2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)中檔題鞏固練習(xí)（二）一、集合與常用邏輯用語(yǔ)1.集合運(yùn)算與不等式結(jié)合題目：已知集合(A={x|x^2-3x-10\leq0})，集合(B={x|m+1\leqx\leq2m-1})，且(B\subseteqA)。（1）求集合(A)；（2）若(B\neq\varnothing)，求實(shí)數(shù)(m)的取值范圍。解析：（1）解不等式(x^2-3x-10\leq0)，因式分解得((x-5)(x+2)\leq0)，解得(-2\leqx\leq5)，故(A=[-2,5])。（2）由(B\neq\varnothing)得(m+1\leq2m-1)，即(m\geq2)。又因(B\subseteqA)，需滿足(\begin{cases}m+1\geq-2\2m-1\leq5\end{cases})，解得(\begin{cases}m\geq-3\m\leq3\end{cases})。綜上，(m\in[2,3])。2.充分必要條件的判斷題目：設(shè)(p:|x-1|<2)，(q:x^2-5x-6<0)，則(p)是(q)的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：解(p)：(|x-1|<2\Rightarrow-1<x<3)；解(q)：(x^2-5x-6<0\Rightarrow(x-6)(x+1)<0\Rightarrow-1<x<6)。因?yàn)?(-1,3)\subsetneqq(-1,6))，所以(p\Rightarrowq)但(q\nRightarrowp)，故(p)是(q)的充分不必要條件，選A。二、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)3.函數(shù)定義域與值域題目：函數(shù)(f(x)=\sqrt{\log_{\frac{1}{2}}(x-1)}+\frac{1}{x-2})的定義域?yàn)椋ǎ〢.((1,2)\cup(2,+\infty))B.((1,2])C.([2,+\infty))D.((1,2))解析：需滿足：①偶次根式被開(kāi)方數(shù)非負(fù)：(\log_{\frac{1}{2}}(x-1)\geq0\Rightarrow0<x-1\leq1\Rightarrow1<x\leq2)；②分母不為零：(x-2\neq0\Rightarrowx\neq2)。綜上，定義域?yàn)?(1,2))，選D。4.函數(shù)單調(diào)性與最值題目：已知函數(shù)(f(x)=x^2-2ax+3)在區(qū)間([1,4])上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)(a)的取值范圍，并求當(dāng)(a=1)時(shí)(f(x))的最值。解析：(f(x))為開(kāi)口向上的二次函數(shù)，對(duì)稱軸為(x=a)。若(f(x))在([1,4])單調(diào)遞增，則(a\leq1)；若(f(x))在([1,4])單調(diào)遞減，則(a\geq4)。故(a\in(-\infty,1]\cup[4,+\infty))。當(dāng)(a=1)時(shí)，(f(x)=x^2-2x+3=(x-1)^2+2)，對(duì)稱軸(x=1\in[1,4])，最小值：(f(1)=2)；最大值：(f(4)=16-8+3=11)。5.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)綜合題目：已知(a>0)且(a\neq1)，函數(shù)(f(x)=a^x+\log_a(x+1))在區(qū)間([0,1])上的最大值與最小值之和為(a)，求(a)的值。解析：當(dāng)(a>1)時(shí)，(a^x)與(\log_a(x+1))均為增函數(shù)，故(f(x))在([0,1])單調(diào)遞增，最大值(f(1)=a+\log_a2)，最小值(f(0)=1+0=1)，則(a+\log_a2+1=a\Rightarrow\log_a2=-1\Rightarrowa=\frac{1}{2})（與(a>1)矛盾，舍去）。當(dāng)(0<a<1)時(shí)，(a^x)與(\log_a(x+1))均為減函數(shù)，故(f(x))在([0,1])單調(diào)遞減，最大值(f(0)=1)，最小值(f(1)=a+\log_a2)，則(1+a+\log_a2=a\Rightarrow\log_a2=-1\Rightarrowa=\frac{1}{2})（符合題意）。綜上，(a=\frac{1}{2})。三、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用6.導(dǎo)數(shù)的幾何意義題目：已知曲線(y=x^3-3x^2+2x)在點(diǎn)(P)處的切線平行于直線(y=-x+1)，求點(diǎn)(P)的坐標(biāo)及切線方程。解析：求導(dǎo)得(y'=3x^2-6x+2)，切線斜率(k=-1)，令(3x^2-6x+2=-1\Rightarrow3x^2-6x+3=0\Rightarrowx^2-2x+1=0\Rightarrowx=1)。將(x=1)代入曲線方程得(y=1-3+2=0)，故(P(1,0))。切線方程為(y-0=-1(x-1)\Rightarrowy=-x+1)。7.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性題目：已知函數(shù)(f(x)=x-\lnx)，求(f(x))的單調(diào)區(qū)間，并證明(f(x)\geq1)。解析：定義域?yàn)?(0,+\infty))，求導(dǎo)得(f'(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x})。當(dāng)(x\in(0,1))時(shí)，(f'(x)<0)，(f(x))單調(diào)遞減；當(dāng)(x\in(1,+\infty))時(shí)，(f'(x)>0)，(f(x))單調(diào)遞增。故(f(x))在(x=1)處取得最小值(f(1)=1-\ln1=1)，因此(f(x)\geq1)。四、三角函數(shù)8.三角函數(shù)定義與誘導(dǎo)公式題目：已知角(\alpha)的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(P(-3,4))，求(\sin\alpha+\cos\alpha-\tan\alpha)的值。解析：由三角函數(shù)定義，(r=|OP|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=5)，則(\sin\alpha=\frac{y}{r}=\frac{4}{5})，(\cos\alpha=\frac{x}{r}=-\frac{3}{5})，(\tan\alpha=\frac{y}{x}=-\frac{4}{3})，故原式(=\frac{4}{5}-\frac{3}{5}-(-\frac{4}{3})=\frac{1}{5}+\frac{4}{3}=\frac{3+20}{15}=\frac{23}{15})。9.三角函數(shù)圖像與性質(zhì)題目：函數(shù)(f(x)=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)+1)的最小正周期為_(kāi)_____，單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)_____，對(duì)稱軸方程為_(kāi)_____。解析：周期(T=\frac{2\pi}{|2|}=\pi)；單調(diào)遞增區(qū)間：令(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq2x-\frac{\pi}{3}\leq\frac{\pi}{2}+2k\pi)，解得(-\frac{\pi}{12}+k\pi\leqx\leq\frac{5\pi}{12}+k\pi)，(k\in\mathbb{Z})；對(duì)稱軸方程：令(2x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k\pi)，解得(x=\frac{5\pi}{12}+\frac{k\pi}{2})，(k\in\mathbb{Z})。10.三角恒等變換題目：化簡(jiǎn)(\frac{\sin2\alpha}{1+\cos2\alpha}\cdot\frac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha})，并求當(dāng)(\alpha=\frac{\pi}{12})時(shí)的值。解析：利用二倍角公式化簡(jiǎn)：原式(=\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha}\cdot\frac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\tan\frac{\alpha}{2})。當(dāng)(\alpha=\frac{\pi}{12})時(shí)，原式(=\tan\frac{\pi}{24})。又(\tan\frac{\pi}{12}=2-\sqrt{3})，且(\tan\frac{\pi}{12}=\frac{2\tan\frac{\pi}{24}}{1-\tan^2\frac{\pi}{24}}=2-\sqrt{3})，設(shè)(t=\tan\frac{\pi}{24})，則(\frac{2t}{1-t^2}=2-\sqrt{3})，解得(t=2-\sqrt{3}-\sqrt{6}+\sqrt{2})（取正值）。五、數(shù)列11.等差數(shù)列基本量計(jì)算題目：等差數(shù)列({a_n})中，(a_3+a_7=20)，(a_5+a_9=32)，求公差(d)及前10項(xiàng)和(S_{10})。解析：設(shè)首項(xiàng)為(a_1)，公差為(d)，則(a_3+a_7=2a_1+8d=20\Rightarrowa_1+4d=10)①，(a_5+a_9=2a_1+12d=32\Rightarrowa_1+6d=16)②，②-①得(2d=6\Rightarrowd=3)，代入①得(a_1=10-12=-2)。(S_{10}=10a_1+\frac{10\times9}{2}d=10(-2)+45\times3=-20+135=115)。12.等比數(shù)列性質(zhì)與求和題目：等比數(shù)列({a_n})中，(a_2a_5=18)，(a_3a_4=36)，求公比(q)及前(n)項(xiàng)和(S_n)。解析：由等比數(shù)列性質(zhì)：(a_2a_5=a_3a_4=a_1^2q^5=18)，但題目中(a_3a_4=36)，矛盾？修正：應(yīng)為(a_2a_5=a_1q\cdota_1q^4=a_1^2q^5=18)，(a_3a_4=a_1q^2\cdota_1q^3=a_1^2q^5=18)，題目數(shù)據(jù)有誤，假設(shè)(a_2a_5=18)，(a_3a_5=36)，則(\frac{a_3a_5}{a_2a_5}=q=2)，代入(a_2a_5=a_1q\cdota_1q^4=a_1^2q^5=32a_1^2=18\Rightarrowa_1^2=\frac{9}{16}\Rightarrowa_1=\pm\frac{3}{4})，(S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\pm\frac{3}{4}(2^n-1))。六、不等式13.一元二次不等式解法題目：解關(guān)于(x)的不等式(ax^2-(a+1)x+1<0)（其中(a>0)）。解析：因式分解：((ax-1)(x-1)<0)，對(duì)應(yīng)方程根為(x_1=\frac{1}{a})，(x_2=1)。當(dāng)(0<a<1)時(shí)，(\frac{1}{a}>1)，解集為((1,\frac{1}{a}))；當(dāng)(a=1)時(shí)，不等式為((x-1)^2<0)，解集為(\varnothing)；當(dāng)(a>1)時(shí)，(\frac{1}{a}<1)，解集為((\frac{1}{a},1))。14.基本不等式求最值題目：已知(x>0)，(y>0)，且(2x+y=1)，求(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})的最小值。解析：“1”的代換：(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=(2x+y)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=3+\frac{y}{x}+\frac{2x}{y})，由基本不等式(\frac{y}{x}+\frac{2x}{y}\geq2\sqrt{\frac{y}{x}\cdot\frac{2x}{y}}=2\sqrt{2})，當(dāng)且僅當(dāng)(\frac{y}{x}=\frac{2x}{y}\Rightarrowy=\sqrt{2}x)，結(jié)合(2x+y=1)得(x=\frac{1}{2+\sqrt{2}}=\frac{2-\sqrt{2}}{2})，(y=\sqrt{2}-1)時(shí)取等號(hào)，故最小值為(3+2\sqrt{2})。七、立體幾何初步15.空間幾何體體積與表面積題目：一個(gè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為3，求其表面積和體積。解析：表面積：(S=2S_{\text{底}}+S_{\text{側(cè)}})，底面正三角形面積(S_{\text{底}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times2^2=\sqrt{3})，側(cè)面積(S_{\text{側(cè)}}=3\times(2\times3)=18)，故(S=2\sqrt{3}+18)。體積：(V=S_{\text{底}}\timesh=\sqrt{3}\times3=3\sqrt{3})。16.空間線面位置關(guān)系題目：如圖，在正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，(E)為(DD_1)的中點(diǎn)，求證：(BD_1\parallel)平面(AEC)。證明：連接(BD)交(AC)于(O)，則(O)為(BD)中點(diǎn)。在(\triangleDBD_1)中，(E)為(DD_1)中點(diǎn)，故(OE\parallelBD_1)。又(OE\subset)平面(AEC)，(BD_1\not\subset)平面(AEC)，由線面平行判定定理得(BD_1\parallel)平面(AEC)。八、平面解析幾何17.直線方程與位置關(guān)系題目：已知直線(l_1:ax+2y+6=0)與(l_2:x+(a-1)y+a^2-1=0)，（1）若(l_1\perpl_2)，求(a)的值；（2）若(l_1\parallell_2)，求(a)的值及兩平行線間的距離。解析：（1）垂直條件：(a\times1+2\times(a-1)=0\Rightarrowa+2a-2=0\Rightarrow3a=2\Rightarrowa=\frac{2}{3})。（2）平行條件：(\frac{a}{1}=\frac{2}{a-1}\neq\frac{6}{a^2-1})，由(a(a-1)=2\Rightarrowa^2-a-2=0\Rightarrowa=2)或(a=-1)。當(dāng)(a=2)時(shí)，(l_1:2x+2y+6=0\Rightarrowx+y+3=0)，(l_2:x+y+3=0)，兩直線重合，舍去；當(dāng)(a=-1)時(shí)，(l_1:-x+2y+6=0\Rightarrowx-2y-6=0)，(l_2:x-2y+0=0)，距離(d=\frac{|-6-0|}{\sqrt{1+4}}=\frac{6\sqrt{5}}{5})。18.圓的方程與直線與圓的位置關(guān)系題目：已知圓(C:x^2+y^2-4x+6y-3=0)，（1）求圓心坐標(biāo)與半徑；（2）求過(guò)點(diǎn)(P(-1,1))且與圓(C)相切的直線方程。解析：（1）配方得((x-2)^2+(y+3)^2=16)，故圓心((2,-3))，半徑(r=4)。（2）①若切線斜率不存在，直線(x=-1)，圓心到直線距離(d=|2-(-1)|=3\neq4)，不相切；②若切線斜率存在，設(shè)方程為(y-1=k(x+1)\Rightarrowkx-y+k+1=0)，由(d=\frac{|2k+3+k+1|}{\sqrt{k^2+1}}=4\Rightarrow|3k+4|=4\sqrt{k^2+1})，平方得(9k^2+24k+16=16k^2+16\Rightarrow7k^2-24k=0\Rightarrowk=0)或(k=\frac{24}{7})，切線方程為(y=1)或(24x-7y+17=0)。九、概率與統(tǒng)計(jì)19.古典概型題目：從1，2，3，4，5中隨機(jī)抽取2個(gè)數(shù)，求：（1）兩數(shù)之和為偶數(shù)的概率；（2）兩數(shù)之積大于10的概率。解析：總基本事件數(shù)(n=\text{C}_5^2=10)。（1）和為偶數(shù)：兩數(shù)同奇或同偶，同奇：(\text{C}_3^2=3)（1,3；1,5；3,5），同偶：(\text{C}_2^2=1)（2,4），故(P=\frac{3+1}{10}=\frac{2}{5})。（2）積大于10的事件：(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)，共4個(gè)，故(P=\frac{4}{10}=\frac{2}{5})。20.統(tǒng)計(jì)圖表與數(shù)字特征題目：某班50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)頻率分布直方圖如下，求：（1）成績(jī)?cè)赱70,80)內(nèi)的頻數(shù)；（2）該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)（精確到0.1）。解析：（1）設(shè)[70,80)頻率為(x)，由頻率和為1得：((0.004+0.016+x+0.03+0.02)\times10=1\Rightarrowx=0.03)，頻數(shù)(=50\times0.03\times10=15)。（2）平均數(shù)(=45\times0.04+55\times0.16+65\times0.3+75\times0.3+85\times0.2)(=1.8+8.8+19.5+22.5+17=69.6)。十、綜合應(yīng)用題21.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題目：某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為2000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加10元，已知總收益(R)（單位：元）與年產(chǎn)量(x)（單位：件）的關(guān)系是(R(x)=\begin{cases}40x-\frac{1}{2}x^2,&0\leqx\leq400\80000,&x>400\end{cases})，求年產(chǎn)量為多少時(shí)，總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？解析：總成本(C(x)=2000+10x)，總利潤(rùn)(L(x)=R(x)-C(x))。當(dāng)(0\leqx\leq400)時(shí)，(L(x)=40x-\frac{1}{2}x^2-2000-10x=-\frac{1}{2}x^2+30x-2000)，求導(dǎo)(L'(x)=-x+30)，令(L'(x)=0\Rightarrowx=30)，(L(30)=-\frac{1}{2}