高中高中2028屆高一年級(jí)TOP二十名校十月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.4.考試范圍：集合與常用邏輯用語，一元二次函數(shù)?方程和不等式，函數(shù)的概念及其表示.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B.C. D.2.下列從集合到集合的對(duì)應(yīng)關(guān)系中，是的函數(shù)的是（）A.，對(duì)應(yīng)關(guān)系B.，對(duì)應(yīng)關(guān)系C.，對(duì)應(yīng)關(guān)系D.，對(duì)應(yīng)關(guān)系3.已知命題；命題，則（）A.是假命題 B.的否定是真命題C.是真命題 D.的否定是真命題4.若函數(shù)則（）A. B.C. D.5.已知函數(shù)，則的值域?yàn)閱卧丶系某湟獥l件是（）A. B.C. D.6.學(xué)校舉辦秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)，某班級(jí)報(bào)名參加跑步比賽有15人，參加球類比賽的有14人，參加跳繩比賽的有8人，其中只報(bào)名參加一項(xiàng)比賽的有20人，則兼報(bào)三項(xiàng)比賽的人數(shù)最多為（）A.3 B.4 C.5 D.67.已知函數(shù)，若，則的最大值為（）A. B. C.1 D.8.設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，如，若為正實(shí)數(shù)，則的最小值為（）A.2 B.3 C.4 D.6二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列選項(xiàng)中，是必要不充分條件的是（）A.B.C.：關(guān)于的方程有解，或D.10.已知正實(shí)數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.11.設(shè)集合，若，使得（兩兩不等），則稱為集，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.若集合是集，集合是非空數(shù)集，則是集B.若是集，則C.若集合集，集合，則為集D.且，使得是集三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知非空集合，若，則的取值范圍是__________.13.不等式解集為__________.14.如果為正整數(shù)且不是一個(gè)完全平方數(shù)，那么可以表示為的形式.若，則的值分別為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知集合.（1）求；（2）求.16.設(shè)為正實(shí)數(shù)，且.（1）求的最小值；（2）若，求的取值范圍.17.設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若關(guān)于的不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的值.18.如圖，在坐標(biāo)平面內(nèi)，老張用竹籬笆與軸圍成了一塊空地作休閑之用，竹籬笆可看作拋物線的一部分，已知的頂點(diǎn)為，且與軸的交點(diǎn)分別為（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.另外，老張擬在的左側(cè)鋪設(shè)一條直路作交通之用，的解析式為，且與只有一個(gè)公共點(diǎn).（1）求解析式；（2）設(shè)與軸，直線分別交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，老張打算將，直線軸和軸圍成的陰影部分作種菜之用，試問當(dāng)為何值時(shí)，菜園的面積取得最小值？19.（1）已知，求證：；（2）設(shè)函數(shù)的定義域均為，若，則稱是上的“和有界函數(shù)對(duì)”.（i）若是上的“和有界函數(shù)對(duì)”，證明：；（ii）當(dāng)，且時(shí)，若是上的“和有界函數(shù)對(duì)”，是上的“和有界函數(shù)對(duì)”，請(qǐng)判斷是否是上的“和有界函數(shù)對(duì)”，若是，請(qǐng)給出證明；若不是，請(qǐng)給出反例.2028屆高一年級(jí)TOP二十名校十月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.4.考試范圍：集合與常用邏輯用語，一元二次函數(shù)?方程和不等式，函數(shù)的概念及其表示.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1若集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合，再根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，又，所?故選：A.2.下列從集合到集合的對(duì)應(yīng)關(guān)系中，是的函數(shù)的是（）A.，對(duì)應(yīng)關(guān)系B.，對(duì)應(yīng)關(guān)系C.，對(duì)應(yīng)關(guān)系D.，對(duì)應(yīng)關(guān)系【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，但是沒有意義，0在中無對(duì)應(yīng)的元素，A不符合題意；對(duì)于B，因?yàn)閷?duì)于任意一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，無意義，B不符合題意；對(duì)于C，任意一個(gè)實(shí)數(shù)，，因此同時(shí)滿足任意性和唯一性，C符合題意；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，不滿足函數(shù)值的唯一性，D不符合題意.故選：C.3.已知命題；命題，則（）A.是假命題 B.的否定是真命題C.是真命題 D.的否定是真命題【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題和存在量詞命題的定義判斷命題和命題的真假，進(jìn)而判斷選項(xiàng)即可.【詳解】命題，當(dāng)時(shí)，，則是真命題；命題，當(dāng)時(shí)，，則是假命題.綜上所述，是真命題，的否定是假命題，是假命題，的否定是真命題.故選：D.4若函數(shù)則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合一次函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則，所以函數(shù)的值域?yàn)?故選：A.5.已知函數(shù)，則的值域?yàn)閱卧丶系某湟獥l件是（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡，進(jìn)而求解判斷即可.【詳解】由題意，，則，要使值域?yàn)閱卧丶希瑒t，即，故B正確，AC錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，等價(jià)于，即，此時(shí)由可得，但由得不到，故D錯(cuò)誤.故選：B.6.學(xué)校舉辦秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)，某班級(jí)報(bào)名參加跑步比賽的有15人，參加球類比賽的有14人，參加跳繩比賽的有8人，其中只報(bào)名參加一項(xiàng)比賽的有20人，則兼報(bào)三項(xiàng)比賽的人數(shù)最多為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】設(shè)恰好報(bào)名參加兩項(xiàng)比賽的有人，兼報(bào)三項(xiàng)比賽的有人，由題意可得，進(jìn)而得到，再分析求解即可.【詳解】設(shè)恰好報(bào)名參加兩項(xiàng)比賽的有人，兼報(bào)三項(xiàng)比賽的有人，則，所以，要讓最大，則需要最小，若，則，不滿足題意；若，則，滿足題意，所以兼報(bào)三項(xiàng)比賽的最多有5人.故選：C.7.已知函數(shù)，若，則的最大值為（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的定義結(jié)合函數(shù)恒成立問題求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以的最大值?故選：D.8.設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，如，若為正實(shí)數(shù)，則的最小值為（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】解題的關(guān)鍵在于理解的定義，然后利用基本不等式求出的最小值，再結(jié)合的定義求出的最小值.【詳解】因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，從而中至少有一個(gè)不小于2，不妨設(shè)，則，所以.假設(shè)的最小值為2，，，所以，所以，與矛盾，假設(shè)不成立，A錯(cuò)誤；假設(shè)的最小值為3，則，或，，同理，可得，顯然不成立，B錯(cuò)誤；假設(shè)的最小值為4，同理，易得，若取，則，即，假設(shè)成立，C正確，D錯(cuò)誤.故選：.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列選項(xiàng)中，是的必要不充分條件的是（）A.B.C.：關(guān)于的方程有解，或D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)充分、必要條件的定義判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，即，，即，所以是的必要不充分條件，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，若取，則滿足，不滿足，則不是的充分條件，顯然，即是的必要不充分條件，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，：關(guān)于的方程有解，即，而或，所以是的充要條件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，僅是方程的一組解，所以是的充分不必要條件，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10.已知正實(shí)數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)基本不等式求解判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A正確，B錯(cuò)誤；由，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：AD.11.設(shè)集合，若，使得（兩兩不等），則稱為集，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.若集合是集，集合是非空數(shù)集，則是集B.若是集，則C.若集合是集，集合，則為集D.且，使得是集【答案】AB【解析】【分析】選項(xiàng)，結(jié)合題設(shè)定義舉例判斷即可；B選項(xiàng)，根據(jù)題設(shè)定義可得，或，或，進(jìn)而求解判斷即可；C選項(xiàng)，由是集可得存在（兩兩不等），使得，根據(jù)中的元素個(gè)數(shù)不小于2，可得且，使得，進(jìn)而得到，即可判斷；D選項(xiàng)，先假設(shè)是集，再推出矛盾即可判斷.【詳解】選項(xiàng)，若取，則，顯然不符合集的定義，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由集的定義及已知得，，或，或，解得或（舍去），B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由是集，所以存在（兩兩不等），使得，因?yàn)橹械脑貍€(gè)數(shù)不小于2，所以且，使得，且兩兩不等，由，得，所以為集，C正確；D選項(xiàng)，設(shè)，取，滿足（兩兩不等），存在,是集，，D正確.故選：AB.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知非空集合，若，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】由得，進(jìn)而根據(jù)包含關(guān)系求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又集合為非空集合，則，解得，則的取值范圍是.故答案為：.13.不等式的解集為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)分式不等式的解法求解即可.【詳解】當(dāng)，即時(shí)，不等式成立；當(dāng)時(shí)，由.綜上所述，不等式的解集為.故答案為：.14.如果為正整數(shù)且不是一個(gè)完全平方數(shù)，那么可以表示為的形式.若，則的值分別為__________.【答案】4，3，8【解析】【分析】根據(jù)給定條件，推理可得，再由表示式的結(jié)構(gòu)形式列出方程，借助恒等式求出即可.【詳解】由，則，而，所以，所以，則，所以，則，因?yàn)?，所以，解?故答案為：4，3，8.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知集合.（1）求；（2）求【答案】（1）或（2）或.【解析】【分析】（1）首先解不等式得到，再求其補(bǔ)集即可.（2）首先解不等式得到或，再求即可.根據(jù)集合，【小問1詳解】因?yàn)?，所以【小?詳解】因?yàn)榛?，所以或，所?16.設(shè)為正實(shí)數(shù)，且.（1）求的最小值；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）9（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)基本不等式“1”的代換，計(jì)算即可得答案.（2）基本不等式得，，根據(jù)條件得，整理計(jì)算，即可得答案.【小問1詳解】由，得，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為9.【小問2詳解】由基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，解得，又為正實(shí)數(shù)，所以，即的取值范圍是.17.設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若關(guān)于的不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，將條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式有解，則判別式，即可得答案.（2）當(dāng)時(shí)，將條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式恒成立，則判別式，即可得答案.（3）將條件轉(zhuǎn)化為為方程的兩個(gè)根，根據(jù)韋達(dá)定理即可得答案.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋躁P(guān)于的不等式有解，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以關(guān)于的不等式恒成立，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.【小問3詳解】，因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以為方程的兩個(gè)根，所以，解得.18.如圖，在坐標(biāo)平面內(nèi)，老張用竹籬笆與軸圍成了一塊空地作休閑之用，竹籬笆可看作拋物線的一部分，已知的頂點(diǎn)為，且與軸的交點(diǎn)分別為（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.另外，老張擬在的左側(cè)鋪設(shè)一條直路作交通之用，的解析式為，且與只有一個(gè)公共點(diǎn).（1）求的解析式；（2）設(shè)與軸，直線分別交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，老張打算將，直線軸和軸圍成的陰影部分作種菜之用，試問當(dāng)為何值時(shí)，菜園的面積取得最小值？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)拋物線方程的頂點(diǎn)式方程，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)代入，即可求得答案；（2）由題意知菜園的面積取得最小值等價(jià)于梯形的面積取得最小值，從而結(jié)合直線以及拋物線方程求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出梯形的面積的表達(dá)式，利用基本不等式判斷其最小值情況，即可求得答案.【小問1詳解】因?yàn)榈捻旤c(diǎn)為，設(shè)其方程為，因?yàn)橥ㄟ^原點(diǎn)，所以，所以，所以.【小問2詳解】由題意可知，與x軸圍成的區(qū)域的面積為定值，故菜園的面積取得最小值等價(jià)于梯形的面積取得最小值.由消去得，，因?yàn)樵诘淖髠?cè)，且與只有一個(gè)公共點(diǎn)，則方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，所以，所以，且，即，則的解析式為，令，得；令，得，所以.所以梯形的面積當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，菜園的面積取得最小值.19.（1）已知，求證：；（2）設(shè)函數(shù)的定義域均為，若，則稱是上的“和有界函數(shù)對(duì)”.（i）若是上的“和有界函數(shù)對(duì)”，證明：；（ii）當(dāng)，且時(shí)，若是上的“和有界函數(shù)對(duì)”，是上的“和有界函數(shù)對(duì)”，請(qǐng)判斷是否是上的“和有界函數(shù)對(duì)”，若是，請(qǐng)給出證明；若不是，請(qǐng)給出反例.【答案】（1）證明見解析；（2）（i）證明見解析；（i