初中數(shù)學(xué)：完全平方公式的五種壓軸題型精講完全平方公式是初中代數(shù)的核心工具，其基本形式為(a\pmb)^2=a^2\pm2ab+b^2。壓軸題往往側(cè)重公式的變形應(yīng)用、非負(fù)性性質(zhì)及跨知識(shí)點(diǎn)結(jié)合，以下五種題型需重點(diǎn)突破。一、公式變形求值題——“知二求一”與整體代入核心考點(diǎn)利用完全平方公式的變形公式：a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(a-b)^2+2ab(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)(a+b)^2-(a-b)^2=4ab通過(guò)“整體代入”規(guī)避求單個(gè)字母值的復(fù)雜計(jì)算。例題已知x+y=5，xy=3，求下列代數(shù)式的值：（1）x^2+y^2；（2）(x-y)^2；（3）x^4+y^4。解析（1）由變形公式直接代入：x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=5^2-2??3=25-6=19。（2）利用平方差與完全平方的聯(lián)系：(x-y)^2=(x+y)^2-4xy=5^2-4??3=25-12=13。（3）多次應(yīng)用公式變形，逐步升級(jí)次數(shù)：先求x^2+y^2=19，則x^4+y^4=(x^2)^2+(y^2)^2=(x^2+y^2)^2-2(xy)^2=19^2-2??3^2=361-18=343。方法總結(jié)當(dāng)已知“和與積”或“差與積”時(shí)，優(yōu)先用變形公式整體代入，避免求解一元二次方程；高次代數(shù)式需從低次逐步推導(dǎo)。二、非負(fù)性綜合題——絕對(duì)值、平方與算術(shù)平方根的結(jié)合核心考點(diǎn)完全平方數(shù)的非負(fù)性：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，a^2\geq0。此類題常與|a|\geq0、\sqrt{a}\geq0（a\geq0）結(jié)合，利用“幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則每個(gè)非負(fù)數(shù)均為0”求解。例題已知(x+2y-3)^2+\sqrt{2x-y+4}=0，求x^2-xy+y^2的值。解析第一步：利用非負(fù)性列方程組因?yàn)橥耆椒胶退阈g(shù)平方根均為非負(fù)數(shù)，且和為0，故：\begin{cases}x+2y-3=0\\2x-y+4=0\end{cases}第二步：解二元一次方程組由第二個(gè)方程得y=2x+4，代入第一個(gè)方程：x+2(2x+4)-3=0，即x+4x+8-3=0，解得x=-1。代入y=2x+4，得y=2??(-1)+4=2。第三步：代入代數(shù)式計(jì)算x^2-xy+y^2=(-1)^2-(-1)??2+2^2=1+2+4=7。方法總結(jié)遇“非負(fù)數(shù)和為0”題型，先拆解出每個(gè)非負(fù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的方程，解出字母值后再代入目標(biāo)代數(shù)式，注意計(jì)算過(guò)程中符號(hào)的準(zhǔn)確性。三、含參數(shù)的最值問(wèn)題——利用非負(fù)性求極值核心考點(diǎn)通過(guò)配方將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為“完全平方+常數(shù)”的形式，利用“完全平方的最小值為0”求代數(shù)式的最值（最大值或最小值）。例題（1）求代數(shù)式x^2-4x+5的最小值；（2）已知x為實(shí)數(shù)，求-x^2+6x-8的最大值。解析（1）配方轉(zhuǎn)化為“完全平方+常數(shù)”：x^2-4x+5=(x^2-4x+4)+1=(x-2)^2+1。因?yàn)?x-2)^2\geq0，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，(x-2)^2=0，故最小值為0+1=1。（2）先提取負(fù)號(hào)再配方（注意符號(hào)變化）：-x^2+6x-8=-(x^2-6x+8)=-(x^2-6x+9-1)=-(x-3)^2+1。因?yàn)?x-3)^2\geq0，所以-(x-3)^2\leq0，當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)，-(x-3)^2=0，故最大值為0+1=1。方法總結(jié)配方步驟：①二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，直接加“一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”；②二次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)，先提取系數(shù)（注意符號(hào)），再按系數(shù)為1的情況配方；③由完全平方的非負(fù)性確定最值，“+常數(shù)”時(shí)取最小值，“-完全平方+常數(shù)”時(shí)取最大值。四、幾何圖形結(jié)合題——面積與邊長(zhǎng)的關(guān)系轉(zhuǎn)化核心考點(diǎn)將幾何圖形的邊長(zhǎng)、面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，利用完全平方公式表示或求解，常見(jiàn)于正方形、長(zhǎng)方形的拼接與面積計(jì)算。例題如圖，現(xiàn)有邊長(zhǎng)為a的正方形紙片1張，邊長(zhǎng)為b的正方形紙片1張，長(zhǎng)為a、寬為b的長(zhǎng)方形紙片2張，將它們拼成一個(gè)大正方形（無(wú)重疊、無(wú)空隙）。（1）求大正方形的邊長(zhǎng)；（2）若小正方形紙片的面積分別為16和9，求拼成的大正方形的面積。解析（1）先計(jì)算總面積，再反推大正方形邊長(zhǎng)：總面積=a^2+2ab+b^2，由完全平方公式可知a^2+2ab+b^2=(a+b)^2，故大正方形的邊長(zhǎng)為a+b。（2）由小正方形面積求邊長(zhǎng)：面積為16的正方形邊長(zhǎng)a=4，面積為9的正方形邊長(zhǎng)b=3。大正方形邊長(zhǎng)為a+b=4+3=7，故面積為7^2=49（或直接用公式(a+b)^2=16+2??4??3+9=49）。方法總結(jié)幾何拼接問(wèn)題的關(guān)鍵是“總面積不變”，先通過(guò)圖形面積和列出代數(shù)式，再觀察是否符合完全平方公式結(jié)構(gòu)，進(jìn)而簡(jiǎn)化計(jì)算。五、規(guī)律探究題——完全平方數(shù)的特征與遞推核心考點(diǎn)觀察一組完全平方數(shù)或含完全平方的代數(shù)式，總結(jié)數(shù)字、符號(hào)或結(jié)構(gòu)的變化規(guī)律，并用公式表示規(guī)律。例題觀察下列等式：①1^2=1；②11^2=121；③111^2=12321；④1111^2=1234321；…（1）根據(jù)上述規(guī)律，寫出111111^2的結(jié)果；（2）用含n的式子表示“由n個(gè)1組成的數(shù)的平方”的結(jié)果（1\leqn\leq9）。解析（1）觀察等式特征：左邊是n個(gè)1組成的數(shù)，右邊是從1遞增到n再遞減到1的連續(xù)整數(shù)。故111111^2=12345654321。（2）規(guī)律總結(jié)：由n個(gè)1組成的數(shù)記為\underbrace{11a?|1}_{n??a1}，其平方結(jié)果為\underbrace{1