第12講直角三角形與直角三角形全等的判定1．掌握直角三角形的特征與性質(zhì)；2．掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)；3、掌握直角三角形的斜邊中線定理；4、掌握直角三角形的判定方法；知識(shí)點(diǎn)、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL”定理：在兩個(gè)直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡寫成“HL”）.要點(diǎn)詮釋：（1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對應(yīng)相等，由于其中含有直角這個(gè)特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.（2）判定兩個(gè)直角三角形全等首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.（3）應(yīng)用“斜邊、直角邊”判定兩個(gè)直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個(gè)條件，書寫時(shí)必須在兩個(gè)三角形前加上“Rt”.知識(shí)點(diǎn)．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù)．（3）注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應(yīng)用；②應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)30°的角所對的直角邊，點(diǎn)明斜邊．知識(shí)點(diǎn)．直角三角形斜邊上的中線（1）性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）（2）定理：一個(gè)三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形．該定理可以用來判定直角三角形．考點(diǎn)一：直角三角形的兩個(gè)銳角互余例1．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，平面鏡放置在水平地面上，墻面于點(diǎn)，一束光線照射到鏡面上，反射光線為，點(diǎn)在上，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得，進(jìn)而根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余即可求解．【詳解】解：依題意，，∴，∵，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形中兩個(gè)銳角互余，入射角等于反射角，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇連云港·?？级＃┤鐖D，在中，．將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得，且點(diǎn)在上，交于點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，，再根據(jù)補(bǔ)角的定義及外角的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，，∵在中，，∴，∵，∴∴，∴；故選．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，補(bǔ)角的定義，外角的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·廣東佛山·七年級校考階段練習(xí)）如圖，，，，則_________．

【答案】/30度【分析】利用同角的余角相等進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查垂直的定義，互余關(guān)系．熟練掌握同角的余角相等，是解題的關(guān)鍵．3．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，在中，．

(1)若，求的度數(shù)．(2)畫的平分線交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E．若，求的長．（畫圖工具不限）【答案】(1)(2)作圖見解析；【分析】（1）根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出的度數(shù)即可；（2）根據(jù)題意作圖，過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)得出，求出即可．【詳解】（1）解：∵中，，，∴；（2）解：如圖，為所求作的角平分線，為所求作的垂線；

過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，∵平分，，，∴，∵，又∵，∴，即，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形兩銳角互余，角平分線的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是理解題意，作出輔助線，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等．考點(diǎn)二：含30°角的直角三角形例2．（2023春·陜西寶雞·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，的垂直平分線交于，垂足為，如果，則的長為（）

A． B．3 C．5 D．6【答案】D【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出，故可得出，再由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：在中，，的垂直平分線交于，，，，在中，，，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·陜西西安·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，D為上一點(diǎn)，，則的長為（

）

A．8 B．7 C．6 D．5【答案】C【分析】已知，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得的度數(shù)，再求出的度數(shù)，然后根據(jù)角直角三角形的性質(zhì)求得的長，再根據(jù)等角對等邊可得到的長，即可求得的長．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及角直角三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和在直角三角形中角直角邊等于斜邊的一半，是解決問題的關(guān)鍵．2．（2023春·廣東佛山·八年級佛山市第十四中學(xué)?？计谥校┮阎?，是的平分線，點(diǎn)為上一點(diǎn)，過作直線，垂足為點(diǎn)，且直線交于點(diǎn)，如圖所示．若，則______________．

【答案】4【分析】過點(diǎn)作，垂足為，則，在中，利用三角形內(nèi)角和定理可求出，在中，由角所對的直角邊等于斜邊的一半可求出的長，此題得解．【詳解】解：過點(diǎn)作，垂足為，如圖所示．是的平分線，，．在中，，，，即．在中，，，．故答案為：4．

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分線的性質(zhì)及角所對的直角邊等于斜邊的一半，求出的長是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·福建福州·九年級福州華倫中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在中，，．

(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出該三角形邊上的高（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)求的面積．【答案】(1)見解析(2)100【分析】（1）過點(diǎn)作的垂線即可；（2）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，再利用三角形外角性質(zhì)計(jì)算出，則根據(jù)含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系得到，然后根據(jù)三角形的面積公式．【詳解】（1）解：如圖，為所作；

（2），，，，，在中，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系．考點(diǎn)三：斜邊的中線等于斜邊的一半例3．（2023春·湖南長沙·八年級校聯(lián)考期中）如圖，公路，互相垂直，公路的中點(diǎn)與點(diǎn)被湖隔開，若測得的長為，則、兩點(diǎn)間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出，代入求出即可．【詳解】解：，，為的中點(diǎn)，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，能根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出是解此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1、（2021·廣東廣州·廣州市第八十九中學(xué)?？既＃┤鐖D，已知點(diǎn)P是平分線上的一點(diǎn)，，，M是的中點(diǎn)，．若點(diǎn)C是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）．A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】根據(jù)垂線段最短可得：當(dāng)時(shí)，的值最小，先利用角平分線的定義可得，再利用角平分線的性質(zhì)可得，然后在中，利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得，從而利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得，即可解答．【詳解】解：如圖：∵垂線段最短，∴當(dāng)時(shí)，的值最小，∵平分，，∴，∵，，∴，在中，M是的中點(diǎn)，，∴，∴，∴，∴的最小值為，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，度角所對的直角邊等于斜邊的一半，角平分線的性質(zhì)，垂線段最短，解題的關(guān)鍵是找出最小時(shí)，點(diǎn)C的位置．2．（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學(xué)?？级＃┤鐖D，中，，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，則的長是______．

【答案】6【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得可得答案．【詳解】解：，平分交于點(diǎn)，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半是解決問題的關(guān)鍵．3．（2023春·八年級單元測試）如圖，在和中，，E是的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出，，進(jìn)而結(jié)論得證；（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理和等邊對等角可求，的值，然后根據(jù)計(jì)算求解即可．【詳解】（1）證明：∵在和中，，E是的中點(diǎn)，∴，，∴；（2）解：∵在和中，E是的中點(diǎn)，，，，∴，，∴，，∵，∴為．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)．熟練掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)四：利用“HL”判定兩個(gè)直角三角形全等例4．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）如圖，平分，于C，于D，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的定義即可得選項(xiàng)A正確；根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得選項(xiàng)D正確；根據(jù)定理證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得選項(xiàng)B正確；由此即可得．【詳解】解：∵平分，，，∴，，，則選項(xiàng)A和D均正確；在和中，，∴，∴，，無法得出，則選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、直角三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，已知，，有下列結(jié)論：①平分；②平分；③平分；④平分．其中正確的結(jié)論是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．只有①【答案】B【分析】先證明得到，，，即可判斷①②③；根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明④．【詳解】解：∵，，，∴，∴，，，∴平分，平分，故①正確，②正確；∵，，∴是線段的垂直平分線，∴平分，故③正確；根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明，即無法證明平分，故④錯(cuò)誤；故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)等幾何知識(shí)，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定定理，線段的垂直平分線的判定定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，中，，是上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，垂足為，，若，則的值為____________.

【答案】【分析】先證明，然后得到求解即可．【詳解】解：∵，，∴，又∵，，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．3．（2023·四川南充·四川省南充高級中學(xué)?？级＃┤鐖D，四邊形中，，連接對角線，且，點(diǎn)在邊上，連接，過點(diǎn)作，垂足為，若．

(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意證明，進(jìn)而根據(jù)證明，即可求解；（2）連接，由（1）證明可得，，證明，得出，進(jìn)而即可得證．【詳解】（1）證明：，，，，在和中，．（2）連接，由證明可得，，在和中，．，，．

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．1．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）已知，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，于點(diǎn)，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和直角三角形兩銳角互余分析計(jì)算求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和直角三角形兩銳角互余，掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等以及直角三角形兩銳角互余是解題關(guān)鍵．2．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）一技術(shù)人員用刻度尺（單位：）測量某三角形部件的尺寸．如圖所示，已知，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)A、B對應(yīng)的刻度為1、7，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由圖求得的長度，結(jié)合直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求解．【詳解】解：由圖可知，在中，，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，,故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；解題的關(guān)鍵是熟練掌握該性質(zhì)．3．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則的長是（

）A．8 B．6 C．5 D．4【答案】C【分析】利用等腰三角形三線合一以及直角三角形斜邊上的中線進(jìn)行求解即可．【詳解】∵，平分，∴，∴，∵為的中點(diǎn)，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線．熟練掌握等腰三角形三線合一和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．4．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）在和中，．已知，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】過A作于點(diǎn)D，過作于點(diǎn)，求得，分兩種情況討論，利用全等三角形的判定和性質(zhì)即可求解．【詳解】解：過A作于點(diǎn)D，過作于點(diǎn)，∵，∴，當(dāng)在點(diǎn)D的兩側(cè)，在點(diǎn)的兩側(cè)時(shí)，如圖，

∵，，∴，∴；當(dāng)在點(diǎn)D的兩側(cè)，在點(diǎn)的同側(cè)時(shí)，如圖，

∵，，∴，∴，即；綜上，的值為或．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．5．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）《周禮考工記》中記載有：“……半矩謂之宣（xuān），一宣有半謂之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），問題：圖（1）為中國古代一種強(qiáng)弩圖，圖（2）為這種強(qiáng)弩圖的部分組件的示意圖，若矩，欘，則______度．

【答案】//．【分析】根據(jù)矩、宣、欘的概念計(jì)算即可．【詳解】解：由題意可知，矩，欘宣矩，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了新概念的理解，直角三角形銳角互余，角度的計(jì)算；解題的關(guān)鍵是新概念的理解，并正確計(jì)算．6．（2022·遼寧撫順·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，以點(diǎn)C為圓心，長為半徑作弧交于點(diǎn)D，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)D為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E，作直線，交于點(diǎn)F，則的度數(shù)是_____________．【答案】/18度【分析】先根據(jù)作圖方法得到CF是線段AD的垂線，則∠AFC=90°，再根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC的度數(shù)，即可得到答案．【詳解】解：由作圖方法可知CF是線段AD的垂直，∴∠AFC=90°，∵∠B=54°，AB=AC，∴∠ACB=∠B=54°，∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=72°，∴∠ACF=90°-∠BAC=18°，故答案為：18°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂線的尺規(guī)作圖，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形兩銳角互余，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．7．（2020·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，是斜邊上的中線，度，則__________度．【答案】70【分析】在Rt△ABC中，根據(jù)CD是斜邊AB上的中線，得CD＝AD，可求出∠ACD＝20°即可解決問題．【詳解】解：在Rt△ABC中，∵CD是斜邊AB上的中線，∴CD＝AD，∴∠A＝∠ACD＝20°，∴∠BCD＝∠ACB?∠ACD＝90°?20°＝70°，故答案為：70．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2021·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，線段AB的垂直平分線分別交AC、AB于點(diǎn)D、E，連結(jié)BD．若，則AD的長為________．【答案】2【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD=BD，∠ABD=，求得，即可求出答案．【詳解】解：∵，∴∠A+∠ABC=，∵線段AB的垂直平分線分別交AC、AB于點(diǎn)D、E，∴AD=BD，∴∠ABD=，∴，∵，∴AD=BD=2CD=2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】此題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)，熟記線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2022·廣西·中考真題）校園內(nèi)有一塊四邊形的草坪造型，課外活動(dòng)小組實(shí)地測量，并記錄數(shù)據(jù)，根據(jù)造型畫如圖的四邊形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝(1)求證：△ABC≌△CDA；(2)求草坪造型的面積．【答案】(1)見解析(2)草坪造型的面積為【分析】（1）根據(jù)“SSS”直接證明三角形全等即可；（2）過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)求出的長度，繼而求出的面積，再由全等三角形面積相等得出，即可求出草坪造型的面積．【詳解】（1）在和中，，；（2）過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，，，，，，，，草坪造型的面積，所以，草坪造型的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．10．（2022·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）為了進(jìn)一步改善人居環(huán)境，提高居民生活的幸福指數(shù)．某小區(qū)物業(yè)公司決定對小區(qū)環(huán)境進(jìn)行優(yōu)化改造．如圖，AB表示該小區(qū)一段長為的斜坡，坡角于點(diǎn)D．為方便通行，在不改變斜坡高度的情況下，把坡角降為．

(1)求該斜坡的高度BD；(2)求斜坡新起點(diǎn)C與原起點(diǎn)A之間的距離．（假設(shè)圖中C，A，D三點(diǎn)共線）【答案】(1)10m(2)20m【分析】（1）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．（2）根據(jù)，可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1），（2）C，A，D三點(diǎn)共線，【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，等角對等邊，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．11．（2022·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知，點(diǎn)P在上，，，垂足分別為D，E．求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)題意，用AAS證明．【詳解】證明：∵，∴為的角平分線，又∵點(diǎn)P在上，，，∴又∵（公共邊），∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，利用合適的條件證明三角形全等是本題的關(guān)鍵．1．（2023春·廣東揭陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，點(diǎn)D為斜邊上的中點(diǎn)，則為（

）

A．10 B．3 C．5 D．4【答案】C【分析】根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵，，點(diǎn)D為斜邊上的中點(diǎn)，∴；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形斜邊上的中線．熟練掌握斜邊上的中線等于斜邊的一半，是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江金華·統(tǒng)考二模）如圖，于A，，若，則等于（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出的度數(shù)，再由垂直的定義得出的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，，∴，∵于A，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022春·九年級單元測試）在中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)在直角三角形中，角所對的直角邊等于斜邊的一半計(jì)算即可．【詳解】解：，，，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了在直角三角形中，角所對的直角邊等于斜邊的一半，此題的關(guān)鍵是熟練掌握“角所對的直角邊等于斜邊的一半”來求邊的長度和角的度數(shù)．4．（2023·廣東汕尾·統(tǒng)考一模）如圖，一個(gè)含有角的直角三角尺的兩個(gè)頂點(diǎn)放在直尺的對邊上，如果，那么的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如下圖所示，∵，∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵，∴，∵，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．本題關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)找出圖中角度之間的關(guān)系．5．（2023秋·河北石家莊·八年級?？计谀┤鐖D，中，，，，點(diǎn)P是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則長不可能是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用垂線段最短分析可知：的最小值為3；根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出；接下來可知的最大值為6，由此即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)垂線段最短，可知的最小值為3．中，，，，，的最大值為6，長不可能是，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂線段最短和的性質(zhì)和含30度角的直角三角形的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出．6．（2023春·廣東河源·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，以點(diǎn)C為圓心，長為半徑作弧，交于點(diǎn)D，再分別以點(diǎn)B和點(diǎn)D為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E，作射線交于點(diǎn)F，則的長為（

）

A．9 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】由作圖知，可得，然后根據(jù)含直角三角形的性質(zhì)求出和即可得出答案．【詳解】解：由作圖知，，∵在中，，，，∴，，∴，∴，∴,故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作垂線，含直角三角形的性質(zhì)，熟知在直角三角形中，角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·廣東梅州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，點(diǎn)P在邊上，，點(diǎn)M、N在邊上，，若，則（

）

A．3 B．5 C．4 D．6【答案】C【分析】過點(diǎn)P作于點(diǎn)D，再根據(jù)含30度角的直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)以及線段的和差求解即可.【詳解】解：過點(diǎn)P作于點(diǎn)D，

∵，∴∵，∴，∵，∴，∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線、構(gòu)造直角三角形成為解答本題的關(guān)鍵．8．（2023春·廣東清遠(yuǎn)·八年級校聯(lián)考期中）如圖，點(diǎn)E在等邊的邊BC上，，射線，垂足為點(diǎn)C，點(diǎn)P是射線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，，則的長為（

）

A．7 B．8 C．9 D．【答案】D【分析】作E點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，當(dāng)三點(diǎn)共線，時(shí)，此時(shí)的值最小，由題意可得，則，再由，，可得，解得，可求，即可求解．【詳解】解：作E點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，過作交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)P，連接，

∴，∴，當(dāng)三點(diǎn)共線，時(shí)，此時(shí)的值最小，∵是正三角形，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·廣東汕頭·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，是的中線，，則的長為___________；【答案】6【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半即可解題．【詳解】是的中線故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，掌握以上定理是解題的關(guān)鍵．10．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）已知直角三角形的一個(gè)銳角的度數(shù)為，則其另一個(gè)銳角的度數(shù)為___度．【答案】【分析】根據(jù)直角三角形兩個(gè)銳角互余求解即可．【詳解】解：直角三角形的一個(gè)銳角的度數(shù)為，另一個(gè)銳角的度數(shù)是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．11．（2023春·陜西寶雞·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，平分，交于點(diǎn)，且．若，則___________．【答案】【分析】根據(jù)等邊對等角，含角的直角三角形的性質(zhì)可得，由此即可求解．【詳解】解：∵是直角三角形，，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴在中，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查含角的直角三角形的性質(zhì)，掌握含特殊角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考三模）如圖，點(diǎn)為直線上一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線外有一點(diǎn)，，，當(dāng)最短時(shí)，的長為_______________．

【答案】1【分析】根據(jù)垂線段最短可得∶當(dāng)時(shí)，最短，然后在中，利用含度角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解∶當(dāng)上時(shí)，最短，在中，，，故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形，垂線段最短，熟練掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2023·安徽蚌埠·?？家荒＃┤鐖D，是等邊三角形的角平分線，，垂足為E，邊的垂直平分線交于點(diǎn)P，交于點(diǎn)F．若，則的長為___________．

【答案】3【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以得到，，連接，則，根據(jù)30°角的直角三角形的性質(zhì)解題即可．【詳解】解：連接，

∵是等邊三角形，∴，∵平分，∴，，又垂直平分，∴，∴，∴∴，∴，∴，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，30°角的直角三角形的性質(zhì)，掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，，，將紙片沿DE折疊，使點(diǎn)B落到點(diǎn)A處，若，則DE=______．

【答案】1【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)得到，則，再由折疊性質(zhì)得，，，進(jìn)而得到，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，∴，則，由折疊性質(zhì)得，，，∴，，∴，又，∴，∴，∴，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、折疊性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握折疊性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．15．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在和中，于A，于D，，與相交于點(diǎn)O．求證：．【答案】見解析【分析】由即可證明．【詳解】證明：∵，，∴，在和中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握直角三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵．16．（2023秋·山東濟(jì)寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，，為延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．(1)求證：；(2)判斷和的位置關(guān)系并證明．【答案】(1)證明過程見詳解(2)和的位置關(guān)系是垂直，證明過程見詳解【分析】（1）根據(jù)直角三角形的全等的條件：斜邊直角邊即可求證；（2）延長與線段相交，根據(jù)全等，可找出線段與角的關(guān)