單臂機(jī)械手的數(shù)學(xué)模型分析案例目錄TOC\o"1-3"\h\u1738單臂機(jī)械手的數(shù)學(xué)模型分析案例 131091.1單臂機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)方程 1177591.2單臂機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn) 7相關(guān)控制在動(dòng)力學(xué)中存在兩個(gè)重要的問題：第一，當(dāng)軌跡的點(diǎn)為已知條件時(shí)，也就是我們已經(jīng)知道相應(yīng)關(guān)節(jié)的角數(shù)據(jù)（角的位移、速度和加速度情況），如何得出相應(yīng)關(guān)節(jié)的力矩的向量；第二，對于相應(yīng)關(guān)節(jié)在承受一組關(guān)節(jié)的力矩狀態(tài)下如何對其運(yùn)動(dòng)進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算（對其角的位移、速度和加速度求解），該情況更多應(yīng)用于仿真型的機(jī)器人中。1.1單臂機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)方程機(jī)械的手臂為串續(xù)的連桿式，該動(dòng)態(tài)的特征具有無法成正比的輸出和輸入關(guān)系，對這類驅(qū)動(dòng)為直流電機(jī)的機(jī)器人進(jìn)行操控需要用到相應(yīng)的數(shù)學(xué)公式進(jìn)行表達(dá)，而這類數(shù)學(xué)的公式也就是數(shù)學(xué)相關(guān)的模型（簡稱模型）。一般我們能夠操縱機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的計(jì)算設(shè)備，輸入該種模型數(shù)據(jù)來對其進(jìn)行未來軌跡的預(yù)估與控制。實(shí)踐中由于存在各種可能性，比如機(jī)械的零部件會(huì)因壓力而變彎，關(guān)節(jié)部位可能具有彈性和無法計(jì)算的機(jī)械力摩擦等，這些復(fù)雜的零部件情況存在各種變數(shù)，幾乎無法有效建立精確的模型，因此我們一般選用較近似的模型使用。這些近似模型結(jié)構(gòu)簡單，但功能強(qiáng)大，對其進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)需要建立在以下兩個(gè)前提下：1)機(jī)器人關(guān)節(jié)全為理想狀態(tài)，意即其關(guān)節(jié)不具有現(xiàn)實(shí)中的摩擦等力。2)由于機(jī)械臂的數(shù)據(jù)屬于獨(dú)立位置的變量，因此臨近的兩個(gè)連桿之間只存在一自由度——完全的旋轉(zhuǎn)或平移。機(jī)器人系統(tǒng)本身具有十分復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)框架，并且該系統(tǒng)不具備輸入、輸出的正比關(guān)系，目前其相關(guān)的運(yùn)算時(shí)長也較不理想。因此現(xiàn)階段對于其解的過程進(jìn)行簡化以及減少相關(guān)動(dòng)力學(xué)計(jì)算的時(shí)長是該系統(tǒng)有待解決的研究項(xiàng)目。

機(jī)器人在工業(yè)活動(dòng)中所受力與運(yùn)動(dòng)之間關(guān)系的相關(guān)研究具有以下兩方面情況：1)給出已知的軌跡點(diǎn)的關(guān)節(jié)變量、、，即機(jī)器人的關(guān)節(jié)位置、速度和加速度，求相應(yīng)的關(guān)節(jié)力矩向量，用以實(shí)現(xiàn)對機(jī)器人的動(dòng)態(tài)控制。2)當(dāng)關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力矩為我們已知的條件時(shí)，需要得出系統(tǒng)在各個(gè)時(shí)間點(diǎn)的相應(yīng)運(yùn)動(dòng)情況，該情況是機(jī)器人模擬活動(dòng)的重要數(shù)據(jù)。對機(jī)器人進(jìn)行相關(guān)研究可以采用的方法并不單一，可以在拉格朗日、牛頓—?dú)W拉法等方法中進(jìn)行選擇，前者不僅能夠通過最簡潔有效的方式取得十分復(fù)雜的相關(guān)動(dòng)力學(xué)公式（且具有顯式的構(gòu)架），并且具有非常明確的物理學(xué)意義，有利于我們對于機(jī)器人動(dòng)力學(xué)進(jìn)行理解應(yīng)用。首先，定義拉格朗日函數(shù)是一個(gè)機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)能和勢能之差，即(2-1)令是使系統(tǒng)具有完全確定位置的廣義關(guān)節(jié)變量，是相應(yīng)的廣義關(guān)節(jié)速度。由于系統(tǒng)的動(dòng)能是和，的函數(shù)，系統(tǒng)勢能是的函數(shù)。因此，拉格朗日函數(shù)也是和的函數(shù)。機(jī)器人系統(tǒng)的拉格朗日方程為(2-2)其中，稱為廣義驅(qū)動(dòng)力(對于移動(dòng)關(guān)節(jié)為驅(qū)動(dòng)力；對于轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)為驅(qū)動(dòng)力矩)。用拉格朗同法建立機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程的步驟如下所述：1)選用坐標(biāo)系，選定獨(dú)立的廣義關(guān)節(jié)變量；2)選定相應(yīng)的廣義力；3)求出各構(gòu)件的動(dòng)能和勢能，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)；4)代入拉格朗日方程求得機(jī)器人系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。本文主要針對雙關(guān)節(jié)機(jī)械手進(jìn)行仿真研究，其大概結(jié)果圖，如圖2-1所示，而且為了保證實(shí)驗(yàn)結(jié)果的有效性，該機(jī)械手的所有狀態(tài)變量都是可觀測的，建立雙關(guān)節(jié)機(jī)械手的坐標(biāo)系如圖2-2所示。如圖2-2所示，選取笛卡爾坐標(biāo)系。關(guān)節(jié)l和關(guān)節(jié)2的關(guān)節(jié)變量分別為、，相應(yīng)的關(guān)節(jié)l和關(guān)節(jié)2的力矩是和。關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的質(zhì)量分別是和，桿長分別和，質(zhì)心位置分別在距關(guān)節(jié)節(jié)點(diǎn)和處(如圖2-2所示)．則該機(jī)械臂可以看作是兩個(gè)運(yùn)動(dòng)互相約束的質(zhì)點(diǎn)。圖2-1雙關(guān)節(jié)機(jī)械手圖2-2雙關(guān)節(jié)機(jī)械手的坐標(biāo)系因此，關(guān)節(jié)1質(zhì)心的位置坐標(biāo)為關(guān)節(jié)1質(zhì)心的速度平方為關(guān)節(jié)2質(zhì)心位置坐標(biāo)為關(guān)節(jié)2質(zhì)心的速度平方為系統(tǒng)動(dòng)能系統(tǒng)勢能拉格朗日函數(shù)根據(jù)拉格朗日方程可計(jì)算各關(guān)節(jié)上的力矩，得到系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程。關(guān)節(jié)1上的力矩：所以代入，簡化得(2-3)由此可得(2-4)同理可得關(guān)節(jié)2上的力矩：(2-5)其中，(2-6)式(2-3)、(2-4)、(2-5)及(2-6)分別表示了關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩與關(guān)節(jié)位移、速度、加速度之間的關(guān)系，及力和運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系，稱為圖2-3所示二自由度機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程。個(gè)自由度機(jī)械臂的末端位姿X由個(gè)關(guān)節(jié)變量所決定，這個(gè)關(guān)節(jié)變量也叫做維關(guān)節(jié)矢量。將上述四個(gè)式子寫成矩陣形式，則(2-7)式中：(2-8)(2-9)(2-10)式(2-7)就是機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程的一般結(jié)構(gòu)形式，它反映了關(guān)節(jié)力矩與關(guān)節(jié)變量速度、加速度之問的函數(shù)關(guān)系；對于個(gè)關(guān)節(jié)的機(jī)械臂，是n×n的正定對稱矩陣，是q的函數(shù)，稱為機(jī)械臂的慣性矩陣；是n×1階二維向心力和哥氏力矩陣，則表示n×1階重力矢量，與機(jī)械臂的形位q有關(guān)。1.2單臂機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)根據(jù)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)特性的性質(zhì)，這里的性質(zhì)總結(jié)了在運(yùn)動(dòng)控制過程當(dāng)中，它的值是固定不變的，但是它的值又是不完全已知的，所以通過這個(gè)特性，得出機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)還有以下幾個(gè)特點(diǎn)：1)如果機(jī)器人的關(guān)節(jié)數(shù)較多，則公式所含項(xiàng)數(shù)會(huì)相應(yīng)變多，其增多的方式遵循幾何級數(shù)規(guī)則，即自由度為六的機(jī)器人將具有多達(dá)萬種項(xiàng)的總數(shù)。因此我們說關(guān)于機(jī)器人的相關(guān)力與運(yùn)動(dòng)公式所含項(xiàng)的總數(shù)十分復(fù)雜且繁多；2)其輸出與輸入完全不成正比，公式內(nèi)所有矩陣元素都具有該特性，如正、余弦；3)機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)之間相互影響和作用，呈現(xiàn)出較強(qiáng)依賴性；4)機(jī)器人的相