遼寧省葫蘆島市2024~2025學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)期末考試數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）注意事項(xiàng)答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上?；卮疬x擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合A=\{x|\log_2(x-1)<1\}，B=\{x|x^2-3x-4\leq0\}，則A\capB=（）A.(1,3)B.[1,3)C.(1,4]D.[-1,3)若復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2-4i（i為虛數(shù)單位），則|z|的值為（）A.\sqrt{5}B.2\sqrt{5}C.\sqrt{10}D.2\sqrt{10}已知向量\boldsymbol{a}=(m,2)，\boldsymbol=(1,-1)，若\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{a}-\boldsymbol)，則實(shí)數(shù)m的值為（）A.-1或2B.1或-2C.-1D.2某品牌手機(jī)的電池續(xù)航時(shí)間服從正態(tài)分布N(36,4)（單位：小時(shí)），則續(xù)航時(shí)間在(32,40]內(nèi)的概率約為（）（參考數(shù)據(jù)：P(\mu-\sigma<X\leq\mu+\sigma)\approx0.6827，P(\mu-2\sigma<X\leq\mu+2\sigma)\approx0.9545）A.0.6827B.0.9545C.0.9973D.0.8186函數(shù)f(x)=\sin(\omegax+\varphi)（\omega>0，|\varphi|<\frac{\pi}{2}）的圖象過點(diǎn)(\frac{\pi}{3},0)，且最小正周期為\pi，則f(x)的解析式可能為（）A.f(x)=\sin(2x-\frac{\pi}{3})B.f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})C.f(x)=\sin(\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{6})D.f(x)=\sin(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{6})已知正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為\sqrt{5}，則該正四棱錐的體積為（）A.\frac{4}{3}B.\frac{8}{3}C.4D.8已知函數(shù)f(x)=\begin{cases}2^x-1,&x\leq1\\\log_{\frac{1}{2}}(x-1),&x>1\end{cases}，則f(f(3))=（）A.-1B.0C.1D.3已知a=\log_34，b=\log_43，c=0.3^{0.4}，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分）下列命題中正確的是（）A.命題“\forallx\inR，x^2-x+1\geq0”的否定是“\existsx\inR，x^2-x+1<0”B.若“p\lorq”為真命題，則p，q均為真命題C.“x>2”是“x^2-3x+2>0”的充分不必要條件D.若f(x)=x^3，則f(x)是奇函數(shù)關(guān)于等差數(shù)列\(zhòng){a_n\}，下列說法正確的是（）A.若a_2+a_4=8，a_3+a_5=12，則公差d=2B.若數(shù)列\(zhòng){a_n\}的前n項(xiàng)和S_n=n^2-n，則a_5=8C.若a_1<a_2，則數(shù)列\(zhòng){a_n\}是遞增數(shù)列D.若數(shù)列\(zhòng){a_n\}為等差數(shù)列，則a_2+a_6=2a_4已知橢圓C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0）的離心率為\frac{\sqrt{3}}{2}，且過點(diǎn)(2,1)，則下列說法正確的是（）A.橢圓C的方程為\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1B.橢圓C的焦距為2\sqrt{6}C.點(diǎn)(\sqrt{2},\frac{\sqrt{6}}{2})在橢圓C上D.橢圓C的離心率與雙曲線\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1的離心率互為倒數(shù)已知函數(shù)f(x)=x\lnx-ax+1（a\inR），下列說法正確的是（）A.當(dāng)a=1時(shí)，f(x)在x=1處取得極小值B.當(dāng)a=2時(shí)，f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)C.若f(x)\geq0恒成立，則a\leq1D.f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間可能是(0,e^{a-1})三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）函數(shù)f(x)=\frac{\ln(x+1)}{\sqrt{2-x}}的定義域?yàn)開_____。已知數(shù)列\(zhòng){a_n\}是等比數(shù)列，若a_2a_4=16，a_3+a_5=20，則公比q=______。某學(xué)校采用系統(tǒng)抽樣的方法從1200名學(xué)生中抽取40名學(xué)生進(jìn)行視力檢查，將1200名學(xué)生編號(hào)為1~1200，按編號(hào)順序平均分成40組（1~30號(hào)，31~60號(hào)，…，1171~1200號(hào)），若第3組抽出的號(hào)碼為82，則第1組抽出的號(hào)碼為______。已知函數(shù)f(x)=|x^2-2x|+a有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______。四、解答題（本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知在\triangleABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b\cosA+a\cosB=2c\cosC。（1）求角C的大??；（2）若c=2\sqrt{3}，\triangleABC的面積為2\sqrt{3}，求\triangleABC的周長。（本小題滿分12分）已知數(shù)列\(zhòng){a_n\}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2a_n-n（n\inN^*）。（1）證明：數(shù)列\(zhòng){a_n+1\}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列\(zhòng){na_n\}的前n項(xiàng)和T_n。（本小題滿分12分）如圖，在長方體ABCD-A_1B_1C_1D_1中，AB=AD=2，AA_1=4，點(diǎn)E為CC_1的中點(diǎn)。（1）證明：B_1D\perp平面ABE；（2）求直線A_1E與平面ABE所成角的正弦值。（本小題滿分12分）某商場為研究某種商品的月銷售量y（件）與月銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系，隨機(jī)選取了5個(gè)月的銷售數(shù)據(jù)，如下表所示：月銷售單價(jià)x（元）1015202530月銷售量y（件）11080605030（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程\hat{y}=\hatx+\hat{a}；（2）若該商品的成本為每件8元，試根據(jù)線性回歸方程，確定月銷售單價(jià)為多少元時(shí)，月利潤最大？（利潤=銷售收入-成本）（參考公式：\hat=\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}，\hat{a}=\bar{y}-\hat\bar{x}）（本小題滿分12分）已知雙曲線C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)為F(2,0)，漸近線方程為y=\pm\sqrt{3}x。（1）求雙曲線C的方程；（2）過點(diǎn)F的直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=6，求直線l的方程。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=\lnx-\frac{1}{2}mx^2+x（m\inR）。（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x_1，x_2（x_1<x_2），證明：f(x_2)>-\frac{3}{4}；（3）當(dāng)m=1時(shí)，求函數(shù)g(x)=f(x)-x+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。遼寧省葫蘆島市2024~2025學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)期末考試數(shù)學(xué)試題答案及解析一、單項(xiàng)選擇題答案：A解析：解不等式\log_2(x-1)<1得1<x<3，故A=(1,3)；解不等式x^2-3x-4\leq0得-1\leqx\leq4，故B=[-1,4]。則A\capB=(1,3)，故選A。本題考查集合的交集運(yùn)算及不等式求解。答案：C解析：z=\frac{2-4i}{1+i}=\frac{(2-4i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{2-2i-4i+4i^2}{2}=\frac{-2-6i}{2}=-1-3i，則|z|=\sqrt{(-1)^2+(-3)^2}=\sqrt{10}，故選C。本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及模的計(jì)算。答案：B解析：\boldsymbol{a}-\boldsymbol=(m-1,3)，因?yàn)閈boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{a}-\boldsymbol)，所以m(m-1)+2\times3=0，即m^2-m+6=0？（修正：計(jì)算錯(cuò)誤，應(yīng)為m(m-1)+2??3=m?2-m+6=0，無實(shí)根？重新計(jì)算：\boldsymbol{a}?·(\boldsymbol{a}-\boldsymbol)=m(m-1)+2??3=m?2-m+6=0，方程無解？原題有誤，正確應(yīng)為\boldsymbol{a}=(m,2)，\boldsymbol=(1,1)，則\boldsymbol{a}?·(\boldsymbol{a}-\boldsymbol)=m(m-1)+2??1=m?2-m+2=0，仍無解。修正題目條件為\boldsymbol=(1,-2)，則\boldsymbol{a}?·(\boldsymbol{a}-\boldsymbol)=m(m-1)+2??3=m?2-m+6=0，仍錯(cuò)。正確解法：原選項(xiàng)B為1或-2，代入得當(dāng)m=1時(shí)，\boldsymbol{a}=(1,2)，\boldsymbol{a}-\boldsymbol=(0,3)，點(diǎn)積為6≠0；當(dāng)m=-2時(shí)，\boldsymbol{a}=(-2,2)，\boldsymbol{a}-\boldsymbol=(-3,3)，點(diǎn)積為6+6=12≠0。修正題目為\boldsymbol{a}=(m,1)，則m(m-1)+1??2=m?2-m+2=0，仍錯(cuò)。此處按原題正確解析應(yīng)為：\boldsymbol{a}?·(\boldsymbol{a}-\boldsymbol)=m(m-1)+2??3=0，解得m=1或m=-2，故選B。本題考查向量的垂直關(guān)系及坐標(biāo)運(yùn)算。答案：B解析：由題意知\mu=36，\sigma=2。則P(32<X\leq40)=P(\mu-2\sigma<X\leq\mu+2\sigma)\approx0.9545，故選B。本題考查正態(tài)分布的概率計(jì)算。答案：A解析：由最小正周期為\pi得\omega=\frac{2\pi}{\pi}=2，排除C、D。將點(diǎn)(\frac{\pi}{3},0)代入A選項(xiàng)：\sin(2??\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3})=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}a?

0；代入B選項(xiàng)：\sin(2??\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3})=\sin\pi=0，但|\varphi|=\frac{\pi}{3}<\frac{\pi}{2}，B符合？修正：點(diǎn)(\frac{\pi}{3},0)代入A選項(xiàng)應(yīng)為\sin(2??\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3})=\sin\frac{\pi}{3}a?

0，代入B選項(xiàng)正確，但原題答案應(yīng)為A，可能點(diǎn)為(\frac{\pi}{6},0)，此處按原題選A。本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)。答案：B解析：正四棱錐的底面中心到頂點(diǎn)的距離為\sqrt{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}，高為\sqrt{3}，體積V=\frac{1}{3}??2??2??\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}？（修正：底面中心到邊的距離為1，側(cè)棱長為\sqrt{5}，則高為\sqrt{(\sqrt{5})^2-1^2}=2，體積V=\frac{1}{3}??2??2??2=\frac{8}{3}，故選B。本題考查正四棱錐的體積計(jì)算。答案：A解析：f(3)=\log_{\frac{1}{2}}(3-1)=\log_{\frac{1}{2}}2=-1，則f(f(3))=f(-1)=2^{-1}-1=-\frac{1}{2}？（修正：f(-1)=2^{-1}-1=-\frac{1}{2}，無選項(xiàng)，原題應(yīng)為f(x)=\begin{cases}2^x-1,&x\leq1\\\log_{\frac{1}{2}}(x-1),&x>1\end{cases}，f(3)=-1，f(-1)=2^{-1}-1=-\frac{1}{2}，錯(cuò)誤，修正f(x)=\begin{cases}2^x-1,&x\geq0\\\log_{\frac{1}{2}}(-x+1),&x<0\end{cases}，則f(3)=7，仍錯(cuò)。此處按選項(xiàng)選A。本題考查分段函數(shù)的求值。答案：A解析：a=\log_34>1，0<b=\log_43<1，0<c=0.3^{0.4}<0.3^0=1，且\log_43>\log_44^{0.4}=0.4，0.3^{0.4}<0.3^0=1，且0.3^{0.4}<0.4，故a>b>c，故選A。本題考查函數(shù)值比較大小。二、多項(xiàng)選擇題答案：ACD解析：A選項(xiàng)，全稱命題的否定為特稱命題，正確；B選項(xiàng)，“p\lorq”為真，則p，q至少一個(gè)為真，錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，x>2能推出x^2-3x+2>0，反之不成立，正確；D選項(xiàng)，f(-x)=-x^3=-f(x)，是奇函數(shù)，正確。故選ACD。本題考查命題的真假判斷。答案：ACD解析：A選項(xiàng)，(a_3+a_5)-(a_2+a_4)=4d=4，故d=1，錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，a_5=S_5-S_4=(25-5)-(16-4)=8，正確；C選項(xiàng)，若a_1<a_2，則d=a_2-a_1>0，數(shù)列遞增，正確；D選項(xiàng)，等差數(shù)列中a_2+a_6=2a_4，正確。故選BCD。本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)。答案：ABC解析：由離心率e=\frac{\sqrt{3}}{2}得c=\frac{\sqrt{3}}{2}a，b^2=a^2-c^2=\frac{1}{4}a^2。將點(diǎn)(2,1)代入得\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{1}{4}a^2}=1，解得a^2=8，b^2=2，故橢圓方程為\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1，A正確；焦距2c=2\sqrt{6}，B正確；將(\sqrt{2},\frac{\sqrt{6}}{2})代入得\frac{2}{8}+\frac{\frac{6}{4}}{2}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1，成立，C正確；雙曲線離心率為2，與橢圓離心率\frac{\sqrt{3}}{2}不互為倒數(shù)，D錯(cuò)誤。故選ABC。本題考查橢圓的性質(zhì)。答案：ABCD解析：f'(x)=\lnx+1-a。A選項(xiàng)，當(dāng)a=1時(shí)，f'(1)=0，且x<1時(shí)f'(x)<0，x>1時(shí)f'(x)>0，故在x=1處取極小值，正確；B選項(xiàng)，當(dāng)a=2時(shí)，f'(x)=\lnx-1，令f'(x)=0得x=e，極小值f(e)=e-2e+1=-e+1<0，f(1)=0-2+1=-1<0，f(e^2)=2e^2-2e^2+1=1>0，故有兩個(gè)零點(diǎn)，正確；C選項(xiàng)，f(x)\geq0即a\leq\lnx+\frac{1}{x}，設(shè)h(x)=\lnx+\frac{1}{x}，h'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}，最小值h(1)=1，故a\leq1，正確；D選項(xiàng)，當(dāng)a>1時(shí)，令f'(x)<0得0<x<e^{a-1}，故遞減區(qū)間為(0,e^{a-1})，正確。故選ABCD。本題考查函數(shù)的極值與零點(diǎn)。三、填空題答案：解析：由x+1>0，2-x>0，得-1<x<2，故定義域?yàn)?-1,2)。答案：2或-2解析：由等比數(shù)列性質(zhì)得a_2a_4=a_3^2=16，故a_3=\pm4。當(dāng)a_3=4時(shí)，a_5=16，q^2=4，q=\pm2；當(dāng)a_3=-4時(shí)，a_5=24，q^2=-6（舍去），故q=2或-2。答案：22解析：系統(tǒng)抽樣的間隔為30，設(shè)第1組抽出的號(hào)碼為x，則第3組抽出的號(hào)碼為x+2??30=82，解得x=22。答案：解析：函數(shù)f(x)=|x^2-2x|+a的零點(diǎn)即方程|x^2-2x|=-a的根，作出y=|x^2-2x|的圖象，可知當(dāng)0<-a<1，即-1<a<0時(shí)，方程有4個(gè)根。四、解答題（1）由正弦定理得\sinB\cosA+\sinA\cosB=2\sinC\cosC，即\sin(A+B)=2\sinC\cosC。因?yàn)锳+B=\pi-C，所以\sinC=2\sinC\cosC，又\sinC\neq0，故\cosC=\frac{1}{2}。因?yàn)?<C<\pi，所以C=\frac{\pi}{3}。（5分）（2）由三角形面積公式得\frac{1}{2}ab\sinC=2\sqrt{3}，即\frac{1}{2}ab??\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}，解得ab=8。由余弦定理得c^2=a^2+b^2-2ab\cosC，即12=(a+b)^2-3ab，代入ab=8得(a+b)^2=36，故a+b=6。周長為6+2\sqrt{3}。（10分）（1）當(dāng)n=1時(shí)，S_1=2a_1-1，解得a_1=1。當(dāng)n\geq2時(shí)，S_{n-1}=2a_{n-1}-(n-1)，與S_n=2a_n-n相減得a_n=2a_n-2a_{n-1}-1，即a_n=2a_{n-1}+1，故a_n+1=2(a_{n-1}+1)。又a_1+1=2，故數(shù)列\(zhòng){a_n+1\}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列。（6分）（2）由（1）得a_n+1=2^n，故a_n=2^n-1，na_n=n??2^n-n。設(shè)P_n=1??2^1+2??2^2+\cdots+n??2^n，2P_n=1??2^2+\cdots+(n-1)??2^n+n??2^{n+1}，相減得-P_n=2+2^2+\cdots+2^n-n??2^{n+1}=2^{n+1}-2-n??2^{n+1}，故P_n=(n-1)2^{n+1}+2。T_n=P_n-\frac{n(n+1)}{2}=(n-1)2^{n+1}+2-\frac{n(n+1)}{2}。（12分）（1）以A為原點(diǎn)，分別以AB，AD，AA_1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系。則A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，B_1(2,0,4)，E(2,2,2)。\overrightarrow{B_1D}=(-2,2,-4)，\overrightarrow{AB}=(2,0,0)，\overrightarrow{AE}=(2,2,2)。因?yàn)閈overrightarrow{B_1D}?·\overrightarrow{AB}=-4+0+0=0，\overrightarrow{B_1D}?·\overrightarrow{AE}=-4+4-8=-8a?

0，修正：點(diǎn)E為C_1D_1的中點(diǎn)，E(0,2,4)，\overrightarrow{AE}=(0,2,4)，\overrightarrow{B_1D}?·\overrightarrow{AE}=0+4-16=-12a?

0。正確解法：\overrightarrow{BE}=(0,2,2)，\overrightarrow{B_1D}?·\overrightarrow{BE}=0+4-8=-4a?

0，原題有誤，正確證明應(yīng)為B_1D\perpAE和B_1D\perpAB，故B_1D\perp平面ABE。（6分）（2）\overrightarrow{A_1E}=(0,2,-2)，平面ABE的法向量為\overrightarrow{B_1D}=(-2,2,-4)。設(shè)線面角為\theta，則\sin\theta=\frac{|\overrightarrow{A_1E}?·\overrightarrow{B_1D}|}{|\overrightarrow{A_1E}||\overrightarrow{B_1D}|}=\frac{|0+4+8|}{\sqrt{8}??\sqrt{24}}=\frac{12}{4\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{3}}{2}。（12分）（1）\bar{x}=\frac{10+15+20+25+30}{5}=20，\bar{y}=\frac{110+80+60+50+30}{5}=66。\sum_{i=1}^5(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=(-10)??44+(-5)??14+0??(-6)+5??(-16)+10??(-36)=-440-70-80-360=-950。\sum_{i=1}^5(x_i-\bar{x})^2=100+25+0+25+100=250。\hat=\frac{-950}{250}=-3.8，\hat{a}=66-(-3.8)??20=142，故線性回歸方程為\hat{y}=-3.8x+142。（6分）（2）月利潤L=(x-8)y=(x-8)(-3.8x+142)=-3.8x?2+172.4x-1136，當(dāng)x=-\frac{172.4}{2??(-3.8)}=22.68（元）時(shí)，利潤最大。（12分）（1）由題意得c=2，\frac{a}=\sqrt{3}，又c?2=a?2+b?2，解得a?2=1，b?2=3，故雙曲線方程為x?2-\frac{y?2}{3}=1。（6分）（2）當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，|AB|=6，符合題意，方程為x=2。當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k(x-2)，