則【答案】（1）①6；②6；（2）a【分析】本題考查了兩點(diǎn)間的距離、線(xiàn)段的和差、線(xiàn)段的中點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)，掌握同一條直線(xiàn)上的兩條線(xiàn)段的中點(diǎn)間的距離等于這兩條線(xiàn)段和的一半成為解題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)線(xiàn)段的中點(diǎn)性質(zhì)可得AC=CB=12AB=6、CD=12AC=3、（2）根據(jù)線(xiàn)段的中點(diǎn)性質(zhì)可得AD=【詳解】解：（1）①∵AB=12cm，點(diǎn)C恰為∴AC=∵D、E分別是AC、BC的中點(diǎn),∴CD=12∴DE=3+3=6(②∵AB=12cm，∴CB=12-4=8∵D、E分別是AC、BC的中點(diǎn),∴CD=12∴DE=2+4=6(故答案為：6，6；（2）∵點(diǎn)D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴AD=∴DE=故答案為：12【變式2-3】（23-24七年級(jí)·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知點(diǎn)B在直線(xiàn)AP上，點(diǎn)M，N分別是線(xiàn)段AB,(1)如圖①，點(diǎn)B在線(xiàn)段AP上，AP=15，求MN(2)如圖②，點(diǎn)B在線(xiàn)段AP的延長(zhǎng)線(xiàn)上，AM-PN=3.5，點(diǎn)C為直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，CA【答案】(1)MN(2)3或10【分析】本題考查與線(xiàn)段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算：（1）根據(jù)中點(diǎn)的定義，推出MN=（2）根據(jù)中點(diǎn)的定義和線(xiàn)段的和差關(guān)系求出AP的長(zhǎng)，分點(diǎn)C在點(diǎn)P的右側(cè)，點(diǎn)C在點(diǎn)A，P之間，點(diǎn)C在點(diǎn)A的左側(cè)，三種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：由題意，得BM=12所以MN=因?yàn)锳P=15所以MN=（2）由題意，得AM=12所以AM-所以AP=7當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)P的右側(cè)時(shí)，CA+CP=(CP+當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A，P之間時(shí)，CA+當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，CA+CP=CA+(所以CP=綜上所述，CP的長(zhǎng)為3或10．模型3：相間雙中點(diǎn)模型條件:E，F(xiàn)分別為AC，DB的中點(diǎn)．結(jié)論:EF=12(AB+CD)=12(a+b【模型3相間雙中點(diǎn)模型】【例3】（23-24七年級(jí)·四川自貢·期末）如圖，A，B，C，D是直線(xiàn)l上的四個(gè)點(diǎn)，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)．(1)如果MB=2cm，NC=1.8cm，BC=5cm(2)如果MN=10cm，BC=6cm，則AD(3)如果MN=a，BC=【答案】(1)12.6；(2)14；(3)2a【分析】（1）根據(jù)線(xiàn)段的和，可得MB+CN的長(zhǎng)，根據(jù)線(xiàn)段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得AB與MB的關(guān)系，CD與（2）先根據(jù)線(xiàn)段的和與差，計(jì)算出BM+CN的長(zhǎng)，再根據(jù)線(xiàn)段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得AB與MB的關(guān)系，CD與（3）根據(jù)（2）的解題過(guò)程，即可解答；此題主要考查了線(xiàn)段中點(diǎn)的定義，線(xiàn)段的計(jì)算，理解線(xiàn)段中點(diǎn)的定義，熟練掌握線(xiàn)段的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵M(jìn)B=2cm，∴MB+∵M(jìn)，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴AB=2BM，∴AB+∴AD=故答案為：12.6；（2）解：∵M(jìn)N=10cm，∴BM+∵M(jìn)，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴AB=2BM，∴AB+∴AD=故答案為：14；（3）解：∵M(jìn)N=a，∴BM+∵M(jìn)，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴AB=2BM，∴AB+∴AB+∵AD=∴AD=2【變式3-1】（24-25七年級(jí)·廣東江門(mén)·期中）已知線(xiàn)段AB=6，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)C，使BC=AB，反向延長(zhǎng)線(xiàn)段AB至(1)按題意畫(huà)出圖形，并求出CD的長(zhǎng)；(2)若M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng)．【答案】(1)18(2)12【分析】本題考查了線(xiàn)段的和與差以及線(xiàn)段中點(diǎn)的意義，結(jié)合圖形解題會(huì)變得形象直觀．（1）根據(jù)題意畫(huà)出圖形．可知AD=AB=（2）根據(jù)線(xiàn)段中點(diǎn)的意義，根據(jù)線(xiàn)段的和與差進(jìn)一步解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：畫(huà)圖如下：∵BC=∴CD==3×6=18；（2）如圖：∵M(jìn)、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，∴AM=12∴MN=【變式3-2】（23-24七年級(jí)·湖北武漢·階段練習(xí)）已知，點(diǎn)D為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)．

(1)如圖1，若AB=4cm，點(diǎn)C為線(xiàn)段AD的中點(diǎn)，則BC=(2)如圖2，若點(diǎn)E在線(xiàn)段AB上，且EB=5DE，求(3)若AB=a，點(diǎn)E在直線(xiàn)AB上，且BE=b(a>b)【答案】(1)3(2)35或(3)FD=1【分析】本題主要考查了線(xiàn)段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握中點(diǎn)的定義，數(shù)形結(jié)合．（1）根據(jù)線(xiàn)段中點(diǎn)定義，數(shù)形結(jié)合，進(jìn)行計(jì)算即可；（2）分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D的左側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D的右側(cè)時(shí)，分別畫(huà)出圖形，求出結(jié)果即可；（3）分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AB上時(shí)，分別畫(huà)出圖形，求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)D為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，AB=4∴AD=∵點(diǎn)C為線(xiàn)段AD的中點(diǎn)，∴AC=∴BC=故答案為：3．（2）解：∵點(diǎn)D為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，∴AD=設(shè)DE=x當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D的左側(cè)時(shí)，如圖所示：

∴AD=∴AE=∴AEEB當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D的右側(cè)時(shí)，如圖所示：

∴AD=∴AE=∴AEEB綜上分析可知，AEEB=3（3）解：∵點(diǎn)D為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，AB=∴AD=∵F為BE的中點(diǎn)，BE=∴BF=當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖所示：

此時(shí)FD=當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AB上時(shí)，如圖所示：

此時(shí)FD=綜上分析可知，F(xiàn)D=12【變式3-3】（2024七年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖①，已知線(xiàn)段AB=m，CD=n，線(xiàn)段CD在射線(xiàn)AB上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)C(1)若BC=4，求AD(2)當(dāng)CD在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖②所示，若點(diǎn)M,N分別是線(xiàn)段AD,(3)當(dāng)CD運(yùn)動(dòng)到某一時(shí)刻，使得點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，若點(diǎn)P是線(xiàn)段AB延長(zhǎng)線(xiàn)上任意一點(diǎn)，請(qǐng)判斷PA+【答案】(1)17或25(2)7(3)是，見(jiàn)解析【分析】此題主要考查了線(xiàn)段中點(diǎn)的定義，線(xiàn)段的計(jì)算，理解線(xiàn)段中點(diǎn)的定義，熟練掌握線(xiàn)段的計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出m=14，n=7，則（1）若BC=4，則有以下兩種情況，①當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，則BD=CD-BC=3，根據(jù)AD=AB+BD可得AD的長(zhǎng)；（2）設(shè)BC=a，則AD=AB+BC+CD=21+a，根據(jù)線(xiàn)段中點(diǎn)定義得，AM（3）設(shè)PB=t，根據(jù)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)得點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，再根據(jù)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形得PA=14+【詳解】（1）解：∵m-14≥0，7-∴m解得：m=14∴AB若BC=4①當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，如圖1①所示：∵AB∴BD∴AD②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，如圖1②所示：∵AB∴AD綜上所述：線(xiàn)段AD的長(zhǎng)為17或25．（2）解：設(shè)BC=a，如圖∴AD∵點(diǎn)M,N分別是線(xiàn)段∴AM=12∴BM=∴MN=（3）解：PA+設(shè)PB=∵點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)，∴點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，又∵點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，如圖3所示：∴PA=∴PA+∴PA+∴PA+模型4：半角模型條件:∠AOC=α,∠BOC=β(α>β),∠EOF=α+結(jié)論:∠AOE+∠BOF=α+β2,∠AOE-【模型4半角模型】【例4】（23-24七年級(jí)·貴州六盤(pán)水·期末）如圖①所示，∠AOB=120°，將直角三角板的直角頂點(diǎn)放置在O點(diǎn)，OC平分(1)若∠COM=35°，則∠AOM=______(2)如果∠COM=α，∠BON=(3)如圖②當(dāng)直角三角板繞著O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，使得OM在∠AOC的內(nèi)部，ON在∠BOC的外部，若∠COM=α，∠BON=β，α，【答案】(1)20°；10°(2)2α(3)不存在，此時(shí)α，β滿(mǎn)足2α【分析】本題主要考查了結(jié)合圖形中角的計(jì)算，角平分線(xiàn)的定義，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握角平分線(xiàn)定義．（1）先根據(jù)∠COM=35°，求出∠CON（2）根據(jù)∠MON=90°，∠COM=α，得出∠（3）根據(jù)∠MON=90°，∠COM=α，得出∠CON=90°-【詳解】（1）解：∵∠COM∴∠CON∵OC平分∠AON∴∠AOC∴∠AOM=55°-35°=20°，∴∠BON（2）解：2α∵∠MON=90°，∴∠CON又∵OC平分∠AON∴∠AON∵∠AOB=∠AON∴120°=180°-2α即2α（3）解：不存在，此時(shí)α，β滿(mǎn)足2α∵∠MON=90°，∴∠CON又∵OC平分∠AON∴∠AON∵∠BON=β∠AON即180°-2α故2α【變式4-1】（23-24七年級(jí)·福建龍巖·期末）如圖，在平面內(nèi)的五條射線(xiàn)OA、OB、OC、OD、OE中，射線(xiàn)(1)當(dāng)射線(xiàn)OC、OD都在∠AOB內(nèi)部，且θ①若∠DOE=20°，則∠BOC②若射線(xiàn)OD平分∠AOE，則∠DOE=(2)當(dāng)射線(xiàn)OC、OD分別在∠AOB內(nèi)、外部時(shí)，如圖2(3)當(dāng)射線(xiàn)OC、OD都在∠AOB外部時(shí)，如圖3，若∠AOD=∠AOB【答案】(1)①40°；②24°(2)見(jiàn)解析(3)3【分析】本題考查了角平分線(xiàn)的定義，角的和差計(jì)算：（1）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得∠AOC=2∠2=2∠3+∠4，①根據(jù)題意可得∠2=∠COD-∠DOE=52°，從而得到∠AOC=2∠2=104°，即可求解；②（2）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得∠AOC=2∠2=2∠3，從而得到∠DOE（3）根據(jù)∠AOB∠AOD=∠AOB【詳解】（1）解：∵射線(xiàn)OE平分∠∴∠AOC①∵θ=72°，∠∴∠AOB∴∠2=∠COD∴∠AOC∴∠BOC故答案為：40°②∵射線(xiàn)OD平分∠AOE∴∠AOE∴∠COD∴∠DOE故答案為：24°（2）解：∵射線(xiàn)OE平分∠AOC∴∠AOC∴∠DOE∴∠BOC∴∠BOC（3）解：∵∠AOB∴∠AOD∴∠AOC∴∠BOC【變式4-2】（23-24七年級(jí)·安徽池州·期末）（1）如圖1，已知∠AOB內(nèi)部有三條射線(xiàn)，ON平分∠BOC，OM平分∠AOC，若∠（2）若將（1）中的條件“ON平分∠BOC，OM平分∠AOC”改為“∠NOB=14∠COB（3）如圖2，若ON、OC在∠AOB的外部時(shí)，ON平分∠BOC，OM平分∠AOC，當(dāng)∠AOB=α，【答案】（1）30°；（2）14α；（3）沒(méi)有關(guān)系，【分析】（1）根據(jù)角平分線(xiàn)性質(zhì)可求∠MON，根據(jù)∠（2）由題意可得∠MON=∠MOC（3）根據(jù)角平分線(xiàn)性質(zhì)可得∠MOC=12∠【詳解】（1）∵ON平分∠BOC，OM平分∠∴∠COM=1∴∠MON∴∠AOM（2）∵∠AOB=α，∠∴∠MON∴∠AOM（3）與β的大小無(wú)關(guān)．理由：∵∠AOB=α∴∠AOC∵OM是∠AOC的平分線(xiàn)，ON是∠∴∴∠MOC=1∴∠MON即∠MON∠MON與β【點(diǎn)睛】此題考查了角的計(jì)算，以及角平分線(xiàn)，解決本題的關(guān)鍵是利用角的和與差．【變式4-3】（23-24七年級(jí)·北京西城·期末）已知：∠AOB=120°，射線(xiàn)OC是平面內(nèi)一條動(dòng)射線(xiàn)，射線(xiàn)OC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到射線(xiàn)OD，OE平分

圖1圖2(1)如圖1，當(dāng)射線(xiàn)OC在∠AOB外部時(shí)，若∠COE=70°(2)如圖2，當(dāng)射線(xiàn)OC、OD都在∠AOB內(nèi)部時(shí)，若∠COE=α，則∠(3)若OF平分∠BOC，直接寫(xiě)出∠EOF度數(shù)【答案】(1)80°(2)2(3)15°或165°【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、角平分線(xiàn)的性質(zhì)和角度和差的關(guān)系，（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義以即可計(jì)算出結(jié)果．（2）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義和角的和差關(guān)系計(jì)算即可．（3）分類(lèi)討論：當(dāng)OC、OD位于∠AOB內(nèi)部；當(dāng)OC或OD位于∠AOB內(nèi)部；當(dāng)OC和【詳解】（1）解：∵射線(xiàn)OC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到射線(xiàn)OD∴∠∴∠EOD∵OE平分∠AOD∴∠AOE∴∠BOD（2）∵∠∴∠DOE∵OE平分∠AOD∴∠AOE∴∠（3）①當(dāng)OC、OD位于

設(shè)∠AOC∵射線(xiàn)OC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到射線(xiàn)OD，∴∠AOD=∠AOC∵OE平分∠AOD，OF平分∠∴∠EOD=1則∠EOF②當(dāng)OC或OD位于∠AOB

設(shè)∠AOC=β，則∠∵OE平分∠AOD，OF平分∠∴∠EOD=1則∠EOF

設(shè)∠AOC=γ，則∠∵OE平分∠AOD，OF平分∠∴∠EOD=1則∠EOF③當(dāng)OC和OD位于∠AOB

設(shè)∠AOC=α，則∠∵OE平分∠AOD，OF平分∠∴∠EOD=1則∠EOF故∠EOF度數(shù)15°或165°模型5：角疊角模型條件:∠AOC=α，∠BOD=β.結(jié)論:∠AOB+∠COD=α+β.【模型5角疊角模型】【例5】（23-24七年級(jí)·浙江·課后作業(yè)）已知∠ABC=∠DBE，射線(xiàn)BD在∠ABC的內(nèi)部，按要求完成下列各小題．

嘗試探究：如圖1，已知∠ABC=90°，當(dāng)BD是∠ABC的平分線(xiàn)時(shí)，∠ABE+∠DBC的度數(shù)為_(kāi)_____；初步應(yīng)用：如圖2，已知∠ABC=90°，若BD不是∠ABC的平分線(xiàn)，求∠ABE+∠DBC的度數(shù)；拓展提升：如圖3，若∠ABC=45°時(shí)，試判斷∠ABE與∠DBC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】180°;180°;90°.【分析】（1）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義和垂直定義得∠CBE=45°，ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC；（2）由∠ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC=∠ABC+∠DBE可得；（3）由∠DBE=∠ABC=45°，得∠ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC=∠ABC+∠DBE.【詳解】嘗試探究：∵∠ABC=90°，BD平分∠ABC，所以∠DBC=45°，因?yàn)椤螪BE=∠ABC=90°，∠DBC+∠CBE=∠DBE所以∠CBE=45°．所以∠ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC=90°+45°+45°=180°．初步應(yīng)用：因?yàn)椤螪BE=∠ABC=90°，

所以∠ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC=∠ABC+∠DBE=180°．答：∠ABE+∠DBC的度數(shù)為180°．拓展提升：∠ABE+∠DBC=90°．理由：

因?yàn)椤螪BE=∠ABC=45°，所以∠ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC=∠ABC+∠DBE=90°．【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：角平分線(xiàn)定義.理解角的關(guān)系是關(guān)鍵.【變式5-1】（23-24七年級(jí)·福建廈門(mén)·期末）如圖，已知∠AOB與∠(1)若∠AOB=120°，求(2)若OE為∠AOB的角平分線(xiàn)，射線(xiàn)OC在∠BOE的內(nèi)部，射線(xiàn)OD在∠AOE的內(nèi)部，且滿(mǎn)足∠COD=【答案】(1)∠BOC(2)2∠DOE【分析】（1）根據(jù)∠AOB與∠（2）設(shè)∠AOD=α，∠BOC=β，求得【詳解】（1）解：∵∠AOB與∠BOC互補(bǔ)，∴∠BOC（2）解：2∠DOE設(shè)∠AOD=α∴∠COD=2∠AOD∵OE為∠AOB∴∠AOE∴∠DOE=∠AOE∠BOD∴2∠DOE【點(diǎn)睛】本題考查角平分線(xiàn)的定義，補(bǔ)角的意義，掌握角平分線(xiàn)的定義以及補(bǔ)角的定義是正確解答的前提．【變式5-2】（23-24七年級(jí)·廣西崇左·期末）如圖，一副三角尺AOB與COD的直角頂點(diǎn)O重合在一起．(1)∠AOD+∠(2)試判斷∠AOC與∠(3)若∠AOD=4∠BOC，OE為∠BOC的平分線(xiàn)，求∠AOD【答案】(1)180°(2)∠AOC(3)∠AOD=144°；∠【分析】（1）根據(jù)題意可得∠AOB=∠COD（2）根據(jù)∠AOB=∠COD（3）由（1）得：∠AOD+∠BOC=180°，再由∠AOD=4∠BOC，可得∠BOC=36°，可求出∠AOD的度數(shù)，再由【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：∠AOB∴∠AOD故答案為：180°（2）解：∠AOC∵∠AOB∴∠AOB即∠AOC（3）解：由（1）得：∠AOD∵∠AOD∴4∠BOC解得：∠BOC∴∠AOD∵OE為∠BOC∴∠COE∴∠DOE=∠COD【點(diǎn)睛】本題考查余角與補(bǔ)角以及角平分線(xiàn)，根據(jù)題意得到∠AOD【變式5-3】（23-24七年級(jí)·湖北武漢·期末）已知∠ABC＝∠DBE，射線(xiàn)BD在∠ABC的內(nèi)部．（1）如圖1，已知∠ABC═90°，當(dāng)BD是∠ABC的平分線(xiàn)時(shí)，求∠ABE的度數(shù)．（2）如圖2，已知∠ABE與∠CBE互補(bǔ)，∠DBC：∠CBE＝1：3，求∠ABE的度數(shù)；（3）如圖3，若∠ABC＝45°時(shí)，直接寫(xiě)出∠ABE與∠DBC之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）∠ABE＝135°；（2）∠ABE＝126°；（3）∠ABE+∠DBC＝90°．理由見(jiàn)解析.【分析】（1）利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)，先求出∠DBC、∠CBE的度數(shù)，再計(jì)算∠ABE的度數(shù)；（2）由已知條件得到∠ABD=∠CBE，設(shè)∠DBC=α，∠CBE=3α，得到∠ABD=3α，∠ABE=3α+α+3α=7α，根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論；（3）把∠ABE+∠DBC轉(zhuǎn)化為∠ABC+∠DBE，代入計(jì)算得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，∴∠DBC＝45°，∵∠DBE＝∠ABC＝90°，∠DBC+∠CBE＝∠DBE，∴∠CBE＝45°．∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°+45°＝135°．故答案為135°．（2）∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABD＝∠CBE，∵∠DBC：∠CBE＝1：3，∴設(shè)∠DBC＝α，∠CBE＝3α，∴∠ABD＝3α，∠ABE＝3α+α+3α＝7α，∵∠ABE與∠CBE互補(bǔ)，∴7α+3α＝180°，∴α＝18°，∴∠ABE＝126°；（3）∠ABE+∠DBC＝90°．理由：∵∠DBE＝∠ABC＝45°，∴∠ABE+∠DBC＝∠ABC+∠CBE+∠DBC＝∠ABC+∠DBE＝90°．【點(diǎn)睛】本題考查角的和差關(guān)系及角的相關(guān)計(jì)算．通過(guò)觀察圖形，把∠ABE+∠DBC轉(zhuǎn)化為∠ABC+∠DBE是解決本題的關(guān)鍵．模型6：角夾角模型條件:∠AOC=n∠EOC，∠BOD=n∠DOF.結(jié)論:∠EOF=1n[∠AOB+(n-1)∠【模型6角夾角模型】【例6】（23-24七年級(jí)·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）【問(wèn)題背景】新定義：如果∠MON的內(nèi)部有一條射線(xiàn)OP將∠MON分成的兩個(gè)角，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的n倍，那么我們稱(chēng)射線(xiàn)OP為∠MON的n倍分線(xiàn)，例如，如圖1，∠MOP=4∠NOP，則OP為∠MON【問(wèn)題再現(xiàn)】（1）若∠AOB=60°，OP為∠AOB的二倍分線(xiàn)，且∠【問(wèn)題推廣】（2）如圖2，點(diǎn)A，O，B在同一條直線(xiàn)上，OC為直線(xiàn)AB上方的一條射線(xiàn)．若OP，OQ分別為∠AOC和∠BOC的三倍分線(xiàn)（∠COP①若∠AOC=120°，求②若∠AOC=α【拓展提升】（3）如圖3，點(diǎn)A，O，B在同一條直線(xiàn)上，OC為直線(xiàn)AB上方的一條射線(xiàn)．已知∠MON=90°，且OM，ON所在射線(xiàn)恰好分別為∠AOC和∠BOC的三倍分線(xiàn)（【答案】（1）40°；（2）①135°；②不變，見(jiàn)解析；（3）90°【分析】本題考查了新定義，幾何圖形中角度的計(jì)算．（1）根據(jù)題意可得：∠BOP=2∠AOP（2）①由題意可得：∠COP=3∠AOP，∠COQ=3∠BOQ，根據(jù)②不變，根據(jù)題意得出∠COP=3（3）設(shè)∠MOC=α，則∠NOC=90°-α，根據(jù)題意得出∠COM=3∠AOM【詳解】解：（1）因?yàn)椤螦OB=60°，OP為∠AOB所以∠BOP=2∠AOP所以∠AOP所以∠BOP（2）①因?yàn)镺P，OQ分別為∠AOC和∠BOC的三倍分線(xiàn)（∠COP所以∠COP=3∠AOP因?yàn)椤螦OC所以∠BOC所以∠AOP=30°，所以∠COP=90°，所以∠POQ②不變．理由如下：因?yàn)镺P，OQ分別為∠AOC和∠BOC的三倍分線(xiàn)，∠COP所以∠COP=3所以∠=3（3）設(shè)∠MOC因?yàn)椤螹ON所以∠NOC因?yàn)镺M，ON所在射線(xiàn)恰好分別為∠AOC和∠BOC的三倍分線(xiàn)，所以∠COM=3∠AOM因?yàn)椤螦OM所以13所以α=67.5°所以∠MOC=67.5°，所以∠AOC【變式6-1】（23-24七年級(jí)·浙江杭州·期末）如圖，OC平分∠AOB，OD、OE三等分∠AOB，已知【答案】90°【分析】本題考查了角平分線(xiàn)及三等分線(xiàn)的定義，角的和差，由角平分線(xiàn)及三等分線(xiàn)的定義可得∠BOC=12∠【詳解】解：OC平分∠AOB∴∠BOC又∵OD、OE三等分∴∠BOE∴∠COE∴∠AOB【變式6-2】（23-24七年級(jí)·河北廊坊·期末）如圖，點(diǎn)A，O，B在一條直線(xiàn)上，∠AOC=3∠COD，OE(1)若∠COD=10°，求(2)若∠AOC=α，求∠【答案】(1)60°(2)90°-【分析】（1）先利用∠AOC與∠COD的倍數(shù)關(guān)系求出（2）先計(jì)算出∠COD，∠BOD的度數(shù)，然后利用角平分線(xiàn)的定義求出【詳解】（1）解：∵∠AOC=3∠COD∴∠AOC∴∠AOC的余角的度數(shù)為（2）解：∵∠AOC=α∴∠COD=1又OE平分∠BOD∴∠DOE∴∠COE【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)的有關(guān)計(jì)算，余角的定義等知識(shí)，正確識(shí)圖，找準(zhǔn)角的有關(guān)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（23-24七年級(jí)·山東濱州·期末）已知∠AOB=120°，在∠AOB(1)如圖，在∠BOC內(nèi)部作射線(xiàn)ON，使得∠BON=3∠CON；作射線(xiàn)OM平分(2)如果過(guò)點(diǎn)O作射線(xiàn)OD，使得2∠AOD=3∠BOD，則∠【答案】(1)∠(2)32°或176°【分析】（1）根據(jù)題意可求出∠AOC=13∠AOB=40°，∠BOC=23（2）分類(lèi)討論：當(dāng)OD在∠AOB內(nèi)部時(shí)，設(shè)∠BOD=x°，則∠AOD=32x°，由∠BOD+∠AOD=∠AOB=120°，可列出關(guān)于x的方程，解出x的值，即得出∠BOD的大小，最后由∠COD=∠BOC【詳解】（1）解：∵∠AOB=∠AOC∴∠AOC∵∠BOC=∠BON∴∠CON∵OM平分∠AOC∴∠COM∴∠MON（2）分類(lèi)討論：①如圖，當(dāng)OD在∠AOB設(shè)∠BOD∵2∠AOD∴∠AOD∵∠BOD∴x°+解得：x=48∴∠BOD∵∠BOC∴∠COD②如圖，當(dāng)OD在∠AOB設(shè)∠BOD=y∵∠BOD∴y°+解得：y=96∴∠BOD∴∠COD故答案為：32°或176°．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線(xiàn)的有關(guān)計(jì)算，角的n等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，一元一次方程的應(yīng)用．利用數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論的思想是解題關(guān)鍵．模型7：?jiǎn)谓瞧椒志€(xiàn)模型條件:OM平分∠AOB.結(jié)論:∠AOM=∠BOM=12條件:射線(xiàn)OC在∠AOB內(nèi)，OM平分∠BOC.結(jié)論:∠AOB+∠AOC=2∠AOM.【模型7單角平分線(xiàn)模型】【例7】（2024七年級(jí)·黑龍江·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，點(diǎn)O是直線(xiàn)AB上的一點(diǎn)，∠AOE=∠FOD=90°，(1)試說(shuō)明∠AOF(2)求∠EOC【答案】(1)見(jiàn)解析(2)180°【分析】本題主要考查余角、補(bǔ)角，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，幾何中角度的計(jì)算，理解圖示中角度的關(guān)系，掌握余角、補(bǔ)角的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)同角的余角相等即可求解；（2）根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)，同角的余角相等可得，∠EOF=∠BOC【詳解】（1）解：∵∠AOE∴∠AOF∴∠AOF（2）解：∵OB平分∠COD∴∠BOC∵∠AOE∴∠BOE∴∠BOD∴∠BOD∴∠BOC∵∠EOC∴∠EOC∴∠EOC【變式7-1】（23-24七年級(jí)·陜西西安·期末）如圖，OB，OE是∠AOC內(nèi)的兩條射線(xiàn)，OD平分∠AOB，且∠COE=2∠BOE．若∠【答案】∠【分析】本題主要考查了角平分線(xiàn)的定義，幾何圖形中的角度計(jì)算．先根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得出∠AOB=2∠AOD=30°，∠BOD=∠AOD=15°，再根據(jù)∠AOC【詳解】解：∵OD平分∠AOB，∠∴∠AOB=2∠AOD∵∠AOC∴∠BOC∵∠COE又∵∠BOE∴3∠BOE∴∠BOE∴∠DOE【變式7-2】（23-24七年級(jí)·甘肅武威·開(kāi)學(xué)考試）如圖，∠ABC=60°，∠ABD=145°，BE平分【答案】115°【分析】本題主要考查了角平分線(xiàn)的定義，幾何圖形中角的計(jì)算，先根據(jù)角平分線(xiàn)定義得出∠ABE【詳解】解：∵BE平分∠ABC，∠∴∠ABE∴∠DBE=∠ABD-∠ABE=145°-30°=115°．【變式7-3】（23-24七年級(jí)·吉林·期末）已知∠AOB=∠COD=90°，(1)如圖，若∠AOC=30°，則∠DOE的度數(shù)是(2)將（1）中的條件“∠AOC=30°”改為“∠AOC是銳角”，猜想∠【答案】(1)60(2)∠DOE【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，角平分線(xiàn)的定義：（1）先根據(jù)角之間的關(guān)系得到∠BOC=60°，再由角平分線(xiàn)的定義得到∠COE（2）仿照（1）求解即可．【詳解】（1）解：∵∠AOC=30°，∴∠BOC∵OE平分∠BOC∴∠COE∵∠COD∴∠DOE故答案為：60；（2）解：∠DOE∵∠AOB∴∠BOC∵OE平分∠BOC∴∠COE∵∠COD∴∠DOE模型8：雙角平分線(xiàn)模型條件:射線(xiàn)OC在∠AOB內(nèi)，OM，ON分別平分∠BOC和∠AOC.結(jié)論:∠MON=12條件:射線(xiàn)OC在∠AOB外，OM，ON分別平分∠BOC和∠AOC結(jié)論:∠MON=12【模型8雙角平分線(xiàn)模型】【例8】（2024七年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知：∠BOC在∠AOB的外部，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，OD平分∠AOC，∠【答案】40°或20°【分析】本題主要考查角度的和差計(jì)算，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，理解題意作圖分析，掌握角平分線(xiàn)的性質(zhì)計(jì)算角度的方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意作圖，分類(lèi)討論：當(dāng)∠BOD在∠AOB外部時(shí)，可得∠AOB=2∠AOE=60°，則∠AOD=∠COD