第02講古典概型與概率的基本性質(zhì)目錄01TOC\o"13"\h\u考情解碼?命題預(yù)警 202體系構(gòu)建·思維可視 303核心突破·靶向攻堅(jiān) 4知能解碼 4知識(shí)點(diǎn)1古典概型 4知識(shí)點(diǎn)2概率的基本性質(zhì) 5題型破譯 5題型1簡(jiǎn)單古典概型的計(jì)算 5題型2較復(fù)雜的古典概型的計(jì)算（有無(wú)放回） 8題型3古典概型與向量的交匯問(wèn)題 12題型4古典概型與幾何的交匯問(wèn)題 15題型5古典概率與統(tǒng)計(jì)的綜合 19題型6概率的基本性質(zhì) 2204真題溯源·考向感知 2505課本典例·高考素材 28考點(diǎn)要求考察形式2025年2024年2023年1.古典概型2.概率的基本性質(zhì)單選題多選題填空題解答題2024年天津卷，第13題,5分2023年天津卷，第13題,5分考情分析：本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的?？純?nèi)容，一般求簡(jiǎn)單古典概型的計(jì)算或者較復(fù)雜的古典概型的計(jì)算，古典概型與幾何的交匯問(wèn)題及其概率的基本性質(zhì)。設(shè)題穩(wěn)定，難度中檔，分值為5分復(fù)習(xí)目標(biāo)：（1）理解古典概型及其概率計(jì)算公式．（2）會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所包含的樣本點(diǎn)及事件發(fā)生的概率．知識(shí)點(diǎn)1古典概型（1）古典概型考察這些試驗(yàn)的共同特征，就是要看它們的樣本點(diǎn)及樣本空間有哪些共性．可以發(fā)現(xiàn)，它們具有如下共同特征：①有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；②等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等．我們將具有以上兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱(chēng)為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱(chēng)為古典概率模型（classicalmodelsofprobability），簡(jiǎn)稱(chēng)古典概型．（2）概率公式A． B． C． D．【答案】C故選：C.知識(shí)點(diǎn)2概率的基本性質(zhì)一般地，概率有如下性質(zhì)：A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)立事件和概率加法公式即可求解.【詳解】設(shè)事件“讀者選擇類(lèi)圖書(shū)”，事件“讀者選擇類(lèi)圖書(shū)”，故選：.題型1簡(jiǎn)單古典概型的計(jì)算例11將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲2次，則兩次向上的點(diǎn)數(shù)之和除以4的余數(shù)為3的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用列舉法求出古典概率.【詳解】一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲2次的試驗(yàn)有36個(gè)樣本點(diǎn)，兩次向上的點(diǎn)數(shù)之和除以4的余數(shù)為3的事件含有的樣本點(diǎn)為：故選：C例12某運(yùn)動(dòng)員每次投擲飛鏢命中靶心的概率為40%，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員兩次投擲飛鏢恰有一次命中靶心的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每?jī)蓚€(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表兩次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：02

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07據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員兩次擲鏢恰有一次命中靶心的概率為（

）A．0.50 B．0.45 C．0.40 D．0.35【答案】B【分析】根據(jù)題意分析出兩次投擲飛鏢恰有一次正中靶心的基本事件數(shù)有9個(gè)，總的事件數(shù)有20個(gè)，根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心，所以?xún)纱瓮稊S飛鏢恰有一次正中靶心表示：隨機(jī)數(shù)組中有且只有一個(gè)數(shù)為1，2，3，4中的一個(gè)；它們分別是02，93，25，45，73，93，28，35，30共9個(gè)，即滿(mǎn)足條件的基本事件數(shù)有9個(gè)，總的事件數(shù)有20個(gè)，故選：B.求古典概型的一般步驟：（1）明確實(shí)驗(yàn)的條件及要觀察的結(jié)果，用適當(dāng)?shù)姆?hào)（字母/數(shù)字/數(shù)組等）表示實(shí)驗(yàn)的可能結(jié)果（可借助圖表）；（2）根據(jù)實(shí)際問(wèn)題情景判斷樣本點(diǎn)的等可能性；（3）計(jì)算樣本點(diǎn)總個(gè)數(shù)及事件包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，求出事件A的概率．【變式訓(xùn)練11】一場(chǎng)數(shù)字游戲在兩個(gè)非常聰明的學(xué)生甲、乙之間進(jìn)行，老師在黑板上寫(xiě)出2，3，4，…，2026，共2025個(gè)正整數(shù)，然后裁判隨意擦去一個(gè)數(shù)，接下來(lái)由乙、甲兩人輪流擦去其中一個(gè)數(shù)（即乙先擦去其中一個(gè)數(shù)，然后甲再擦去一個(gè)數(shù)），如此下去．若最后剩下的兩個(gè)數(shù)為互質(zhì)數(shù)（公因數(shù)只有1的兩個(gè)非零自然數(shù)叫作互質(zhì)數(shù)，如2和3是互質(zhì)數(shù)，9和10是互質(zhì)數(shù)），則判甲勝；否則判乙勝．按照這種游戲規(guī)則，甲獲勝的概率是（

）【答案】C【分析】先根據(jù)裁判擦去的是奇數(shù)還是偶數(shù)分類(lèi)考慮，分析得出若擦去的是奇數(shù)，則乙一定獲勝；若擦去的是偶數(shù)，則甲一定獲勝，由此根據(jù)古典概型概率公式計(jì)算即得．【詳解】由于甲、乙都非常聰明，所以他們獲勝的關(guān)鍵要看裁判擦去哪個(gè)數(shù)．注意2，3，4，…，2026中有1012個(gè)奇數(shù)，1013個(gè)偶數(shù)．若裁判擦去的是奇數(shù)，則乙一定獲勝．理由如下：乙不管甲擦去什么數(shù)，只要還有奇數(shù)，就擦去奇數(shù)，這樣最后剩下兩個(gè)數(shù)一定都是偶數(shù)，從而所剩兩數(shù)不是互質(zhì)數(shù)，故乙勝．若裁判擦去的是偶數(shù)，則甲一定獲勝．理由如下：設(shè)裁判擦去的是2m，則將余下的數(shù)配成1012對(duì)，每對(duì)數(shù)由一奇一偶的相鄰兩數(shù)組成，這樣，不管乙擦去什么數(shù)，甲只要擦去所配對(duì)中的另一個(gè)數(shù)，最后剩下兩個(gè)相鄰的整數(shù)，它們?yōu)榛ベ|(zhì)數(shù)，故選：C【變式訓(xùn)練12】甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由列舉法求解古典概型概率問(wèn)題即可.【詳解】畫(huà)出樹(shù)狀圖：

故選：B.【變式訓(xùn)練13】在某次猜數(shù)字游戲中，答案是一個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．一位同學(xué)第一次猜318，只有一個(gè)數(shù)字猜對(duì)且在相對(duì)應(yīng)的位置上；第二次猜329，只有一個(gè)數(shù)字猜對(duì)且不在對(duì)應(yīng)的位置上；第三次猜128，只有一個(gè)數(shù)字猜對(duì)且在對(duì)應(yīng)的位置上．根據(jù)上述信息，該同學(xué)第四次猜對(duì)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析得知第一次猜對(duì)的數(shù)字是8，它在個(gè)位上，9在十位或百位，由古典概型概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】因?yàn)橐晃煌瑢W(xué)第一次猜318，只有一個(gè)數(shù)字猜對(duì)且在相對(duì)應(yīng)的位置上；第二次猜329，只有一個(gè)數(shù)字猜對(duì)且不在對(duì)應(yīng)的位置上，所以3不是密碼中的數(shù)字；第三次猜128，只有一個(gè)數(shù)字猜對(duì)且在對(duì)應(yīng)的位置上，則1，2不是密碼中的數(shù)字；則第一次猜對(duì)的數(shù)字是8，它在個(gè)位上，9在十位或百位，所以可能的密碼有9種，故所求為.故選：B.題型2較復(fù)雜的古典概型的計(jì)算（有無(wú)放回）例21某袋子中有大小相同的4個(gè)白球和2個(gè)紅球，甲乙兩人先后依次從袋中不放回取球，每次取1球，先取到紅球者獲勝，則甲獲勝的概率（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】甲獲勝的情形有三種：第一種，甲第一次就摸到紅球；第二種，甲、乙第一次都摸到白球，甲第二次摸到紅球；第三種，甲、乙第一、二次都摸到白球，第三次摸甲摸到紅球.利用古典概率的加法求解即可故選：C.例22從兩名男生（記為和）、兩名女生（記為和）中任意抽取兩人，分別采取不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．在以上兩種抽樣方式下，抽到的兩人是一男生一女生的概率分別為（

）【答案】A【分析】分別寫(xiě)出樣本空間，利用古典概型的概率計(jì)算公式求解.【詳解】從兩名男生（記為和）、兩名女生（記為和）中任意抽取兩人，記事件“抽到的兩人是一男生一女生”，在無(wú)放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式下的樣本空間為:在有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式下的樣本空間為:故選：A.“有放回”與“無(wú)放回”的區(qū)別“有放回”是指抽取物體時(shí)，每一次抽取之后，都將被抽取的物體放回原處，這樣前后兩次抽取時(shí)，被抽取的物體的總數(shù)是一樣的．“無(wú)放回”是指抽取物體時(shí)，在每一次抽取后，被抽取的物體放到一邊，并不放回到原處，這樣，前后兩次抽取時(shí)，后一次被抽取的物體的總數(shù)較前一次被抽取的物體總數(shù)少1．這兩種情況下基本事件總數(shù)是不同的．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】分第一次取到龍形圖案的卡片，第二次取到兔形圖案的卡片和第一次和第二次都取到兔形圖案的卡片兩種情況，然后求概率即可.故選：A.【變式訓(xùn)練22·變考法】某班元旦聯(lián)歡會(huì)上開(kāi)展趣味抽獎(jiǎng)小游戲，在不透明的盒子里裝有標(biāo)號(hào)為1，2的兩個(gè)紅球和標(biāo)號(hào)為3，4，5的三個(gè)白球，五個(gè)小球除顏色和標(biāo)號(hào)外完全相同，參與游戲的同學(xué)從中任取1個(gè)，有放回地抽取2次，根據(jù)抽到小球的情形分別設(shè)置一，二，三等獎(jiǎng)．班委會(huì)討論了以下兩種規(guī)則：規(guī)則一：若抽到兩個(gè)紅球且標(biāo)號(hào)和為偶數(shù)獲一等獎(jiǎng)，抽到兩個(gè)白球且標(biāo)號(hào)和為偶數(shù)獲二等獎(jiǎng)，抽到兩個(gè)球標(biāo)號(hào)和為奇數(shù)獲三等獎(jiǎng)，其余不獲獎(jiǎng)；規(guī)則二：若抽到兩個(gè)紅球且標(biāo)號(hào)和為奇數(shù)獲一等獎(jiǎng)，抽到兩個(gè)球的標(biāo)號(hào)和為5的倍數(shù)獲二等獎(jiǎng)，抽到兩個(gè)球標(biāo)號(hào)和為偶數(shù),且不是5的倍數(shù)獲三等獎(jiǎng)，其余不獲獎(jiǎng)．(1)求兩種規(guī)則下獲得二等獎(jiǎng)的概率；(2)請(qǐng)問(wèn)哪種規(guī)則的獲獎(jiǎng)概率更大，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)兩種規(guī)則的獲獎(jiǎng)概率一樣大，理由見(jiàn)解析【分析】（1）（2）列出兩次抽取小球的所有可能結(jié)果，根據(jù)古典概型的概率求法求得兩種規(guī)則分別獲得一、二、三等獎(jiǎng)的概率，進(jìn)而得到兩種規(guī)則的獲獎(jiǎng)概率，即可解決問(wèn)題.【詳解】（1）據(jù)題意，兩次抽取小球的所有可能結(jié)果為：記規(guī)則一獲得二等獎(jiǎng)為事件，記規(guī)則二獲得二等獎(jiǎng)為事件，所以?xún)煞N規(guī)則下獲得二等獎(jiǎng)的概率均為.（2）兩種規(guī)則的獲獎(jiǎng)概率一樣大．理由如下：所以?xún)煞N規(guī)則的獲獎(jiǎng)概率一樣大．【變式訓(xùn)練23】有4張面值相同的債券，其中有2張是中獎(jiǎng)債券．(1)有放回地從債券中任取2次，每次取出1張，計(jì)算取出的2張都是中獎(jiǎng)債券的概率；(2)無(wú)放回地從債券中任取2次，每次取出1張，計(jì)算取出的2張都是中獎(jiǎng)債券的概率；(3)有放回地從債券中任取2次，每次取出1張，計(jì)算取出的2張中至少有1張是中獎(jiǎng)債券的概率；(4)無(wú)放回地從債券中任取2次，每次取出1張，計(jì)算取出的2張中至少有1張是中獎(jiǎng)債券的概率【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）先列舉出所有基本事件，再根據(jù)條件求隨機(jī)事件的概率；（2）由（1）的表格，分考慮順序和不考慮順序求解；（3）由（1）的表格，結(jié)合古典概型的概率公式求解；（4）分考慮順序和不考慮順序結(jié)合古典概型的概率公式求解.（2）我們知道，無(wú)放回地抽取可考慮順序，可不考慮順序．如果不考慮順序的話(huà)，可以在（1）中的表格里要么只取對(duì)角線(xiàn)以上的幾種情況，要么只取對(duì)角線(xiàn)以下的幾種情況．這時(shí)可以看出所有結(jié)果數(shù)有6種，當(dāng)然結(jié)果數(shù)還可以用列舉法得到，而取出的2張是中獎(jiǎng)的債券和債券的結(jié)果只有1種，故所求概率是．不考慮順序的話(huà)所有結(jié)果數(shù)是6，至少有1個(gè)中獎(jiǎng)的結(jié)果數(shù)是5，所以所求概率是．題型3古典概型與向量的交匯問(wèn)題A． B． C． D．【答案】C【分析】任選兩個(gè)不共線(xiàn)向量為鄰邊作平行四邊形，共12種情況，其中求出相應(yīng)的平行四邊形面積，得到面積不超過(guò)2的共7種情況，從而得到相應(yīng)的概率.共12種情況，故平行四邊形面積不超過(guò)2的概率為.故選：CA． B． C． D．【答案】D滿(mǎn)足條件的情況如下：故選：D.A． B． C． D．【答案】A故選：A．（1）明確實(shí)驗(yàn)的條件及要觀察的結(jié)果，用適當(dāng)?shù)姆?hào)（字母/數(shù)字/數(shù)組等）表示實(shí)驗(yàn)的可能結(jié)果（可借助圖表）；（2）根據(jù)向量判斷樣本點(diǎn)的等可能性；A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)古典概型列出向量的所有可能，由與的夾角為銳角找出所有符合題意的向量，即可求得其概率.故選：B．A． B． C． D．【答案】D綜上所述，滿(mǎn)足條件的有11種可能.又先后拋擲兩次，得到的樣本點(diǎn)數(shù)共36種，故選：D.題型4古典概型與幾何的交匯問(wèn)題A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出兩條棱平行和相交情況概率，應(yīng)用對(duì)立事件的概率公式即可求出相應(yīng)的概率【詳解】若兩條棱相交，則交點(diǎn)必為正方體8個(gè)頂點(diǎn)中的1個(gè)，過(guò)任意1個(gè)頂點(diǎn)恰有3條棱，故選：C.例42從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)構(gòu)成三角形，則所得三角形是正三角形的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，列舉出滿(mǎn)足正三角形的頂點(diǎn)的組合，然后再利用古典概型概率計(jì)算公式計(jì)算出所求概率即可.故選：B（1）明確實(shí)驗(yàn)的條件及要觀察的結(jié)果，用適當(dāng)?shù)姆?hào)（字母/數(shù)字/數(shù)組等）表示實(shí)驗(yàn)的可能結(jié)果（可借助圖表）；（2）根據(jù)幾何圖判斷樣本點(diǎn)的等可能性；（3）計(jì)算樣本點(diǎn)總個(gè)數(shù)及事件包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，求出事件A的概率．【變式訓(xùn)練41】七巧板是一種古老的中國(guó)傳統(tǒng)智力玩具，它是由如圖所示的七塊板組成的，即五塊等腰直角三角形板（兩塊小型三角形板、一塊中型三角形板和兩塊大型三角形板），一塊正方形板和一塊平行四邊形板.現(xiàn)從這七塊板中任取兩塊，則這兩塊板面積相等的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)古典概型求解即可.【詳解】如下圖，將七塊三角形編號(hào)如下，所以從七巧板的五塊三角形中任意取出兩塊的基本事件為：則編號(hào)的面積為，則編號(hào)的面積為，故選：C.【變式訓(xùn)練42·變載體】如圖是某電路圖，隨機(jī)閉合開(kāi)關(guān)，，中的任意2個(gè)，能同時(shí)使兩盞小燈泡發(fā)光的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】這是一個(gè)古典概型，利用古典概型概率公式就可求出結(jié)果.【詳解】所以能同時(shí)使兩盞小燈泡發(fā)光的概率是，故選：D.【變式訓(xùn)練43】如圖是易書(shū)中的八卦圖（含乾?坤?巽?震?坎?離?艮?兌八卦），每一卦由三根線(xiàn)組成（表示一根陽(yáng)線(xiàn)，表示一根陰線(xiàn)），傳說(shuō)萊布尼茲據(jù)此發(fā)明了二進(jìn)制計(jì)數(shù)法.從八卦中任取兩卦，這兩卦中陽(yáng)線(xiàn)數(shù)量之和為4的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先得到根陽(yáng)線(xiàn)的有一卦，根陽(yáng)線(xiàn)的有三卦，根陽(yáng)線(xiàn)的有三卦，根陽(yáng)線(xiàn)的有一卦，再求出基本事件總數(shù)，與滿(mǎn)足條件的事件數(shù)，再利用古典概型的概率公式計(jì)算可得.【詳解】由圖可知有根陽(yáng)線(xiàn)的有一卦，根陽(yáng)線(xiàn)的有三卦，根陽(yáng)線(xiàn)的有三卦，根陽(yáng)線(xiàn)的有一卦，記根陽(yáng)線(xiàn)的分別為、、，根陽(yáng)線(xiàn)的分別為、、，根陽(yáng)線(xiàn)的為，故選：B題型5古典概率與統(tǒng)計(jì)的綜合【答案】C對(duì)于C：12月份人均用電量為：故選：C.例52某地區(qū)的公共衛(wèi)生部門(mén)為了調(diào)查本地區(qū)中學(xué)生吸煙情況，對(duì)隨機(jī)抽出的500名學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查中使用了兩個(gè)問(wèn)題，問(wèn)題1：你的生日公歷月份是不是偶數(shù)？問(wèn)題2：你是否經(jīng)常吸煙？調(diào)查者設(shè)計(jì)了一個(gè)裝有大小、形狀和質(zhì)量完全一樣的50個(gè)白球和50個(gè)紅球的袋子，每個(gè)被調(diào)查者隨機(jī)從袋子中摸取1個(gè)球，再放回摸出白球就如實(shí)回答問(wèn)題1，摸出紅球就如實(shí)回答問(wèn)題2.回答“是”的學(xué)生往盒子里放一個(gè)石頭，回答“否”的學(xué)生什么也不做.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，盒子中有140個(gè)石頭，由此估計(jì)這個(gè)地區(qū)經(jīng)常吸煙的中學(xué)生所占百分比為（

）【答案】A【分析】由題意可知摸到白球和紅球的概率都為，12個(gè)月其中月份為偶數(shù)的概率為，由此可估計(jì)出回答問(wèn)題1為是的人數(shù)，從而可求出回答問(wèn)題2為是的人數(shù)，從而可求出答案.【詳解】因?yàn)橐粋€(gè)裝有大小、形狀和質(zhì)量完全一樣的50個(gè)白球和50個(gè)紅球的袋子，從隨機(jī)從袋子中摸取1個(gè)球，所以摸到白球和紅球的概率都為，因?yàn)?2個(gè)月其中月份為偶數(shù)的有6個(gè)，所以月份為偶數(shù)的概率為，故選：A（1）明確實(shí)驗(yàn)的條件及要觀察的結(jié)果，用適當(dāng)?shù)姆?hào)（字母/數(shù)字/數(shù)組等）表示實(shí)驗(yàn)的可能結(jié)果（可借助圖表）；（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)判斷樣本點(diǎn)的等可能性；（3）計(jì)算樣本點(diǎn)總個(gè)數(shù)及事件包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，求出事件A的概率．【變式訓(xùn)練51】經(jīng)統(tǒng)計(jì)某射擊運(yùn)動(dòng)員隨機(jī)命中的概率可視為，為估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員射擊4次恰好命中3次的概率，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法，先由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)的隨機(jī)數(shù)，用0，1，2沒(méi)有擊中，用3，4，5，6，7，8，9表示擊中，以4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：7525，0293，7140，9857，0347，4373，8638，7815，1417，55500371，6233，2616，8045，6011，3661，9597，7424，7610，4281根據(jù)以上數(shù)據(jù)，則可估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員射擊4次恰好命中3次的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)20組隨機(jī)數(shù)可知該運(yùn)動(dòng)員射擊4次恰好命中3次的隨機(jī)數(shù)共8組，據(jù)此可求出對(duì)應(yīng)的概率．【詳解】由題意，該運(yùn)動(dòng)員射擊4次恰好命中3次的隨機(jī)數(shù)為：7525，0347，7815，5550，6233，8045，3661，7424，共8組，故選：A【變式訓(xùn)練52】某校分別統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩人星期一至星期五每天在“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”上的學(xué)習(xí)積分情況，得到如下條形圖：則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．甲的積分的眾數(shù)大于乙的積分的眾數(shù)B．甲積分的方差小于乙積分的方差C．在這5天中，隨機(jī)抽取1天，乙積分大于30分的概率為0.6D．在這5天中，隨機(jī)抽取1天，甲積分大于30分的概率為0.4【答案】B【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義判斷A，根據(jù)方差的意義判斷B，由古典概型概率公式判斷CD.【詳解】甲的積分的眾數(shù)為30分，乙的積分的眾數(shù)為20，所以甲的積分的眾數(shù)大于乙的積分的眾數(shù)，A正確，從條形圖可知，甲的積分不如乙的積分的穩(wěn)定，所以甲積分的方差大于乙積分的方差，B錯(cuò)誤；5天中，有三天乙的積分大于30分，故乙積分大于30分的概率為0.6，C正確，5天中，有兩天甲的積分大于30分，甲積分大于30分的概率為0.4，D正確，故選：B.【變式訓(xùn)練53】某產(chǎn)品2020年1月~12月的月銷(xiāo)售量統(tǒng)計(jì)如下圖所示，現(xiàn)有如下說(shuō)法：①2020年產(chǎn)品銷(xiāo)售量最多的月份在上半年，產(chǎn)品銷(xiāo)售量最少的月份在下半年；②任取1個(gè)月份，產(chǎn)品銷(xiāo)售量高于20000的概率為；③與2020年上半年相比，下半年產(chǎn)品的銷(xiāo)售量相對(duì)平穩(wěn).則正確的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】對(duì)于①比較條形圖中最高的小矩形與最低的小矩形的分布即可；對(duì)于②運(yùn)用古典概型求其概率即可；對(duì)于③比較上半年與下半年的條形圖的波動(dòng)性即可.【詳解】2020年產(chǎn)品銷(xiāo)售量最多的月份為1月份，在上半年，銷(xiāo)售量最少的月份為10月份，在下半年，故①正確；由圖可知，2020年上半年條形圖的波動(dòng)性較大，下半年條形圖的波動(dòng)性較小，故③正確.故選：C.題型6概率的基本性質(zhì)例61根據(jù)氣象資料統(tǒng)計(jì)，明天吹南風(fēng)的概率為，下雨的概率為，吹南風(fēng)或下雨的概率為，則既吹南風(fēng)又下雨的概率為（

）【答案】A【詳解】記事件明天吹南風(fēng)，事件明天下雨，故選：A.例62（2025·天津·模擬預(yù)測(cè)）某射擊運(yùn)動(dòng)員平時(shí)訓(xùn)練成績(jī)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：命中環(huán)數(shù)678910頻率0.10.20.250.30.15若這名運(yùn)動(dòng)員只射擊一次，則命中的環(huán)數(shù)大于8環(huán)的概率為（

）A．0.3 B．0.45 C．0.55 D．0.7【答案】B【分析】利用互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率.故選：B.（1）運(yùn)用概率加法公式解題的步驟：①確定諸事件彼此互斥；②先求諸事件分別發(fā)生的概率，再求其和．（2）求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法①將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的并；②先求對(duì)立事件的概率，進(jìn)而再求所求事件的概率．【答案】C故選：C．【變式訓(xùn)練62】在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，三個(gè)事件A，B，C發(fā)生的概率分別是0.4，0.5，0.6，則下列選項(xiàng)正確的是（

）【答案】C故選：C.【變式訓(xùn)練63】（2025·天津·二模）冒險(xiǎn)棋是一種多人參與的休閑益智類(lèi)棋類(lèi)游戲，其核心玩法如下：玩家從起點(diǎn)出發(fā)，通過(guò)擲骰子決定棋子移動(dòng)步數(shù)，并結(jié)合陷阱等特殊路徑機(jī)制行進(jìn)，先到達(dá)終點(diǎn)者獲勝（擲到幾點(diǎn)，棋子就前進(jìn)幾步，若棋子停止的格子上有冒險(xiǎn)文字，則玩家需按照冒險(xiǎn)文字指示完成相應(yīng)操作）．如圖，已知甲執(zhí)紅棋、乙執(zhí)藍(lán)棋來(lái)到了同一個(gè)位置，甲先擲一次骰子，乙再擲一次骰子，則紅棋比藍(lán)棋更靠近終點(diǎn)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，紅旗、藍(lán)旗與終點(diǎn)的距離相等有點(diǎn)數(shù)相同以及點(diǎn)數(shù)為4或6兩類(lèi)情況，利用對(duì)立事件的概率關(guān)系求解.【詳解】當(dāng)甲、乙各自擲骰子得到的點(diǎn)數(shù)相同以及點(diǎn)數(shù)為4或6時(shí)，最后都會(huì)停留在同一個(gè)位置，故選：D.1．（2016·天津·高考真題）甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)互斥事件概率加法公式運(yùn)算求解即可.【詳解】甲不輸包含甲贏和甲、乙和棋，故選：A.（Ⅰ）應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人？員工項(xiàng)目ABCDEF子女教育○○×○×○繼續(xù)教育××○×○○大病醫(yī)療×××○××住房貸款利息○○××○○住房租金××○×××贍養(yǎng)老人○○×××○（i）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；（ii）設(shè)為事件“抽取的2人享受的專(zhuān)項(xiàng)附加扣除至少有一項(xiàng)相同”，求事件發(fā)生的概率.【答案】（I）6人，9人，10人；（II）（i）見(jiàn)解析；（ii）.【分析】（I）根據(jù)題中所給的老、中、青員工人數(shù)，求得人數(shù)比，利用分層抽樣要求每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是相等的，結(jié)合樣本容量求得結(jié)果；（II）（I）根據(jù)6人中隨機(jī)抽取2人，將所有的結(jié)果一一列出；（ii）根據(jù)題意，找出滿(mǎn)足條件的基本事件，利用公式求得概率.由于采取分層抽樣的方法從中抽取25位員工，因此應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取6人，9人，10人.（II）（i）從已知的6人中隨機(jī)抽取2人的所有可能結(jié)果為3．（2018·天津·高考真題）已知某校甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240，160，160．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽?。访瑢W(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛(ài)心活動(dòng)．（Ⅰ）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？（Ⅱ）設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作．（i）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；（ii）設(shè)M為事件“抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)”，求事件M發(fā)生的概率．【答案】（1）3，2，2（2）（i）見(jiàn)解析（ii）【詳解】分析：（Ⅰ）結(jié)合人數(shù)的比值可知應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）由題意列出所有可能的結(jié)果即可，共有21種．（ii）由題意結(jié)合（i）中的結(jié)果和古典概型計(jì)算公式可得事件M發(fā)生的概率為P（M）=．詳解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{C，G}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{D，G}，{E，F(xiàn)}，{E，G}，{F，G}，共21種．（ii）由（Ⅰ），不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中，來(lái)自甲年級(jí)的是A，B，C，來(lái)自乙年級(jí)的是D，E，來(lái)自丙年級(jí)的是F，G，則從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5種．所以，事件M發(fā)生的概率為P（M）=．4．（2024·天津·高考真題）某校組織學(xué)生參加農(nóng)業(yè)實(shí)踐活動(dòng)，期間安排了勞動(dòng)技能比賽，比賽共5個(gè)項(xiàng)目，分別為整地做畦、旱田播種、作物移栽、田間灌溉、藤架搭建，規(guī)定每人參加其中3個(gè)項(xiàng)目.假設(shè)每人參加每個(gè)項(xiàng)目的可能性相同，則甲同學(xué)參加“整地做畦”項(xiàng)目的概率為；已知乙同學(xué)參加的3個(gè)項(xiàng)目中有“整地做畦”，則他還參加“田間灌溉”項(xiàng)目的概率為．【答案】【分析】結(jié)合列舉法或組合公式和概率公式可求解第一空；采用列舉法或者條件概率公式可求第二空.【詳解】解法一：列舉法解法二：設(shè)甲、乙選到為事件，乙選到為事件，故答案為：；【答案】/【分析】先根據(jù)題意求出各盒中白球，黑球的數(shù)量，再根據(jù)概率的乘法公式可求出第一空；根據(jù)古典概型的概率公式可求出第二個(gè)空．記“從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的球都是黑球”為事件，所以，記“將三個(gè)盒子混合后取出一個(gè)球，是白球”為事件，故答案為：；．1．連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子5次，得到的點(diǎn)數(shù)分別為2，3，4，5，，則這5個(gè)數(shù)的第60百分位數(shù)為的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算得到的可能取值，再利用古典概型概率公式求解.而拋擲一枚骰子一次可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有種情況，即這個(gè)數(shù)的第百分位數(shù)是的概率為.故選：C.2．冰雹猜想又稱(chēng)考拉茲猜想、角谷猜想、3x+1猜想等，其描述為：任一正整數(shù)x，如果是奇數(shù)就乘以3再加1，如果是偶數(shù)就除以2，反復(fù)計(jì)算，最終都將會(huì)得到數(shù)字1．例如：給出正整數(shù)5，則進(jìn)行這種反復(fù)運(yùn)算的過(guò)程為5→16→8→4→2→1，即按照這種運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行5次運(yùn)算后得到1．若從正整數(shù)6，7，8，9，10中任取2個(gè)數(shù)按照上述運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算，則運(yùn)算次數(shù)均為偶數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題中定義，分別求出正整數(shù)6，7，8，9，10按照題中所給運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算的次數(shù)，最后根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.當(dāng)運(yùn)算到10時(shí)，運(yùn)算次數(shù)為10，由正整數(shù)的運(yùn)算過(guò)程可知，正整數(shù)8的運(yùn)算次數(shù)為；正整數(shù)10的運(yùn)算次數(shù)為6；故正整數(shù)6，7，8，9，10的運(yùn)算次數(shù)分別為偶數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)，從正整數(shù)6，7，8，9，10中任取2個(gè)數(shù)的方法總數(shù)為：故運(yùn)算次數(shù)均為奇數(shù)的概率為．故選：A.【答案】D故選：D4．已知在一個(gè)不透明的布袋中有5個(gè)除顏色外完全相同的小球，其中1個(gè)白球，4個(gè)紅球．從中摸出4個(gè)球分別放入A，B，C，D四個(gè)不同的盒子，在摸出白球的條件下，白球放入A盒的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合已知條件結(jié)合古典概型即可求解.【詳解】在一個(gè)不透明的布袋中有5個(gè)除顏色外完全相同的小球，其中1個(gè)白球，4個(gè)紅球．從中摸出4個(gè)球分別放入A，B，C，D四個(gè)不同的盒子，在摸出白球的條件下，剩下3個(gè)球是紅球，所以放入A，B，C，D四個(gè)不同的盒子有4種情況，白球放入A盒有1種情況，所以白球放入A盒的概率是.故選：A.A． B． C． D．【答案】D【分析】列舉出所有的情況，結(jié)合古典概型的概率公式求解即可.則點(diǎn)P落在第一象限的概率為.故選：D.6．盒中裝有形狀、大小完全相同的個(gè)球，其中紅色球個(gè)，黃色球個(gè).若從中隨機(jī)取出個(gè)球，則所取出的個(gè)球顏色相同的概率等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將個(gè)球進(jìn)行編號(hào)，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】記個(gè)紅色球分別為、、，記個(gè)黃色球分別為、，從這個(gè)球中隨機(jī)抽取個(gè)，所有的基本事件有：、、、、、、、、